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Variable Compleja I: Consecuencias del teorema integral de Cauchy

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En la entrada anterior establecimos una versión local, para discos, del teorema integral de Cauchy y vimos que una primera consecuencia de este resultado es la fórmula integral de Cauchy, la cual nos permitió establecer la existencia de las derivadas de todos los órdenes de una función analítica en un dominio.

En esta entrada probaremos algunas otras consecuencias de este teorema tan importante en el Análisis Complejo, como el teorema de Liouville, el teorema Fundamental del Álgebra, el teorema de Morera, entre otros.

Proposición 37.1. (Desigualdad de Cauchy.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función analítica en $D$ , $z_{0} \in D$ y $r > 0$ tal que $C (z_{0}, r) \subset D$ . Entonces:
$| f^{(n)} (z_{0}) | \leq \frac{n! M_{r}}{r^{n}}, \forall n \in N,$ donde $M_{r} := max_{z \in C (z_{0}, r)} | f (z) |$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $M_{r} := max_{z \in C (z_{0}, r)} | f (z) |$ .

Como $f$ es analítica en $D$ , en particular lo es en $z_{0}$ , por lo que de la proposición 36.5 tenemos que las derivadas de todos los ordenes de $f$ en $z_{0}$ existen en el interior de la circunferencia $C (z_{0}, r) \subset D$ y están dadas por:
$f^{(n)} (z_{0}) = \frac{n!}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{n + 1}} d z,$ por lo que, de la proposición 34.3(5) se sigue que:
$\begin{aligned} | f^{(n)} (z_{0}) | & = | \frac{n!}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{n + 1}} d z | \\ = \frac{n!}{2 π} | \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{n + 1}} d z | \\ \leq \frac{n!}{2 π} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{| f (z) |}{{| z - z_{0} |}^{n + 1}} | d z | \\ \leq \frac{n!}{2 π} \frac{M_{r}}{r^{n + 1}} \int_{C (z_{0}, r)} | d z | \\ = \frac{n!}{2 π} \frac{2 π r M_{r}}{r^{n + 1}} \\ = \frac{n! M_{r}}{r^{n}} . \end{aligned}$

Teorema 37.1. (Teorema de Liouville.)
Sea $f : C \to C$ una función entera y acotada. Entonces $f$ es constante.
\begin{proof}
Dadas las hipótesis, tenemos que $f$ es analítica en todo punto del plano complejo. Sea $ζ \in C$ un punto arbitrario. De acuerdo con la desigualdad de Cauchy, para todo $n \in N$ se cumple que:
$| f^{(n)} (ζ) | \leq \frac{n! M_{r}}{r^{n}},$ donde $M_{r} = max_{z \in C (ζ, r)} | f (z) |$ .

Como $f$ es acotada, entonces existe una constante $M$ tal que $M_{r} \leq M$ para todo $z \in C$ . Entonces para $n = 1$ se tiene que:
$| f^{'} (ζ) | \leq \frac{M}{r} .$

Lo anterior se cumple para todo $r > 0$ , por lo que tomando el límite cuando $r \to \infty$ se sigue que:
$| f^{'} (ζ) | = 0 ⟹ f^{'} (ζ) = 0.$

Dado que $ζ \in C$ es arbitrario, para todo $z \in C$ se cumple que $f^{'} (z) = 0$ y como $f$ es entera, entonces, de la proposición 19.2 se sigue que $f$ es constante.

Corolario 37.1.
Toda función no constante y entera no es acotada.

Demostración. Es inmediato del teorema de Liouville.

Ejemplo 37.1.
La función $sen (z)$ es entera y no es constante, por lo que no es acotada.

Corolario 37.2.
Sea $f : C \to C$ una función entera tal que $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ . Si $u (x, y)$ es acotada para todo $z = x + i y \in C$ , entonces $u (x, y)$ y $v (x, y)$ son funciones constantes.

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $| u (x, y) | \leq M$ para todo $z = x + i y \in C$ . Definimos a la función:
$g (z) = e^{f (z)} .$

Claramente $g$ es una función entera tal que $g (z) \neq 0$ para todo $z \in C$ . Por la proposición 20.2(4) tenemos que:
$| g (z) | = | e^{f (z)} | = e^{u (x, y)} \leq e^{M}, \forall z \in C,$ es decir $g$ es una función acotada y entera, por lo que del teorema de Liouville se sigue que $g$ es una función constante y por tanto $f$ es función constante, por lo que $u (x, y)$ y $v (x, y)$ son constantes.

Ejemplo 37.2.
Sean $f, g : C \to C$ dos funciones enteras, tales que $g (z) \neq 0$ y $| f (z) | \leq | g (z) |$ para todo $z \in C$ . Veamos que existe una constante $c \in C$ tal que $f (z) = c g (z)$ .

Solución. Definimos a la función:
$h (z) := \frac{f (z)}{g (z)},$ como $g (z) \neq 0$ para todo $z \in C$ , entonces $h$ está bien definida en $C$ y es una función entera por ser el cociente de dos funciones enteras. Por hipótesis tenemos que:
$| h (z) | = | \frac{f (z)}{g (z)} | = \frac{| f (z) |}{| g (z) |} \leq 1, \forall z \in C,$ es decir, $h$ es una función acotada y entera, por lo que del teorema de Liouville se sigue que $h (z) = c$ , para algún $c \in C$ , entonces $f (z) = c g (z)$ .

Teorema 37.2. (Teorema Fundamental del Álgebra.)
Todo polinomio complejo $p (z)$ de grado mayor o igual a $1$ , tiene al menos una raíz en $C$ , es decir, existe $z_{0} \in C$ tal que $p (z_{0}) = 0$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, procedemos por contradicción. Supongamos que:
$p (z) = c_{0} + c_{1} z + \dots + c_{n - 1} z^{n - 1} + c_{n} z^{n} \neq 0,$ para todo $z \in C$ . Como $p$ es de grado $n \geq 1$ , entonces $c_{n} \neq 0$ y $| c_{n} | > 0$ .

Consideremos a la función $f (z) = 1 / p (z)$ , la cual está bien definida y es una función entera. Por la desigualdad del triángulo tenemos que:
$\begin{aligned} | f (z) | & = | \frac{1}{p (z)} | \\ = \frac{1}{| z |^{n}} \frac{1}{| \frac{c_{0}}{z^{n}} + \frac{c_{1}}{z^{n - 1}} + \dots + \frac{c_{n - 2}}{z^{2}} + \frac{c_{n - 1}}{z} + c_{n} |} \\ \leq \frac{1}{| z |^{n}} \frac{1}{| \frac{c_{0}}{z^{n}} | + | \frac{c_{1}}{z^{n - 1}} | + \dots + | \frac{c_{n - 2}}{z^{2}} | + | \frac{c_{n - 1}}{z} | + | c_{n} |} . \end{aligned}$

Notemos que:
$| \frac{c_{k}}{z^{n - k}} | = \frac{| c_{k} |}{| z^{n - k} |} = \frac{| c_{k} |}{| z |^{n - k}} .$

Por lo que, si $n > k$ , entonces:
$lim_{| z | \to \infty} | \frac{c_{k}}{z^{n - k}} | = lim_{| z | \to \infty} \frac{| c_{k} |}{| z |^{n - k}} = 0,$ de donde:
$lim_{| z | \to \infty} (| \frac{c_{0}}{z^{n}} | + | \frac{c_{1}}{z^{n - 1}} | + \dots + | \frac{c_{n - 2}}{z^{2}} | + | \frac{c_{n - 1}}{z} | + | c_{n} |) = | c_{n} | > 0,$ es decir:
$lim_{| z | \to \infty} | f (z) | = 0,$ entonces, para $ε = 1$ existe $R \in R$ tal que:
$R \leq | z | ⟹ | f (z) | \leq 1.$

Por otra parte, dado que el disco cerrado $\overset{―}{B (0, R)}$ es un conjunto compacto y la función real:
$| f (z) | = \sqrt{u^{2} (x, y) + v^{2} (x, y)},$ es una función continua de las variables $x$ e $y$ , entonces, proposición 10.9, $| f (\overset{―}{B (0, R)}) |$ es un conjunto compacto, es decir, cerrado y acotado, por lo que existe $K > 0$ tal que:
$| f (z) | \leq K, \forall z \in \overset{―}{B (0, R)} .$

Considerando lo anterior, sea $M := max {K, 1}$ , entonces para todo $z \in C$ se cumple que $| f (z) | \leq M$ , es decir, $f$ es una función acotada, por lo que del teorema de Liouville se sigue que $f$ debe ser constante, entonces $p$ es constante, lo cual es una contradicción, por lo que existe $z_{0} \in C$ tal que $p (z_{0}) = 0$ .

Corolario 37.3.
Un polinomio complejo $p (z) = c_{0} + c_{1} z + \dots + c_{n - 1} z^{n - 1} + c_{n} z^{n}$ , de grado $n \geq 1$ , tiene una factorización:
$p (z) = c (z - z_{1}) (z - z_{2}) \dots (z - z_{n}),$ donde $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ son las raíces de $p$ y $c \in C$ es una constante.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Observación 37.1
Debe ser claro que raíces $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ del polinomio $p$ en el resultado anterior no necesariamente son distintas. En general, los factores de $p$ en el corolario 37.3 pueden agruparse en la forma:
$p (z) = c (z - z_{1})^{n_{1}} (z - z_{2})^{n_{2}} \dots (z - z_{k})^{n_{k}},$ donde $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{k}$ son raíces de $p$ distintas, $c \in C$ es una constante y $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ son números naturales que indican, respectivamente, la multiplicidad de cada raíz de $p$ .

Ejemplo 37.3.
El polinomio $p (z) = i z (z - 1)^{2} (z + i)^{5}$ tiene a $z_{1} = 0$ como una raíz simple, mientras que $z_{2} = 1$ es una raíz doble o de multiplicidad $2$ y $z_{3} = - i$ es una raíz de multiplicidad $5$ .

Teorema 37.3. (Teorema de Morera.)
Sean $D \subset C$ una región y $f : D \to C$ una función continua en $D$ tal que:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ para todo contorno cerrado en $D$ . Entonces $f$ es analítica en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que para todo contorno cerrado $γ$ en $D$ se cumple que:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ por lo que, proposición 35.2, existe una primitiva de $f$ en $D$ , es decir, existe $F : D \to C$ analítica tal que $F^{'} (z) = f (z)$ para todo $z \in D$ . Por el corolario 36.3, tenemos que $F \in C^{\infty} (D)$ , en particular, $F^{(2)} (z)$ existe y también es analítica en $D$ , pero $F^{(2)} (z) = f^{'} (z)$ para todo $z \in D$ . Por lo tanto, $f$ es analítica en $D$ .

Corolario 37.4. (Teorema de Morera generalizado.)
Sean $D \subset C$ una dominio y $f : D \to C$ una función continua en $D$ y analítica en $D ∖ {z_{0}}$ , para algún $z_{0} \in D$ . Entonces $f$ es analítica en $D$ .

Demostración. Se sigue del teorema integral de Cacuhy generalizado (para discos), teorema 36.4 y del teorema de Morera, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Observación 37.2.
La fórmula integral de Cauchy nos dice cómo el valor $f (z_{0})$ es representado por alguna integral de contorno. En particular, si elegimos al contorno de integración $γ$ como una circunferencia con centro en $z_{0}$ , entonces podemos ver que el valor de $f (z_{0})$ es un tipo de promedio de los valores de $f (z)$ en los puntos $z$ que están sobre dicha circunferencia.

Proposición 37.5. (Teorema del valor medio de Gauss.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función analítica, $z_{0} \in D$ fijo y $r > 0$ tal que $C (z_{0}, r) \subset D$ , entonces:
$\begin{matrix} (37.1) & f (z_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z_{0} + e^{i t}) d t . \end{matrix}$

Demostración. Dadas las hipótesis, parametrizamos a $C (z_{0}, r)$ como $γ : [0, 2 π]$ , dada por $γ (t) = z_{0} + r e^{i t}$ . Por la fórmula integral de Cauchy tenemos que:
$\begin{aligned} f (z_{0}) & = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{f (z_{0} + e^{i t})}{z_{0} + r e i t - z_{0}} i r e^{i t} d t \\ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z_{0} + r e^{i t}) d t . \end{aligned}$

Definición 37.1. (Propiedad del valor medio.)
Sean $D \subset C$ un dominio y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Se dice que $f$ tiene la {\bf propiedad del valor medio} si para todo $z_{0} \in D$ y $r > 0$ tal que $\overset{―}{B} (z_{0}, r) \subset D$ se cumple que:
$f (z_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z_{0} + e^{i t}) d t .$

Corolario 37.5.
Si $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es una función analítica en un dominio $D \subset C$ , entonces las partes real e imaginaria de $f$ , es decir, las funciones reales $u (x, y)$ y $v (x, y)$ tienen la propiedad del valor medio en $D$ , es decir:
$u (z_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} u (z_{0} + e^{i t}) d t,$
$v (z_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} v (z_{0} + e^{i t}) d t .$

Demostración. Es inmediata de la proposición 37.5 al tomar la parte real e imaginaria en ambos lados de la igualdad (37.1).

Lema 37.1.
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado y $g : [a, b] \to R$ una función continua en $[a, b]$ tal que $g (x) \geq 0$ para todo $x \in [a, b]$ . Si:
$\int_{a}^{b} g (t) d t = 0,$ entonces $g (x) = 0$ para todo $x \in [a, b]$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, definimos a la función:
$φ (x) = \int_{a}^{x} g (t) d t, \forall x \in [a, b] .$

Por el teorema Fundamental del Cálculo es claro que $φ$ es una función diferenciable con derivada:
$φ^{'} (x) = g (x), \forall x \in [a, b] .$

Más aún, de las propiedades de la integral real se cumple que:
$0 \leq φ (x) = \int_{a}^{x} g (t) d t \leq \int_{a}^{b} g (t) d t = 0,$ por lo que $φ (x) = 0$ y $φ^{'} (x) = 0$ para todo $x \in [a, b]$ , entonces $g (x) = 0$ para todo $x \in [a, b]$ .

Teorema 37.4. (Principio del módulo máximo.)
Sean $D \subset C$ un dominio y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Si existe un punto $z_{0} \in D$ tal que $| f (z) | \leq | f (z_{0}) |$ para todo $z \in D$ , es decir, el módulo $| f (z) |$ alcanza su máximo en $z_{0}$ , entonces $f$ es una función constante en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, de acuerdo con la proposición 19.3, basta probar que $| f (z) |$ es constante en $D$ . Consideremos a la función $g : D \to R$ dada por $g (z) = | f (z) |$ . Procedemos a probar que $g$ es constante en $D$ .

Notemos que, como $D$ es un dominio, en particular es abierto, por lo que para cada $z \in D$ existe un disco abierto $B (z, ρ) \subset D$ . Si $0 < r < ρ$ , entonces $\overset{―}{B} (z_{0}, r) \subset B (z_{0}, ρ) \subset D$ . Por lo que, de la proposición 37.5 se cumple que:
$f (z) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z + r e^{i t}) d t,$ de donde:
$\begin{aligned} g (z) & = | f (z) | \\ = | \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (z + r e^{i t}) d t | \\ \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} | f (z + r e^{i t}) | d t \\ (37.2) & = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (z + r e^{i t}) d t, \end{aligned}$ para cualquier $0 < r < ρ$ .

Sea $M = g (z_{0}) = | f (z_{0}) | \geq 0$ y definimos a los conjuntos:
$U := {z \in D : g (z) = M}, V := {z \in D : g (z) < M} .$

Entonces $D = U \cup V$ y $U \cap V = \emptyset$ . Veamos que $V = \emptyset$ . Para ello probemos que $U$ y $V$ son ambos abiertos y utilicemos el hecho de que $D$ es conexo.

Sea $z \in U$ y $ρ > 0$ tal que se cumple (37.2) para $0 < r < ρ$ . Notemos que para $r$ fijo en este intervalo, como $z \in U$ y $g (z) \leq M$ para todo en $z \in D$ , entonces se cumple que:
$M = g (z) \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (z + r e^{i t}) d t \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} M d t = M .$

Por lo que:
$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (z + r e^{i t}) d t = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} M d t,$ es decir:
$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} [M - g (z + r e^{i t})] d t = 0.$

Dado que $h (t) = M - g (z + r e^{i t}) \geq 0$ para todo $t \in [0, 2 π]$ y $g$ es una función continua, entonces por el lema 37.1 concluimos que:
$M = g (z + r e^{i t}),$ para todo $t \in [0, 2 π]$ , por lo que $z + r e^{i t} \in U$ . Es decir, la circunferencia con centro en $z$ y radio $r$ está contenida en $U$ . Como esto se cumple para todo $r \in (0, ρ)$ , concluimos que el disco abierto $B (z, ρ)$ está contendio en $U$ . Dado que $z$ es un punto arbitrario de $U$ , entonces $U$ es un conjunto abierto.

Ahora supongamos que $z \in V$ , entonces $g (z) < M$ . Puesto que $g$ es una función continua en $D$ , en particular lo es en $z$ , por lo que para $ε = M - g (z) > 0$ existe $r > 0$ tal que si $ζ \in B (z, r)$ , entonces $| g (z) - g (ζ) | < ε$ . De donde:
$g (ζ) - g (z) = | g (ζ) | - | g (z) | \leq | g (z) - g (ζ) | < ε,$ por lo que:
$\begin{aligned} g (ζ) & = g (ζ) - g (z) + g (z) \\ < ε + g (z) \\ = M - g (z) + g (z) \\ = M, \end{aligned}$ para cada $ζ \in B (z, r)$ . Por lo que $B (z, r) \subset V$ y como $z$ era arbitrario, entonces $V$ también es abierto.

Notemos que $U \neq \emptyset$ , ya que por definición al menos el punto $z_{0} \in D$ es un punto de $U$ . Por lo tanto, dado que $D$ es conexo, se sigue que $V = \emptyset$ , entonces $g (z) = M$ para todo $z \in D$ , es decir la función $| f (z) |$ es constante en $D$ , por lo que el resultado se sigue de la proposición 19.3.

Observación 37.3.
Se puede probar el principio del módulo máximo para funciones complejas continuas que satisfacen la propiedad del valor medio. Esta es una clase más general de funciones e incluye a las funciones analíticas. Se puede consultar una prueba de este hecho en Complex variables theory and applications, de H.S. Kasana.

Reformulando el teorema 37.4, podemos decir que el módulo de una función compleja, que es analítica y no constante en un dominio $D$ , no alcanza su valor máximo en $D$ . El principio del módulo máximo tiene numerosas formulaciones, las siguientes son ejemplos de ellas.

Observación 37.2.
Si $D \subset C$ es un dominio, denotamos a la frontera de $D$ como $\partial D$ , entonces $\overset{―}{D} = D \cup \partial D$ es un dominio cerrado y acotado en $C$ .

Corolario 37.6.
Sea $D \subset C$ un dominio acotado en el plano complejo y $f : \overset{―}{D} \to C$ una función continua en $\overset{―}{D}$ , que es analítica en $D$ . Entonces $| f (z) |$ alcanza su valor máximo en algún punto de la frontera de $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, como $\overset{―}{D}$ es cerrado y acotado, entonces es un conjunto compacto, proposición 10.7, y como la función $| f |$ es continua, entonces, proposición 10.10, alcanza su máximo en algún punto de $\overset{―}{D}$ . Si $| f |$ alcanza su máximo en algún punto de $\partial D = \overset{―}{D} ∖ D$ , entonces no hay nada que probar.

Supongamos que $| f |$ alcanza su máximo en algún punto de $D$ , entonces, por el principio del módulo máximo, tenemos que $f$ es una función constante en $D$ , por lo que, por la continuidad de $f$ , se sigue que $f$ es constante en $\overset{―}{D}$ . En tal caso, $| f |$ alcanza su valor máximo, el cual es único, en cada punto de $\partial D$ .

Ejemplo 37.4.
Sea $R \subset C$ el dominio rectangular:
${z = x + i y \in C : 0 \leq x \leq π, 0 \leq y \leq 1},$ y sea $f (z) = sen (z)$ . Determinemos el valor máximo de $| f |$ en $R$ .

Solución. Sabemos que $f$ es una función entera, por lo que en particular es analítica en $int R$ y continua en $R$ , entonces por el principio del módulo máximo sabemos que $| f |$ alcanza su máximo en $\partial R$ .

Por la observación 22.5, para $z = x + i y \in C$ tenemos que:
$| f (z) | = | sen (z) | = \sqrt{{sen}^{2} (x) + {senh}^{2} (y)} .$

Como $z = x + i y \in \partial R$ , figura 137, entonces $sen (x)$ alcanza su máximo en $π / 2 \in [0, π]$ , mientras que $senh (y)$ alcanza su máximo en $1 \in [0, 1]$ , entonces el valor máximo de $| f |$ en el dominio $R$ se alcanza en $z = π / 2 + i$ .

Figura 137: Dominio rectangular $R \subset C$ del ejemplo 37.4.

Teorema 37.5. (Principio del módulo mínimo.)
Sean $D \subset C$ un dominio y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ tal que $f (z) \neq 0$ para todo $z \in D$ . Si existe un punto $z_{0} \in D$ tal que $| f (z_{0}) | \leq | f (z) |$ para todo $z \in D$ , es decir, el módulo $| f (z) |$ alcanza su mínimo en $z_{0}$ , entonces $f$ es una función constante en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, como $f (z) \neq 0$ para todo $z \in D$ , definimos a la función:
$g (z) = \frac{1}{f (z)},$ la cual es analítica en $D$ . Como $| f |$ alcanza su mínimo en $z_{0} \in D$ , entonces $| g |$ alcanza su máximo en $z_{0}$ , por lo que, del principio del módulo máximo se sigue que $g$ es una función constante en $D$ y por tanto lo es $f$ .

Corolario 37.7.
Sea $D \subset C$ un dominio acotado en el plano complejo y $f : \overset{―}{D} \to C$ una función continua en $\overset{―}{D}$ , analítica en $D$ y que cumple que $f (z) \neq 0$ para todo $z \in D$ . Entonces $| f (z) |$ alcanza su valor mínimo en algún punto de la frontera de $D$ .
Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Ejemplo 37.4.
Sea $f (z) = z^{2} + 2$ . Determinemos el valor mínmo de $| f |$ en el disco cerrado $\overset{―}{B} (0, 1)$ .

Solución. Sabemos quue $f$ es una función entera, por lo que en particular es continua en $\overset{―}{B} (0, 1)$ y analítica en $B (0, 1)$ . Notemos que $f (z) = 0$ para $z = \pm \sqrt{2} i$ , los cuales son puntos fuera de $\overset{―}{B} (0, 1)$ , por lo que del principio del módulo mínimo $| f |$ alcanza su valor mínimo en $\partial \overset{―}{B} (0, 1)$ .

Sea $z \in \partial \overset{―}{B} (0, 1)$ . Si escribimos a $z$ en su forma polar, entonces:
$z = e^{i θ}, θ \in [0, 2 π] .$

Considerando la proposición 20.2 tenemos que:
$\begin{aligned} | f (z) | & = | z^{2} + 2 | \\ = | \cos (2 θ) + 2 + i sen (2 θ) | \\ = \sqrt{{(\cos (2 θ) + 2)}^{2} + {sen}^{2} (2 θ)} \\ = \sqrt{4 \cos (2 θ) + 5} . \end{aligned}$

Determinamos los puntos críticos de $| f |$ :
$\frac{d | f (z) |}{d θ} = - \frac{8 sen (2 θ)}{2 \sqrt{4 \cos (2 θ) + 5}} = 0,$ de donde $θ = 0, π / 2, π, 3 π / 2$ son los puntos críticos de $| f |$ . Entonces, en $θ = π / 2$ y $θ = 3 π / 2$ la función $| f (z) |$ alcanza el valor mínimo $1$ , en el disco cerrado $\overset{―}{B} (0, 1)$ .

Cerraremos esta entrada con un resultado que es una aplicación del principio del módulo máximo. Aunque este resultado no es no de lo más básicos en la teoría de la Variable Compleja, nos permite ver el tipo de restricciones que la analiticidad de una función compleja impone.

