Gracias a la relación de polos y polares con respecto a una circunferencia, se tenían correspondencias entre todos los puntos y todas las rectas del plano. Por lo cual nace el Principio de dualidad. Así mismo analizaremos el Triángulo Autopolar junto con algunas propiedades.
Principio de Dualidad
El principio de Dualidad, donde la propiedad que nos dé como resultado de intercambiar las palabras de recta y punto resulta verdadera, además de que guarda sus propiedades.
Por ejemplo, se tiene la siguiente dualidad del teorema con respecto a su corolario.
Teorema. Dada una circunferencia, la polar de $P$ pasa por $Q$, entonces la polar de $Q$ pasa por $P$.
Corolario. Dada una circunferencia, sean $p$ y $q$ rectas tales que, el polo de $p$ está en $q$, entonces el polo de $q$ está en $p$.
Se puede ver que ambos son duales, se puede dar un ejemplo más sencillo.
Ejemplo. La unión de dos puntos es una recta, entonces la intersección de dos rectas es un punto.
Triángulo Autopolar
Definición. Se define como triángulo autopolar a aquel que, con respecto a una circunferencia, se tiene que cada vértice es el polo del lado opuesto, de tal modo que cada lado es polar del vértice opuesto.
Construcción. Se tiene una circunferencia $C(O,r)$, tomemos un punto $A$ dentro de la circunferencia y tracemos su inverso $A’$ y $a$ su polar. Ahora tomemos un punto $B$ en $a$ tal que $A’ \neq B$ y trazamos $b$ su polar, y por el Teorema Fundamental de Polos y Polares se tiene que $b$ pasa por $A$. Además, a la intersección de $a$ y $b$ la llamaremos $C$, y su polar de $c$ pasa por $A$ y $B$ puntos.
De esta forma tenemos el $ \triangle ABC$ es autopolar con respecto a $C(O,r)$.
$\square$
Propiedades
Se tienen varias propiedades del triángulo autopolar.
1.- El ortocentro del triángulo autopolar es el centro de la circunferencia.
Demostración. De la figura anterior se tiene que:
La polar de $A$ es $a$ que es el lado $BC$ del $ \triangle ABC$ y $BC \perp OA$ por $A’$ inverso de $A$.
La polar de $B$ es $b$ que es el lado $CA$ del $ \triangle ABC$ y $CA \perp OB$ por $B’$ inverso de $B$.
La polar de $C$ es $c$ que es el lado $AB$ del $ \triangle ABC$ y $AB \perp OC$ por $C’$ inverso de $C$.
Por lo cual $AA’$, $CC’$ y $BB’$ son las alturas del $ \triangle ABC$ y estas se intersecan en $O$.
Por lo tanto, $O$ es el ortocentro del $\triangle ABC$.
$\square$
2.- Uno de sus vértices está dentro de la circunferencia y los otros dos fuera de esta.
3.- El ángulo del triángulo cuyo vértice está en la circunferencia es obtuso.
Más adelante…
Se abordará el tema de circunferencia Polar, en el cual veremos su relación con polos y polares.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la nota anterior comenzamos el estudio de los sistemas de ecuaciones, ahora veremos cómo determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene o no solución. y cómo encontrar sus soluciones en caso de que existan.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es un problema fundamental en matemáticas y en diversas áreas de la ingeniería y las ciencias aplicadas. Una técnica comúnmente utilizada para resolver estos sistemas es la eliminación de Gauss-Jordan, que consiste en aplicar operaciones elementales a la matriz aumentada asociada al sistema, que como vimos en la nota anterior no modifica las soluciones del sistema, para obtener una matriz equivalente que sea escalonada reducida por renglones. En esta nueva matriz la solución del sistema asociado se puede obtener fácilmente. En esta nota se explicará paso a paso cómo realizar este proceso, a partir de ejemplos concretos.
