Introducción

Ahora veremos el concepto de raíz cuadrada, su definición formal, resultados útiles y ejercicios de desigualdades donde se vea involucrada.

Definición de raíz cuadrada de un número real

Definición (Raíz cuadrada): Sea $x,y\in \mathbb{R}$ tal que $x,y\ge 0$. Definiremos a la raíz cuadrada de $x$ como sigue:
$$\sqrt{x}=y\iff x=y^2.$$

Para dejar más clara la definición observemos el siguientes ejemplo:

• Si $x=9$ tenemos que para $\sqrt{9}$:
  $\sqrt{(3{)}^2}=3$

Observaciones

1. Para toda $x\in \mathbb{R}$ con $x>0$. Observamos que la raíz cuadra de $x$ cumple con las siguientes desigualdades, es decir, $$-\sqrt{x}\le 0,\sqrt{x}\ge 0.$$
2. Para $y\in \mathbb{R}$ tenemos que $\sqrt{y^2}=|y|.$
3. $|y^2|=y^2;$
   $|y^2|=|y{|}^2.$

Demostración de 1: Consideramos $x=y^2$ donde $y^2\ge 0$. Así al sustituir y aplicar la raíz cuadrada se sigue que:
$$\sqrt{y^2}=\{\begin{array}{ll}y& \text{si }y\ge 0\\ -y& \text{si }y<0.\end{array}$$

Demostración de 2: Vemos que esto se sigue de la observación anterior ya que
$$|y|=\{\begin{array}{ll}y& \text{si }y\ge 0\\ -y& \text{si }y<0.\end{array}$$
$$\therefore \sqrt{y^2}=|y|.$$

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Algunos resultados importantes

Teorema: Para $x,y\in \mathbb{R}$ donde $x\ge 0$ y $y\ge 0$.
$$x\le y\iff x^2\le y^2$$

Demostración:
$\Rightarrow$): Como tenemos por hipótesis $x\le y$ vemos que al multiplicar por $x$ obtendríamos
$$x\le y\Rightarrow x^2\le xy$$
Y si multiplicamos por $y$:
$$x\le y\Rightarrow xy\le y^2$$
Así por transitividad:
$$\Rightarrow x^2\le y^2$$
$\Leftarrow$): Ahora tenemos como hipótesis que $x^2\le y^2$. Y esto es equivalente a decir
$$0\le y^2-x^2\iff (y+x)(y-x)\ge 0$$

Por lo que debemos considerar los casos en que:
a) $y+x\ge 0$ y $y-x\ge 0$
De la segunda desigualdad concluimos $y\ge x$.

O el caso b) $y+x\le 0$ y $y-x\le 0$
Vemos que este caso no tiene sentido.
$$\therefore y\ge x$$

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Corolario: Para $x\ge 0$, $y\ge 0$.
$$x\le y\iff \sqrt{x}\le \sqrt{y}$$
Demostración:
Tomemos $a=\sqrt{x}$ y $b=\sqrt{y}$.
$\Rightarrow$):
Entonces $a^2=(\sqrt{x}{)}^2$ y $b^2=(\sqrt{y}{)}^2\Rightarrow a^2=x$ y $b^2=y$
Y como por hipótesis $x\le y$
$$\begin{array}{rl}& \Rightarrow a^2\le b^2\\ & \Rightarrow a\le b\\ & \Rightarrow \sqrt{x}\le \sqrt{y}\end{array}$$
$\Leftarrow$):
Ahora como por hipótesis $\sqrt{x}\le \sqrt{y}$
$$\begin{array}{rl}& \Rightarrow a\le b\\ & \Rightarrow a^2\le b^2\\ & \Rightarrow x\le y\end{array}$$

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Corolario: Para cualesquiera $x,y\in \mathbb{R}$ donde $y\ge 0$.
$$|x{|}^2\le y\iff |x|\le \sqrt{y}$$
Demostración:
Aplicando el corolario anterior tenemos las siguientes equivalencias
$$\begin{array}{rl}|x{|}^2\le y& \iff \sqrt{|x{|}^2}\le \sqrt{y}\\ & \iff \sqrt{x^2}\le \sqrt{y}\\ & \iff |x|\le \sqrt{y}\end{array}$$

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A continuación resolveremos ejercicios de desigualdades donde se encontraran involucrados la raíz cuadrada y el valor absoluto.