Teorema 37.6. (Lema de Schwarz.)
Sea $f$ una función analítica en el disco unitario abierto $B (0, 1) \subset C$ , tal que $| f (z) | \leq 1$ para $z \in B (0, 1)$ . Entonces $| f (z) | \leq | z |$ para todo $z \in B (0, 1)$ y $| f^{'} (0) | \leq 1$ . Más aún, si $| f (z_{0}) | = | z_{0} |$ para algún $z_{0} \in B (0, 1)$ tal que $z_{0} \neq 0$ ó $| f^{'} (0) | = 1$ , entonces $f (z) = c z$ para todo $z \in B (0, 1)$ y para alguna constante $c \in C$ tal que $| c | = 1$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, definimos a la función $g : B (0, 1) \to C$ como:
$g (z) = {\begin{array}{lcc} \frac{f (z)}{z}, & si & z \neq 0, \\ f^{'} (0), & si & z = 0. \end{array}$

Notemos que $g$ es una función continua en $B (0, 1)$ ya que:
$lim_{z \to 0} g (z) = lim_{z \to 0} \frac{f (z)}{z} = f^{'} (0) .$

Por otra parte, $g$ es analítica en $B^{*} (0, 1) = B (0, 1) ∖ {0}$ . Entonces, por el teorema de Morera generalizado, $g$ es analítica en $B (0, 1)$ .

Sea $0 < r < 1$ , por lo que $\overset{―}{B} (0, r) \subset B (0, 1)$ . Entonces $g$ es analítica en $\overset{―}{B} (0, r)$ y para $z \in \partial B (0, 1)$ se tiene que:
$| g (z) | = | \frac{f (z)}{z} | \leq \frac{1}{r} .$

Por el principio del módulo máximo tenemos que:
$| g (z) | \leq \frac{1}{r}, \forall z \in \overset{―}{B} (0, r) .$

Notemos que si $z \in B (0, 1)$ es fijo, al tomar el límite cuando $r \to 1$ , se tiene que $| g (z) | \leq 1$ , entonces $| f (z) | \leq | z |$ para todo $z \in B (0, 1)$ . Además $| f^{'} (0) | = | g (0) | \leq 1$ .

Por otra parte, si $| f (z_{0}) | = | z_{0} |$ para algún $z_{0} \in B^{*} (0, 1)$ , entonces $| g (z_{0}) | = 1$ , es decir, el máximo del módulo de $g$ se alcanza en un punto interior del disco abierto $B (0, 1)$ , por lo que del principio del módulo máximo se tiene que $g$ es una función constante, es decir, $g (z) = c$ , con $c \in C$ tal que $| c | = 1$ . Del mismo modo, si $| f^{'} (0) | = 1$ , entonces $| g (0) | = 1$ y el máximo del módulo de $g$ se alcanza en $z = 0$ , por lo que del principio del módulo máximo se concluye que $g$ es constante.

Tarea moral

Sea $R$ el dominio rectangular ${z :\in C : | Re (z) | \leq 4, | Im (z) | \leq 3}$ . Supón que $f$ es una función analítica en $R$ tal que $| f (z) | \leq 1$ para todo $z \in \partial R$ , entonces muestra que:
$| f^{'} (0) | \leq \frac{14}{9 π} .$
Sea $f$ una función analítica en un dominio $D \subset C$ y $z_{0} \in D$ . Muestra que:
$f^{(n)} (z_{0}) = \frac{1}{2 π r^{n + 1}} \int_{0}^{2 π} f (z_{0} + r e^{i t}) e^{- i n t} d t,$ si $\overset{―}{B} (z_{0}, r) \subset D$ , con $r > 0$ .
Muestra que:
$\int_{0}^{2 π} \cos (\cos (t)) \cosh (sen (t)) d t = 2 π .$ Hint: Utiliza la proposición 37.5.
Sea $D \subset C$ un dominio con frontera $\partial D$ . Sea $f (z)$ una función no constante definida en $\overset{―}{D} = D \cup \partial D$ , tal que $| f (z_{0}) | > m$ para algún $z_{0} \in D$ y $| f (z) | \leq m$ para todo $z \in \partial D$ . Entonces,
a) si $f$ es analítica en $D$ , muestra que existe un punto en $\partial D$ donde $f$ no es continua;
b) si $f$ es continua en $\partial D$ , muestra que existe un punto en $D$ donde $f$ no es analítica.
Sean $D \subset C$ un dominio acotado con frontera $\partial D$ y $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ una función analítica en $D$ y continua en $\partial D$ . Muestra que las siguientes funciones alcanzan su máximo en la frontera del dominio $D$ .
a) $(x^{2} + y^{2}) e^{u (x, y)}$ .
b) $(u^{2} (x, y) + v^{2} (x, y)) e^{u (x, y)}$ .
c) $({sen}^{2} (x) + {senh}^{2} (y)) e^{u (x, y)}$ .
d) $(\cos^{2} (x) + {senh}^{2} (y)) e^{u (x, y)}$ .
Hint: En cada caso, define a la función $g (z)$ cuya parte real corresponde con la función dada y aplica el principio del módulo máximo.
Sea $f$ una función entera tal que $| f (z) | \leq c | z |^{λ} + d$ para todo $z \in C$ , con $λ, c$ y $d$ constantes positivas. Prueba que $f$ es necesariamente un polinomio complejo cuyo grado no es mayor que $λ$ .
Hint: Modifica la prueba del teorema de Liouville.
Prueba la siguiente generalización del lema de Schwarz. Si $f$ es una función analítica en el disco $B (z_{0}, r)$ y $m$ es una constante tal que $| f (z) - f (z_{0}) | \leq m$ para todo $z \in B (z_{0}, r)$ , entonces $| f^{'} (z_{0}) | \leq m / r$ y $| f (z) - f (z_{0}) | \leq (m / r) | z - z_{0} |$ se cumple para todo $z \in B (z_{0}, r)$ .
Sea $f$ una función entera tal que $f (0) = 0$ y $lim_{| z | \to \infty} Re f (z) = 0$ . Prueba que $f (z) = 0$ para todo $z \in C$ .

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado algunas de las consecuencias más importantes del teorema integral de Cauchy.

En la siguiente entrada veremos la versión homótopica del teorema de Cauchy y con ella generalizaremos el resultado para ciertos dominios del plano complejo $C$ , llamados dominios simplemente conexos, lo cual nos permitirá extender nuestra versión local, para discos, de dicho resultado.

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Variable Compleja I: Teorema integral de Cauchy

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

El teorema integral de Cauchy es una de las piedras angulares del análisis complejo. Dicho resultado resuelve dos características aparentemente contradictorias de las integrales de contorno cuando $f$ es una función fija pero el contorno $γ$ , a lo largo del que se integrará a $f$ , puede cambiar. Por una parte, es posible modificar el contorno $γ$ de forma bastante drástica sin efecto en la integral, por ejemplo, reemplazando un contorno simple por un contorno no simple a trozos. Por otra parte, si cambiamos un contorno semicircular en el semiplano superior del plano complejo $C$ , que une a $- 1$ y $1$ , por un contorno semicircular en el semiplano inferior de $C$ , que une a $- 1$ y $1$ , tenemos que el resultado de la integral de $f (z) = z^{- 1}$ a lo largo de dichos contornos cambia completamente. Entonces, a través del teorema integral de Cauchy nos será posible explicar estas dos características y concluir que lo que realmente importa es el número de vueltas que un contorno $γ$ da alrededor de los puntos que se encuentran fuera del dominio de $f$ .

El teorema integral de Cauchy-Goursat establece que dentro de ciertos dominios la integral de una función analítica a lo largo de un contorno cerrado simple es cero. Una extensión de este teorema nos permitirá reemplazar integrales sobre ciertos contornos complicados con integrales sobre contornos que son fáciles de evaluar.

En esta entrada abordaremos una versión local del teorema integral de Cauchy para discos abiertos, la cual nos permitirá obtener un resultado general de dicho teorema.

Recordemos el siguiente resultado visto en nuestros cursos de Cálculo.

Teorema 36.1. (Teorema de Green.)
Sea $C$ una curva de clase $C^{1}$ , cerrada, simple y orientada positivamente, tal que es la frontera de una región $D \subset R^{2}$ . Si $P, Q : D \to R$ son dos funciones reales de clase $C^{1}$ , entonces:
$\int_{C} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y .$

Procedemos a enunciar una primera versión del teorema integral de Cauchy para rectángulos.

Teorema 36.2. (Primera versión del Teorema Integral de Cauchy.)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto, $f : U \to C$ una función de clase $C^{1}$ y $R \subset U$ un rectángulo cerrado con frontera $\partial R$ orientada positivamente. Entonces:
$\int_{\partial R} f (z) d z = 0.$

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ .

De la definición 17.2 se tiene que $f$ es de clase $C^{1}$ si y solo si $u, u : U \to R$ son dos funciones reales de clase $C^{1}$ . Más aún, por el teorema 17.1 se cumple que las funciones $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de C-R, por ser $f$ una función analítica en $U$ . Entonces, para $d z = d x + i d y$ , por la observación 34.3 y el Teorema de Green, se tiene que:
$\begin{aligned} \int_{\partial R} f (z) d z & = \int_{\partial R} (u d x - v d y) + i \int_{\partial R} (v d x + u d y) \\ = \iint_{R} (- \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}) d x d y + i \iint_{R} (\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}) d x d y \\ = \iint_{R} (\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y}) d x d y + i \iint_{R} (\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial x}) d x d y \\ = 0. \end{aligned}$

Bajo la hipótesis adicional de que $f^{'} (z)$ es continua para todo $z \in U$ , la demostración de esta primera versión del Teorema de Cauchy es clara. Aunque el Teorema de Green fue establecido hasta 1828, fue Augustin Cauchy quien en 1814 demostró por primera vez el teorema 36.1, bajo la hipótesis adicional de continuidad sobre $f^{'}$ , utilizando una formulación equivalente a la establecida en el Teorema de Green.

Observación 36.1.
Más adelante probaremos que las derivadas de una función analítica son también funciones analíticas y por tanto continuas, proposición 16.1, entonces la hipótesis de continuidad sobre $f^{'}$ resulta redundante e innecesaria.

Procedemos ahora a probar una versión local del Teorema integral de Cauchy para discos.

Teorema 36.3. (Teorema Integral de Cauchy-Goursat para discos.)
Sean $r > 0$ , $z_{0} \in C$ un punto fijo y $f : B (z_{0}, r) \to C$ una función analítica en el disco abierto $B (z_{0}, r)$ . Entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ para cualquier contorno cerrado $γ$ en $B (z_{0}, r)$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ el centro del disco $B (z_{0}, r)$ , $ζ = x + i y \in B (z_{0}, r)$ cualquier punto y $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ . De acuerdo con la proposición 35.2 basta con probar que existe una primitiva de $f$ en $B (z_{0}, r)$ .

Sea $γ_{1}$ el contorno dado por el segmento de recta vertical que une a $z_{0}$ con $x_{0} + i y$ seguido del segmento de recta horizontal que une a $x_{0} + i y$ con $ζ$ , es decir, $γ_{1} := [z_{0}, x_{0} + i y] + [x_{0} + i y, ζ]$ . Análogamente, definimos al contorno $γ_{2}$ dado por el segmento de recta horizontal que une a $z_{0}$ con $x + i y_{0}$ seguido del segmento de recta vertical que une a $x + i y_{0}$ con $ζ$ , es decir, $γ_{2} := [z_{0}, x + i y_{0}] + [x + i y_{0}, ζ]$ , figura 134.

Es claro que el contorno $γ = γ_{2} + (- γ)$ es un contorno cerrado y coincide con la frontera $\partial R$ del rectángulo $R \subset B (z_{0}, r)$ con vértices $z_{0}, x + i y_{0}, ζ, x_{0} + i y \in B (z_{0}, r)$ . Por lo que, del lema de Goursat y la proposición 34.2, tenemos que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{\partial R} f (z) d z \\ = \int_{z_{0}}^{x + i y_{0}} f (z) d z + \int_{x + i y_{0}}^{ζ} f (z) d z + \int_{ζ}^{x_{0} + i y} f (z) d z + \int_{x_{0} + i y}^{z_{0}} f (z) d z \\ = \int_{γ_{2}} f (z) d z + \int_{- γ_{1}} f (z) d z . \end{aligned}$

Es decir:
$\int_{γ_{2}} f (z) d z = - \int_{- γ_{1}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$

Figura 134: Rectángulo cerrado $R \subset B (z_{0}, r)$ .

Considerando lo anterior definimos a la función:
$F (z) := \int_{γ_{1}} f (z) d z = \int_{γ_{2}} f (z) d z .$

Veamos que $F$ es una primitiva de $f$ en $B (z_{0}, r)$ .

Como en los segmentos $[z_{0}, x + i y_{0}]$ y $[x_{0} + i y, ζ]$ el término imaginario es constante, entonces podemos parametrizar a dichos segmentos, respectivamente, como:
$\begin{aligned} β_{1} (t) & = t + i y_{0}, \forall t \in [x_{0}, x], \\ β_{2} (t) & = t + i y, \forall t \in [x_{0}, x] . \end{aligned}$

Análogamente, en los segmentos $[z_{0}, x_{0} + i y]$ y $[x + i y_{0}, ζ]$ el término real es constante, por lo que podemos parametrizar a dichos segmentos, respectivamente, como:
$\begin{aligned} β_{3} (t) & = x_{0} + i t, \forall t \in [y_{0}, y], \\ β_{4} (t) & = x + i t, \forall t \in [y_{0}, y] . \end{aligned}$

Entonces, de la definición 34.1 y la proposición 33.1, se sigue que:
$\begin{aligned} F (z) & = \int_{γ_{1}} f (z) d z \\ = \int_{β_{1}} f (z) d z + \int_{β_{4}} f (z) d z \\ = \int_{x_{0}}^{x} f (t + i y_{0}) d t + i \int_{y_{0}}^{y} f (x + i t) d t \\ = \int_{x_{0}}^{x} u (t + i y_{0}) d t + i \int_{x_{0}}^{x} v (t + i y_{0}) d t - \int_{y_{0}}^{y} v (x, t) d t + i \int_{y_{0}}^{y} u (x, t) d t . \end{aligned}$

Por el primer Teorema Fundamental del Cálculo tenemos que:
$\begin{aligned} \frac{\partial F (z)}{\partial y} & = \frac{\partial}{\partial y} \int_{x_{0}}^{x} u (t + i y_{0}) d t + i \frac{\partial}{\partial y} \int_{x_{0}}^{x} v (t + i y_{0}) d t \\ - \frac{\partial}{\partial y} \int_{y_{0}}^{y} v (x, t) d t + i \frac{\partial}{\partial y} \int_{x_{0}}^{x} u (x, t) d t \\ = 0 + i 0 - v (x, y) + i u (x, y) \\ = i [u (x, y) + i v (x, y)] \\ = i f (z) . \end{aligned}$

Procediendo de manera análoga tenemos que:
$F (z) = \int_{β_{2}} f (z) d z + \int_{β_{3}} f (z) d z,$ de donde:
$\frac{\partial F (z)}{\partial x} = f (z) .$

Tenemos que:
$0 = f (z) - f (z) = \frac{\partial F (z)}{\partial x} + i \frac{\partial F (z)}{\partial y},$ es decir, si $F (z) = U (x, y) + i V (x, y)$ , entonces:
$\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial y} = - \frac{\partial V}{\partial x},$ por lo que $U$ y $V$ satisfacen las ecuaciones de C-R. Más aún, como $f$ es analítica en $B (z_{0}, r)$ , en particular es continua, por lo que $U_{x}, U_{y}, V_{x}$ y $V_{y}$ son continuas, es decir, $F$ es una función de clase $C^{1} (B (z_{0}, r))$ , entonces por el teorema 18.1 tenemos que $F$ es una función analítica en $B (z_{0}, r)$ tal que:
$F^{'} (z) = \frac{\partial F (z)}{\partial x} = - i \frac{\partial F (z)}{\partial y} = f (z), \forall z \in B (z_{0}, r),$ es decir, $F$ es una primitiva de $f$ en $B (z_{0}, r)$ , por lo que de la proposición 35.2 se sigue que:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ para cualquier contorno cerrado $γ$ en $B (z_{0}, r)$ .

Ejemplo 36.1.
Evaluemos la integral:
$\int_{γ} \frac{e^{z}}{z^{2} - 16} d z,$ donde $γ$ describe a la circunferencia $C (0, 2)$ orientada positivamente y recorrida una vez.

Solución. Es claro que la función:
$f (z) = \frac{e^{z}}{z^{2} - 16},$ es analítica en $D = C ∖ {- 4, 4}$ y en particular es analítica en el disco abierto $B (0, 3) \subset D$ .

Por otra parte, tenemos que el contorno cerrado $C (0, 2)$ , parametrizado por $γ (t) = 2 e^{i t}$ , con $t \in [0, 2 π]$ , está completamente contenido en el disco $B (0, 3)$ , figura fig:f135, por lo que del teorema 36.3 se sigue que:
$\int_{γ} \frac{e^{z}}{z^{2} - 16} d z = 0.$

Figura 135: Contorno cerrado $C (0, 2)$ completamente contenido en el disco $B (0, 3)$ .

Ejemplo 36.2.
Veamos que
$\int_{0}^{\infty} \cos (t^{2}) d t = \int_{0}^{\infty} sen (t^{2}) d t = \frac{\sqrt{2 π}}{4} .$

Solución. Es claro que ambas integrales son integrales reales impropias, por lo que debemos probar que:
$lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} \cos (t^{2}) d t = lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} sen (t^{2}) d t = \frac{\sqrt{2 π}}{4} .$

Dado que $e^{i t^{2}} = \cos (t^{2}) + sen (t^{2})$ , basta probar que:
$lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} e^{t^{2}} d t = \frac{(1 + i) \sqrt{2 π}}{4},$ y tomar la parte real e imaginaria para obtener el resultado.

Sea $f (z) = e^{i z^{2}}$ . Definimos al contorno cerrado $γ = γ_{1} + γ_{2} - γ_{3}$ , firgura 136, donde:
$\begin{aligned} γ_{1} (t) & = t, \forall t \in [0, r] \\ γ_{3} (t) & = t e^{i π / 4}, \forall t \in [0, r], \\ γ_{2} (t) & = r e^{i t}, \forall t \in [0, π / 4] . \end{aligned}$

Figura 136: Contorno $γ = γ_{1} + γ_{2} - γ_{3}$ del ejemplo 36.2.

Tenemos que $f$ es una función entera, por lo que es analítica en cualquier disco abierto, en particular si consideramos al disco abierto $B (0, R)$ , con $0 < r < R$ , entonces es claro que el contorno $γ$ está completamente contenido en $B (0, R)$ , por lo que del Teorema Integral de Cauchy-Goursat, para discos y de la proposición 34.2, se sigue que:
$0 = \int_{γ} e^{i z^{2}} d z = \int_{γ_{1}} e^{i z^{2}} d z + \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z - \int_{γ_{3}} e^{i z^{2}} d z,$ por lo que:
$\begin{aligned} \int_{0}^{r} e^{i t^{2}} d t & = \int_{γ_{1}} e^{i z^{2}} d z \\ = \int_{γ_{3}} e^{i z^{2}} d z - \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z \\ (36.1) & = \frac{(1 + i) \sqrt{2}}{2} \int_{0}^{r} e^{- t^{2}} d t - \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z . \end{aligned}$

Por el ejemplo 34.11 sabemos que:
$| \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z | \leq \frac{π (1 - e^{r^{2}})}{4 r},$ por lo que, tomando el límite cuando $r \to \infty$ tenemos que:
$| \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z | = 0, ⟹ \int_{γ_{2}} e^{i z^{2}} d z = 0.$

Entonces, tomando el límite cuando $r \to \infty$ en (36.1) tenemos que:
$lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} e^{i t^{2}} d t = \frac{(1 + i) \sqrt{2}}{2} lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} e^{- t^{2}} d t .$

De nuestros cursos de Cálculo sabemos que:
$\int_{0}^{\infty} e^{- t^{2}} d t = \frac{π}{2},$ por lo que:
$\int_{0}^{\infty} e^{i t^{2}} d t = lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} e^{i t^{2}} d t = \frac{(1 + i) \sqrt{2}}{2} \frac{π}{2} = \frac{(1 + i) \sqrt{2 π}}{4} .$

Por último, tomando la parte real e imaginaria de esta última igualdad tenemos el resultado.

Teorema 36.4. (Teorema Integral de Cauchy-Goursat generalizado para discos.)
Sean $r > 0$ , $z_{0} \in C$ un punto fijo, $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n} \in B (z_{0}, r)$ , $D := B (z_{0}, r) ∖ {z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}}$ y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ tal que:
$lim_{z \to z_{j}} (z - z_{j}) f (z) = 0,$ para todo $j = 1, \dots, n$ . Entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ para cualquier contorno cerrado $γ$ en $D$ que no pasa por los puntos $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, es suficiente con probar el caso para un único punto $z_{1} \in B (z_{0}, r)$ en el cual $f$ no es analítica y proceder por inducción.

De manera similar a la prueba anterior, basta mostrar que existe una primitiva de $f$ en $D = B (z_{0}, r) ∖ {z_{1}}$ . Para ello tomamos a $ζ \in D$ y consideramos al contorno poligonal $γ$ que une al centro $z_{0}$ del disco abierto $B (z_{0}, r)$ con $ζ$ , considerando segmentos de recta verticales y horizontales, sin pasar por $z_{1}$ y definimos a dicha primitiva como la función:
$F (z) = \int_{γ} f (z) d z,$ la cual está bien definida pues $B (z_{0}, r)$ es poligonal conexo, entonces el contorno poligonal $γ$ siempre existe. Solo basta considerar la ubicación del punto $z_{1} \in B (z_{0}, r)$ al definir a $γ$ . Si $z_{1}$ no cae en las rectas $x = x_{0}$ y $y_{0}$ , entonces bastan tres segmentos de recta para unir a $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ con el punto $ζ \neq z_{1}$ , en tal caso es fácil mostrar, de la misma manera que antes, que $F_{y} (z) = i f (z)$ y $F_{x} (z) = f (z)$ utilizando el lema de Goursat generalizado y concluir que $F$ es una primitiva de $f$ en $D$ , por lo que el resultado se sigue de la proposición 35.2.

Por último, si $z_{1}$ cae en alguna de las rectas $x = x_{0}$ ó $y = y_{0}$ , basta con fijar otro punto de inicio de $γ$ , distinto del centro del disco $B (z_{0}, r)$ , en la definición de $F$ y volver a plantear el análisis anterior.

Observación 36.2.
Notemos que el resultado anterior es equivalente a pedir que $f$ sea analítica en $B (z_{0}, r) ∖ {z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}}$ , con $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n} \in B (z_{0}, r)$ , y continua en $B (z_{0}, r)$ .

Corolario 36.1.
Sean $r > 0$ , $z_{0} \in C$ un punto fijo, $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $f : B (z_{0}, r) \to C$ una función analítica en el disco abierto $B (z_{0}, r)$ , $ζ \in B (z_{0}, r)$ y $γ : [a, b] \to B (z_{0}, r)$ un contorno cerrado que no pasa por $ζ$ . Entonces:
$f (ζ) \int_{γ} \frac{d z}{z - ζ} = \int_{γ} \frac{f (z)}{z - ζ} d z .$

Demostración.Dadas las hipótesis, sea $ζ \in B (z_{0}, r)$ , como $f$ es analítica en el disco abierto $B (z_{0}, r)$ , en particular lo es en $ζ$ , por lo que:
$lim_{z \to ζ} \frac{f (z) - f (ζ)}{z - ζ} = f^{'} (ζ) .$

Considerando lo anterior definimos a la función:
$g (z) = {\begin{array}{lcc} \frac{f (z) - f (ζ)}{z - ζ} & si & z \neq ζ, \\ f^{'} (ζ) & si & z = ζ . \end{array}$

Claramente $g$ es una función analítica en $B (z_{0}, r) ∖ {ζ}$ y continua en $ζ$ , por lo que:
$lim_{z \to ζ} (z - ζ) g (z) = 0.$

Entonces, por el Teorema de Cauchy generalizado tenemos que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{γ} g (z) d z \\ = \int_{γ} \frac{f (z) - f (ζ)}{z - ζ} d z \\ = \int_{γ} \frac{f (z)}{z - ζ} d z - \int_{γ} \frac{f (ζ)}{z - ζ} d z \\ = \int_{γ} \frac{f (z)}{z - ζ} d z - f (ζ) \int_{γ} \frac{d z}{z - ζ} . \end{aligned}$

Por lo que:
$f (ζ) \int_{γ} \frac{d z}{z - ζ} = \int_{γ} \frac{f (z)}{z - ζ} d z,$ para cualquier contorno cerrado $γ$ en $B (z_{0}, r)$ que no pasa por $ζ$ .