El sistema se reduce a la ecuación $x-2y=3$ y dos ecuaciones iguales a $0x+0y=0$, pero esto último se cumple para todas $x,y\in\mathbb{R}$, así que debemos analizar sólo qué valores $x$ y $y$ cumplen la ecuación $x-2y=3$.
Observemos que $x-2y=3$ si y sólo si $x=3+2y$. En este caso podemos dar a $y$ cualquier valor real $\lambda$ y entonces $x$ queda determinado por el valor que dimos a $y$. Decimos entonces que $y$ está funcionando como un parámetro.
Las soluciones son:
$x=3+2\lambda,\,y=\lambda$ con $\lambda\in \mathbb R .$
El sistema se puede simplificar omitiendo los términos con coeficiente cero.
Observemos que en el sistema anterior, debido a la forma que tiene, es muy sencillo despejar a $x$, a $z$ y a $w$, y al hacerlo quedan en términos de $y$ y de $t$ (las indeterminadas que no tienen como coeficiente al primer elemento no nulo de algún renglón en la matriz escalonada reducida por renglones). Éstas nos servirán entonces como parámetros, ya que eligiendo $y$ y $t$ como cualesquiera números reales, $x$, $z$ y $w$ quedan determinados por ellos.
Sean entonces $\alpha,\beta\in \mathbb R$, si $t=\alpha$ y $y=\beta$, tenemos que:
La última ecuación es: $0x+0y+0z=5$ que no tiene solución. Por lo tanto el sistema no tiene solución.
Definición
Decimos que un sistema es incompatible si no tiene solución. Decimos que un sistema es compatible si tiene solución; en este caso decimos que es compatible determinado si tiene una única solución, si hay más de una solución decimos que es compatible indeterminado.
Como se comentó en la nota anterior, el rango de una matriz es la dimensión del espacio generado por sus renglones, pero también coincide con la dimensión del espacio generado por sus columnas. No probaremos este resultado porque va más allá de los objetivos de este curso pero lo enunciaremos y usaremos:
Nota
Sean $n$ y $m$ naturales positivos y $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ con $A^1,\dotsc,A^n$ sus columnas. Tenemos que $rk\, A=dim\langle A^1,\dotsc,A^n \rangle = rk\,A^t.$
Teorema
Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz aumentada.
Demostración
Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $B\in \mathscr M_{m\times 1}(\mathbb R)$.
$AX=B$ tiene solución $\Longleftrightarrow $ $\exists S\in \mathbb R^n$ tal que $AS=B$
$2.$ ¿Qué ocurre con la última columna de la matriz aumentada de un sistema homogéneo al escalonar la matriz? ¿Es necesario escribir esa última columna al realizar el procedimiento que estudiamos para resolver un sistema homogéneo?
$3.$ En una tienda se venden $23$ baterías eléctricas por un total de $\$79.2$. Si el tipo $A$ cuesta $\$5$ el tipo $B$ $\$2.80$ y el tipo $C$ $\$1.60$ por pieza. ¿Cuántas baterías de cada tipo se vendieron?
Más adelante
En la siguiente nota definiremos lo que es el determinante de una matriz.
Uno de los aspectos importantes de esta unidad es la teoría de la división armónica, la cual se relaciona con la teoría de los polos y polares, para ello veremos unos teoremas respecto a las relaciones armónicas ejemplificando esto.
Relaciones Armónicas
Teorema. Sean dos puntos conjugados $A$ y $B$ respecto a una circunferencia $C(O,r)$, donde $A$ está dentro y $B$ está fuera, entonces $A$ y $B$ son armónicos respecto a los puntos de intersección en donde la recta que une a $A$ y $B$ se determina con la circunferencia $C$.
Demostración. Dada una circunferencia $C(O,r)$ y dos puntos $A$ dentro de $C$ y $B$ fuera de $C$. La recta $AB$ corta a $C$ en dos puntos $P$ y $Q$, sea $a$ la polar de $A$ y $b$ la polar de $B$, por lo cual $b$ pasa por $A$ y $a$ pasa por $B$.
