Esta es la página del curso de Análisis Matemático I en el marco del proyecto PAPIME 104522. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia cubriendo varios temas, ejemplos y problemas en el transcurso.
Organización del curso
El curso está dividido en ocho unidades temáticas.
- Unidad 1: Espacios métricos
- Unidad 2: Continuidad
- Unidad 3: Completez
- Unidad 4: Convergencia uniforme su relación con derivada e integral
- Unidad 5: Teoremas de punto fijo y aplicación a las ecuaciones diferenciales
- Unidad 6: Compacidad, Heine-Borel y Árzela-Ascoli
- Unidad 7: Teorema de aproximación de Stone-Weierstrass
- Unidad 8: Integral de Riemann-Stieljes
Notas del curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Se irán llenando y escribiendo en finales de 2022 y 2023.
Unidad 1: Espacios métricos
- Espacios métricos
- Otros ejemplos de espacios métricos
- Espacios normados
- La bola abierta en un espacio métrico
- Nociones topológicas básicas
- Espacios de funciones
Unidad 2: Continuidad
- Convergencia
- La métrica de Hausdorff
- Límite de una función
- Funciones continuas en espacios métricos
- Más conceptos de continuidad
- Espacios métricos de caminos
Unidad 3: Completez
- Sucesiones de Cauchy
- Espacios métricos completos
- Conjuntos anidados
- Teorema de Baire
- Completación de un espacio métrico
Unidad 4: Convergencia uniforme su relación con derivada e integral
- Convergencia puntual y convergencia uniforme
- Convergencia uniforme y continuidad
- Convergencia y diferenciación
- Convergencia e integración
- Convergencia uniforme de series en espacios de Banach
Unidad 5: Teoremas de punto fijo y aplicación a las ecuaciones diferenciales
- Contracciones
- Si $\phi$ es contracción entonces la sucesión $(\phi^n(x_0))_{n \in \mathbb{N}} \,$ es de Cauchy
- Teorema de punto fijo de Banach
- Aplicación del teorema de punto fijo a una ecuación diferencial particular
- Teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales
Unidad 6: Compacidad, Heine-Borel y Árzela-Ascoli
- Compacidad en espacios métricos
- Funciones en espacios topológicos compactos
- Continuidad uniforme
- Funciones semicontinuas
- Funciones equicontinuas
- Conjuntos relativamente compactos y totalmente acotados
Unidad 7: Teorema de aproximación de Stone-Weierstrass
- Polinomios de Bernstein
Unidad 8: Integral de Riemann-Stieljes
- Funciones de variación acotada
- Funciones de variación acotada. Parte 2
- Una motivación con probabilidad
- Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes. Parte 1
- Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes. Parte 2
- Y para terminar, dos resultados fuertes de la integral de Riemann-Stieltjes
Bibliografía
A continuación se enlista bibliografía sugerida para llevar este curso.
- Apostol, T., Análisis Matemático (2a ed.). México: Editorial Reverté, 1996.
- Bartle, R.G., The Elements of Real Analysis. New York: J. Wiley, 1964.
- Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2015.
- Jost, J., Postmodern Analysis. New York: Springer-Verlag, 1998.
- Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Moscú: Editorial MIR, 1972.
- Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (2a ed.). México: McGraw–Hill, 1980.
- Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. New York: Marcel Dekker, 1977.
Créditos
El material de este curso fue creado por
- Lizbeth Fernández Villegas
- Jesús Ángel Núñez Zimbrón
- Vinicio Antonio Gómez Gutiérrez