Lema 36.1.
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , $γ : [a, b] \to C$ un contorno y $φ : C \to C$ una función que está definida y es continua en los puntos del contorno, es decir, en $γ ([a, b])$ . Para cada $n \in N^{+}$ se define a la función:
$F_{n} (z) := \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n}} d ζ, z \notin γ ([a, b]) .$

Entonces, cada función $F_{n}$ es analítica en $C ∖ γ ([a, b])$ y $F_{n}^{'} (z) = n F_{n + 1} (z)$ , lo cual implica que cada $F_{n}$ tiene derivadas analíticas de todos los órdenes.

Demostración. Dadas las hipótesis, primero procedemos a verificar que cada función $F_{n}$ es continua. Sea $z_{0} \in D := C ∖ γ ([a, b])$ fijo. Como $[a, b] \subset R$ es compacto y la función $γ$ es continua, entonces, proposición 10.9, $γ ([a, b])$ es compacto, por lo que, proposición 10.10, $γ$ alcanza su valor mínimo, entonces definimos a $r := min_{t \in [a, b]} | γ (t) - z_{0} | > 0$ . Análogamente, como $γ ([a, b])$ es compacto y $φ$ es continua en dicho conjunto, entonces su imagen también es un conjunto compacto, en particular es un conjunto acotado, es decir, existe $M > 0$ tal que $| φ (ζ) | \leq M$ para todo $ζ \in γ ([a, b])$ .

Recordemos la factorización:
$x^{n} - y^{n} = (x - y) (x^{n - 1} + x^{n - 2} y + \dots + x y^{n - 2} + y^{n - 1}) .$

Entonces:
$\begin{aligned} \frac{1}{(ζ - z)^{n}} - \frac{1}{(ζ - z_{0})^{n}} & = [\frac{1}{ζ - z} - \frac{1}{ζ - z_{0}}] [\frac{1}{(ζ - z)^{n - 1}} + \frac{1}{(ζ - z)^{n - 2} (ζ - z_{0})} \\ + \dots + \frac{1}{(ζ - z) (ζ - z_{0})^{n - 2}} + \frac{1}{(ζ - z_{0})^{n - 1}}] \\ = (z - z_{0}) [\frac{1}{(ζ - z)^{n} (ζ - z_{0})} + \frac{1}{(ζ - z)^{n - 1} (ζ - z_{0})^{2}} \\ + \dots + \frac{1}{(ζ - z)^{2} (ζ - z_{0})^{n - 1}} + \frac{1}{(ζ - z) (ζ - z_{0})^{n}}] . \end{aligned}$

Multiplicando por $φ (ζ)$ e integrando a lo largo de $γ$ , en ambos lados de la igualdad anterior, tenemos que:
$\begin{aligned} F_{n} (z) - F_{n} (z_{0}) & = (z - z_{0}) \int_{γ} [\frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n} (ζ - z_{0})} + \dots + \frac{φ (ζ)}{(ζ - z) (ζ - z_{0})^{n}}] d ζ \\ = (z - z_{0}) \int_{γ} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ \\ (36.3) & = (z - z_{0}) \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ, \end{aligned}$ donde $z \in B (z_{0}, r / 2)$ y $ζ \in γ ([a, b])$ . Por lo que $| z - z_{0} | < r / 2$ , $r / 2 < r \leq | ζ - z_{0} |$ y $r / 2 < | ζ - z |$ , entonces:
$| \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} | < M {(\frac{2}{r})}^{n + 1},$ para cada $0 \leq k \leq n - 1$ .

Por lo tanto, para $ε > 0$ , tomando $δ < r / 2$ se tiene que si $| z - z_{0} | < δ$ , entonces podemos acotar a (36.3) mediante la proposición 34.3(5) y la desigualdad del triángulo, es decir:
$\begin{aligned} | F_{n} (z) - F_{n} (z_{0}) | & = | z - z_{0} | | \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ | \\ \leq | z - z_{0} | \sum_{k = 0}^{n - 1} | \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ | \\ \leq | z - z_{0} | \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} | \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ | \\ < δ \sum_{k = 0}^{n - 1} M {(\frac{2}{r})}^{n + 1} \int_{γ} | d z | \\ = n δ M ℓ (γ) {(\frac{2}{r})}^{n + 1} . \end{aligned}$

Por lo que, para:
$δ := min {\frac{r}{2}, \frac{ε r^{n + 1}}{n M ℓ (γ) 2^{n + 1}}},$ se tiene que si $| z - z_{0} | δ$ , entonces $| F_{n} (z) - F_{n} (z_{0}) | < ε$ , por lo que $F_{n}$ es una función continua.

Dividiendo en ambos lados de la igualdad (36.3) por $z - z_{0}$ , tenemos que:
$\begin{aligned} \frac{F_{n} (z) - F_{n} (z_{0})}{z - z_{0}} & = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z)^{n - k} (ζ - z_{0})^{k + 1}} d ζ \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ) (ζ - z_{0})^{- (k + 1)}}{(ζ - z)^{n - k}} d ζ . \end{aligned}$

Dado que $z_{0} \notin γ ([a, b])$ , entonces para cada $0 \leq k \leq n - 1$ , la función:
$φ (ζ) (ζ - z_{0})^{- (k + 1)},$ es continua. Por lo tanto, de la primera parte de la prueba tenemos que la función:
$h (z) = \int_{γ} \frac{φ (ζ) (ζ - z_{0})^{- (k + 1)}}{(ζ - z)^{n - k}} d ζ,$ es una función continua para cada $0 \leq k \leq n - 1$ . Entonces:
$\begin{aligned} F_{n}^{'} (z_{0}) & = lim_{z \to z_{0}} \frac{F_{n} (z) - F_{n} (z_{0})}{z - z_{0}} \\ = lim_{z \to z_{0}} \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ) (ζ - z_{0})^{- (k + 1)}}{(ζ - z)^{n - k}} d ζ \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} lim_{z \to z_{0}} \frac{φ (ζ) (ζ - z_{0})^{- (k + 1)}}{(ζ - z)^{n - k}} d ζ \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ \\ = n \int_{γ} \frac{φ (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ \\ = n F_{n + 1} (z_{0}) . \end{aligned}$

Definición 36.1. (Índice de un contorno cerrado respecto a un punto.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $γ : [a, b] \to C$ un contorno cerrado y $z_{0} \in C ∖ γ ([a, b])$ , es decir, $z_{0} \in C$ es un punto que no está en el contorno $γ$ . Se define al índice de $γ$ con respecto de $z_{0}$ como:
$n (γ, z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{d z}{z - z_{0}} .$

Proposición 36.1.
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $γ : [a, b] \to C$ un contorno cerrado y $z_{0} \in C ∖ γ ([a, b])$ . Entonces:
$\begin{matrix} (36.3) & \int_{γ} \frac{1}{z - z_{0}} d z = 2 π k i, \end{matrix}$ para algún $k \in Z$ . Es decir, la integral (36.3) es un múltiplo entero de $2 π i$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, por la definición 34.1 tenemos que:
$h (z) := \int_{γ} \frac{1}{z - z_{0}} d z = \int_{a}^{b} \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z_{0}} d t .$

Considerando lo anterior definimos a la función híbrida $F : [a, b] \to C$ como:
$F (x) := \int_{a}^{x} \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z_{0}} d t, a \leq x \leq b .$

Por construcción es claro que $F$ es una función continua en $[a, b]$ y que $F (a) = 0$ y $F (b) = h (z)$ . Veamos que $F (b) = 2 π k i$ , para algún $k \in Z$ .

Dado que $γ^{'}$ es continua en $[a, b]$ , salvo quizás en un número finito de puntos, entonces $F$ es diferenciable en los puntos de continuidad de $γ^{'}$ y su derivada está dada por el Teorema Fundamental del Cálculo:
$\begin{matrix} (36.4) & F^{'} (x) = \frac{γ^{'} (x)}{γ (x) - z_{0}}, \end{matrix}$ para los puntos donde $γ^{'}$ existe.

Sea $G : [a, b] \to C$ la función híbrida dada por:
$G (t) = e^{- F (t)} [γ (t) - z_{0}], a \leq t \leq b .$

Por construcción tenemos que $G$ es también continua en $[a, b]$ . Más aún, para cada $t \in [a, b]$ donde $γ^{'}$ es continua, por (36.4) y como $γ (a) = γ (b) \neq z_{0}$ , tenemos que:
$\begin{aligned} G^{'} (t) & = e^{- F (t)} γ^{'} (t) - F^{'} (t) e^{- F (t)} [γ (t) - z_{0}] \\ = e^{- F (t)} (γ^{'} (t) - F^{'} (t) [γ (t) - z_{0}]) \\ = e^{- F (t)} (γ^{'} (t) - \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z_{0}} [γ (t) - z_{0}]) \\ = e^{- F (t)} [γ^{'} (t) - γ^{'} (t)] \\ = 0. \end{aligned}$

Lo anterior nos dice que $G$ es una función constante en cada subintervalo donde $γ^{'}$ existe y como $G$ es continua entonces $G$ es una función constante en $[a, b]$ , por lo que $G (a) = G (b)$ , es decir:
$e^{- F (a)} [γ (a) - z_{0}] = e^{- F (b)} [γ (b) - z_{0}] .$

Dado que $F (a) = 0$ y $γ (a) = γ (b) \neq z_{0}$ , tenemos que:
$e^{- F (b)} = 1,$ lo cual implica, por la proposición 20.2(10), que para algún $k \in Z$ :
$F (b) = 2 π k i .$

Entonces:
$2 π k i = F (b) = h (z) = \int_{γ} \frac{1}{z - z_{0}} d z,$ para algún $k \in Z$ .

Corolario 36.2.
El índice de un contorno cerrado $γ$ respecto a un punto $z_{0}$ es un número entero.

Demostración. Es inmediato de la definición de $n (γ, z_{0})$ y la proposición 36.1.

Observación 36.3.
Claramente $f (z) = \frac{1}{z - z_{0}}$ es una función analítica en $D := C ∖ {z_{0}}$ . Si pudiéramos encontrar una función analítica $F : D \to C$ tal que $F^{'} (z) = f (z)$ para todo $z \in D$ , entonces tendríamos que $n (γ, z_{0}) = 0$ para toda curva cerrada $γ$ en $D$ , que no pase por $z_{0}$ . Sin embargo, de acuerdo con el ejemplo 34.1 y la proposición 35.3 sabemos que $f$ no tiene primitiva en $D$ , por lo que $n (γ, z_{0}) \neq 0$ para toda curva cerrada $γ$ en $D$ , que no pase por $z_{0}$ .

Para continuar, en este punto es importante introducir el siguiente resultado, el cual intuitivamente es claro, pero cuya demostración es bastante complicada y se escapa de los objetivos de estas notas, por lo que en el curso lo tomaremos como válido, aunque puede consultarse una prueba formal de este hecho en:

Complex Analysis: The Argument Principle in Analysis and Topology, de Alan F. Beardon.
An Introduction to Classical Complex Analysis, de Robert B. Burckel.

Teorema 36.5. (Teorema de la curva de Jordan.)
Los puntos en cualquier contorno cerrado simple $C \subset C$ son la frontera de dos dominios distintos, uno de los cuales es el interior de $C$ , denotado por $I$ , y está acotado. El otro, es el exterior de $C$ , denotado por $E$ , y no es acotado. En tal caso, $I \cup E \cup C$ es igual al plano complejo $C$ .

Ejemplo 36.3.
Sean $r > 0$ y $z_{0} \in C$ un punto fijo. Consideremos a los conjuntos disjuntos $S_{1} = {z \in C : | z - z_{0} | < r}$ y $S_{2} = {z \in C : | z - z_{0} | > r}$ , los cuales son abiertos en $C$ . Geométricamente es claro que la circunferencia $C (z_{0}, r) = {z \in C : | z - z_{0} | = r}$ es un contorno cerrado simple y los puntos en $C (z_{0}, r)$ son la frontera de $S_{1}$ y $S_{2}$ . El interior de $C (z_{0}, r)$ es $S_{1}$ , el cual es un conjunto acotado y el exterior de $C (z_{0}, r)$ es $S_{2}$ , el cual es un conjunto no acotado.

Observación 36.4.
Por la proposición 10.9 sabemos que al ser $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un conjunto compacto y $γ : [a, b] \to C$ una trayectoria, es decir, $γ$ es una función continua en $[a, b]$ , entonces la curva $γ ([a, b])$ en el plano complejo, es un conjunto compacto, es decir, una curva en $C$ es un conjunto cerrado y acotado. Entonces el conjunto $U = C ∖ γ ([a, b])$ es un conjunto abierto no vacío, por lo que, ejercicio 9 de la entrada 10, podemos ver a $U$ como la unión disjunta numerable de dominios, correspondientes con las componentes conexas de $U$ .

El siguiente lema enuncia algunas de las propiedades clave del índice de un contorno.

Lema 36.2.
Sean $γ$ un contorno cerrado en el plano complejo y $U = C ∖ γ ([a, b])$ . Se cumplen las siguientes propiedades.

$n (γ, z)$ permanece constante conforme $z$ toma valores en cualquiera de las componentes conexas de $U$ .
$n (γ, z) = 0$ para cualquier $z$ en la componente no acotada de $U$ .
Si $γ$ es simple, entonces $n (γ, z) = 1$ ó $n (γ, z) = - 1$ , para todo $z$ en la componente acotada de $U$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, únicamente probaremos las primeras dos propiedades. La última afirmación está sustentada en el teorema de la curva de Jordan y por lo extenso de su prueba la omitiremos, pero se puede consultar una prueba detallada en An Introduction to Complex Function Theory, de Bruce P. Palka.

Sea $φ : γ ([a, b]) \to C$ dada por:
$φ (ζ) = \frac{1}{2 π i} .$ Por lo que, del lema 36.1 para $n = 1$ y la definición 36.1, tenemos que:
$n (γ, z) = \int_{γ} \frac{1}{ζ - z} d ζ,$ es una función analítica, de $z$ , en $U$ , cuya derivada está dada por:
$n^{'} (γ, z) = \int_{γ} \frac{1}{(ζ - z)^{2}} d ζ .$ Por otra parte, si fijamos a $z \in C$ , entonces la función:
$f (ζ) = \frac{1}{(ζ - z)^{2}},$ es una función analítica, de $ζ$ , en $C ∖ {z}$ y tiene como primitiva, en dicho conjunto, a la función:
$F (ζ) = - \frac{1}{ζ - z} .$ Si $z \in U$ , entonces $γ$ es un contorno cerrado en $C ∖ {z}$ , por lo que del TFC para integrales de contorno, proposición 35.1, para $z \in U$ tenemos que:
$\int_{γ} \frac{1}{(ζ - z)^{2}} d ζ = \int_{γ} f (ζ) d ζ = 0.$ Por lo que $n^{'} (γ, z) = 0$ en $U$ , entonces de la proposición 19.2 concluimos que $n (γ, z)$ es una función constante en cada componente de $U$ .
Sea $r > 0$ tal que el conjunto compacto $γ ([a, b])$ está contenido en el disco abierto $B (0, r)$ . Tenemos que el conjunto $C ∖ B (0, r)$ es un subconjunto conexo de $U$ , entonces por la proposición 10.6(1) se cumple que dicho conjunto conexo está contenido en alguna componente conexa $D$ de $U$ . Notemos que la componente conexa $D$ es la única componente no acotada de $U$ , ya que todas las demás componentes claramente subconjuntos de $B (0, r)$ .

Como el punto $z_{0} = 2 r \in D$ y la función $f (ζ) = (ζ - z_{0})^{- 1}$ es analítica en $B (0, r)$ , por el teorema (local) integral de Cauchy, teorema 36.3, tenemos que:
$n (γ, z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{ζ - z} d ζ = 0.$ Entonces, por el inciso anterior tenemos que $n (γ, z) = 0$ para todo $z \in D$ .

Observación 36.5.
De acuerdo con lo anterior, el índice de un contorno $n (γ, z_{0})$ tiene una interpretación geométrica clara, ya que nos dice el número de vueltas que el contorno cerrado $γ$ le da al punto $z_{0}$ y su signo está determinado por la orientación del contorno, es decir, si $γ$ tiene orientación positiva entonces $n (γ, z_{0})$ es positivo, mientras que si $γ$ tiene orientación negativa entonces $n (γ, z_{0})$ es negativo.

Más aún, si el contorno cerrado $γ$ es simple y el punto $z_{0}$ está en el interior de $γ$ , entonces $n (γ, z_{0}) = 1$ , mientras que si $z_{0}$ está fuera del contorno entonces $n (γ, z_{0}) = 0$ .

Motivados en lo anterior establecemos la siguiente definición, la cual es consistente con el teorema de la curva de Jordan.

Definición 36.2. (Interior de un contorno cerrado simple.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , y $γ : [a, b] \to C$ un contorno cerrado simple en $C$ . Se define al interior de $γ$ como el conjunto:
$I (γ) := {z \in C : n (γ, z) \neq 0} .$

Algunas de las propiedades más elementales del índice de un contorno están dadas en la siguiente:

Proposición 36.2. (Propiedades del índice de un contorno.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , y $γ, β : [a, b] \to C$ dos contornos cerrados en $C$ con el mismo punto inicial. Se cumplen las siguientes propiedades.

$n (- γ, z) = - n (γ, z)$ , para todo $z \in C ∖ γ ([a, b])$ .
$n (γ + β, z) = n (γ, z) + n (β, z)$ , para todo $z \in C ∖ (γ ([a, b]) \cup β ([a, b]))$ .
$n (\overset{―}{γ}, \overset{―}{z}) = - n (γ, z)$ , para todo $z \in C ∖ γ ([a, b])$ .
n(a\gamma+b,az+b) = n(\gamma,z) $, p a r a t o d o$ z\in\mathbb{C}\setminus\gamma([a,b]) $, c o n$ a\neq 0 $y$ b$ dos constantes.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Ejemplo 36.4.
Sean $r > 0$ y $z_{0} \in C$ un punto fijo. Consideremos a la circunferencia $C (z_{0}, r)$ y al disco abierto $B (z_{0}, r)$ .

a) Sea $γ : [0, 2 π] \to C$ dada por $γ (t) = z_{0} + r e^{i t}$ , es decir, $γ$ parametriza a la circunferencia $C (z_{0}, r)$ positivamente. Si $z \in B (z_{0}, r)$ , entonces por el lema 36.2(1), la definición 36.1 y el ejemplo 34.1(a) tenemos que:
$\begin{aligned} n (γ, z) & = n (γ, z_{0}) \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{ζ - z_{0}} d ζ \\ = \frac{1}{2 π i} 2 π i \\ = 1. \end{aligned}$

Más aún, por el lema 36.2(2), tenemos que si $z \in C ∖ B (z_{0}, r)$ , entonces $n (γ, z) = 0$ .

b) Sea $γ : [0, 2 π] \to C$ dada por $γ (t) = z_{0} + r e^{- i t}$ , es decir, $γ$ parametriza a la circunferencia $C (z_{0}, r)$ negativamente. Si $z \in B (z_{0}, r)$ , entonces por el lema 36.2(1), la definición 36.1 y la definición 34.1 tenemos que:
$\begin{aligned} n (γ, z) & = n (γ, z_{0}) \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{ζ - z_{0}} d ζ \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z_{0}} d t \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{- i r e^{- i t}}{z_{0} + r e^{- i t} - z_{0}} d t \\ = - \frac{i}{2 π i} \int_{0}^{2 π} d t \\ = - \frac{i}{2 π i} 2 π \\ = - 1. \end{aligned}$

Del lema 36.2(2), se sigue que para $z \in C ∖ B (z_{0}, r)$ , se cumple que $n (γ, z) = 0$ .

c) Sea $γ : [0, 2 π n] \to C$ , con $n \in N^{+}$ , dada por $γ (t) = z_{0} + r e^{i t}$ , es decir, $γ$ parametriza a la circunferencia $C (z_{0}, r)$ positivamente, pero la recorre $n$ -veces. Si $z \in B (z_{0}, r)$ , entonces por el lema 36.2(1), la definición 36.1 y la definición 34.1 tenemos que:
$\begin{aligned} n (γ, z) & = n (γ, z_{0}) \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{ζ - z_{0}} d ζ \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π n} \frac{γ^{'} (t)}{γ (t) - z_{0}} d t \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π n} \frac{i r e^{- i t}}{z_{0} + r e^{- i t} - z_{0}} d t \\ = \frac{i}{2 π i} \int_{0}^{2 π n} d t \\ = \frac{i}{2 π i} 2 π n \\ = n . \end{aligned}$

Más aún, por el lema 36.2(2), tenemos que si $z \in C ∖ B (z_{0}, r)$ , entonces $n (γ, z) = 0$ .

De acuerdo con los resultados previos, estamos listos para establecer una de las primeras consecuencias del teorema integral de Cauchy generalizado, para discos, mediante el cual podremos obtener una representación fundamental de una función analítica.

Proposición 36.3. (Fórmula integral de Cauchy para discos.)
Sean $r > 0$ , $z_{0} \in C$ un punto fijo, $f : B (z_{0}, r) \to C$ una función analítica en el disco abierto $B (z_{0}, r)$ y $γ$ un contorno cerrado en $B (z_{0}, r)$ . Entonces:
$n (γ, z) f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ,$ para todo $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, fijamos un punto $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ . Definimos a la función:
$g : B (z_{0}, r) \to C,$ como:
$g (ζ) = {\begin{array}{lcc} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} & si & ζ \neq z, \\ f^{'} (z) & si & ζ = z, \end{array}$ donde $ζ$ es una variable independiente.

Es claro que $g$ es una función analítica en $B (z_{0}, r) ∖ {z}$ . Más aún, como $f$ es analítica en $B (z_{0}, r)$ , entonces:
$lim_{ζ \to z} g (ζ) = lim_{ζ \to z} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} = f^{'} (z) = g (z),$ es decir, $g$ es continua en $z$ , por lo que:
$lim_{ζ \to z} (ζ - z) g (ζ) = 0.$

Como $z$ no está en el contorno cerrado $γ$ , del teorema 36.4 y la definición 36.1, tenemos que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{γ} g (ζ) d ζ \\ = \int_{γ} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} d ζ \\ = \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - \int_{γ} \frac{f (z)}{ζ - z} d ζ \\ = \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - 2 π i n (γ, z) f (z), \end{aligned}$ es decir:
$n (γ, z) f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ .$ Dado que $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ es arbitrario, entonces se tiene el resultado.

Observación 36.6.
Un aspecto importante de la fórmula integral de Cauchy es que para un punto $z \in C$ para el cual $n (γ, z) \neq 0$ , podemos expresar el valor de la función $f (z)$ de manera explícita en términos de los valores de $f$ que se encuentran en el contorno $γ$ , a cierta distancia de $z$ .

La aplicación más usual de la fórmula integral de Cauchy se tiene para el caso en que $n (γ, z) = 1$ , ya que bajo dicha condición se tiene que:
$f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ .$

Ejemplo 36.5.
Evaluemos la integral:
$\int_{γ} \frac{e^{π z}}{z^{3} + z} d z,$ donde $γ$ parametriza positivamente a la circunferencia $C (0, 2)$ .

Solución. Primeramente parametrizamos a la circunferencia $C (0, 2)$ como $γ (t) = 2 e^{i t}$ , con $0 \leq t \leq 2 π$ .