Ahora se tienen los inversos de $A$ y $B$ que son $A’$ y $B’$ correspondientemente, se tiene que $a$ es perpendicular a $OA’$ por $A’$ y $b$ es perpendicular a $OB’$ por $B’$, de esta forma el cuadrilátero $B’BA’A$ es cíclico y su circunferencia es perpendicular a $C(O,r)$, y se sigue que $AB$ es diámetro de $C(O,r)$. Por lo tanto, $A$ y $B$ son armónicos respecto a $P$ y $Q$.
$\square$
Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia dada, dos líneas conjugadas se intersecan fuera de $C$, están separadas armónicamente por las tangentes de sus puntos de intersección.
Demostración. Sean $p$ y $q$ las dos rectas conjugadas, tal que $p$ corta a $C(O,r)$ y $q$ no corta a $C(O,r)$. El punto de intersección de $p$ y $q$ es $S$ fuera de $C(O,r)$.
Sea $P$ el punto de $p$ donde $P$ pertenece a $q$, la polar de $S$ es $s$ que pasa por $C$ donde $C$ es la intersección de $p$ y $s$, entonces la polar de $C$ pasa por $S$. También la polar de $P$ es $p$ que pasa por $C$ entonces la polar de $C$ pasa por $P$, entonces su polar es $q$ y también la polar de $C$ pasa por $D$, por lo cual la polar de $D$ pasa por $C$.
Por lo cual $C$ y $D$ son conjugados respecto a $C(O,r)$, entonces $C$ y $D$ son conjugados respecto a $A$ y $B$. Por lo tanto, $p$ y $q$ son armónicos respecto a $SA$ y $SB$.
$\square$
Teorema. Sea $C(O,r)$ una circunferencia, $p$ una recta y sean $A,B,C,D$ cuatro puntos armónicos sobre la recta, $p$, si $a,b,c,d$ son las polares respecto a $C(O,r)$ de $A,B,C,D$ entonces $a,b,c,d$ son líneas armónicas, entonces el haz $P{a,b,c,d}$ es armónico.
Demostración. Se tienen $A,B,C,D$ puntos armónicos dados, con sus respectivas polares $a,b,c,d$ las cuales pasan por un punto $S$, el cual es el polo de la recta en la cual están los puntos. Ahora cada polar es perpendicular a la recta que une su polo con el centro de la circunferencia $C(O,r)$, y además el ángulo entre dos líneas cualesquiera del haz $O(ABCD)$ es igual al ángulo entre las rectas correspondientes del haz $a,b,c,d$. Por lo cual el haz $P{a,b,c,d}$ es armónico.
$\square$
Más adelante…
Se abordará el tema de dualidad desde un punto de vista teórico, y también se analizará los triángulos autopolares.
Se tiene una correspondencia geométrica fundamental, la cual implica la transformación de cada punto del plano en una línea recta única y viceversa, mediante el uso de una circunferencia. La línea recta vinculada a un punto se denomina la polar de dicho punto, mientras que el punto mismo recibe el nombre de polo de la línea, es por ello que estudiaremos el tema de polos y polares.
Polos y Polares
Definición. Dada una circunferencia $C(O,r)$, dos puntos inversos $P$ y $Q$ respecto a $C(O,r)$. Sea $p$ la perpendicular a $OQ$ y que pasa por $Q$, y sea $q$ la perpendicular a $OP$ y pasa por $P$.
Entonces se dirá que «$p$ es la recta polar de $P$» y «$q$ es la recta polar de $Q$» ambas respecto a $C$. De igual forma se dirá que «$Q$ es el polo de $q$» y «$P$ es el polo de $p$» ambos respecto a $C$.
Se cumplen varias propiedades:
1.- Si $P$ es un punto exterior a la circunferencia, entonces $p$ es secante a la circunferencia $C$.
2.- Si $P$ es un punto de $C$, entonces $p$ es tangente a la circunferencia $C$.
