Introducción
En entradas anteriores hemos estudiado algunas transformaciones lineales especiales con respecto a la transformación adjunta asociada. Estudiamos, por ejemplo, las transformaciones normales que son aquellas que conmutan con su adjunta. El siguiente paso es estudiar las transformaciones lineales entre espacios euclidianos que preservan las distancias. Estas transformaciones son muy importantes, pues son aquellas transformaciones que además de ser lineales, coinciden con nuestra intuición de movimiento rígido. Veremos que esta condición garantiza que la transformación en cuestión preserva el producto interior de un espacio a otro.
Isometrías y transformaciones ortogonales
Definición. Sean
Por lo tanto, una isometría es una transformación lineal biyectiva que preserva el producto interior. El siguiente problema nos da una mejor idea de esta preservación.
Problema. Sea
para cualesquiera . para cualquier .
Solución.
Observación. Si
Definición. Sea
Nota que la biyectividad de
Similarmente, diremos que una matriz
Estas nociones de ortogonalidad parecen algo distintas entre sí, pero la siguiente sección ayudará a entender la conexión que existe entre ellas.
Ejemplo. La matriz
Equivalencias de transformaciones ortogonales
Entendamos un poco más qué quiere decir que una matriz
Esto es exactamente lo mismo que pedir que los vectores
También, de la igualdad
Teorema. Sea
es ortogonal.- Las filas de
forman una base ortonormal de . - Las columnas de
forman una base ortonormal de . - Para cualquier
se tiene
Las afirmaciones restantes quedan como tarea moral. Tenemos un resultado muy similar para el caso de transformaciones lineales.
Teorema. Sea
es ortogonal, es decir, para cualesquiera . para cualquier . .
Demostración.
para cualesquiera
Las transformaciones ortogonales forman un grupo
Las propiedades anteriores nos hablan de una transformación ortogonal. Sin embargo, al tomar un espacio vectorial
Teorema. Sea
Demostración. Veamos la cerradura por composición. Sean
para todo
Análogamente tenemos que si
para todo
Definición. A
Más adelante…
En esta entrada definimos y estudiamos las transformaciones ortogonales. También hablamos de las matrices ortogonales. Dimos algunas caracterizaciones para este tipo de transformaciones. Vimos que las transformaciones ortogonales de un espacio vectorial forman un grupo
Las transformaciones que fijan el producto interior también fijan la norma y las distancias, de modo que geométricamente son muy importantes. En cierto sentido, entender quiénes son las transformaciones ortogonales de un espacio vectorial nos ayuda a entender «de qué maneras podemos cambiarlo linealmente, pero sin cambiar su métrica». En las siguientes entradas entenderemos con más profundidad al grupo
Tarea moral
- Verifica que la matriz
es ortogonal. - Sea
una base ortnormal de un espacio euclidiano y sea otra base de . Sea la matriz de cambio de base de a . Demuestra que es ortonormal si y sólo si es ortogonal. - Termina las demostraciones de las caracterizaciones de matrices ortogonales y de transformaciones ortogonales.
- Demuestra que el producto de matrices ortogonales es también una matriz ortogonal.
- Encuentra todas las posibles transformaciones ortogonales de
.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal II
- Entrada anterior del curso: Transformaciones normales, simétricas y antisimétricas
- Siguiente entrada del curso: El teorema de clasificación de transformaciones ortogonales
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Hola:
¿Qué es una transformación lineal autoadjunta?
Gracias.
Hola Rodrigo,
Una transformación auto adjunta es una transformación que es su propia adjunta. La definicón formal la puedes encontrar en la entrada de transformaciones adjuntas.
Hola, no estoy muy seguro del por que la inyectividad asegura la biyetividad. A mi parecer como T es inyectiva, si le damos de comer una base de V, esta base debe ir a un conjunto linealmente independiente, con tantos elementos como la dimensión de V, y como T va de V en V, entonces la base va a otra base (conjunto linealmente independiente y con dim (V) elementos, debe ser base según Steinitz), de modo que podemos generar a cualquier elemento de V usando T(e1), …,T(e_n) como base, asi T es suprayectiva, pero me parece que es un argumento muy largo, y podría tener algún error.