Aplicando fracciones parciales tenemos que:
$\frac{e^{π z}}{z^{3} + z} = \frac{e^{π z}}{z} - \frac{e^{π z}}{2 (z - i)} - \frac{e^{π z}}{2 (z + i)} .$

Notemos que para todo $z \in B (0, 2)$ , por el ejemplo 36.4(a), se cumple que:
$n (γ, z) = n (γ, 0) = 1.$

Sea $f (z) = e^{π z}$ . Claramente $f$ es una función entera, por lo que para $r > 2$ , se cumple que $C (0, 2) \subset B (0, r)$ y $f$ es analítica en $B (0, r)$ . Entonces, de la fórmula integral de Cauchy para discos, como $0, i, - i \in B (0, 2) \subset B (0, r)$ , tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ} d ζ = \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ - 0} d ζ & = 2 π i n (γ, 0) f (0) \\ = 2 π i (1) (e^{0}) \\ = 2 π i . \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{2 (ζ - i)} d ζ = \frac{1}{2} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ - i} d ζ & = \frac{2 π i n (γ, i) f (i)}{2} \\ = \frac{2 π i (1) (e^{i π})}{2} \\ = - π i . \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{2 (ζ + i)} d ζ = \frac{1}{2} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ + i} d ζ & = \frac{2 π i n (γ, - i) f (- i)}{2} \\ = \frac{2 π i (1) (e^{- i π})}{2} \\ = - π i . \end{aligned}$

De la proposición 34.2(1) tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ^{3} + ζ} d ζ & = \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{ζ} d ζ - \int_{γ} \frac{e^{π ζ}}{2 (ζ - i)} d ζ - \int γ \frac{e^{π ζ}}{2 (ζ + i)} d ζ \\ = 2 π i - (- i π) - (- i π) \\ = 4 π i . \end{aligned}$

Por lo que:
$\int_{γ} \frac{e^{π z}}{z^{3} + z} d z = 4 π i .$

Ejemplo 36.6.
Veamos que:
$\int_{γ} \frac{e^{i π z}}{2 z^{2} - 5 z + 2} d z = \frac{2 π}{3},$ donde $γ$ es la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ , orientada positivamente.

Solución. Tenemos que $γ (t) = e^{i t}$ , para $0 \leq t \leq 2 π$ , parametriza a la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ , positivamente. Factorizando el denominador del integrando, tenemos que $2 z^{2} - 5 z + 2 = (2 z - 1) (z - 2)$ , es decir, $z_{0} = 1 / 2$ y $z_{1} = 2$ son las raíces de dicho polinomio complejo. Como $1 / 2$ está en el interior de $γ$ , por el lema 36.2(1) y el ejemplo 36.4(a), concluimos que:
$n (γ, 1 / 2) = n (γ, 0) = 1.$

Sea $f (z) = \frac{e^{i π z}}{z - 2}$ . Claramente $f$ es analítica en $D = C ∖ {2}$ , por lo que es analítica en $B (0, 2) \subset D$ y $γ$ está completamente contenida en $D$ , entonces, por la fórmula integral de Cauchy (para discos), tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{i π z}}{2 z^{2} - 5 z + 2} d z & = \int_{γ} \frac{e^{i π z}}{(2 z - 1) (z - 2)} d z \\ = \int_{γ} \frac{f (z)}{2 z - 1} d z \\ = \frac{1}{2} \int_{γ} \frac{f (z)}{z - 1 / 2} d z \\ = π i n (γ, 1 / 2) f (1 / 2) \\ = π i (1) \frac{e^{i π / 2}}{\frac{1}{2} - 2} \\ = \frac{2 π}{3} . \end{aligned}$

Procedemos ahora a establecer una consecuencia de la fórmula integral de Cauchy, la cual nos deja ver claramente las diferencias entre el Cálculo Complejo y el Cálculo Real.

Proposición 36.4.
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto y $f : U \to C$ una función analítica en $U$ . Entonces $f^{'}$ también es analítica en $U$ . En particular $f \in C^{1} (U)$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, basta probar que cada $z_{0} \in U$ es el centro de algún disco abierto $D$ en el cual $f^{'}$ es analítica, por lo que $f^{(2)} (z_{0}) = (f^{'})^{'} (z_{0})$ existe.

Sean $z_{0} \in U$ fijo y $r > 0$ tal que $B (z_{0}, r) \subset U$ . Fijamos a $s$ tal que $0 < s < r$ y definimos a $D = B (z_{0}, s)$ . Por la fórmula integral de Cauchy para discos, aplicada al disco $B (z_{0}, r)$ y al contorno $γ = \partial D$ orientado positivamente, es decir, $γ (t) = z_{0} + s e^{i t}$ , con $0 \leq t \leq 2 π$ , tenemos que:
$f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ, \forall z \in D .$

Del lema 36.2(1) se sigue que:
$n (γ, z) = n (γ, z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{i s e^{i t}}{s e^{i t}} d t = 1,$ para todo $z \in D$ .

Sea $φ : γ ([0, 2 π]) \to C$ dada por:
$φ (ζ) = \frac{f (ζ)}{2 π i} .$

Del lema 36.1, aplicado a $φ$ para el caso $n = 1$ , tenemos que:
$F_{1} (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ = f (z), \forall z \in D,$ por lo que:
$f^{'} (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{2}} d ζ,$ para todo $z \in D$ . Aplicando el lema 36.1, para el caso $n = 2$ , tenemos que:
$f^{'} (z) = F_{1}' (z) = F_{2} (z),$ donde $F_{2}$ es una función analítica en $C ∖ γ ([0, 2 π])$ . Por lo tanto, $f^{'}$ es analítica en $D \subset C ∖ γ ([0, 2 π])$ .

Como $z_{0} \in U$ es arbitrario, entonces $f$ es analítica en $U$ .

Por último, dado que $f$ es analítica en $U$ , para $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ , por el teorema 17.1 tenemos que existen las derivadas parciales $u_{x}, u_{y}, v_{x}$ y $v_{y}$ y satisfacen las ecuaciones de C-R en $U$ , es decir:
$f^{'} (z) = f_{x} = i f_{y},$ y como $f^{'}$ es analítica en $U$ , en particular es continua en $U$ , por lo que las derivadas parciales $u_{x}, u_{y}, v_{x}$ y $v_{y}$ son continuas en $U$ y por tanto $f \in C^{1} (U)$ .

Corolario 36.3.
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto y $f : U \to C$ una función analítica en $U$ . Entonces $f$ es indefinidamente diferenciable en $U$ y todas las derivadas $f^{'}, f^{(2)}, \dots, f^{(k)}, \dots$ , también son funciones analíticas en $U$ . En particular $f \in C^{\infty} (U)$ .

Demostración. Se sigue del resultado anterior al aplicar inducción, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Proposición 36.5. (Fórmula integral de Cauchy para derivadas, en discos.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $z_{0} \in C$ fijo, $r > 0$ , $f : B (z_{0}, r) \to C$ una función analítica en el disco abierto $B (z_{0}, r)$ y $γ : [a, b] \to B (z_{0}, r)$ un contorno cerrado en $B (z_{0}, r)$ . Entonces, para todo $n \in N$ :
$n (γ, z) f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ,$ para todo $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, procedemos por inducción sobre $n$ . Para $n = 0$ tenemos que $f^{(0)} = f$ , por lo que el resultado se sigue de la fórmula integral de Cauchy (para discos), proposición 36.3, para toda función analítica en $B (z_{0}, r)$ . Supongamos que el resultado se cumple para algún $n \in N$ fijo. Verifiquemos que el resultado se cumple para $n + 1$ .

Como $f$ es analítica en $B (z_{0}, r)$ , por la proposición 36.4, tenemos que $f^{'}$ también es analítica en $B (z_{0}, r)$ . Sea $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ fijo, entonces por hipótesis de inducción, aplicada a $f^{'}$ , tenemos que:
$\begin{matrix} (36.5) & n (γ, z) f^{(n + 1)} (z) = n (γ, z) (f^{'})^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f^{'} (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ . \end{matrix}$

Sea $g : B (z_{0}, r) ∖ {z} \to C$ dada por:
$g (ζ) = \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} .$

Es claro que $g$ es analítica en $B (z_{0}, r) ∖ {z}$ y su derivada es:
$g^{'} (ζ) = \frac{f^{'} (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} - \frac{(n + 1) f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 2}} .$

Notemos que $g^{'}$ es una función continua en $B (z_{0}, r) ∖ {z}$ y tiene como primitiva a $g$ , por lo que del TFC para integrales de contorno, proposición 35.1, y la proposición 34.2(1), tenemos que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{γ} g^{'} (ζ) d ζ \\ = \int_{γ} \frac{f^{'} (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ - (n + 1) \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 2}} d ζ, \end{aligned}$ es decir:
$\begin{matrix} (36.6) & \int_{γ} \frac{f^{'} (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ = (n + 1) \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 2}} d ζ . \end{matrix}$

Entonces, de (36.5) y (36.6) se sigue que:
$\begin{aligned} n (γ, z) f^{(n + 1)} (z) & = \frac{n!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f^{'} (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ \\ = \frac{n!}{2 π i} (n + 1) \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 2}} d ζ \\ = \frac{(n + 1)!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 2}} d ζ . \end{aligned}$

Dado que $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ es arbitrario y $f$ una función arbitraria, analítica en $B (z_{0}, r)$ , entonces para todo $n \in N$ y $z \in B (z_{0}, r) ∖ γ ([a, b])$ se cumple que:
$n (γ, z) f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ .$

Ejemplo 36.7.
Sea $B (z_{0}, r) \subset C$ un disco abierto y $f : B (z_{0}, r) \to C$ una función analítica en dicho disco. Si $γ$ es un contorno cerrado contenido en $B (z_{0}, r)$ y $ζ$ es un punto en el interior de $γ$ veamos que:
$\frac{1}{n!} \int_{γ} \frac{f^{(n)} (z)}{z - ζ} d z = \int_{γ} \frac{f (z)}{(z - ζ)^{n + 1}} d z .$

Solución. Como la función $f$ es analítica en $B (z_{0}, r)$ , entonces $f^{(n)}$ es analítica $B (z_{0}, r)$ . Por la fórmula integral de Cauchy tenemos que:
$n (γ, ζ) f^{(n)} (ζ) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f^{(n)} (z)}{z - ζ} d z .$

Por otra parte, de la fórmula integral de Cauchy para derivadas tenemos que:
$n (γ, ζ) f^{(n)} (ζ) = \frac{n!}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z)}{(z - ζ)^{n + 1}} d z .$

Entonces:
$\frac{1}{n!} \int_{γ} \frac{f^{(n)} (z)}{z - ζ} d z = \int_{γ} \frac{f (z)}{(z - ζ)^{n + 1}} d z .$

Ejemplo 36.8.
Veamos que:
$\int_{γ} \frac{e^{z^{2}}}{(z - i)^{4}} d z = - \frac{4 π}{3 e},$ donde $γ$ es la circunferencia $C (0, 2)$ con orientación positiva.

Solución. Tenemos que $γ (t) = 2 e^{i t}$ , para $0 \leq t \leq 2 π$ , parametriza a la circunferencia $C (0, 2)$ , positivamente. Como $i$ está en el interior de $γ$ , por el lema 36.2(1) y el ejemplo 36.4(a), concluimos que:
$n (γ, i) = n (γ, 0) = 1.$

Sea $f (z) = e^{z^{2}}$ . Claramente $f$ es una función entera, por lo que en particular es analítica en cualquier disco abierto $B (0, r)$ , con $r > 2$ . Utilizando las reglas de derivación tenemos que:
$f^{(3)} (z) = (12 z + 8 z^{3}) e^{z^{2}} .$

Como $γ$ está completamente contenida en el disco abierto $B (0, r)$ , con $r > 2$ , entonces, por la fórmula integral de Cauchy para derivadas (en discos), tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{z^{2}}}{(z - i)^{4}} d z & = \frac{2 π i}{3!} n (γ, i) f^{(3)} (i) \\ = \frac{π i}{3} (1) [12 i + 8 i^{3}] e^{i^{2}} \\ = \frac{π i}{3 e} (4 i) \\ = - \frac{4 π}{3 e} . \end{aligned}$

Tarea moral

Determina el valor de las siguientes integrales, donde cada circunferencia está orientada positivamente.
a) $\int_{C (0, 1)} (z^{2} + 2 z)^{- 1} d z$ .
b) $\int_{C (- i, 3 / 2)} (z^{4} + z^{2})^{- 1} d z$ .
Sea $b > 0$ . Muestra que:
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- t^{2}} \cos (2 b π t) d t = \sqrt{π} e^{- b^{2} π^{2}} .$
Hint: Considera la integral:
$\int_{\partial R} e^{- z^{2}} d z,$ donde $R$ es el rectángulo con vértices en $- c, c, c + b π i$ y $- c + b π i$ , para $c > 0$ .
Evalúa las siguientes integrales, donde cada circunferencia está orientada positivamente.
a) $\int_{C (0, 1)} Log (z + e) z^{- 1} d z$ .
b) $\int_{C (0, 2)} e^{z} (z + 1)^{- 2} d z$ .
Muestra que:
$\int_{0}^{\infty} t^{- 1} sen (t) d t = \frac{π}{2} .$
Hint: Considera la integral:
$\int_{γ} z^{- 1} e^{i z} d z,$ ,donde el contorno de integración está dado por $γ = [s, r] + γ_{r} + [- r, - s] - γ_{s}$ , para $0 < s < r < \infty$ , $γ_{r} (t) = r e^{i t}$ y $γ_{s} (t) = s e^{i t}$ , ambas con $t \in [0, π]$ .
Para $k \in N^{+}$ , define:
$I_{k} := \int_{γ_{k}} \frac{sen (z)}{z} d z,$ donde $γ_{k} (t) = e^{t + i t}$ , para $t \in [- 2 π k, 2 π k]$ . Determina el $lim_{k \to \infty} I_{k}$ .
Hint: Usa el ejercicio anterior.
Demuestra la proposición 36.2.
Sea $γ = γ_{1} + γ_{2} + γ_{3}$ , donde $γ_{1} (t) = e^{i t}$ , con $0 \leq t \leq 2 π$ , $γ_{2} (t) = - 1 + 2 e^{- 2 i t}$ , con $0 \leq t \leq 2 π$ y $γ_{3} (t) = 1 - i + e^{i t}$ , con $π / 2 \leq t \leq 9 π / 2$ . Determina todos los valores que toma $n (γ, z)$ para $z \in C ∖ γ$ .

Más adelante…

En esta entrada hemos probado algunos resultado importantes sobre las integrales de contorno como el Teorema Fundamental del Cálculo para el caso complejo y el lema de Goursat, que como veremos nos permitirá probar el Teorema de Cauchy para el caso en que se tiene un contorno cerrado arbitrario.

En la siguiente entrada probaremos algunas versiones del Teorema integral de Cauchy y abordaremos algunas de sus consecuencias más importantes, como la Fórmula Integral de Cauchy, el Teorema de Liouville, el Teorema Fundamental del Álgebra, entre otros. Además veremos un recíproco del Teorema de Cauchy conocido como el Teorema de Morera.

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Variable Compleja I: Teorema integral de Cauchy versión homótopica

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

Dos de las nociones básicas de la topología son la de homotopía y homología. La relación de homotopía describe las características topológicas de dos espacios topológicos en términos de familias de contornos que varían continuamente. Mientras que la homología es una propiedad topológica de un dominio $D \subset C$ , la cual se puede definir en términos de propiedades de contornos en $D$ . Los dos conceptos están relacionados, pero son diferentes.

La versión local del teorema integral de Cauchy, dada en el Teorema 36.3, enfatiza la topología del dominio y cómo el camino se encuentra dentro de él. Para mejorar nuestra comprensión de este hecho, examinamos estas cuestiones topológicas con más detalle. En esta entrada lo haremos de dos maneras: mediante el concepto de homotopía y de homología, para ello consideramos deformaciones continuas de un contorno $γ$ , dada por la noción topológica de homotopía.

Como veremos, tanto el concepto de homotopía como el de homología formalizan la idea de que un dominio $D \subset C$ tiene «agujeros», y el hecho de que la integral a lo largo de un contorno $γ$ depende de cómo se recorre dicho contorno en el dominio $D$ , en relación con estos agujeros. Sin embargo, ambos conceptos lo hacen de forma diferente, aunque relacionada. La homotopía es más fácil para visualizar y geométricamente bastante natural, mientras que la homología es algebraicamente más simple. En esta entrada reformularemos el teorema integral de Cauchy desde estos dos conceptos y extenderemos la versión local del teorema de Cauchy a dominios en el plano complejo $C$ más generales.

El enfoque que tomamos en esta entrada se basa en el concepto geométrico de deformación de contornos. Por ejemplo, si $γ_{0}$ describe a la semicircunferencia en el semiplano superior de $C$ que va de $1$ a $- 1$ , es decir, orientada positivamente, entonces:
$γ_{0} (t) = e^{i t}, \forall t \in [0, π] .$

Por otra parte, si $γ_{1}$ describe a la semicircunferencia en el semiplano inferior de $C$ que va de $1$ a $- 1$ , es decir, orientada negativamente, entonces:
$γ_{1} (t) = e^{- i t}, \forall t \in [0, π] .$

Geométricamente es fácil visualizar que podemos deformar a $γ_{0}$ en $γ_{1}$ por un desplazamiento vertical, figura 138.

Podemos formalizar lo anterior de forma analítica considerando a la función:
$γ_{s} (t) = (1 - s) e^{i t} + s e^{- i t},$ donde $t \in [0, π]$ y $s \in [0, 1]$ .

Entonces, $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos semicirculares y el contorno $γ_{s}$ varía continuamente conforme $s$ varía continuamente de $0$ a $1$ .

Sin embargo, si los contornos no deben pasar por el origen, por ejemplo al considerar a la función $f (z) = z^{- 1}$ , tenemos que $f$ es continua en $D = C ∖ {0}$ , pero para $γ_{1 / 2}$ , si $t = π / 2$ , entonces dicho contorno pasa por el origen, es decir, puede haber contornos en $D$ cuya deformación pase por el origen, como es el caso de la deformación $γ_{s}$ . De hecho, se puede verificar que no existe ninguna deformación continua de $γ_{0}$ en $γ_{1}$ sin que algún contorno intermedio pase por el origen.

Entonces, el origen se vuelve un obstáculo para deformar el contorno, y cualquier intento de hacerlo hace que el camino $γ_{s}$ pase por el origen. Es decir, el origen crea un agujero y el contorno no puede cruzar el agujero.

Figura 138: Deformación continua del contorno $γ_{0}$ en el contorno $γ_{1}$ .

Primeramente formalizamos lo que es una homotopía en el plano complejo $C$ .

Definición 38.1.(Homotopía.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio y $γ_{0}, γ_{1} : [a, b] \to D$ dos contornos. Una homotopía entre $γ_{0}$ y $γ_{1}$ es una función continua:
$H : [a, b] \times [0, 1] \to D,$ tal que:
$\begin{aligned} H (t, 0) & = γ_{0} (t), \forall t \in [a, b], \\ H (t, 1) & = γ_{1} (t), \forall t \in [a, b] . \end{aligned}$

Cuando existe tal homotopía, se dice que $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son homotópicas en $D$ , lo cual se denota como $γ_{0} \sim_{D} γ_{1}$ .

Observación 38.1.
Si $γ_{s} (t) := H (t, s)$ , entonces, para cada $s \in [0, 1]$ fijo, $γ_{s}$ es un contorno en $D$ , el cual deforma continuamente a $γ_{0}$ en $γ_{1}$ , conforme $s$ varía continuamente de $0$ a $1$ .

Nuestro objetivo es aplicar esta definición de homotopía a la integración compleja al considerar qué sucede con $\int_{γ} f (z) d z$ cuando permitimos que el contorno $γ$ varíe continuamente, por lo que resulta preciso establecer condiciones bajo las cuales $γ$ puede deformarse continuamente sin cambiar la integral.

Una definición precisa de estas homotopías es motivado por los siguientes tres supuestos:

Si $z_{0}$ y $z_{1}$ son puntos en un dominio $D \subset C$ , $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos en $D$ que unen a $z_{0}$ con $z_{1}$ . Es, decir, $γ_{0}$ y $γ_{1}$ tienen como punto inicial a $z_{0}$ y como punto final a $z_{1}$ . Entonces, es posible deformar continuamente a $γ_{0}$ para que coincida con $γ_{1}$ , manteniendo los extremos fijos en $z_{0}$ y $z_{1}$ , sin salir de $D$ .
Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos cerrados en un dominio $D \subset C$ , es posible deformar continuamente a $γ_{0}$ para que coincida con $γ_{1}$ , en posición y orientación, sin salir de $D$ .
Si $γ_{0}$ es un contorno cerrado en un dominio $D \subset C$ , es posible deformar continuamente a $γ_{0}$ a un punto $z_{0} \in D$ , sin salir de $D$ . Esta situación es un caso particular del anterior, cuando el $γ_{1} (t) = z_{0}$ para todo $t$ , es decir, se degenera en un punto.

En cualquier caso las deformaciones deben mantener al contorno dentro del dominio $D \subset C$ donde la función $f$ es analítica.

Motivados en lo anterior, planteamos las siguientes definiciones.

Definición 38.2. (Homotopía con extremos fijos.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio, $γ_{0}, γ_{1} : [a, b] \to D$ dos contornos tales que $γ_{0} (0) = γ_{1} (0) = z_{0} \in D$ y $γ_{0} (1) = γ_{1} (1) = z_{1} \in D$ . Se dice que $γ_{0}$ es {\bf homótopica con extremos fijos} a $γ_{1}$ si existe una función continua:
$H : [a, b] \times [0, 1] \to D,$ tal que:

$H (t, 0) = γ_{0} (t), \forall t \in [a, b]$ ,
$H (t, 1) = γ_{1} (t), \forall t \in [a, b]$ ,
$H (a, s) = z_{0}, \forall s \in [0, 1]$ ,
$H (b, s) = z_{1}, \forall s \in [0, 1]$ .

La función continua $H$ se llama una homotopía con extremos fijos o una deformación continua con extremos fijos.

Observación 38.2.
Si $γ_{s} (t) := H (t, s)$ , entonces, para cada $s \in [0, 1]$ fijo, $γ_{s}$ es un contorno en $D$ que une a $z_{0}$ con $z_{1}$ . Conforme $s$ varía continuamente de $0$ a $1$ , el contorno $γ_{s}$ deforma continuamente a $γ_{0}$ en $γ_{1}$ .

Ejemplo 38.1.
Sean $D = {z \in C : | z | < 2} = B (0, 2)$ , $γ_{0} (t) = t$ y $γ_{1} (t) = e^{i π / 2 (t - 1)}$ , ambas con $t \in [- 1, 1]$ . Veamos que $γ_{0}$ es homotópica con extremos fijos a $γ_{1}$ .

Solución. Sea $z_{0} = - 1$ y $z_{1} = 1$ . De acuerdo con la definición 38.2 solo basta con exhibir una función continua $H : [- 1, 1] \times [0, 1] \to D$ que satisfaga las cuatro propiedades.

Sea $H : [- 1, 1] \times [0, 1] \to D$ dada por:
$H (t, s) = (1 - s) γ_{0} (t) + s γ_{1} (t), (t, s) \in [- 1, 1] \times [0, 1] .$

Separando a $H$ en su parte real e imaginaria, por la proposición 15.1, es claro que $H$ es continua ya que $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son continuas. Más aún, para todo $t \in [- 1, 1]$ se cumple que $H (t, 0) = γ_{0} (t)$ y $H (t, 1) = γ_{1} (t)$ . Mientras que para todo $s \in [0, 1]$ se cumple que:
$H (- 1, s) = (1 - s) (- 1) + s (e^{- i π}) = - 1 + s + s (- 1) = - 1 = z_{0} .$
$H (1, s) = (1 - s) (1) + s (e^{0}) = 1 - s + s (1) = 1 = z_{1} .$

Por lo tanto $γ_{0}$ es homotópica con extremos fijos a $γ_{1}$ , figura 139.

Figura 139: Homotopía con extremos fijos del contorno $γ_{0}$ en el contorno $γ_{1}$ , en el dominio $D$ .