3.- Si $P$ es un punto interior a $C$, entonces $p$ es ajena a la circunferencia $C$.
4.- La polar del centro de la circunferencia es la línea al infinito, y el polo de un diámetro de circunferencia $C$ es un punto al infinito.
Teorema. (Fundamental de Polos y Polares) Si respecto a una circunferencia dada $C(O,r)$, la polar de $P$ pasa por $Q$ entonces la polar de $Q$ pasa por $P$. A las rectas $p$ y $q$, se les llama conjugadas polares y, a los puntos $P$ y $Q$ se les denomina conjugados polares.
Demostración. Se tiene que $p$ es la polar de $P$ y $Q$ pertenece a $p$, ahora se tiene que $Q’$ es el inverso de $Q$ entonces $OP \times OP’ = r^2 = OQ \times OQ’$, por lo cual se tiene un cuadrilátero cíclico $PP’QQ’$, entonces $Q’P$ es perpendicular a $OQ$.
Por lo tanto, $Q’P=q$ es polar de $Q$.
$\square$
Corolario. Sean $p$ y $q$ líneas tales que, con respecto a una circunferencia $C$ dada, se dice que el polo de $p$ está en $q$, entonces el polo de $q$ está en $p$.
Demostración. Dadas $p$ y $q$ dos rectas y $P$ el polo de $p$, supongamos que $P$ está en $q$.
Sea $P’$ el inverso de $P$ y $P’$ perteneciente a $p$. Sean $OQ’$ perpendicular a $q$ y $Q$ es $OQ’$ intersección con $p$, pero $PQ’QP$ es un cuadrilátero cíclico, la circunferencia que lo contiene es ortogonal a $C$ y su inversa respecto a $C$ es ella misma, también $OP \times OP’ = OQ \times OQ’ = r^2$.
Entonces $Q$ y $Q’$ son inversas, por lo tanto, $Q$ es polo de $q$.
$\square$
«Se puede decir que las polares de una hilera son las líneas de un haz y que los polos de las líneas de un haz son los puntos de una hilera.»
Definición. (Puntos Conjugados) Dados dos puntos $P$ y $Q$ con respecto a una circunferencia, tales que la polar de uno pasa por el otro, diremos que $P$ y $Q$ son puntos conjugados respecto a la circunferencia $C$.
Definición. (Líneas Conjugadas) Respecto a una circunferencia $C$, se tienen dos líneas $p$ y $q$ tales que el polo de una está en el otro, se dirá que $p$ y $q$ son rectas conjugadas respecto a la circunferencia $C$.
Se tienen las siguientes propiedades:
1.- De dos puntos conjugados distintos en una línea que interseque la circunferencia, uno está dentro y el otro fuera de la circunferencia.
Demostración. Sea $r$ la línea que contiene a $P$ y $Q$, sea $R$ el polo de $r$ por lo cual la polar de $R$ es $r$ y pasa por $P$, entonces la polar de $P$ pasa por $R$, ahora como $P$ y $Q$ son conjugados entonces la polar de $P$ pasa por $Q$, por lo cual la polar de $P$ es la línea $RQ$ !
Por lo tanto, uno de los dos puntos conjugados está dentro y el otro afuera de la circunferencia.
$\square$
2.- Dadas dos líneas distintas conjugadas que se intersecan fuera de la circunferencia, una corta la circunferencia y la otra no.
3.- Cualquier punto en la circunferencia es conjugado a todos los puntos de la tangente en ese punto.
4.- Cualquier tangente a la circunferencia es conjugada a todas las líneas por su punto de contacto.
Más adelante…
La relación armónica está relacionada con respecto a lo hablado de polos y polares, por lo cual más adelante se hablara sobre teoremas relacionados con ambos temas.
