Introducción

En esta entrada nos dedicaremos a resolver desigualdades que involucran el valor absoluto. Para ello retomaremos la definición del valor absoluto de un número real y utilizaremos algunos resultados que probaremos a continuación.

Un par de resultados importantes

Lema: Para todo $a\in \mathbb{R}$. $a\le |a|$ y $-a\le |a|$.

Demostración: Procederemos a revisar los siguientes dos casos.
CASO 1: Si $a\ge 0$.
Por un lado tenemos por la definición de valor absoluto $|a|=a$.
$$\therefore |a|\ge a.$$
Y por otro que $a\ge 0\ge -a$, así por transitividad se concluye que:
$$|a|\ge -a.$$

CASO 2: Si $a\le 0$.
Así se sigue por definición que $|a|=-a$ entonces tenemos que $|a|\ge -a$.
Y análogamente al caso anterior: $-a\ge 0\ge a\Rightarrow |a|\ge a$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Teorema: Consideremos $a,x\in \mathbb{R}$ con $a\ge 0$.

1. $$\begin{array}{rl}|x|\le a& \iff -a\le x\text{y}x\le a\\ & \iff x\in [-a,a].\end{array}$$
2. $$\begin{array}{rl}|x|\ge a& \iff -a\ge x\text{o}x\ge a\\ & \iff x\in (-\mathrm{\infty },-a]\cup [a,\mathrm{\infty }).\end{array}$$

NOTA.- «$\iff$» se lee como «si y sólo si». Y recordemos que $\Rightarrow$ significa «entonces».
Demostración:
1. $\Rightarrow$: Por hipótesis tenemos que $|x|\le a$, aplicando el lema anterior:
$$x\le |x|\text{y}-x\le |x|$$
Por transitividad: $$x\le a\text{y}-x\le a$$
$$\therefore x\le a\text{y}x\le -a$$

Lo anterior nos indica lo siguiente: $x\in (-\mathrm{\infty },a]$ y $x\in [-a,\mathrm{\infty })$. Así al tomar la intersección de estos intervalos, obtenemos:
$$(-\mathrm{\infty },a]\cap [-a,\mathrm{\infty })=[-a,a]$$

$\Leftarrow$: Ahora consideremos $x\in [-a,a]$, así tenemos que:
$$x\in [-a,a]=(-\mathrm{\infty },a]\cap [-a,\mathrm{\infty })$$
Aplicando la respectiva definición de intervalo e intersección:
$$x\le a\text{y}x\le -a$$
Y por el lema:
$$x\le |x|\text{y}-x\le |x|$$

$$\therefore |x|\le a$$

2. El punto 2 se quedará de ejercicio para la Tarea moral.

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Ahora continuaremos con ejercicios de desigualdades, en ellos deberemos encontrar todos los valores que las satisfagan.

Ejercicio 1

$$|x-3|=8$$
Recordemos que debido a la definición de valor absoluto, siempre deberemos considerar casos.
Para resolver este ejercicio deberemos considerar los siguientes:
CASO 1: $x-3\ge 0$
Por lo que $|x-3|=x-3$ y sustituyendo tenemos:
$$\begin{array}{rl}x-3=8& \iff x=8+3\\ & \iff x=11.\end{array}$$
CASO 2: $x-3<0$
Así $|x-3|=-x+3$, por lo que se sigue:
$$\begin{array}{rl}-x+3=8& \iff -x=8-3\\ & \iff -x=5\\ & \iff x=-5.\end{array}$$

De los casos anteriores obtenemos que los valores de $x$ que satisfacen la igualdad son
$x=11$ o $x=-5$

Ejercicio 2

$$|3x-3|\le 2x+1$$
Para este ejercicio aplicando el teorema tendríamos:
$-2x-1\le 3x-3$ y $3x-3\le 2x+1$.
Comenzaremos desarrollando la primera desigualdad:
$$\begin{array}{rl}-2x-1\le 3x-3& \iff -2x-3x\le -3+1\\ & \iff -5x\le -2\\ & \iff 5x\ge 2\\ & \iff x\ge \frac{2}{5}.\end{array}$$
$$\therefore x\in [\frac{2}{5},\mathrm{\infty })$$
Y de la segunda obtenemos:
$$\begin{array}{rl}3x-3\le 2x+1& \iff 3x-2x\le 1+3\\ & \iff x\le 4.\end{array}$$
$$\therefore x\in (-\mathrm{\infty },4]$$

Por lo que al tomar la intersección de ambos intervalos nos queda que los valores que satisfacen la desigualdad son:
$$x\in (-\mathrm{\infty },4]\cap [\frac{2}{5},\mathrm{\infty })=[\frac{2}{5},4]$$

$$\therefore x\in [\frac{2}{5},4]$$

Ejercicio 3

$$|2x+1|-|3x+2|<1$$
Debido a que tenemos dos valores absolutos, para resolver este ejercicio necesitaremos considerar los siguientes casos:

1. $2x+1\ge 0$ y $3x+2\ge 0$
2. $2x+1\le 0$ y $3x+2\le 0$
3. $2x+1\ge 0$ y $3x+2\le 0$
4. $2x+1\le 0$ y $3x+2\ge 0$

Nuestra solución final será la unión de todas las soluciones obtenidas en los casos anteriores.