Definición 38.3. (Homotopía de contornos cerrados y homotopía a un punto.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio, $γ_{0}, γ_{1} : [a, b] \to D$ dos contornos cerrados en $D$ . Se dice que $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son {\bf homótopicas como contornos cerrados}, si existe una función continua:
$H : [a, b] \times [0, 1] \to D,$ tal que:

$H (t, 0) = γ_{0} (t), \forall t \in [a, b]$ ,
$H (t, 1) = γ_{1} (t), \forall t \in [a, b]$ ,
$H (a, s) = H (b, s), \forall s \in [0, 1]$ .

La función continua $H$ se llama una homotopía de contornos cerrados o una deformación continua de contornos cerrados.

Si $γ_{1}$ es un contorno constante, es decir, $γ_{1} (t) = z_{0}$ para todo $t \in [a, b]$ y $z_{0} \in D$ , entonces se dice que $γ_{0}$ es homotópica a un punto $z_{0}$ en el dominio $D$ .

Observación 38.3.
Si $γ_{s} (t) := H (t, s)$ , entonces, para cada $s \in [0, 1]$ fijo, $γ_{s}$ es un contorno cerrado en $D$ , para todo $s \in [0, 1]$ . Conforme $s$ varía continuamente de $0$ a $1$ , el contorno $γ_{s}$ deforma continuamente a $γ_{0}$ en $γ_{1}$ .

Más aún, si $γ_{0}$ es homotópica a un punto $z_{0} \in D$ , la tercera condición de la definición 38.3 establece que el punto inicial de $H (0, s)$ y el punto final de $H (1, s)$ son el mismo.

Ejemplo 38.2.
Veamos que la circunferencia unitaria y la elipse $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ , ambas orientadas positivamente, son homotópicas como curvas cerradas en la región anular:
$D_{1} = {z \in C : \frac{1}{2} < | z | < 3} .$

Mientras que la circunferencia unitaria es homotópica a $0$ en el dominio $D_{2} = B (0, 3)$ .

Solución. Podemos parametrizar a la circunferencia y a la elipse, respectivamente, como:
$γ_{0} (t) = e^{i t} y γ_{1} (t) = 2 \cos (t) + i sen (t), \forall t \in [0, 2 π] .$

Para la primera parte del ejercicio proponemos a la función $H_{1} : [0, 2 π] \times [0, 1] \to D_{1}$ dada por:
$H_{1} (t, s) = (1 + s) \cos (t) + i sen (t) .$

Dado que $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son funciones continuas, entonces $H_{1}$ es continua.

Por otra parte, es claro que para todo $t \in [0, 2 π]$ se cumple que $H_{1} (t, 0) = γ_{0} (t)$ y $H_{1} (t, 1) = γ_{1} (t)$ . Mientras que para todo $s \in [0, 1]$ tenemos que:
$H_{1} (0, s) = 1 + s = H_{1} (2 π, s),$ por lo que $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son homotópicas como curvas cerradas en $D_{1}$ , figura 140.

Figura 140: Homotopía de los contornos cerrados $γ_{0}$ y $γ_{1}$ , en el dominio $D_{1}$ .

Para la segunda parte del ejercicio, consideramos a $γ_{1} (t) = 0$ , para todo $t \in [0, 2 π]$ . Proponemos a la función $H_{2} : [0, 2 π] \times [0, 1] \to D_{1}$ dada por:
$H_{2} (t, s) = (1 - s) γ_{0} (t) .$

Claramente $H_{2}$ es continua. Además, para todo $t \in [0, 2 π]$ se cumple que $H_{2} (t, 0) = γ_{0} (t)$ y $H_{2} (t, 1) = γ_{1} (t)$ . Mientras que para todo $s \in [0, 1]$ tenemos que:
$H_{2} (0, s) = (1 - s) (1) = H_{2} (2 π, s),$ por lo que $γ_{0}$ es homotópica a $0$ en $D_{2}$ , figura 141.

Figura 141: Homotopía del contorno cerrado $γ_{0}$ en $0$ , en el dominio $D_{2}$ .

Considerando lo anterior, ahora podemos formalizar la idea de un dominio $D \subset C$ sin agujeros o sin hoyos.

Definición 38.4. (Dominio simplemente conexo y múltiplemente conexo.)
Sea $D \subset C$ un dominio, es decir, un conjunto abierto y conexo. Se dice que $D$ es simplemente conexo si toda curva cerrada en $D$ es homotópica (como una curva cerrada) a un punto en $D$ , es decir, a alguna curva constante en $D$ .

Si $D$ no es simplemente conexo, entonces se llama múltiplemente conexo. Un dominio múltiplemente conexo con $n$ agujeros u hoyos, se llama $(n + 1)$ -conexo.

Ejemplo 38.3.
a) $C$ es un dominio simplemente conexo.
b) Sea $r > 0$ y $z_{0} \in C$ fijo. Todo disco abierto $B (z_{0}, r)$ es un dominio simplemente conexo. Mientras que todo disco perforado $B^{*} (z_{0}, r) = {z \in C : 0 < | z - z_{0} | < r}$ es un dominio doblemente conexo.
c) La región anular ${z \in C : 1 < | z | < 2}$ es un dominio doblemente conexo.

En este punto es importante considerar los siguientes resultados de nuestros cursos de Cálculo.

Teorema 38.1. (Igualdad de las derivadas parciales cruzadas.)
Si $U \subset R^{2}$ es un conjunto abierto y $u : U \to R$ es una función real de clase $C^{2} (U)$ , entonces las derivadas parciales cruzadas son iguales, es decir:
$\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} .$

Teorema 38.2. (Regla de Leibniz o de diferenciación bajo el signo de integral.)
Sean $[a, b], [c, d] \subset R^{2}$ , con $a < b$ y $c < d$ , dos intervalos cerrados y $f : [a, b] \times [c, d] \to R$ una función continua en $[a, b] \times [c, d]$ . Entonces la función real $g : [a, b] \to R$ dada por:
$g (x) = \int_{c}^{d} f (x, y) d y,$ es continua en $[a, b]$ . Más aún, si la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ existe y es continua en $[a, b] \times [c, d]$ , entonces $g$ es diferencibale en $[a, b]$ , con $g^{'}$ continua y dada por:
$g^{'} (x) = \frac{d}{d x} \int_{c}^{d} f (x, y) d y = \int_{c}^{d} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) d y .$

Observación 38.4.
A lo largo de esta cuarta unidad hemos trabajado con contornos para garantizar que las curvas a lo largo de las cuales integramos sean funciones continuas de clase $C^{1}$ o de clase $C^{1}$ a trozos. Sin embargo, notemos que en las definiciones 38.1, 38.2 y 38.3 solo se pidió que la función $H$ , que determina a la homotopía, sea una función continua, pero no se estableció nada sobre su diferenciabilidad, por lo que las curvas $γ_{s} (t) = H (t, s)$ , con $s \in [0, 1]$ , sobre las que se integra a una función compleja, no necesariamente tienen que ser de clase $C^{1}$ o de clase $C^{1}$ a trozos, sino que simplemente son funciones continuas, por lo que es importante considerar esta pequeña sutileza, ya que la prueba que daremos del siguiente resultado considerará este supuesto adicional sobre la diferenciabilidad de las curvas $γ_{s}$ . Una prueba completa, sin este supuesto adicional, se escapa de los objetivos de estas notas, pero puede consultarse en los siguientes textos:
Complex Analysis de Ian Stewart, David Tall.
Functions of One Complex Variable I de John B. Conway.
Complex Analysis with Applications de Nakhlé H. Asmar, Loukas Grafakos.

Teorema 38.3. (Teorema integral de Cauchy, versión homotópica.)
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función analítica en $D$ y $γ_{0}, γ_{1} : [a, b] \to D$ son dos contornos en $D$ .

Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos que unen a $z_{0}, z_{1} \in D$ y son homotópicas (con extremos fijos) en $D$ , entonces:
$\int_{γ_{0}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$
Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos cerrados y son homotópicas (como contornos cerrados) en $D$ , entonces:
$\int_{γ_{0}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $H : [a, b] \times [0, 1] \to D$ una homotopía entre $γ_{0}$ y $γ_{1}$ . Como se mencionó en la observación 38.4, adicionalmente suponemos que $H (t, s)$ es una función de clase $C^{2} ([a, b] \times [0, 1])$ .

Para cada $s \in [0, 1]$ fijo, definimos al contorno $γ_{s} (t) := H (t, s)$ , para $t \in [a, b]$ . Sea $I (s)$ la integral de $f$ a lo largo del contorno $γ_{s}$ , es decir:
$\begin{aligned} I (s) : & = \int_{γ_{s}} f (z) d z \\ = \int_{a}^{b} f (γ_{s} (t)) γ_{s}^{'} (t) d t \\ = \int_{a}^{b} f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} d t . \end{aligned}$

Veamos que $I (s)$ es una función constante, para ello determinamos su derivada. Por hipótesis sabemos que $f$ es una función analítica en $D$ , en particular es continua en $D$ y como $H (t, s)$ es una función de clase $C^{2}$ , en particular para cada $s \in [0, 1]$ , $γ_{s} (t)$ es un contorno en $D$ , entonces $I (s)$ es una función bien definida y en particular continua en $[0, 1]$ , teorema 38.2.

Por la proposición 36.4 sabemos que $f \in C^{1} (D)$ , ya que $f$ es analítica en $D$ , por lo que $f^{'}$ es una función continua en $D$ y para cada $s \in [0, 1]$ fijo, el contorno $γ_{s}$ está completamente contenido en $D$ , entonces, de la regla de la cadena y la regla de Leibniz, tenemos que:
$\begin{aligned} I^{'} (s) & = \frac{d}{d s} \int_{a}^{b} f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} d t \\ = \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial s} [f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial t}] d t \\ (38.1) & = \int_{a}^{b} [f^{'} (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s} \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} + f (H (t, s)) \frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial s \partial t}] d t . \end{aligned}$

Notemos que:
$\frac{\partial}{\partial t} [f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s}] = f^{'} (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s} \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} + f (H (t, s)) \frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial s \partial t},$ y como $H$ es de clase $C^{2}$ , entonces por el teorema 38.1 se cumple que:
$\frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial t \partial s} = \frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial s \partial t},$ es decir:
$\begin{matrix} (38.2) & \frac{\partial}{\partial t} [f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s}] = f^{'} (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s} \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} + f (H (t, s)) \frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial t \partial s} . \end{matrix}$

Entonces, de (38.1), (38.2) y la proposición 33.2, se sigue que:
$\begin{aligned} I^{'} (s) & = \int_{a}^{b} [f^{'} (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s} \frac{\partial H (t, s)}{\partial t} + f (H (t, s)) \frac{\partial^{2} H (t, s)}{\partial s \partial t}] d t \\ = \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial t} [f (H (t, s)) \frac{\partial H (t, s)}{\partial s}] d t \\ (38.3) & = f (H (b, s)) \frac{\partial H (b, s)}{\partial s} - f (H (a, s)) \frac{\partial H (a, s)}{\partial s} . \end{aligned}$

De acuerdo con (38.3), tenemos lo siguiente.

Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos que unen a $z_{0}, z_{1} \in D$ y $H$ es una homotopía (con extremos fijos) entre en $γ_{0}$ y $γ_{1}$ , entonces:
$\begin{aligned} I^{'} (s) & = f (H (b, s)) \frac{\partial H (b, s)}{\partial s} - f (H (a, s)) \frac{\partial H (a, s)}{\partial s} \\ = f (z_{1}) \frac{\partial z_{1}}{\partial s} - f (z_{0}) \frac{\partial z_{0}}{\partial s} \\ = 0, \end{aligned}$ para todo $s \in [0, 1]$ .

Por lo que, para todo $s \in [0, 1]$ tenemos que $I (s)$ es una función constante, en particular tenemos que $I (0) = I (1)$ , es decir:
$\int_{γ_{0}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$
Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos cerrados y $H$ es una homotopía (como contornos cerrados) entre $γ_{0}$ y $γ_{1}$ , entonces:
$\begin{aligned} I^{'} (s) & = f (H (b, s)) \frac{\partial H (b, s)}{\partial s} - f (H (a, s)) \frac{\partial H (a, s)}{\partial s} \\ = f (H (b, s)) \frac{\partial H (b, s)}{\partial s} - f (H (b, s)) \frac{\partial H (b, s)}{\partial s} \\ = 0, \end{aligned}$ para todo $s \in [0, 1]$ .

Por lo que, para todo $s \in [0, 1]$ tenemos que $I (s)$ es una función constante, en particular tenemos que $I (0) = I (1)$ , es decir:
$\int_{γ_{0}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$

Corolario 38.1.
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función analítica en $D$ y $γ : [a, b] \to D$ un contorno cerrado en $D$ . Si $γ$ es homotópica a un punto en $D$ , entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = 0.$

Demostración. Dadas las hipótesis, como $γ$ es homotópica a un punto en $z_{0} \in D$ , es decir, a una curva constante $β (t) = z_{0}$ para todo $t \in [a, b]$ , entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = \int_{β} f (z) d z = \int_{a}^{b} f (β (t)) β^{'} (t) d t = \int_{a}^{b} f (z_{0}) (0) d t = 0.$

El siguiente resultado generaliza el teorema integral de Cauchy para discos.

Corolario 38.2.
Sean $D \subset C$ un dominio simplemente conexo y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = 0,$ para todo contorno $γ$ cerrado en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, consideremos al contorno cerrado $γ : [a, b] \subset R \to D$ , con $a < b$ . Como el dominio $D$ es simplemente conexo, entonces al ser $γ$ un contorno cerrado en $D$ , por definición es homotópica a un punto en $z_{0} \in D$ , es decir, a una curva constante $β (t) = z_{0}$ para todo $t \in [a, b]$ , entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = \int_{β} f (z) d z = \int_{a}^{b} f (β (t)) β^{'} (t) d t = \int_{a}^{b} f (z_{0}) (0) d t = 0.$

Como $γ$ es arbitraria, el resultado se cumple para todo contorno cerrado en $D$ .

Corolario 38.3.
Sean $D \subset C$ un dominio simplemente conexo y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Las siguientes condiciones son equivalentes.

$f$ tiene una primitiva $F$ en $D$ .
Si $γ_{0}$ y $γ_{1}$ son dos contornos en $D$ con los mismos puntos inicial y final, entonces:
$\int_{γ_{0}} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z .$

Demostración. El resultado se sigue del corolario 38.2 y la proposición 35.2.

Observación 38.5.
Notemos que la primitiva $F$ de la función $f$ , en el corolario 38.3(1) es:
$F (z) = \int_{γ_{z}} f (ζ) d ζ,$ donde $γ_{z}$ es el contorno en $D$ que une a un punto fijo $z_{0} \in D$ con $z \in D$ .

Ejemplo 38.4.
Evaluemos la integral:
$\int_{C (0, 2)} \frac{e^{z}}{z^{2} - 9} d z,$ donde la circunferencia $C (0, 2)$ está orientada positivamente.

Solución. Parametrizamos a la circunferencia $C (0, 2)$ como $γ (t) = 2 e^{i t}$ , para $t \in [0, 2 π]$ .

Sea $f (z) = \frac{e^{z}}{z^{2} - 9}$ . Es claro que $f$ es analítica en $D = C ∖ {- 3, 3}$ . Dado que $C (0, 2) \subset D$ , entonces no pasa por los puntos donde $f$ no es analítica, por lo que, del ejemplo 38.2 concluimos que $γ$ es homotópica a $0 \in D$ , figura 142, entonces:
$\int_{γ} \frac{e^{z}}{z^{2} - 9} d z = 0.$

Figura 142: Homotopía del contorno cerrado $γ$ en el punto $0$ , en el dominio $D$ .

Proposición 38.1. (Extensión del teorema de Cauchy para dominios múltiplemente conexos.)
Sean $C, C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}$ contornos cerrados simples, orientados positivamente, tales que cada contorno $C_{k}$ está en el interior de $C$ , para $k = 1, \dots, n$ y el interior de $C_{k}$ no tiene puntos en común con el interior de $C_{j}$ , si $k \neq j$ , es decir, $I (C_{k}) \cap I (C_{j}) = \emptyset$ para todo $k \neq j$ . Sea $D \subset C$ un dominio tal que $D$ contiene a todos los contornos y la región entre $C$ y $C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n}$ . Si $f : D \to C$ es una función analítica en $D$ , entonces:
$\int_{C} f (z) d z = \sum_{k = 1}^{n} \int_{C_{k}} f (z) d z .$

Demostración. Dadas las hipótesis, por simplicidad solo probaremos el caso para dos contornos cerrados simples, orientados positivamente. La prueba del caso general es completamente análoga y se deja como ejercicio al lector.

Nos apoyaremos en la figura 143 para la prueba. Debe ser claro que los contornos utilizados han sido elegidos para simplificar la gráfica, aunque el resultado sigue siendo válido para cualesquiera contornos que satisfagan las condiciones del resultado.

La prueba consiste en construir dos contornos disjuntos o cortes, digamos $L_{1}$ y $L_{2}$ , que unen a $C_{1}$ con $C$ . Así, el contorno $C_{1}$ será dividido en dos contornos $C_{1}^{*}$ y $C_{1}^{* *}$ , mientras que el contorno $C$ será dividido en dos contornos $C^{*}$ y $C^{* *}$ , como se muestra en la figura 144. Entonces tenemos dos nuevos contornos:
$K_{1} = - C_{1}^{*} + L_{1} + C^{*} - L_{2} y K_{2} = - C_{1}^{* *} + L_{2} + C^{* *} - L_{1} .$

Figura 143: Dominio $D$ que contiene a los contornos cerrados simples $C$ y $C_{1}$ y a la región entre ellos.

Figura 144: Los cortes $L_{1}$ y $L_{2}$ y los contornos cerrados simples $K_{1}$ y $K_{2}$ .

(a) El contorno $K_{1}$ y el dominio $D_{1}$ .

Es claro que el dominio $D$ es doblemente conexo, mientras que los nuevos dominios $D_{1}$ y $D_{2}$ son simplemente conexos y los contornos $K_{1}$ y $K_{2}$ son cerrados simples, orientados positivamente y cada uno está contenido en los dominios $D_{1}$ y $D_{2}$ . respectivamente. Por hipótesis la función $f$ es analítica en el dominio $D = D_{1} \cup D_{2}$ , por lo que $f |_{D_{1}}$ y $f |_{D_{2}}$ también son analíticas.

Aplicando el corolario 38.2, tenemos que:
$\int_{K_{1}} f (z) d z = 0 y \int_{K_{2}} f (z) d z = 0.$

Por la proposición 34.2 tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{K_{1}} f (z) d z & = \int_{- C_{1}^{*} + L_{1} + C^{*} - L_{2}} f (z) d z \\ = \int_{- C_{1}^{*}} f (z) d z + \int_{L_{1}} f (z) d z + \int_{C^{*}} f (z) d z + \int_{- L_{2}} f (z) d z \\ = - \int_{C_{1}^{*}} f (z) d z + \int_{L_{1}} f (z) d z + \int_{C^{*}} f (z) d z - \int_{L_{2}} f (z) d z . \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{K_{2}} f (z) d z & = \int_{- C_{1}^{* *} + L_{2} + C^{* *} - L_{1}} f (z) d z \\ = \int_{- C_{1}^{* *}} f (z) d z + \int_{L_{2}} f (z) d z + \int_{C^{* *}} f (z) d z + \int_{- L_{1}} f (z) d z \\ = - \int_{C_{1}^{* *}} f (z) d z + \int_{L_{2}} f (z) d z + \int_{C^{* *}} f (z) d z - \int_{L_{1}} f (z) d z . \end{aligned}$

Por lo que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{K_{1}} f (z) d z + \int_{K_{2}} f (z) d z \\ = - \int_{C_{1}^{*}} f (z) d z + \int_{C^{*}} f (z) d z - \int_{C_{1}^{* *}} f (z) d z + \int_{C^{* *}} f (z) d z \\ = \int_{C^{*} + C^{* *}} f (z) d z - \int_{C_{1}^{*} + C_{1}^{* *}} f (z) d z \\ = \int_{C} f (z) d z - \int_{C_{1}} f (z) d z . \end{aligned}$

Entonces:
$\int_{C} f (z) d z = \int_{C_{1}} f (z) d z .$

Proposición 38.2. (Extensión de la fórmula integral de Cauchy para dominios simplemente conexos.)
Sean $D \subset C$ un dominio simplemente conexo, $f : D \to C$ una función analítica en $D$ y $C$ un contorno cerrado simple, orientado positivamente, tal que está completamente contenido en $D$ . Si $z_{0}$ es un punto en el interior de $C$ , entonces:
$f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \int_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z .$

Demostración. Dadas las hipótesis, como $f$ es analítica en $D$ , en particular es continua en $z_{0} \in D$ que está en el interior de $C$ , por lo que dado $ε > 0$ existe $δ > 0$ tal que si $| z - z_{0} | < δ$ , entonces $| f (z) - f (z_{0}) | < ε$ .

Notemos que la circunferencia $γ$ dada por $C (z_{0}, δ / 2)$ , orientada positivamente, también está en el interior de $C$ .

Dado que $f (z_{0})$ es un valor fijo, entonces por el ejemplo 34.1(a) tenemos que:
$f (z_{0}) = \frac{f (z_{0})}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{z - z_{0}} d z = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z_{0})}{z - z_{0}} d z .$

Por el corolario 38.3(2) tenemos que:
$\frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z = \frac{1}{2 π i} \int_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z .$

Entonces, de la proposición 34.2(1) y la proposición 34.3(5), tenemos que:
$\begin{aligned} | \frac{1}{2 π i} \int_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z - f (z_{0}) | & = | \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z - \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z_{0})}{z - z_{0}} d z | \\ = | \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}} d z | \\ \leq \frac{1}{2 π} \int_{γ} \frac{| f (z) - f (z_{0}) |}{| z - z_{0} |} | d z | \\ < \frac{1}{2 π} \frac{ε}{δ / 2} \int_{γ} | d z | \\ = \frac{1}{2 π} \frac{ε}{δ / 2} δ π \\ = ε . \end{aligned}$

Dado que $ε > 0$ es arbitrario, entonces:
$| \frac{1}{2 π i} \int_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z - f (z_{0}) | = 0 ⟹ f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \int_{C} \frac{f (z)}{z - z_{0}} d z .$

Ejemplo 38.5.
Evaluemos la integral:
$\int_{γ} \frac{5 z - 2}{z^{2} - z} d z,$ donde $γ$ es el contorno cerrado dado en la figura 145.

Solución. Sea $f (z) = \frac{5 z - 2}{z^{2} - z}$ . Claramente $f$ es analítica en $D = C ∖ {0, 1}$ , ya que en $z_{1} = 0$ y en $z_{2} = - 1$ el denominador de la función racional se anula. Si consideramos a dos circunferencias con centro en $z_{1}$ y $z_{2}$ , de radio suficientemente pequeño para caer dentro del contorno $γ$ y las orientamos positivamente, entonces por la proposición 38.1 tenemos que:
$\int_{γ} f (z) d z = \int_{γ_{1}} f (z) d z + \int_{γ_{2}} f (z) d z .$

Aplicando fracciones parciales tenemos que:
$\frac{5 z - 2}{z^{2} - z} = \frac{2}{z} + \frac{3}{z - 1} .$

Por lo que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{5 z - 2}{z^{2} - z} d z & = \int_{γ_{1}} (\frac{2}{z} + \frac{3}{z - 1}) d z + \int_{γ_{2}} (\frac{2}{z} + \frac{3}{z - 1}) d z \\ = 2 \int_{γ_{1}} \frac{1}{z} d z + 3 \int_{γ_{1}} \frac{1}{z - 1} d z + 2 \int_{γ_{2}} \frac{1}{z} d z + 3 \int_{γ_{2}} \frac{1}{z - 1} d z \\ = 2 (2 π i) + 0 + 0 + 3 (2 π i) \\ = 10 π i . \end{aligned}$

Figura 145: Contornos $γ$ , $γ_{1}$ y $γ_{2}$ en $D$ .