Ya que hemos visto cómo son las bolas abiertas en diferentes métricas, procederemos a analizar cómo son cuando las comparamos con un conjunto $A \subset X$. Como recurso, usaremos imágenes representativas con la intención de ayudar en la abstracción de los conceptos que a continuación se anuncian. Aunque las bolas no necesariamente se representan siempre como circunferencias (métrica del taxista), o como objetos con bordes punteados (como el segmento vertical que forma parte de la bola abierta en la métrica del ascensor), para fines gráficos rescataremos la idea de usar líneas punteadas para hacer alusión al «borde» de una bola abierta, sugiriendo que son puntos en el conjunto $X$ que no están en ella. Por el contrario, representaremos con lineas continuas a los puntos que sí formen parte de un conjunto dado.
Unas breves comparaciones entre subconjuntos y puntos
Para iniciar, pensemos en un espacio métrico $(X,d)$:
Representación de un espacio métrico $X.$
Y en un conjunto $A$ contenido en $X$:
Representación de un conjunto $A$ contenido en un espacio métrico $X.$
Identifiquemos puntos arbitrarios en $X$:
Representación de puntos en el espacio métrico $X.$
Entonces un punto $x \in X$ puede pertenecer o no al conjunto $A$. Si $x \in A$, entonces una bola abierta con centro en $x$ podría tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.
Representación de una bola abierta con centro en $A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$
Representación de otra bola abierta con centro en $A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$
o bien, puede tener todos sus puntos en $A$
Representación de una bola abierta con centro en $A$ y con todos sus puntos en $A.$
¿Puede haber una bola con centro en un punto en $A$ que esté totalmente contenida en el conjunto $X \setminus A$?
Por otro lado, si consideramos ahora $x \notin A$ , una bola abierta con centro en $x$ podría tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.
Representación de una bola abierta con centro en $X \setminus A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$
Representación de otra bola abierta con centro en $X \setminus A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$
O bien, puede solo tener puntos en $X \setminus A$
Representación de una bola abierta con centro en $X \setminus A$ y con todos sus puntos en $X \setminus A.$
¿Es posible que una bola con centro en un punto en $X \setminus A$ esté totalmente contenida en $A$?.
Habiendo hecho estos comentarios generales, asignemos términos a los puntos de $X$ según las condiciones que cumplan las bolas abiertas asociadas.
Conceptos topológicos en un espacio métrico
Definición. Punto interior de un conjunto. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto interior de $A$en $(X,d)$ si existe $\varepsilon > 0$ tal que $B(x,\varepsilon) \subset A$.
Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en $A.$
Aunque $x$ pueda tener alguna bola abierta que no esté «totalmente» contenida en $A$, basta con que exista una que sí lo esté para que a $x$ se le considere un punto interior.
Representación de bolas abiertas con centro en un punto interior $x.$ Existe una contenida en $A.$
De acuerdo con la definición, un punto $x \in X$ no será punto interior de $A$ cuando para todo $ \varepsilon >0, B(x,\varepsilon)$ tiene puntos en $X \setminus A$. Los siguientes esquemas muestran puntos que no son puntos interiores del conjunto $A$ (tal vez sí lo sean de otro conjunto).
Representación de las bolas abiertas con centro en un punto que no es punto interior de $A.$Representación de las bolas abiertas con centro en un punto que no es punto interior de $A.$Representación de las bolas abiertas con centro en un punto que no es punto interior de $A.$
Definición. Interior de un conjunto. El conjunto formado por todos los puntos interiores de $A$ se denomina interior de $A$en $(X,d)$ y se denota como: $$Int (A) := \{x \in X|x \text{ es punto interior de A}\}$$
Representación de puntos que tienen una bola abierta contenida en $A.$
El conjunto $Int(A)$ se representa de la siguiente manera:
Representación de todos los puntos interiores de $A.$
Definición. Conjunto abierto. Diremos que $A \subset X$ es un conjunto abierto en $(X,d)$ si $A=Int(A)$.