Ejercicio 1

Encuentra los valores $x$ que cumplan la desigualdad:

$$2x^2<|x-1|$$

Por el valor absoluto presente sabemos que debemos tomar casos, por lo que tenemos:

CASO 1: $x-1\ge 0\iff x\ge 1$

Sustituyendo nos queda:
$$\begin{array}{rl}2x^2<|x-1|& \iff 2x^2<x-1\\ & \iff 2x^2-x+1<0\end{array}$$
Aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:
$$\begin{array}{rl}x& =\frac{1\pm \sqrt{(-1{)}^2-4(2)(1)}}{2(2)}\\ & =\frac{1\pm \sqrt{1-8}}{4}\\ & =\frac{1\pm \sqrt{-7}}{4}.\end{array}$$
Pero como $\sqrt{-7}$ no tiene solución en $\mathbb{R}$, tenemos que la solución de este caso es:
$$[1,\mathrm{\infty })\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }.$$

CASO 2: $x-1\le 0\iff x\le 1$
Por lo que tendríamos:
$$\begin{array}{rl}2x^2<|x-1|& \iff 2x^2<-(x-1)\\ & \iff 2x^2+x-1<0\end{array}$$

Y por la fórmula general se sigue:
$$\begin{array}{rl}x& =\frac{-1\pm \sqrt{(1{)}^2-4(2)(-1)}}{2(2)}\\ & =\frac{-1\pm \sqrt{9}}{4}\\ & =\frac{-1\pm 3}{4}.\end{array}$$
$$\therefore x_1=\frac{1}{2},x_2=-1$$
Sustituyendo lo anterior tenemos que:
$$2x^2+x-1<0\Rightarrow (x-\frac{1}{2})(x+1)<0$$

Dado lo anterior notamos que para que el producto satisfaga la desigualdad hay que considerar el siguiente par de casos:
CASO 2.1: $x-\frac{1}{2}>0$ y $x+1<0$
De donde $x>\frac{1}{2}$ y $x<-1$. Al considerar la intersección vemos que ocurre:
$$(\frac{1}{2},\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },-1)=\mathrm{\varnothing }$$

CASO 2.2: $x-\frac{1}{2}<0$ y $x+1>0$
Ahora tendríamos que $x<\frac{1}{2}$ y $x>-1$. Y la solución sería:
$$(-1,\frac{1}{2})$$

Concluimos así que la solución del CASO 2 esta dada por:
$$[\mathrm{\varnothing }\cup (-1,\frac{1}{2})]\cap (-\mathrm{\infty },1)=(-1,\frac{1}{2})$$

Finalmente la solución total es:
$$(-1,\frac{1}{2})\cup \mathrm{\varnothing }=(-1,\frac{1}{2})$$

Ejercicio 2

$$x^2-4x-1>0$$

Buscando la solución de la ecuación $x^2-4x-1=0$:
$$\begin{array}{rl}x& =\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4(1)(-1)}}{2(1)}\\ & =\frac{4\pm \sqrt{16+4}}{2}\\ & =\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}\\ & =\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\\ & =2\pm 2\sqrt{5}\end{array}$$
$$\therefore x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$$

Entonces la desigualdad que queremos resolver sería:
$$(x–(2+\sqrt{5}))(x-(2-\sqrt{5}))>0$$

Para que el producto cumpla con la condición de ser mayor que cero debemos considerar los casos:
CASO 1: $x-2-\sqrt{5}>0$ y $x-2+\sqrt{5}>0$
$\Rightarrow x>2+\sqrt{5}$ y $x>2-\sqrt{5}$
$\Rightarrow x>2+\sqrt{5}$

CASO 2: $x-2-\sqrt{5}<0$ y $x-2+\sqrt{5}<0$
$\Rightarrow x<2+\sqrt{5}$ y $x<2-\sqrt{5}$
$\Rightarrow x<2-\sqrt{5}$

De los casos anteriores obtenemos que nuestro conjunto solución es:
$$(-\mathrm{\infty },2-\sqrt{5})\cup (2+\sqrt{5},\mathrm{\infty })$$

Ahora que ya hemos revisado estos ejercicios, te invitamos a poner en práctica los procedimientos vistos con los siguientes ejercicios.

Más adelante

En la siguiente entrada veremos las cotas de un conjunto en $\mathbb{R}$. Definiremos formalmente los conceptos de cota superior e inferior y veremos algunos ejemplos donde los aplicaremos. Estos serán de suma importancia para comenzar a hablar de ínfimos y supremos posteriormente.

Tarea moral

Prueba que:

• $|y^2|=y^2$
• $|y^2|=|y{|}^2$

Obtén todos los valores de $x$ que satisfagan las siguientes desigualdades:

• $-5x^2+2x+|x|-1\le 3$
• $x^2-4x-1<0$
• $-7x^2+2x+|x|<-4$

Entradas relacionadas

• Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
• Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Valor absoluto y desigualdades.
• Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Cota superior e inferior de un conjunto.
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»