Ejemplo 38.6.
Veamos que:
$\int_{γ} \frac{e^{z}}{z - 1} d z = i 2 π e,$ donde $γ$ es la circunferencia $C (0, 2)$ orientada positivamente.

Solución. Sea $f (z) = e^{z}$ . Claramente $f$ es una función entera, $γ$ está completamente contenido en $C$ y $z_{0} = 1$ es un punto en el interior de $γ$ , entonces por la fórmula integral de Cauchy tenemos que:
$e = f (1) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{e^{z}}{z - 1} d z,$ de donde el resultado se sigue al multiplicar por $2 π i$ la igualdad anterior.

Cerramos esta entrada mencionando algunos resultados relacionados con la versión homológica del teorema integral de Cauchy.

Definición 38.5. (Ciclo en $C$ .)
A una sucesión finita de curvas cerradas suaves o suaves a trozos en $C$ , se le llama un ciclo y se le denota como $σ = (γ_{1}, \dots, γ_{n})$ . En un ciclo no importa el orden de las curvas cerradas, es decir, un ciclo es una secuencia finita, no ordenada, de contornos cerrados en $C$ .

Ejemplo 38.7.
Dado que $σ$ es una sucesión finita de contornos cerrados en $C$ , entonces un contorno cerrado es un ciclo.

Observación 38.6.
Denotamos a la unión de las curvas que forman a un ciclo, es decir, al conjunto compacto:
$γ_{1} (I_{1}) \cup γ_{2} (I_{2}) \cup \dots \cup γ_{n} (I_{n}),$ como $| σ |$ , donde $I_{k}$ es un intervalo real cerrado y $γ_{k} (I_{k})$ la imagen o la curva de dicho intervalo bajo el contorno $γ_{k}$ , para $1 \leq k \leq n$ . Entonces, diremos que un ciclo $σ$ está en un conjunto $S \subset C$ si $| σ | \subset S$ .

Definición 38.6.
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto, $f : U \to C$ una función continua en $U$ y $σ$ un ciclo en $U$ . Se define a la integral de $f$ a lo largo del ciclo $σ$ como:
$\int_{σ} f (z) d z := \int_{γ_{1}} f (z) d z + \int_{γ_{2}} f (z) d z + \dots + \int_{γ_{n}} f (z) d z .$

En particular, para $z \in C ∖ | σ |$ se define el índice de $σ$ respecto a $z$ , es decir, $n (σ, z)$ , como:
$n (σ, z) = \frac{1}{2 π i} \int_{σ} \frac{d ζ}{ζ - z} .$

Definición 38.7. (Ciclo homólogo a $0$ .)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto y $σ$ un ciclo en $U$ . Se dice que $σ$ es como homólogo a $0$ en $U$ si $n (σ, z) = 0$ para todo $z \in C ∖ U$ .

Observación 38.7.
Dado que para $z \in C ∖ | σ |$ se cumple que $z \in C ∖ γ_{k} (I_{k})$ , para cada contorno cerrado $γ_{k}$ que forma a $σ$ , entonces:
$n (σ, z) = n (γ_{1}, z) + n (γ_{2}, z) + \dots + n (γ_{n}, z) .$

Antes de continuar con el resultado esperado, podemos preguntarnos sobre ¿cuál es la relación del concepto de homología con el de homotopía? Específicamente podemos preguntarnos si ¿existe una relación entre ser un contorno homotópico a un punto y un contorno homólogo a 0? Para responder a esto tenemos la siguiente:

Proposición 38.3.
Sean $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $D \subset C$ un dominio y $γ : [a, b] \to C$ un contorno cerrado en $D$ . Si $γ$ es homotópica a un punto $z_{0} \in D$ , entonces $γ$ es homólogica a $0$ en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, como $γ$ es homotópica a un punto $z_{0} \in D$ , es decir, a una curva constante $β (t) = z_{0}$ para todo $t \in [a, b]$ , entonces, del teorema 38.3 y la definición 36.1, se cumple que:
$n (γ, z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{d ζ}{ζ - z} = \frac{1}{2 π i} \int_{β} \frac{d ζ}{ζ - z} = \int_{a}^{b} \frac{β^{'} (t)}{β (t) - z} d t = 0,$ para todo $z \in C ∖ γ ([a, b])$ .

Teorema 38.4. (Teorema integral de Cauchy, versión homológica.)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto, $f : U \to C$ una función analítica en $U$ y $σ$ un ciclo en $U$ . Entonces:
$\int_{σ} f (z) d z = 0,$ si y solo si $σ$ es homólogo a $0$ en $U$ .

Omitimos la prueba de este hecho, pero se puede consultar una prueba detallada en An Introduction to Complex Function Theory, de Bruce P. Palka, y una prueba parcial de este resultado en Notas para un curso de Variable Compleja I, de Oscar Palmas Velasco y Alberto Lazcano García.

Proposición 38.4. (Fórmula integral de Cauchy, versión homológica.)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto, $f : U \to C$ una función analítica en $U$ y $σ$ un ciclo en $U$ . Si $σ$ es homólogo a $0$ en $U$ , entonces:
$n (σ, z) f (z) d z = \frac{1}{2 π i} \int_{σ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ,$ para todo $z \in U ∖ | σ |$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, fijamos un punto $z \in U ∖ | σ |$ . Definimos a la función:
$g : U \to C,$ como:
$g (ζ) = {\begin{array}{lcc} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} & si & ζ \neq z, \\ f^{'} (z) & si & ζ = z, \end{array}$ donde $ζ$ es una variable independiente.

Es claro que $g$ es una función analítica en $U ∖ {z}$ . Más aún, como $f$ es analítica en $U$ , entonces:
$lim_{ζ \to z} g (ζ) = lim_{ζ \to z} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} = f^{'} (z) = g (z),$ es decir, $g$ es continua en $z$ , por lo que $g$ es continua en $U$ , entonces, por el teorema de Morera generalizado, tenemos que $g$ es analítica en $U$ .

Como $z$ no está en ninguno de los contorno cerrados $γ_{k}$ , que conforman al ciclo $σ$ , del teorema 38.4 y la definición 38.6, tenemos que:
$\begin{aligned} 0 & = \int_{σ} g (ζ) d ζ \\ = \int_{σ} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} d ζ \\ = \int_{σ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - \int_{σ} \frac{f (z)}{ζ - z} d ζ \\ = \int_{σ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - 2 π i n (σ, z) f (z), \end{aligned}$ es decir:
$n (σ, z) f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{σ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ .$

Dado que $z \in U ∖ | σ |$ es arbitrario, entonces se tiene el resultado.

Con los resultados previos podemos dar otra prueba del corolario 38.3.

Corolario 38.4.
Sean $D \subset C$ un dominio simplemente conexo y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Entonces existe una primitiva de $f$ en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $γ$ un contorno cerrado en $D$ . Como $D$ es simplemente conexo, $γ$ es homotópico a un punto $z_{0} \in D$ . Por la proposición 38.1 $γ$ es homólogo a $0$ en $D$ y por el teorema 38.4 se cumple que:
$\begin{matrix} (38.4) & \int_{γ} f (z) d z = 0. \end{matrix}$

Dado que $γ$ es arbitraria, entonces (38.4) se cumple para todo contorno cerrado $γ$ en $D$ . Por lo tanto, de la proposición 35.2 sabemos que esto es equivalente a que exista una primitiva de $f$ en $D$ , es decir, una función analítica $F : D \to C$ tal que $F^{'} (z) = f (z)$ para todo $z \in D$ .

Teorema 38.5.
Sean $D \subset C$ un dominio. Si todo contorno cerrado en $D$ es homólogo a $0$ , entonces $D$ es simplemente conexo.

Tarea moral

Sea $D \subset C$ un dominio. Muestra que $\sim_{D}$ es una relación de equivalencia en el conjunto de contornos cerrados en $D$ .
Sean $D = C ∖ {0}$ y $γ : [- π / 2, π / 2] \to D$ , el contorno dado por $γ (t) = e^{i t}$ . Define de manera explícita dos contornos poligonales $β_{1}$ y $β_{2}$ en $D$ , que unan a $- i$ y $i$ , tales que:
$\int_{β} f (z) d z = \int_{γ} f (z) d z$ se cumple para toda función analítica $f$ en $D$ , si $β = β_{1}$ , pero la igualdad no se cumple si $β = β_{2}$ .
Sean $r$ y $R$ dos constantes positivas tales que $0 < r < R$ . Define al contorno $γ_{r} (t) = r e^{i t}$ , para $0 \leq t \leq 2 π$ . Muestra que:
$\frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{R + z}{(R - z) z} d z = 1.$ Considerando lo anterior deduce que:
$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{R^{2} - r^{2}}{R^{2} + r^{2} - 2 r R \cos (t)} d t = 1.$
Si $γ$ es la circunferencia $C (i, 1)$ , orientada positivamente, muestra que:
$\int_{γ} \frac{2 z}{z^{2} + 2} d z = 2 π i .$
Evalúa la integral:
$\int_{γ} \frac{1}{4 z^{2} + 4 z - 3} d z,$ para los siguientes contornos orientados positivamente.
a) $γ$ es la circunferencia $C (0, 1)$ .
b) $γ$ es la circunferencia $C (- 3 / 2, 1)$ .
c) $γ$ es la circunferencia $C (0, 3)$ .
Sea $D = {z \in C : 1 / 2 < | z | < 4}$ . Determina explícitamente una homotopía $H (t, s)$ entre los contornos cerrados en $D$ , orientados positivamente, dados por la elipse $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ , con punto inicial $(2, 0)$ y la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ , con punto inicial $(1, 0)$ , ambos recorridos una sola vez.
Sea $γ (t) = 1 + i + 2 e^{i t}$ , para $t \in [0, 2 π]$ . Evalúa las siguientes integrales.
a) $\int_{γ} \frac{1}{z - 1} d z$ .
b) $\int_{γ} \frac{1}{(z - 3 i) (z - 1)} d z$ .
c) $\int_{γ} \frac{1}{z^{2} + 9} d z$ .
d) $\int_{γ} \frac{1}{(z - i) (z + i)} d z$ .
Muestra que:
$\int_{γ} \frac{sen (z)}{4 z + π} d z = - \frac{\sqrt{2} π i}{4},$ donde $γ$ es la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ , orientada positivamente.

Más adelante…

En esta entrada hemos generalizado el teorema integral de Cauchy para dominios más generales que un disco abierto, para ello recurrimos a los conceptos topológicos de homotopía y homología. Además extendimos dicho resultado para dominios múltiplemente conexos, lo cual es de mucha utilidad al evaluar integrales.

En la siguiente entrada veremos algunos resultados muy importantes que relacionan los conceptos de diferenciabilidad e integrabilidad con las sucesiones y series de funciones complejas.

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Variable Compleja I: Teoremas de Weierstrass

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

En la entrada anterior establecimos una versión general del Teorema Integral de Cauchy, la cual nos es de mucha utilidad al resolver problemas relacionados con el cálculo de integrales.

En esta entrada veremos algunos resultados importantes que relacionan a las series de funciones y los conceptos de integral y derivada de las mismas, en particular probaremos bajo qué condiciones es posible integrar y derivar término a término a este tipo de series. Más aún, veremos que toda serie de potencias define a una función analítica en su disco de convergencia.

Proposición 39.1.(Weierstrass sobre integración término a término.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $γ$ un contorno en $D$ y ${f_{n} : D \to C}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a una función $f : D \to C$ en $D$ . Entonces:
$lim_{n \to \infty} \int_{γ} f_{n} (z) d z = \int_{γ} f (z) d z = \int_{γ} lim_{n \to \infty} f_{n} (z) d z .$

En particular:
$\sum_{n = 0}^{\infty} \int_{γ} f_{n} (z) d z = \int_{γ} \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (z) d z .$

Demostración. Dadas las hipótesis, por la proposición 28.1 tenemos que $f$ es una función continua en $D$ , por lo que $\int_{γ} f (z) d z$ existe.

Por la definición de convergencia uniforme, dado $ε > 0$ existe $N \in N$ tal que si $n \geq N$ , se cumple que:
$| f_{n} (z) - f (z) | < \frac{ε}{1 + ℓ (γ)}, \forall z \in D .$

Entonces, si $n \geq N$ , por las proposiciones 34.2(1) y 34.3(5), tenemos que:
$\begin{aligned} | \int_{γ} f_{n} (z) d z - \int_{γ} f (z) d z | & = | \int_{γ} [f_{n} (z) - f (z)] d z | \\ \leq \int_{γ} | f (z) - f_{n} (z) | | d z | \\ < \frac{ε}{1 + ℓ (γ)} ℓ (γ) \\ < ε . \end{aligned}$

Como $ε > 0$ es arbitrario, entonces:
$lim_{n \to \infty} \int_{γ} f_{n} (z) d z = \int_{γ} f (z) d z = \int_{γ} lim_{n \to \infty} f_{n} (z) d z .$

La última parte se sigue de aplicar la primera parte del resultado a la sucesión de sumas parciales de la serie, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Definición 39.1. (Convergencia uniformemente compacta.)
Una sucesión de funciones ${f_{n}}_{n \geq 0}$ definidas en un conjunto abierto $U \subset C$ se dice que converge uniformemente en compactos o que converge compactamente en $U$ si para cada subconjunto compacto $K \subset U$ la sucesión de restricciones ${f_{n} : K \to C}_{n \geq 0}$ converge uniformemente a la restricción $f : K \to C$ .

Lema 39.1.
Sea ${f_{n}}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones definidas en un conjunto abierto $U \subset C$ . La sucesión converge compactamente en $U$ si y solo si converge uniformemente en cada disco cerrado contenido en $U$ .

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Teorema 39.1. (Weierstrass sobre la convergencia analítica.)
Sea ${f_{n}}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones analíticas definidas en un dominio $D \subset C$ y $f : D \to C$ una función. Si $f_{n} \to f$ uniformemente en todo subconjunto compacto de $D$ , entonces $f$ es analítica en $D$ . Más aún, para cada $k \in N$ se cumple que $f_{n}^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformemente en cada subconjunto compacto de $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $γ$ un contorno cerrado en $D$ . Como cada función $f_{n}$ es analítica en $D$ , en particular es continua en $D$ , proposición 16.1, y dado que $f_{n} \to f$ uniformemente en todo subconjunto compacto de $D$ , por la proposición 28.1 tenemos que $f$ es continua en todo subconjunto compacto de $D$ , entonces de la proposición 10.12 se sigue que $f$ es continua en $D$ .

Por el teorema de la curva de Jordan, teorema 36.1, sabemos que los puntos en $γ$ y su interior forman un conjunto cerrado y acotado $S$ , es decir, compacto, proposición 10.7.

Entonces, por la definición de convergencia uniforme, dado $ε > 0$ existe $N \in N$ tal que si $n \geq N$ , se cumple que:
$| f_{n} (z) - f (z) | < ε, \forall z \in γ .$

Como para todo $n \geq 0$ la función $f_{n}$ es analítica en $D$ , entonces, por la proposición 34.3(5), el teorema de integral de Cauchy y la desigualdad del triángulo, tenemos que:
$\begin{aligned} | \int_{γ} f (z) d z | & = | \int_{γ} [f (z) - f_{n} (z) + f_{n} (z)] d z | \\ \leq | \int_{γ} [f (z) - f_{n} (z)] d z | + | \int_{γ} f_{n} (z) d z | \\ = | \int_{γ} [f (z) - f_{n} (z)] d z | \\ \leq \int_{γ} | f (z) - f_{n} (z) | | d z | \\ < ε \cdot ℓ (γ) . \end{aligned}$

Como $ε > 0$ es arbitrario, entonces:
$| \int_{γ} f (z) d z | = 0 ⟹ \int_{γ} f (z) d z = 0,$ y dado que $γ$ es un contorno cerrado arbitrario en $D$ , el resultado se cumple para todo contorno cerrado $γ$ en $D$ . Entonces, por el teorema de Morera tenemos que $f$ es una función analítica en $D$ .

De acuerdo con el lema 39.1, solo basta con verificar el resultado para discos cerrados contenidos en $D$ . Sean $z_{0} \in D$ fijo, $r > 0$ tal que $\overset{―}{B} (z_{0}, r) \subset D$ y parametrizamos a la frontera del disco cerrado como $γ_{r} = \partial \overset{―}{B} (z_{0}, r)$ , orientada positivamente. Por la definición de convergencia uniforme, dado $ε > 0$ existe $N \in N$ tal que si $n \geq N$ , se cumple que:
$\begin{matrix} (39.1) & | f_{n} (z) - f (z) | < \frac{ε r^{k}}{k! 2^{k + 1}}, \forall z \in \overset{―}{B} (z_{0}, r), \end{matrix}$ donde $r > 0$ y $k \in N^{+}$ .

Para $k \in N^{+}$ fijo, por la fórmula integral de Cauchy para las derivadas de orden superior, proposición, tenemos que:
$\begin{matrix} (39.2) & f^{(k)} (z) = \frac{k!}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} d ζ, \forall z \in B (z_{0}, r) . \end{matrix}$

Análogamente, para cada función $f_{n}$ tenemos que:
$\begin{matrix} (39.3) & f_{n}^{(k)} (z) = \frac{k!}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} d ζ, \forall z \in B (z_{0}, r) . \end{matrix}$

Notemos que para $z \in \overset{―}{B} (z_{0}, r / 2) \subset \overset{―}{B} (z_{0}, r)$ se tiene por la proposición 3.3 que:
$\begin{matrix} (39.4) & \frac{r}{2} \leq | ζ - z_{0} | - | z_{0} - z | \leq | ζ - z | ⟹ \frac{1}{| ζ - z |} \leq \frac{2}{r} . \end{matrix}$

Es claro que:
$ℓ (γ_{r}) = \int_{γ_{r}} | d ζ | = 2 π r .$

Entonces, si $n \geq N$ y $z \in \overset{―}{B} (z_{0}, r / 2)$ , por las proposiciones 34.2(1), 34.3(5) y por (39.1), (39.2), (39.3) y (39.4), se tiene que:
$\begin{aligned} | f_{n}^{(k)} (z) - f^{(k)} (z) | & = | \frac{k!}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f_{n} (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} d ζ - \frac{k!}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} d ζ | \\ = \frac{k!}{2 π} | \int_{γ_{r}} \frac{f_{n} (ζ) - f (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} d ζ | \\ \leq \frac{k!}{2 π} \int_{γ_{r}} | \frac{f_{n} (ζ) - f (ζ)}{(ζ - z)^{k + 1}} | | d ζ | \\ = \frac{k!}{2 π} \int_{γ_{r}} \frac{| f_{n} (ζ) - f (ζ) |}{{| ζ - z |}^{k + 1}} | d ζ | \\ \leq \frac{k!}{2 π} \frac{2^{k + 1}}{r^{k + 1}} \frac{ε r^{k}}{k! 2^{k + 1}} \int_{γ_{r}} | d ζ | \\ = ε, \end{aligned}$ como $z \in \overset{―}{B} (z_{0}, r / 2)$ y $r > 0$ son arbitrarios, entonces $f_{n}^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformemente en cualquier disco cerrado contenido en $D$ , por lo que del lema 39.1 se sigue el resultado.

Corolario 39.1.
Sean $z_{0} \in C$ fijo y $f : B (z_{0}, R) \to C$ una función dada por la serie de potencias:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n},$ con radio de convergencia $R > 0$ . Entonces $f$ es analítica en $B (z_{0}, R)$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, por la proposición 29.2 tenemos que la serie de potencias converge uniformemente a $f$ en todo subdisco cerrado $\overset{―}{B} (z_{0}, r)$ , con $r < R$ , por lo que, del teorema 39.1 se sigue que $f$ es analítica en $B (z_{0}, R)$ .

Teorema 39.2. (Weierstrass sobre derivación término a término.)
Sea ${f_{n}}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones analíticas definidas en un dominio $D \subset C$ y sea $f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n} (z)$ . Si la serie converge uniformemente a $f$ en cada disco cerrado contenido en $D$ , definición 28.6, entonces $f$ es analítica en $D$ y puede derivarse término a término, es decir:
$f^{(k)} (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}^{(k)} (z), \forall z \in D,$ para todo $k \in N^{+}$ .

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Observación 39.1.
Notemos que los resultados anteriores no suponen la convergencia uniforme en todo el dominio $D$ , es decir, la convergencia uniforme es únicamente en los subconjuntos compactos de $D$ o equivalentemente, lema 39.1, en los subdiscos cerrados en $D$ .

Ejemplo 39.1.
Sea $D = {z \in C : | z | < 1}$ . Consideremos a la serie:
$f (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}, \forall z \in D .$

No es difícil verificar que dicha serie converge puntualmente en $D$ y uniformemente en los discos cerrados $\overset{―}{B} (0, r)$ , para $0 \leq r < 1$ , ejercicio 1. Por lo que converge uniformemente en todos los discos cerrados en $A$ , entonces por los teoremas 39.1 y 39.2 concluimos que $f$ es analítica en $D$ y que su derivada $f^{'} (z) = \sum_{n = 1} z^{n - 1}$ también converge en $D$ . Sin embargo, se tiene convergencia puntual y no uniforme en $D$ .

Ejemplo 39.2. (Derivación término a término.)
Consideremos a la serie geométrica $\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}$ . De acuerdo con el ejemplo 28.8 sabemos que dicha serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overset{―}{B} (0, r)$ , con $0 < r < 1$ , en tal caso:
$\begin{matrix} (39.5) & \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} = \frac{1}{1 - z} . \end{matrix}$

Es claro que la función $f_{n} (z) = z^{n}$ es entera para todo $n \in N$ , en particular es analítica en $\overset{―}{B} (0, r)$ . Por lo que, podemos utilizar el teorema 39.2 para derivar a la serie geométrica término a término.

Derivando el lado derecho de la igualdad (39.5) tenemos:
$\frac{d}{d z} \frac{1}{1 - z} = \frac{1}{(1 - z)^{2}} .$

Por otra parte, derivando el lado izquierdo de la igualdad (39.5), por el teorema tenemos que:
$\begin{aligned} \frac{d}{d z} (\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{d}{d z} z^{n} \\ = 1 + 2 z + 3 z^{2} + 4 z^{3} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) z^{n} . \end{aligned}$

Entonces:
$\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) z^{n} = \frac{1}{(1 - z)^{2}}, si | z | \leq r < 1.$

Notemos que este mismo resultado se obtuvo en el ejemplo 27.13 de la entrada 27, sin embargo, es claro que mediante el teorema de derivación término a término fue más sencillo deducirlo.

Ejemplo 39.3. (Integración término a término.)
Continuemos trabajando con la serie geométrica $\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}$ . Dado que dicha serie converge uniformemente en todo disco cerrado $\overset{―}{B} (0, r) \subset B (0, 1)$ y para todo $n \in N$ la función $f_{n} (z) = z^{n}$ es entera, entonces podemos considerar a dicha serie para utilizar el la proposición 39.1 para integrar término a término.

Sea $γ$ el segmento de recta que une a $0$ y $ζ$ de modo que $γ \subset B (0, 1)$ , es decir, $γ$ es el segmento de recta $[0, ζ]$ , tal que $| ζ | < 1$ . Entonces:
$\begin{aligned} \int_{[0, ζ]} \frac{1}{1 - z} d z & = \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{[0, ζ]} z^{n} d z \\ = \int_{[0, ζ]} 1 d z + \int_{[0, ζ]} z d z + \int_{[0, ζ]} z^{2} d z + \dots \end{aligned}$

Notemos que el integrando del lado izquierdo de la igualdad, es decir, la función $\frac{1}{1 - z}$ , salvo una constante, corresponde con la derivada de alguna de las ramas de la función multivaluada $\log (1 - z)$ .

Dado que la rama principal $Log (1 - z)$ es analítica en $C ∖ [1, \infty)$ , ejercicio 10 de la entrada 21, entonces en particular es analítica en el disco abierto $B (0, 1)$ , por lo que, al tener la condición $| z | < 1$ , elegimos a dicha rama.