Nota que en la definición de punto interior, no hemos pedido, explícitamente, que el punto en cuestión pertenezca a $A,$ pero si pruebas que para todo $A \subset X$ se cumple que $Int(A) \subset A$ notarás que un conjunto $A$ es abierto cuando todos sus puntos son puntos interiores, es decir, cuando también $A \subset Int(A)$. El conjunto $A$ que estamos considerando en nuestros dibujos no es abierto, pues tiene puntos que no son puntos interiores.
Representación de un punto de $A$ que no tiene una bola abierta contenida en $A.$
Pero si tomamos un conjunto $A$ de la siguiente forma, sí coincide con su interior y por lo tanto, es abierto.
Representación de un conjunto $A$ donde todos sus puntos son puntos interiores de $A.$
Definición. Punto de contacto o punto de adherencia. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Se dice que $x$ es punto de contacto (o de adherencia) de $A$ en $(X,d)$ si para todo $\varepsilon >0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$.
Representación de un punto de contacto de $A.$Representación de un punto de contacto de $A.$
Incluso un punto que no esté en $A$ podría ser punto de contacto de $A$.
Representación de un punto de contacto de $A$ que no está en $A.$
Pero si existe una bola abierta con centro en $x$ que no interseca al conjunto $A,$ $x$ no será punto de contacto, incluso si sí tuviera alguna bola que sí interseca al conjunto $A.$
Representación de un punto de $X$ que no es punto de contacto de $A.$
Definición. Cerradura o adherencia de un conjunto. El conjunto formado por todos los puntos de contacto es denominado la cerradura de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:
$$ \overline {A} := \{x \in X| x \text{ es punto de contacto de A}\}$$
Representación de puntos de contacto del conjunto $A.$
Todos los puntos de contacto de $A$.
Representación de la cerradura de $A.$
Definición. Conjunto cerrado. Diremos que un conjunto $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si $A=\overline{A}$. Si pruebas que para todo $A \subset X$ se satisface que $A \subset \overline{A}$ notarás que un conjunto $A$ es cerrado cuando todos sus puntos de contacto están en $A$, es decir, cuando $\overline{A} \subset A$. En el ejemplo que estamos manejando, $A$ no es cerrado, pues tiene puntos de contacto que no están en $A$:
Representación de un punto de contacto de $A$ que no está en $A.$
Pero si $A$ fuera considerado inicialmente de esta forma, sí coincide con su cerradura y por tanto, es cerrado:
Representación de un conjunto que tiene como elementos a todos sus puntos de contacto.
Al final de esta sección se te propondrá como ejercicio demostrar que $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto en $(X,d)$.
Representación de un conjunto $A$ cerrado y su complemento abierto.
Definición. Bola cerrada. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Considera un punto $x \in X$ y $\varepsilon \in \mathbb {R}, \, \varepsilon>0$. La bola cerrada con centro en $x$ y radio $\varepsilon$ se define como el conjunto de puntos en $X$ tales que el valor de su distancia al punto $x$ es menor o igual que $\varepsilon$. Se denota como:
$$\overline{B}(x,\varepsilon) := \{y \in X | d(x,y) \leq \varepsilon \}$$
Nota: A diferencia de la bola abierta, la bola cerrada sí incluye a los puntos cuya distancia al centro es exactamente $\varepsilon$.
Antes de poner un círculo «cerrado» como representación de una bola cerrada, enunciemos la siguiente:
Proposición. La cerradura de una bola abierta $B(x,\varepsilon)$ (denotado como $\overline{B(x,\varepsilon)}$) no coincide, necesariamente con la bola cerrada $\overline{B}(x,\varepsilon)$. Veamos un contraejemplo con la métrica discreta en $\mathbb{R}^2$ y con $\varepsilon=1$.
Dado un punto $x$ en $\mathbb{R}^2$, según la definición, la bola cerrada de radio $1$ con centro en $x$ es el conjunto:
Pues la distancia entre dos puntos en la métrica discreta solo puede ser $0$ o $1$.
Representación de una bola cerrada de radio $1$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica discreta.