CASO 1: $2x+1\ge 0$ y $3x+2\ge 0$

Desarrollando las desigualdades:
$$\begin{array}{rl}2x+1\ge 0& \text{y}3x+2\ge 0\\ \iff 2x\ge -1& \text{y}3x\ge -2\\ \iff x\ge -\frac{1}{2}& \text{y}x\ge -\frac{2}{3}\end{array}$$

$$\iff x\ge -\frac{1}{2}$$

Aplicando el valor absoluto obtenemos:
$$\begin{array}{rl}|2x+1|-|3x+2|<1& \iff 2x+1-(3x+2)<1\\ & \iff 2x+1-3x-2-1<0\\ & \iff -x-2<0\\ & \iff x+2>0\\ & \iff x>-2\end{array}$$
Por lo que al tomar la siguiente intersección tenemos que la solución de este caso es:
$$[-\frac{1}{2},\mathrm{\infty })\cap (-2,\mathrm{\infty })=[-\frac{1}{2},\mathrm{\infty })$$

CASO 2: $2x+1\le 0$ y $3x+2\le 0$
Tendríamos que:
$$\begin{array}{rl}2x+1\le 0& \text{y}3x+2\le 0\\ \iff 2x\le -1& \text{y}3x\le -2\\ \iff x\le -\frac{1}{2}& \text{y}x\le -\frac{2}{3}\end{array}$$

$$\iff x\le -\frac{2}{3}$$
Al sustituir tenemos:
$$\begin{array}{rl}|2x+1|-|3x+2|<1& \Rightarrow -(2x+1)-(-(3x+2))<1\\ & \Rightarrow -2x-1+3x+2-1<0\\ & \Rightarrow x<0\end{array}$$

Así tenemos la solución:
$$(-\mathrm{\infty },0)\cap (-\mathrm{\infty },-\frac{2}{3}]=(-\mathrm{\infty },-\frac{2}{3}]$$

CASO 3: $2x+1\ge 0$ y $3x+2\le 0$
Ahora se sigue que:
$$\begin{array}{rl}2x+1\ge 0& y3x+2\le 0\\ \iff 2x\ge -1& y3x\le -2\\ \iff x\ge -\frac{1}{2}& yx\le -\frac{2}{3}\end{array}$$
Así observamos:
$$(-\mathrm{\infty },-\frac{2}{3}]\cap [-\frac{1}{2},\mathrm{\infty })=\mathrm{\varnothing }$$

CASO 4: $2x+1\le 0$ y $3x+2\ge 0$
Desarrollando:
$$\begin{array}{rl}2x+1\le 0& \text{y}3x+2\ge 0\\ \iff 2x\le -1& \text{y}3x\ge -2\\ \iff x\le -\frac{1}{2}& \text{y}x\ge -\frac{2}{3}\end{array}$$

$$\iff -\frac{2}{3}\le x\le -\frac{1}{2}$$
Aplicando la definición del valor absoluto:
$$\begin{array}{rl}|2x+1|-|3x+2|<1& \Rightarrow -(2x+1)–(3x+2)<1\\ & \iff -2x-1-3x-2-1<0\\ & \iff -5x-4<0\\ & \iff 5x+4>0\\ & \iff 5x>-4\\ & \iff x>-\frac{4}{5}\end{array}$$
Concluimos que la solución a este caso es:
$$[-\frac{2}{3},-\frac{1}{2}]\cap (-\frac{4}{5},\mathrm{\infty })=[-\frac{2}{3},-\frac{1}{2}]$$

Finalizamos considerando como solución total a la unión de los intervalos obtenidos en los cuatro casos:
$$(-\mathrm{\infty },-\frac{2}{3}]\cup [-\frac{2}{3},-\frac{1}{2}]\cup [-\frac{1}{2},\mathrm{\infty })=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$$

Observemos que para la resolución de este tipo de desigualdades, siempre deberemos considerar los casos correspondientes a los signos del argumento de la función valor absoluto, es decir, cuando el argumento es positivo y cuando es negativo. En la sección de Tarea moral encontrarás ejercicios que te ayudarán a reforzar lo visto en esta entrada.

Más adelante

Ahora que ya hemos visto el procedimiento para encontrar los valores que satisfacen una desigualdad con valor absoluto, en la siguiente entrada lo utilizaremos para continuar resolviendo ejercicios que lo involucren adicionando el concepto de raíz cuadrada de un número real. Veremos que el valor absoluto está relacionado con la definición formal de raíz cuadrada y algunos resultados útiles.

Tarea moral

Demuestra el punto 2 del teorema, recordemos que $a\ge 0$:
$$\begin{array}{rl}|x|\ge a& \iff -a\ge xox\ge a\\ & \iff x\in (-\mathrm{\infty },-a]\cup [a,\mathrm{\infty })\end{array}$$

Encuentra los valores que satisfacen las siguientes desigualdades:

• $|x-3|<8$
• $|3x-3|>2x+1$
• $|x-1||x+2|=3$
• $|x-1|+|x-2|>1$

Entradas relacionadas

• Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
• Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Valor absoluto. Desigualdad del triángulo.
• Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Raíz cuadrada y desigualdades.
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»