Por otra parte, por el corolario 21.1 sabemos que para la rama principal del logaritmo se cumple que $- Log (w) = Log (w^{- 1})$ si $w$ no está en el corte de rama de dicha función. Para nuestro caso, como $| z | < 1$ , entonces los valores de $z$ que consideramos no están en el corte de rama de la función $Log (1 - z)$ , por lo que se cumple:
$- Log (1 - z) = Log (\frac{1}{1 - z}) .$

Considerando el TFC, proposición 35.1, tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{[0, ζ]} \frac{1}{1 - z} d z = \int_{0}^{ζ} \frac{1}{1 - z} d z & = - Log (1 - z) |_{0}^{ζ} \\ = Log (\frac{1}{1 - ζ}) |_{0}^{ζ} \\ = Log (\frac{1}{1 - ζ}) - Log (\frac{1}{1 - 0}) \\ = Log (\frac{1}{1 - ζ}) . \end{aligned}$

Por otra parte, para el lado derecho de la igualdad, por el TFC, proposición 35.1, es claro que:
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{[0, ζ]} z^{n} d z & = \int_{[0, ζ]} 1 d z + \int_{[0, ζ]} z d z + \int_{[0, ζ]} z^{2} d z + \dots \\ = \int_{0}^{ζ} 1 d z + \int_{0}^{ζ} z d z + \int_{0}^{ζ} z^{2} d z + \dots \\ = ζ + \frac{ζ^{2}}{2} + \frac{ζ^{3}}{3} + \dots \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ζ^{n}}{n} . \end{aligned}$

Entonces:
$Log (\frac{1}{1 - z}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n + 1}}{n + 1}, si | z | \leq r < 1.$

Notemos que habíamos llegado al mismo resultado en el ejercicio 5 de la entrada 30, sin embargo, utilizando el teorema de integración término a término el procedimiento fue más sencillo.

Tarea moral

Sea $D = {z \in C : | z | < 1}$ . Considera a la serie:
$f (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}, \forall z \in D .$ Muestra que dicha serie converge puntualemente en $D$ y uniformemente en todo disco cerrado $\overset{―}{B} (0, r)$ , para $0 \leq r < 1$ .
Completa la demostración de la proposición 39.1.
Demuestra el lema 39.1.
Prueba el teorema 39.2.
Muestra que si $| z | < 1$ , entonces:
$Log (1 + z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{z^{n + 1}}{n + 1} .$ Hint: Considera el contorno $γ$ dado por el segmento de recta $[0, ζ]$ con $| ζ | < 1$ y utiliza la proposición 39.1.
Muestra que la sucesión de funciones ${f_{n}}_{n \geq 1}$ , dada por:
$f_{n} (z) = \frac{z^{n + 1}}{n (n + 1)}, \forall n \in N^{+},$ converge uniformemente en el disco abierto $B (0, 1)$ , pero que la sucesión de derivadas:
$f_{n}^{(2)} (z) = z^{n - 1}, \forall n \in N^{+},$ no converge uniformemente en dicho disco.
$D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función y ${f_{n}}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones continuas definidas en $D$ , tales que:
$\int_{γ} f_{n} (z) d z = 0, \forall n \in N,$ para todo contorno cerrado $γ$ en $D$ . Si $f_{n} \to f$ converge uniformemente en $D$ , muestra que $f$ es analítica en $D$ .
Sean $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función y ${f_{n}}_{n \geq 0}$ una sucesión de funciones continuas definidas en $D$ , tales, que $f_{n} \to f$ converge uniformemente en $D$ , entonces:
$\int_{γ} f (z) | d z | = lim_{n \to \infty} \int_{γ} f_{n} (z) | d z |,$ para todo contorno $γ$ en $D$ .

Más adelante…

En esta entrada hemos establecido algunos resultados importantes sobre las series de funciones y los conceptos de convergencia uniforme, integración y diferenciación, en particular vimos bajo qué condiciones posible integrar o derivar término a término este tipo de funciones.

En la siguiente entrada definiremos dos tipos de funciones complejas muy particulares, las funciones conjugadas armónicas y las funciones conformes, las cuales están relacionadas con algunos de los conceptos de esta entrada y que nos serán de utilidad para construir funciones analíticas. Dichas funciones nos permitirán caracterizar aún más la geometría de las funciones complejas.

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Variable Compleja I: Integrales de contorno II

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

En la entrada anterior hemos definido formalmente la integral para funciones complejas de variable compleja, que como vimos dicha definición resulta familiar a la de integrales de línea vista en nuestros cursos de Cálculo.

En esta entrada veremos algunos resultados, como el Teorema Fundamental del Cálculo para integrales de contorno y el lema de Goursat, que serán clave al enunciar el Teorema de Cauchy para funciones complejas, que es sin duda un resultado fundamental en la teoría de las funciones analíticas y en general de la teoría de la Variable Compleja.

Definición 35.1. (Primitiva de una función compleja.)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto y $f : U \to C$ una función continua en $U$ . Se dice que $F : U \to C$ es una primitiva de $f$ en $U$ si $F$ es una función analítica en $U$ tal que $F^{'} (z) = f (z)$ para todo $z \in U$ .

Observación 35.1.
Dado que $f$ es continua y $F$ analítica, en particular continua, entonces por la proposición 19.2 se cumple que cualesquiera dos primitivas de $f$ difieren por una constante compleja.

Para determinar una primitiva de una función compleja continua $f$ , podemos recurrir, cuando sea posible, al uso de los resultados de nuestros cursos de Cálculo y verificar mediante las reglas de diferenciación para funciones complejas.

Ejemplo 35.1.
Consideremos a la función $f (z) = z e^{z}$ y determinemos una primitiva de $f$ .

Solución. Es claro que $f$ es una función entera ya que $g (z) = z$ y $h (z) = e^{z}$ son funciones enteras, proposición 16.2, por lo que en particular es continua en todo $C$ .

Afirmamos que una primitiva de $f$ en $C$ es $F (z) = z e^{z} - e^{z}$ . Por la proposición 16.2 tenemos que:
$\begin{aligned} F^{'} (z) & = \frac{d}{d z} (z e^{z} - e^{z}) \\ = \frac{d}{d z} z e^{z} - \frac{d}{d z} e^{z} \\ = e^{z} + z e^{z} - e^{z} \\ = z e^{z} . \end{aligned}$

Ejemplo 35.2.
Determinemos una primitiva de las siguientes funciones complejas.
a) $f (z) = z^{3} + 7 z - 2$ .
b) $f (z) = Log (z)$ .
c) $f (z) = \frac{1}{z}$ .

Solución. Recurrimos a los resultados de diferenciación para funciones complejas establecidos a lo largo de la segunda unidad del curso.

a) Por el corolario 15.1 es claro que $f$ es una función continua en $C$ por ser un polinomio complejo.

Una primitiva de $f$ en $C$ es:
$F (z) = \frac{z^{4}}{4} + \frac{7 z^{2}}{2} - 2 z,$ ya que:
$F^{'} (z) = \frac{d}{d z} (\frac{z^{4}}{4} + \frac{7 z^{2}}{2} - 2 z) = \frac{1}{4} \frac{d}{d z} z^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d z} z^{2} - 2 \frac{d}{d z} z = z^{3} + 7 z - 2.$

b) Por la proposición 21.2 sabemos que $f (z) = Log (z)$ es una función continua en $D = C ∖ (- \infty, 0]$ .

Una primitiva de $f$ en $D$ es:
$F (z) = z Log (z) - z,$ ya que:
$\begin{aligned} F^{'} (z) & = \frac{d}{d z} [z Log (z) - z] \\ = \frac{d}{d z} z Log (z) - \frac{d}{d z} z \\ = Log (z) + z (\frac{1}{z}) - 1 \\ = Log (z) + 1 - 1 \\ = Log (z) . \end{aligned}$

c) Sabemos que $f (z) = \frac{1}{z}$ es una función continua en $C ∖ {0}$ . En este punto inferimos que una posible primitiva de $f$ está dada por $F (z) = Log (z)$ , sin embargo, de acuerdo con la proposición 21.4, sabemos que la rama principal del logaritmo, dada por la función $F$ , únicamente es analítica en $D = C ∖ (- \infty, 0]$ , por lo que si restringimos a $f$ al dominio $D$ , en el cual sigue siendo una función continua, entonces es claro que $F$ es una primitiva de $f$ en $D$ ya que:
$F^{'} (z) = \frac{d}{d z} Log (z) = \frac{1}{z} = f (z), \forall z \in D .$

Proposición 35.1. (Teorema Fundamental del Cálculo para integrales de contorno.)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto, $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $f : U \to C$ una función continua en $U$ y $γ : [a, b] \to U$ un contorno en $U$ . Si $F : U \to C$ es una primitiva de $f$ en $U$ , entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = F (γ (b)) - F (γ (a)) .$

En particular, si $γ$ es una contorno cerrado, entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = 0.$

Demostración. Dadas las hipótesis, consideremos primero el caso en que $γ$ es una curva suave. Sean $g, G : [a, b] \to C$ las funciones híbridas dadas, respectivamente, por:
$g (t) = f (γ (t)) γ^{'} (t) y G (t) = F (γ (t)) .$

Dado que $f$ es continua en $U$ , $F$ es analítica en $U$ tal que $F^{'} (z) = f (z)$ para todo $z \in U$ y $g$ es de clase $C^{1}$ en $[a, b]$ , entonces $g$ es una función continua en $[a, b]$ y $G$ una función continua en $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ . Por la regla de la cadena, proposición 32.2, tenemos que:
$\begin{aligned} \frac{d}{d t} G (t) & = F^{'} (γ (t)) γ^{'} (t) \\ = f (γ (t)) γ^{'} (t) \\ = g (t), \forall t \in (a, b), \end{aligned}$ es decir, $G$ es una primitiva de $g$ , definición 33.2.

Por lo tanto, del segundo TFC para funciones híbridas, proposición 33.2, se tiene que:
$\begin{aligned} \int_{γ} f (z) d z & = \int_{a}^{b} f (γ (t)) γ^{'} (t) d t \\ = {G (t) |}_{a}^{b} \\ = {F (γ (t)) |}_{a}^{b} \\ = F (γ (b)) - F (γ (a)) . \end{aligned}$

Si $γ$ es de clase $C^{1}$ a trozos, entonces por definición podemos elegir a la partición:
$P : a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n - 1} < t_{n} = b,$ del intervalo $[a, b]$ , tal que $γ_{k} = {γ |}_{[t_{k - 1}, t_{k}]}$ es una curva suave para $1 \leq k \leq n$ , entonces:
$\begin{aligned} \int_{γ} f (z) d z & = \int_{γ_{1}} f (z) d z + \dots + \int_{γ_{n}} f (z) d z \\ = F (γ (t_{1})) - F (γ (a)) + F (γ (t_{2})) - F (γ (t_{1})) + \dots + F (γ (b)) - F (γ (t_{n - 1})) \\ = F (γ (b)) - F (γ (a)) . \end{aligned}$

Por último, si el contorno $γ$ es cerrado, entonces $γ (a) = γ (b)$ , en tal caso, de lo anterior se sigue que:
$\int_{γ} f (z) d z = F (γ (b)) - F (γ (a)) = 0.$

Observación 35.2.
El resultado anterior es de suma importancia, ya que establece que para cualquier contorno $γ$ en un conjunto abierto $U \subset C$ , si $f : U \to C$ es una función continua con primitiva $F$ en $U$ , entonces la integral de contorno de $f$ no depende de $γ$ , sino únicamente de sus extremos.

Ejemplo 35.3.
Evaluemos la integral $\int_{γ} z^{- 1} d z$ a lo largo de los contornos:
$\begin{aligned} γ_{1} (t) & = e \cos (t) + i sen (t), \forall t \in [0, π / 2], \\ γ_{2} (t) & = e (1 - t) + i t, \forall t \in [0, 1] . \end{aligned}$

Solución. Sean $f (z) = z^{- 1}$ y $F (z) = Log (z)$ . Sabemos que $f$ es una función analítica en $C ∖ {0}$ mientras que $F$ es una función analítica en $D = C ∖ (- \infty, 0]$ , por lo que si restringimos a $f$ al dominio $D$ , entonces:
$F^{'} (z) = \frac{d}{d z} Log (z) = \frac{1}{z} = f (z), \forall z \in D,$ es decir, $F$ es una primitiva de $f$ en $D$ .

Claramente $γ_{1}$ y $γ_{2}$ son dos contorno en $D$ , figura 127, tales que $γ_{1} (0) = γ_{2} (0) = e$ y $γ_{1} (π / 2) = γ_{1} (π / 2) = i$ . Entonces, de la proposición 35.1 se sigue que:
$\int_{γ_{1}} z^{- 1} d z = {F (γ_{1} (t)) |}_{0}^{π / 2} = Log (i) - Log (e) = - 1 + i \frac{π}{2} .$
$\int_{γ_{2}} z^{- 1} d z = {F (γ_{2} (t)) |}_{0}^{π / 2} = Log (i) - Log (e) = - 1 + i \frac{π}{2} .$

Figura 127: Contornos $γ_{1}$ y $γ_{2}$ del ejemplo 35.3.

Ejemplo 35.4.
Evaluemos la integral $\int_{C} sen (z) d z$ , donde $C$ es el contorno dado en la figura 128.

Figura 128: Contorno $C$ del ejemplo 35.4.

Solución. Dado que $f (z) = sen (z)$ es una función entera y $F (z) = - \cos (z)$ es una primitiva de $f$ en $C$ , entonces por la proposición 35.1 tenemos que:
$\int_{C} sen (z) d z = {- \cos (z) |}_{- 3}^{6 + 3 i} = - \cos (6 + 3 i) + \cos (- 3) .$

Corolario 35.1. (Integración por partes para integrales de contorno.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ y $f, g : D \to C$ dos funciones analíticas en $D$ . Entonces, para cualquier contorno $γ : [a, b] \to D$ en $D$ se cumple que:
$\int_{γ} f (z) g^{'} (z) d z = {f (z) g (z) |}_{a}^{b} - \int_{γ} f^{'} (z) g (z) d z .$

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Ejemplo 35.5.
Si $f (z) = z$ y $g (z) = - \cos (z)$ y $γ$ describe al contorno $C$ en la figura 128, entonces por el corolario 35.1 tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{C} z sen (z) d z & = {- z \cos (z) |}_{- 3}^{6 + 3 i} + \int_{C} \cos (z) d z \\ = - (6 + 3 i) \cos (6 + 3 i) - 3 \cos (- 3) + {sen (z) |}_{- 3}^{6 + 3 i} \\ = - (6 + 3 i) \cos (6 + 3 i) - 3 \cos (- 3) + sen (6 + 3 i) - sen (- 3) . \end{aligned}$

Proposición 35.2.
Sean $D \subset C$ un dominio, $[a, b] \subset R$ , con $a < b$ , un intervalo cerrado, $f : D \to C$ una función continua en $D$ y $γ : [a, b] \to D$ un contorno en $D$ . Las siguientes condiciones son equivalentes.

Existe una primitiva de $f$ en $D$ .
Si el contorno $γ$ es cerrado, entonces:
$\int_{γ} f (z) d z = 0.$
Las integrales de contorno de $f$ son independientes del contorno en $D$ , es decir, si $γ_{1}$ y $γ_{2}$ son cualesquiera dos contornos en $D$ tales que tienen los mismos puntos inicial y final, entonces:
$\int_{γ_{1}} f (z) d z = \int_{γ_{2}} f (z) d z .$

Demostración. Dadas las hipótesis, del teorema 35.1 se sigue que $1 \Rightarrow 2$ y $1 \Rightarrow 3$ . Veamos que $2 \Rightarrow 3$ y $3 \Rightarrow 1$ .

Supongamos que se cumple $2$ . Sean $z_{1}, z_{2} \in D$ dos puntos fijos. Si $γ_{1}$ y $γ_{2}$ son dos contornos en $D$ tales que ambos unen a $z_{1}$ con $z_{2}$ , como en la figura 129, definimos al contorno cerrado $γ = γ_{1} + (- γ_{2})$ , entonces, por la proposición 34.2, tenemos que:
$\begin{aligned} 0 = \int_{γ} f (z) d z & = \int_{γ_{1}} f (z) d z + \int_{- γ_{2}} f (z) d z \\ = \int_{γ_{1}} f (z) d z - \int_{γ_{2}} f (z) d z, \end{aligned}$ por lo que:
$\int_{γ_{1}} f (z) d z = \int_{γ_{2}} f (z) d z .$ Entonces $2 \Rightarrow 3$ .

Figura 129: Contornos $γ_{1}$ y $γ_{2}$ que unen a los puntos $z_{1}$ y $z_{2}$ .

Supongamos que se cumple $3$ . Sea $z_{0} \in D$ un punto fijo y para cualquier $z_{1} \in D$ consideramos al contorno $γ$ que une a $z_{0}$ con $z_{1}$ . Definimos:
$F (z_{1}) := \int_{γ} f (z) d z .$

Dado que $D$ es un dominio, es decir, es un conjunto abierto y conexo, del teorema 10.1 se sigue que $D$ es poligonal conexo, por lo que al menos existe un contorno poligonal en $D$ que une a $z_{0}$ y $z_{1}$ . Como se cumple la condición $3$ , entonces no importa el contorno que elijamos, ya que todos los posibles contornos en $D$ nos darán el mismo valor para $F (z_{1})$ . Por lo tanto, $F (z_{1})$ es una función compleja bien definida en $D$ .

Como $D$ es abierto, para algún $ε_{1} > 0$ , si $h \in C$ es tal que $| h | < ε_{1}$ , entonces el segmento de recta que va de $z_{1}$ a $z_{1} + h$ , es decir, $[z_{1}, z_{1} + h]$ , está completamente contenido en $D$ y se puede parametrizar como $β (t) = z_{1} + h t$ , para $t \in [0, 1]$ .

Tenemos que:
$F (z_{1} + h) = \int_{γ + β} f (z) d z = \int_{γ} f (z) d z + \int_{β} f (z) d z,$ por lo que:
$\begin{aligned} F (z_{1} + h) - F (z_{1}) & = \int_{γ} f (z) d z + \int_{β} f (z) d z - \int_{γ} f (z) d z \\ = \int_{β} f (z) d z, \end{aligned}$ entonces:
$\frac{F (z_{1} + h) - F (z_{1})}{h} = \frac{1}{h} \int_{β} f (z) d z .$

Por otra parte:
$ℓ (β) = \int_{0}^{1} | β^{'} (t) | d t = \int_{0}^{1} | h | d t = | h | .$

Es claro que $f (z_{1})$ y $h$ son constantes, por lo que:
$\begin{aligned} \int_{β} \frac{f (z_{1})}{h} d z & = \frac{f (z_{1})}{h} \int_{β} d z \\ = \frac{f (z_{1})}{h} \int_{0}^{1} γ^{'} (t) d t \\ = \frac{f (z_{1})}{h} \int_{0}^{1} h d t \\ = f (z_{1}) . \end{aligned}$

Considerando lo anterior tenemos que:
$\frac{F (z_{1} + h) - F (z_{1})}{h} - f (z_{1}) = \int_{β} \frac{f (z) - f (z_{1})}{h} d z .$

Como $f$ es una función continua en $D$ , en particular lo es en $z_{1}$ , entonces dado $ε > 0$ existe $δ > 0$ tal que:
$| z - z_{1} | < δ ⟹ | f (z) - f (z_{1}) | < ε .$

Por lo que, si $| h | < δ$ , entonces para todo $z \neq z_{1}$ en el segmento de recta $[z_{1}, z_{1} + h]$ , se cumple que $| z - z_{1} | \leq | h | < δ$ . Por lo tanto, si $| h | < δ$ , entonces, por la proposición 34.3(5), se tiene que:
$\begin{aligned} | \frac{F (z_{1} + h) - F (z_{1})}{h} - f (z_{1}) | & = | \int_{β} \frac{f (z) - f (z_{1})}{h} d z . | \\ \leq \int_{β} | \frac{f (z) - f (z_{1})}{h} | | d z | \\ < \int_{β} \frac{ε}{| h |} | d z | \\ = \frac{ε}{| h |} \int_{β} | d z | \\ = \frac{ε}{| h |} ℓ (β) \\ = ε, \end{aligned}$ es decir, si $| h | < δ$ se cumple que:
$| \frac{F (z_{1} + h) - F (z_{1})}{h} - f (z_{1}) | < ε .$

Como $ε > 0$ es arbitrario, entonces:
$lim_{h \to 0} \frac{F (z_{1} + h) - F (z_{1})}{h} = f (z_{1}) .$

Dado que $z_{1} \in D$ es arbitrario, entonces $F^{'} (z_{1}) = f (z_{1})$ para todo $z_{1} \in D$ , es decir, existe una primitiva de $f$ en $D$ .

Ejemplo 35.6.
Sean $z_{0} \in C$ fijo, $n \in Z$ y $D = \overset{―}{B} (0, 1)$ , es decir, el disco cerrado unitario. Veamos que:
a) $f (z) = \frac{1}{z}$ no tiene primitiva en $D$ ;
b) $g (z) = (z - z_{0})^{n}$ tiene primitiva en $D$ si $n \neq - 1$ .

Solución. Es claro que el contorno cerrado descrito por $γ (t) = e^{i t}$ , con $t \in [0, 2 π]$ , es decir, la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ , es un contorno en $\overset{―}{B} (0, 1)$ .

a) De acuerdo con el ejemplo 34.1 se tiene que:
$\int_{γ} \frac{1}{z} d z = i 2 π \neq 0,$ entonces, por la proposición 35.3 concluimos que no existe una primitiva de $f$ en $D$ .

b) De acuerdo con el ejemplo 34.2 tenemos que:
$\int_{γ} (z - z_{0})^{n} d z = {\begin{array}{lcc} 0 & si & n \neq - 1, \\ i 2 π & si & n = - 1, \end{array}$ por lo que de la proposición 35.3 se sigue que $g (z) = (z - z_{0})^{n}$ tiene primitiva en $D$ , dada por:
$G (z) = \frac{(z - z_{0})^{n + 1}}{n + 1},$ si $n \in Z$ y $n \neq 1$ .

Ejemplo 35.7.
Sean $z = x + i y \in C$ , $f (z) = (y - x) + i 3 x^{2}$ y $γ = γ_{1} + γ_{2}$ , donde $γ_{1} (t) = i t$ y $γ_{2} (t) = t + i$ , con $t \in [0, 1]$ , figura 130.

Veamos que $f$ no tiene primitiva en $C$ .

Figura 130: Contornos $γ$ y $γ_{3}$ del ejemplo 35.7.

Solución. Es claro que $f$ es una función continua en $C$ y que $γ$ es un contorno en $C$ .

De acuerdo con las proposiciones 33.2 y 34.2 tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{γ} f (z) d z & = \int_{γ_{1}} f (z) d z + \int_{γ_{2}} f (z) d z \\ = \int_{0}^{1} f (γ_{1} (t)) γ_{1}^{'} (t) d t + \int_{0}^{1} f (γ_{2} (t)) γ_{2}^{'} (t) d t \\ = \int_{0}^{1} i t d t + \int_{0}^{1} (1 - t + i 3 t^{2}) d t \\ = {\frac{i t^{2}}{2} |}_{0}^{1} + {(t - \frac{t^{2}}{2} + i t^{3}) |}_{0}^{1} \\ = \frac{i}{2} + \frac{1}{2} + i \\ = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i . \end{aligned}$

Si consideramos al contorno $γ_{3} (t) = t + i t$ , con $t \in [0, 1]$ , no es difícil verificar que $γ$ y $γ_{3}$ tienen los mismos puntos inicial y final, pero:
$\begin{aligned} \int_{γ_{3}} f (z) d z & = \int_{0}^{1} f (γ_{3} (t)) γ_{3}^{'} (t) d t \\ = \int_{0}^{1} 3 i (1 + i) t^{3} d t \\ = {i (1 + i) t^{3} |}_{0}^{1} \\ = - 1 + i, \end{aligned}$ es decir:
$\int_{γ} f (z) d z \neq \int_{γ_{3}} f (z) d z,$ entonces, por la proposición 35.2 concluimos que $f$ no tiene primitiva en $C$ .