Pero si consideramos que para todos los puntos $y$ de $\mathbb{R}^2$ la bola abierta $B(y,1)= \{y\}$, (pues la distancia entre $y$ y el resto de los puntos en $\mathbb{R}^2$ no es menor que $1$), veremos que todos los puntos en $\mathbb{R}^2$ que son distintos de $x$ tienen una bola abierta que no interseca a $B(x,1)$, por lo tanto no hay ningún punto de $\mathbb{R}^2$ diferente de $x$ que esté en la cerradura de $B(x,1)= \{x\}$. En conclusión $\overline{B(x,1)}=\{x\}$.
Representación de la cerradura de una bola abierta de radio $1$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica discreta.
Proposición. En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,\varepsilon)} = \overline{B}(x,\varepsilon)$. La demostración se propone como ejercicio.
Definición. Punto de acumulación. Sea $A$ un subconjunto de un espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto de acumulación de $A$ en $(X,d)$ si para todo $ \varepsilon >0$ se cumple que $(B(x,\varepsilon) \setminus \{ x \}) \cap A \neq \emptyset$. Nota que a diferencia del punto de contacto, el punto de acumulación se descarta de la intersección entre las bolas abiertas y $A$.
Representación de bolas abiertas que intersecan al conjunto $A$ incluso quitando el centro.
¿Es un punto de contacto también un punto de acumulación en cualquier métrica?
Proposición. Toda bola abierta que tiene un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en $A.$
Demostración: Supón que $x \in X$ es un punto de acumulación de $A$ y que $x \in B(y,\varepsilon), y \in X, \varepsilon>0$.
Representación de un punto de acumulación $x$ como elemento de una bola abierta con centro en $y.$
Supón también que, contrario a lo que se quiere demostrar, esta bola abierta tiene una cantidad finita de puntos en $A$, digamos $\{x_1,x_2,…,x_n\}$ distintos de $x$.
Representación de la cantidad finita de puntos que suponemos pertenecen a la bola abierta con centro en $y.$
Considera $\varepsilon_{i}:=d(x,x_i), \, i=1,2,…,n \,$ la distancia entre cada uno de ellos a $x$. Sea $\varepsilon_0>0$ tal que $B(x,\varepsilon_0) \subset B(y,\varepsilon).$ Esta $\varepsilon_0$ existe porque $x$ es elemento de $B(y,\varepsilon) \, $ y toda bola abierta es un conjunto abierto en el espacio métrico (se dejará como ejercicio al final de esta sección). Sea $\varepsilon_{m}= min\{\varepsilon_{i}|i=0,…,n\}$. Entonces el conjunto $B(x,\varepsilon_{m})\setminus \{x\}$ deja fuera todos los puntos de $A$, pues para todo $ \, x_i, i=1,…,n$ pertenecientes a $A \cap B(y,\varepsilon), \varepsilon_{m} \leq d(x,x_i)$, por lo tanto existe una bola abierta que, al quitarle el punto $x$ no interseca a $A$.
Representación de una bola abierta con centro en $x$ que es punto de acumulación, pero al «quitar» $x$ no interseca al conjunto $A.$
Entonces $x$ no es un punto de acumulación de $A$, lo cual es una contradición a la hipótesis. Por lo tanto una bola abierta que tenga un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en $A$.
Nota: Se puede concluir también que un conjunto finito no tiene puntos de acumulación.
Definición. Punto frontera de un conjunto. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto frontera de $A$ en $(X,d)$ si para toda $\varepsilon > 0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$ y también $B(x,\varepsilon) \cap (X/A) \neq \emptyset$ .
Representación de bolas abiertas que tienen puntos tanto «dentro» como «fuera» del conjunto $A.$
Definición. Conjunto frontera de un conjunto. El conjunto formado por todos los puntos frontera es denominado la frontera de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:
$$\partial A := \{x \in X| x \text{ es punto frontera de A}\}$$
Representación de la frontera de $A.$
Proposición. Prueba que $\partial A := \overline{A} \setminus Int(A)$. La demostración se propone como ejercicio.