Ejemplo 35.8.
Sean $z_{1} = - 1, z_{2} = - 1 + i, z_{3} = - 4 - 4 i \in C$ . Evaluemos la integral:
$\int_{[z_{1}, z_{2}, z_{3}]} \frac{1}{z} d z .$

Solución. De acuerdo con la figura 131 es claro que el contorno poligonal $[z_{1}, z_{2}, z_{3}]$ pasa por la rama de corte de la rama principal del logaritmo, por tal motivo no podemos utilizar a dicha función como primitiva de $f (z) = z^{- 1}$ . Sin embargo, si consideramos a la rama natural del logaritmo, definición 21.3, es decir:
$F (z) = {Log}_{[0, 2 π)} (z) = \ln | z | + i {Arg}_{[0, 2 π)} (z),$ tenemos que dicha rama tiene como corte de rama al semieje real positivo, incluyendo el origen, y que dicha rama es analítica en $D = C ∖ [0, \infty)$ , por lo que podemos considerar dicho dominio para la función $f$ , pues ahí es una función continua.

Por la proposición 21.5 tenemos que:
$F^{'} (z) = \frac{d}{d z} {Log}_{[0, 2 π)} (z) = \frac{1}{z} = f (z), \forall z \in D .$

Entonces, de la proposición 35.2 se sigue que:
$\begin{aligned} \int_{[z_{1}, z_{2}, z_{3}]} \frac{1}{z} d z & = F (z_{3}) - F (z_{1}) \\ = \ln | - 4 - 4 i | + i {Arg}_{[0, 2 π)} (- 4 - 4 i) - \ln | - 1 | - i {Arg}_{[0, 2 π)} (- 1) \\ = \ln (4 \sqrt{2}) + i \frac{5 π}{4} - \ln (1) - i π \\ = \ln (4 \sqrt{2}) + i \frac{5 π}{4} {Arg}_{[0, 2 π)} (- 4 - 4 i) - \ln (1) - i π \\ = \frac{5}{2} \ln (2) + i \frac{π}{4} . \end{aligned}$

Figura 131: Contorno poligonal $[z_{1}, z_{2}, z_{3}]$ en el dominio $D = C ∖ [0, \infty)$ .

Observación 35.3.
Hasta ahora hemos visto que muchas funciones complejas tienen primitivas. Por ejemplo, del corolario 16.1 se sigue que cualquier polinomio complejo:
$p (z) = c_{0} + c_{1} z + \dots + c_{n} z^{n},$ tiene como primitiva al polinomio:
$P (z) = c_{0} z + \frac{c_{1}}{2} z^{2} + \dots + \frac{c_{n}}{n + 1} z^{n + 1} .$

Motivados en lo anterior y considerando los resultados de la tercera unidad podemos establecer la siguiente:

Proposición 35.3.
Sean $z_{0} \in C$ fijo y $f : B (z_{0}, R) \to C$ una función dada por la serie de potencias:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ con radio de convergencia $R > 0$ . Entonces:
$F (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} (z - z_{0})^{n + 1},$ tiene el mismo radio de convergencia $R > 0$ y $F^{'} (z) = f (z)$ para todo $z \in B (z_{0}, R)$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, es suficiente probar que $F (z)$ tiene el mismo radio de convergencia que $f (z)$ , ya que por la proposición 30.2 podemos diferenciar término a término a la serie que define a $F$ y así obtener el resultado.

Por la corolario 29.3 tenemos que:
$R = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n - 1}}{c_{n}} | .$

Notemos que:
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} (z - z_{0})^{n + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c_{n - 1}}{n} (z - z_{0})^{n} := \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} (z - z_{0})^{n},$ donde $b_{n} = \frac{c_{n - 1}}{n}$ .

Si $R^{'}$ es el radio de convergencia de $F (z)$ , entonces:
$\begin{aligned} R^{'} & = lim_{n \to \infty} | \frac{b_{n}}{b_{n + 1}} | \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n - 1}}{n} \frac{n + 1}{c_{n}} | \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n - 1}}{c_{n}} | | \frac{n + 1}{n} | \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n - 1}}{c_{n}} | lim_{n \to \infty} | 1 + \frac{1}{n} | \\ = R . \end{aligned}$

Observación 35.4.
Si $f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}$ tiene disco de convergencia $B (z_{0}, R)$ , entonces para cualquier contorno $γ$ en $B (z_{0}, R)$ , que une a los puntos $z_{1}, z_{2} \in B (z_{0}, R)$ , se tiene que:
$\int_{γ} f (z) d z = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} (z_{2} - z_{0})^{n + 1} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} (z_{1} - z_{0})^{n + 1} .$

En particular, para cualquier contorno $γ$ en $B (z_{0}, R)$ que une a $z_{0}$ con $z \in B (z_{0}, R)$ se tiene que:
$\int_{γ} f (z) d z = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} (z - z_{0})^{n + 1} .$

Ejemplo 35.9.
Evaluemos la integral:
$\int_{C (0, 1)} \frac{\cos^{2} (z)}{z^{3}} d z .$

Solución. De acuerdo con el ejemplo 31.1 tenemos que:
$\begin{aligned} \cos^{2} (z) & = \frac{1}{2} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{i^{2 n} 2^{2 n - 1} z^{2 n}}{(2 n)!} \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{i^{2 n} 2^{2 n - 1} z^{2 n}}{(2 n)!} . \end{aligned}$

Dado que la serie del coseno tiene radio de convergencia infinito, entonces la serie del lado derecho de la igualdad también tiene radio de convergencia infinito, entonces:
$\begin{aligned} \frac{\cos^{2} (z)}{z^{3}} & = \frac{1}{z^{3}} (1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{i^{2 n} 2^{2 n - 1} z^{2 n}}{(2 n)!}) \\ = z^{- 3} - z^{- 1} + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{i^{2 n} 2^{2 n - 1} z^{2 n - 3}}{(2 n)!} \\ = z^{- 3} - z^{- 1} + \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} z^{k}, \end{aligned}$ donde:
$c_{k} = {\begin{array}{lc} \frac{i^{2 n} 2^{2 n - 1}}{(2 n)!} & si existe n \in N tal que k = 2 n - 3, \\ 0 & en otro caso. \end{array}$

Por lo que:
$\frac{\cos^{2} (z)}{z^{3}} = z^{- 3} - z^{- 1} + F (z),$ donde $F (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{c_{k}}{k + 1} z^{k}$ , entonces, por el ejemplo 35.6(b) y la proposición 35.3, tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{C (0, 1)} \frac{\cos^{2} (z)}{z^{3}} d z & = \int_{C (0, 1)} [z^{- 3} - z^{- 1} + F (z)] d z \\ = \int_{C (0, 1)} z^{- 3} d z - \int_{C (0, 1)} z^{- 1} d z + \int_{C (0, 1)} F (z) d z \\ = 0 - i 2 π + 0 \\ = - i 2 π . \end{aligned}$

Cerraremos esta entrada con un resultado que nos será de mucha utilidad la siguiente entrada al probar el teorema de Cauchy.

Lema 35.1. (Lema de Goursat.)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto, $R \subset U$ un rectángulo cerrado y $f : U \to C$ una función analítica en $U$ . Entonces:
$\int_{\partial R} f (z) d z = 0.$

Demostración. Dadas las hipótesis, procedemos a subdividir al rectángulo $R$ , con vértices $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in U$ , en cuatro subrectángulos congruentes denotados por $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ y $R_{4}$ . Si orientamos positivamente a las fronteras de los cuatro subrectángulos, figura 132, por la proposición 34.2(3) tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{\partial R_{1}} f (z) d z & = \int_{z_{1}}^{M_{12}} f (z) d z + \int_{M_{12}}^{M} f (z) d z + \int_{M}^{M_{41}} f (z) d z + \int_{M_{41}}^{z_{1}} f (z) d z, \\ \int_{\partial R_{2}} f (z) d z & = \int_{M_{12}}^{z_{2}} f (z) d z + \int_{z_{2}}^{M_{23}} f (z) d z + \int_{M_{23}}^{M} f (z) d z + \int_{M}^{M_{12}} f (z) d z, \\ \int_{\partial R_{3}} f (z) d z & = \int_{M}^{M_{23}} f (z) d z + \int_{M_{23}}^{z_{3}} f (z) d z + \int_{z_{3}}^{M_{34}} f (z) d z + \int_{M_{34}}^{M} f (z) d z, \\ \int_{\partial R_{4}} f (z) d z & = \int_{M_{41}}^{M} f (z) d z + \int_{M}^{M_{34}} f (z) d z + \int_{M_{34}}^{z_{4}} f (z) d z + \int_{z_{4}}^{M_{41}} f (z) d z . \end{aligned}$

Figura 132: Rectángulo $R \subset U$ dividido en cuatro subrectángulos congruentes.

De acuerdo con lo anterior y la proposición 34.2(2), es claro que:
$\begin{aligned} \int_{\partial R} f (z) d z & = \int_{z_{1}}^{z_{2}} f (z) d z + \int_{z_{2}}^{z_{3}} f (z) d z + \int_{z_{3}}^{z_{4}} f (z) d z + \int_{z_{4}}^{z_{1}} f (z) d z, \\ = \int_{z_{1}}^{M_{12}} f (z) d z + \int_{M_{12}}^{z_{2}} f (z) d z + \int_{z_{2}}^{M_{23}} f (z) d z + \int_{M_{23}}^{z_{3}} f (z) d z \\ + \int_{z_{3}}^{M_{34}} f (z) d z + \int_{M_{34}}^{z_{4}} f (z) d z + \int_{z_{4}}^{M_{41}} f (z) d z + \int_{M_{41}}^{z_{1}} f (z) d z, \\ = \int_{\partial R_{1}} f (z) d z + \int_{\partial R_{2}} f (z) d z + \int_{\partial R_{3}} f (z) d z + \int_{\partial R_{4}} f (z) d z . \end{aligned}$

De la desigualdad del triángulo se sigue que:
$| \int_{\partial R} f (z) d z | \leq | \int_{\partial R_{1}} f (z) d z | + | \int_{\partial R_{2}} f (z) d z | + | \int_{\partial R_{3}} f (z) d z | + | \int_{\partial R_{4}} f (z) d z | .$

Notemos que si cada término en la suma anterior es tal que:
$| \int_{\partial R_{j}} f (z) d z | < \frac{1}{4} | \int_{\partial R} f (z) d z |,$ con $j = 1, 2, 3, 4$ , entonces obtenemos que:
$| \int_{\partial R} f (z) d z | = | \sum_{j = 1}^{4} \int_{\partial R_{i}} f (z) d z | \leq \sum_{j = 1}^{4} | \int_{\partial R_{i}} f (z) d z | < | \int_{\partial R} f (z) d z |,$ lo cual es una contradicción. Por lo que, existe $k \in {1, 2, 3, 4}$ tal que:
$| \int_{\partial R_{k}} f (z) d z | \geq \frac{1}{4} | \int_{\partial R} f (z) d z | .$

Sin pérdida de generalidad denotemos a dicho rectángulo $R_{k}$ como $R^{(1)}$ , es decir, sea $R^{(1)} := R_{k}$ . En caso de existir más de un rectángulo con la propiedad anterior, basta con tomar a $R^{(1)}$ como el rectángulo $R_{j}$ , $j = 1, 2, 3, 4$ , tal que:
$| \int_{\partial R^{(1)}} f (z) d z | = max_{1 \leq j \leq 4} | \int_{\partial R_{j}} f (z) d z | .$

De manera análoga podemos aplicar la misma subdivisión al rectángulo $R^{(1)}$ para obtener un rectángulo $R^{(2)}$ tal que:
$| \int_{\partial R^{(2)}} f (z) d z | \geq \frac{1}{4} | \int_{\partial R^{(1)}} f (z) d z | \geq \frac{1}{4^{2}} | \int_{\partial R} f (z) d z | .$

Procediendo de manera inductiva con esta subdivisión, podemos construir la sucesión de rectángulos cerrados anidados ${R^{(n)}}_{n \geq 1}$ , en $U$ , es decir:
$U \supset R \supset R^{(1)} \supset R^{(2)} \supset R^{(3)} \supset \dots,$ tal que:
$| \int_{\partial R^{(n)}} f (z) d z | \geq \frac{1}{4} | \int_{\partial R^{(n - 1)}} f (z) d z | \geq \dots \geq \frac{1}{4^{n}} | \int_{\partial R} f (z) d z |,$ es decir:
$\begin{matrix} (35.1) & | \int_{\partial R} f (z) d z | \leq 4^{n} | \int_{\partial R^{(n)}} f (z) d z |, \forall n \in N^{+} . \end{matrix}$

Denotamos a $d$ como la longitud de una diagonal del rectángulo $R$ y a $L$ como su perímetro. En consecuencia, para todo $n \in N^{+}$ , $d_{n}$ es la longitud de una diagonal del rectángulo $R^{(n)}$ y $L_{n}$ su perímetro. Entonces, por construcción:
$\begin{matrix} (35.2) & d_{n} = \frac{d}{2^{n}} y L_{n} = \frac{L}{2^{n}}, \forall n \in N^{+} . \end{matrix}$

Como la sucesión ${R^{(n)}}_{n \geq 1}$ de rectángulos anidados, está formada por conjuntos cerrados y acotados en $U$ , entonces por el Teorema de Cantor, proposición 10.11, tenemos que existe $z_{0} \in ⋂_{n = 1}^{\infty} R^{(n)}$ , por lo que $z_{0} \in U$ .

Dado que $f$ es una función analítica en $U$ , en particular es analítica en $z_{0}$ , entonces, por la proposición 18.1 tenemos que:
$f (z) = f (z_{0}) + f^{'} (z_{0}) (z - z_{0}) + ϵ (z) (z - z_{0}),$ donde la función $ϵ (z)$ es continua en $z_{0}$ y $lim_{z \to z_{0}} ϵ (z) = 0$ .

Sea $g (z) := f (z_{0}) + f^{'} (z_{0}) (z - z_{0})$ . Es claro que $g$ es una función continua en $U$ con primitiva:
$G (z) = f (z_{0}) z + \frac{f^{'} (z_{0})}{2} (z - z_{0})^{2},$ entonces, como $\partial R^{(n)}$ es un contorno cerrado, de las proposiciones 34.2(3) y 35.1 se sigue que:
$\begin{aligned} \int_{\partial R^{(n)}} f (z) d z & = \int_{\partial R^{(n)}} g (z) d z + \int_{\partial R^{(n)}} ϵ (z) (z - z_{0}) d z \\ = 0 + \int_{\partial R^{(n)}} ϵ (z) (z - z_{0}) d z \\ = \int_{\partial R^{(n)}} ϵ (z) (z - z_{0}) d z . \end{aligned}$

Puesto que $lim_{z \to z_{0}} ϵ (z) = 0$ , entonces dado $ε > 0$ existe $δ > 0$ tal que:
$| z - z_{0} | < δ ⟹ | ϵ (z) | < \frac{2}{L^{2}} ε .$

Es claro que $lim_{n \to \infty} d_{n} = 0$ , por lo que podemos fijar un índice $n$ tal que $d_{n} < δ$ . Además, como $z_{0} \in R_{n}$ y para todo $z \in R_{n}$ se cumple que $| z - z_{0} | \leq d_{n}$ , tenemos que $R_{n} \subset B (z_{0} δ)$ .

Dado que para todo $z \in \partial R^{(n)}$ se cumple que:
$| z - z_{0} | < \frac{L_{n}}{2} = \frac{L}{2^{n + 1}},$ además $\int_{\partial R^{(n)}} | d z | = ℓ (\partial R^{(n)}) = L_{n}$ , entonces, considerando (35.1), (35.2) y la proposición 34.3(5), tenemos que:
$\begin{aligned} | \int_{\partial R} f (z) d z | & \leq 4^{n} | \int_{\partial R^{(n)}} f (z) d z | \\ = 4^{n} | \int_{\partial R^{(n)}} ϵ (z) (z - z_{0}) d z | \\ \leq 4^{n} \int_{\partial R^{(n)}} | ϵ (z) | | (z - z_{0}) | | d z | \\ \leq 4^{n} \frac{2 ε}{L^{2}} \frac{L}{2^{n + 1}} L_{n} \\ = 4^{n} \frac{2 ε}{L^{2}} \frac{L}{2^{n + 1}} \frac{L}{2^{n}} \\ = ε . \end{aligned}$

Como $ε > 0$ es arbitrario, entonces:
$| \int_{\partial R} f (z) d z | = 0 ⟹ \int_{\partial R} f (z) d z = 0.$

Observación 35.5.
El lema de Goursat puede ser modificado para un triángulo cerrado $△$ en $U$ , es decir, considerando la frontera $\partial △$ de dicho triángulo, se cumple que:
$\int_{\partial △} f (z) d z = 0.$

Más aún, si $P \subset U$ es un polígono y $\partial P$ su frontera, es claro que se tiene un contorno poligonal, en tal caso se cumple que:
$\int_{\partial P} f (z) d z = 0,$ ya que es posible agregar lados internos en $P$ hasta que su interior se subdivida en un número finito de triángulos, entonces con la modificación del lema de Goursat se tiene que la integral alrededor de cada triángulo es cero. Como la suma de las integrales a lo largo de las fronteras de todos estos triángulos es igual a la integral alrededor del contorno poligonal, entonces el resultado se cumple para el contorno poligonal.

En general, siguiendo este camino, se puede probar el resultado para un contorno cerrado simple arbitrario aproximando a dicho contorno lo suficientemente cerca con un contorno poligonal.

Observación 35.6.
Podemos mejorar el lema de Goursat permitiendo que la función $f$ no sea analítica en algunos puntos del interior del rectángulo imponiendo una condición adicional.

Lema 35.2. (Lema de Goursat generalizado.)
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto, $R \subset U$ un rectángulo cerrado, $z_{1}, z_{2}, \dots z_{n} \in int R$ , $U^{'} := U ∖ {z_{1}, z_{2}, \dots z_{n}}$ y $f : U^{'} \to C$ una función analítica en $U^{'}$ tal que:
$lim_{z \to z_{j}} (z - z_{j}) f (z) = 0,$ para todo $j = 1, \dots, n$ . Entonces:
$\int_{\partial R} f (z) d z = 0.$

Demostración. Dadas las hipótesis, notemos que es suficiente probar el caso para un único punto $z_{0} \in int R$ , ya que por inducción se puede dividir a $R$ en pequeños rectángulos tales que cada uno contenga a lo más un punto interior $z_{j}$ de $R$ , por lo que el caso general se deja como ejercicio al lector.

Dividimos a $R$ en nueve subrectángulos de modo que el rectángulo $R_{0}$ sea un cuadrado de lado $L$ y centro de simetría el punto $z_{0} \in int R$ , como se muestra en la figura 133.

Figura 133: Rectángulo $R \subset U$ dividido en nueve subrectángulos, con $R_{0}$ un cuadrado de lado $L$ y centro en $z_{0}$ .

Dado que $f$ es analítica en $U ∖ {z_{0}}$ y $R_{j} \subset U ∖ {z_{0}}$ para todo $j = 1, \dots, 8$ , por el lema de Goursat , para esos ocho rectángulos $R_{j}$ , tenemos que:
$\int_{\partial R_{j}} f (z) d z = 0,$ para todo $j = 1, \dots, 8$ .

Notemos que si orientamos positivamente a los nueve rectángulos, después de cancelar las integrales a lo largo de los segmentos de recta correspondientes con los lados en común de los rectángulos, como en la prueba del lema anterior, tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{\partial R} f (z) d z & = \int_{\partial R_{0}} f (z) d z + \sum_{j = 1}^{8} \int_{\partial R_{j}} f (z) d z \\ = \int_{\partial R_{0}} f (z) d z + 0 \\ = \int_{\partial R_{0}} f (z) d z . \end{aligned}$

Dado que $lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z) = 0$ , para $ε > 0$ tenemos que existe $δ > 0$ tal que si $0 < | z - z_{0} | < δ$ , entonces:
$| f (z) (z - z_{0}) | < ε ⟹ | f (z) | < \frac{ε}{| z - z_{0} |} .$

Más aún, para todo $z \in \partial R_{0}$ se cumple que:
$\frac{L}{2} \leq | z - z_{0} | \leq \frac{\sqrt{2} L}{2} ⟹ \frac{1}{| z - z_{0} |} \leq \frac{2}{L} .$

Además, por construcción:
$\int_{\partial R_{0}} | d z | = ℓ (\partial R_{0}) = 4 L .$

Por lo que, de la proposición 34.3(5) se tiene que:
$\begin{aligned} | \int_{\partial R} f (z) d z | & = | \int_{\partial R_{0}} f (z) d z | \\ \leq \int_{\partial R_{0}} | f (z) | | d z | \\ < \frac{2 ε}{L} \int_{\partial R_{0}} | d z | \\ = 8 ε . \end{aligned}$

Como $ε > 0$ es arbitraria, entonces:
$| \int_{\partial R} f (z) d z | = 0 ⟹ \int_{\partial R} f (z) d z = 0.$

Tarea moral

Sean $R > 0$ y $z_{0} \in C$ fijo. Considera el contorno $C$ dado por la circunferencia $C (z_{0}, R)$ orientada positivamente.
a) Evalúa la integral:
$\int_{C} \overset{―}{z - z_{0}} d z .$ b) Muestra que la función $f (z) = \overset{―}{z}$ no tiene primitiva en ninguna región del plano complejo.
Considera a la integral:
$\int_{γ} Log (z) d z,$ donde $γ (t) = e^{i t}$ , para $t \in [0, π]$ .

Dado que $Log (z)$ es discontinua en $- 1$ , entonces no es continua en $γ (π)$ , por lo que no puede aplicarse la proposición 35.2.
a) Muestra que $Log (z) = {Log}_{(\frac{- π}{2}, \frac{3 π}{2}]} (z)$ para todo $z$ en el contorno $γ$ .
b) Conluye que:
$\int_{γ} Log (z) d z = \int_{γ} {Log}_{(\frac{- π}{2}, \frac{3 π}{2}]} (z) d z,$ y evalúa la integral del lado derecho utilizando la proposición 35.2.
Determina una primitiva para cada una de las siguientes funciones y específica la región dónde cada una de dichas primitivas están definidas.
a) $\frac{1}{(z - 1) (z + 1)}$ .
b) $\frac{Log (z)}{z}$ .
c) $z e^{z^{2}} - \frac{1}{z}$ .
d) $e^{z} \cos (z)$ .
Evalúa cada una de las siguientes integrales.
a) $\int_{C} [(z - 2 - i)^{2} + \frac{i}{z - 2 - i} - \frac{3}{(z - 2 - i)^{2}}] d z,$ donde $C$ es la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ orientada positivamente.
b) $\int_{[z_{1}, z_{2}, z_{3}]} z e^{z} d z$ , donde $z_{1} = π$ , $z_{2} = - 1$ y $z_{3} = - 1 - i π$ .
c) $\int_{[z_{1}, z_{2}, z_{3}]} Log (z) d z$ , donde $z_{1} = - i$ , $z_{2} = 1$ y $z_{3} = i$ .
d) $\int_{γ} \frac{1}{z} d z$ , donde $γ$ es un contorno contenido en ${z \in C : Im (z) < 0}$ que une a $1 - i$ y $- i$ .
Sean $D \subset C$ un dominio, $γ : [a, b] \subset R \to D$ , con $a < b$ , una curva cerrada y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ con $f^{'} (z)$ continua en $D$ . Muestra que:
$I = \int_{γ} \overset{―}{f (z)} f^{'} (z) d z,$ es un número imaginario puro.
Sea $γ_{R}$ la circunferencia $C (0, R)$ orientada positivamente, con $R > 0$ . Muestra que:
$| \int_{γ_{R}} \frac{Log (z)}{z^{2}} d z | \leq 2 π (\frac{π + Log (R)}{R}) .$
Sea $△$ el triángulo con vértices $0, 1$ e $i$ . Evalúa las integrales $\int_{\partial △} z d z$ y $\int_{\partial △} \overset{―}{z} d z$ , donde $\partial △$ es la frontera de $△$ orientada positivamente.
Modifica la prueba del lema de Goursat para establecer lo siguiente: si $f$ es una función analítica en un conjunto abierto $U \subset C$ , entonces $\int_{\partial △} f (z) d z = 0$ , para cualquier triángulo cerrado $△ \subset U$ .

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