La Topología es un área de las Matemáticas que generaliza estos conceptos del espacio métrico. Estudia familias de subconjuntos de un conjunto $X$ donde los elementos, (que son subconjuntos de $X),$ se denominan abiertos en $X.$ Si esta familia $\tau \subset \mathcal{P}(X) \,$ de abiertos satisface que tiene al conjunto $X$ y al conjunto $\emptyset$ como elementos, que la unión arbitraria de abiertos es también un abierto y que la intersección de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto, decimos que $\tau$ es una topología, o un espacio topológico en $X.$ (Para saber más ver Antonyan, S., Curso de Topología. Facultad de Ciencias, UNAM). Para finalizar con esta sección, veamos por qué un espacio métrico es un espacio topológico:
Proposición. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Entonces cumple con los siguientes axiomas:
1. Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $(X,d)$.
2. Si $\{U_i\}:i \in \mathcal{I}$ es una colección de conjuntos abiertos de $X$ entonces la unión $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto.
3. Si $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos de $X$ entonces la intersección $U \cap V$ es un conjunto abierto en $X$.
Demostración: Para demostrar que $X$ es abierto, demostraremos que cada punto en $X$ es un punto interior de $X$. Sea $x \in X$ y $\varepsilon>0$, por definición $B(x,\varepsilon)= \{y \in X|d(x,y)<\varepsilon \} \subset X. \,$ Por lo tanto para todo $\, x\in X, \, x \in Int(X)$. Se concluye que $X$ es abierto. La propiedad para el conjunto $\emptyset$ se cumple por vacuidad.
Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en $X.$
Sea $x \in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i \,$ entonces $x \in U_{i_0}$ para algún $i_0 \in \mathcal{I}$. Como particularmente $U_{i_0}$ es un conjunto abierto, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que$ B(x,\varepsilon) \subset U_{i_0} \subset \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$. Por lo tanto para todo $ \, x\in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ se cumple que $x \in Int(\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i)$, en consecuencia $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto en $X$.
Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en la unión de abiertos.
Si $x \in U \cap V$ para $U,V$ abiertos en $X$, entonces $x \in U$ y $x \in V$ de modo que existen $\varepsilon_1 >0$ y $\varepsilon_2 >0$ tales que $B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Sea $\varepsilon= min \{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ entonces $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Así, $B(x,\varepsilon) \subset U \cap V$, probando así que para todo $\, x \in U \cap V, x \in Int(U \cap V)$. Por lo tanto $U \cap V$ es un conjunto abierto en $X.$
Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en la intersección de dos abiertos.
Más adelante…
Pondremos en práctica las nociones aquí aprendidas para analizar espacios métricos de funciones. Una vez conocido mejor ese espacio, continuaremos con la generalización de definiciones vistas en los cursos de cálculo y hablaremos de convergencia de sucesiones, límite y continuidad en espacios métricos.
Tarea moral
Sea $X$ un espacio métrico y $A \subset X$. Demuestra que se cumplen las siguientes afirmaciones:
Una bola abierta en $X$ es un conjunto abierto.
El conjunto $Int(A)$ es abierto.
Para todo $A \subset X$, $Int(A) \subset A$.
Una bola cerrada en $X$ es un conjunto cerrado.
El conjunto $\overline{A}$ es cerrado.
$A$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto.
La frontera de $A$ es un conjunto cerrado.
Si $A$ es finito, entonces es cerrado.
En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,r)} = \overline{B}(x,r)$.
¿Es siempre la frontera de una bola abierta $B(x,d)$ el mismo conjunto de puntos $y \in X$ donde se cumple la igualdad $d(x,y)=\varepsilon? \,$ Demuestra que en espacios normados sí ocurre.
Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. (2a ed.). Moscú: Editorial MIR, 1975. Págs: 60-62 y 64-66.
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw–Hill, 1953. Págs: 32-35.
