Introducción
En esta entrada haremos una serie de problemas que nos ayudarán como repaso de los temas vistos durante las últimas dos semanas. Mostraremos algunas propiedades bastante interesantes acerca de las transformaciones alternantes y antisimétricas, así como de la transformación estrella de esta semana: el determinante.
Problemas de transformaciones antisimétricas
En la entrada del miércoles 6 de mayo, hablábamos sobre la equivalencia entre transformaciones alternantes y antisimétricas, justo resaltamos que ésto no es cierto si el campo
Ejemplo. Sea
De manera natural surge la pregunta: ¿cómo podemos construir una transformación
Problema. Sea
es un mapeo
Solución. Es fácil ver que
Usando el hecho que
Por lo tanto,
Problemas de determinantes
Ahora continuando con la discusiones del determinante, sabemos que éste es una forma
Problema 1. Sea
donde todos los determinantes están calculados en la base canónica y
Solución. Definimos el mapeo
Esta transformación es la suma de transformaciones
debido a que el determinante es antisimétrico.
Por el último teorema visto en la clase del viernes pasado, existe escalar
para todo
Por lo tanto, obtenemos lo que queremos.
Por último, los siguientes dos problemas nos ilustran como podemos obtener información de las matrices de manera fácil y «bonita», usando algunas propiedades de los determinantes vistas en la sesión del martes pasado.
Problema 2. Sea
Solución. Notemos que
Por la propiedad del determinante de un producto, tenemos que
Suponemos que
esto implica que
Problema 3. Para
- Probar que
, donde y . - ¿Qué podemos decir de la forma de
? - Calcula
.
Solución. 1) Fijando
Notemos que
2) Si
3) Dada la propiedad multiplicativa del determinante, dado que
Entradas relacionadas
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»
Hola Leo.
En el problema de A^2 + B^2 = 0_n, podrías profundizar más en el último párrafo, es decir, en la parte de «Como consecuencia, i^n es un número real, contradiciendo al hecho que n es impar. Por lo tanto det(BA-AB)=0 »
No comprendo por qué se menciona lo de «contradiciendo al hecho de que n es impar»
Hola Lorena. Lo que sucede es que las potencias del número imaginario i alternan entre ser reales e imaginarias:
i=i
i^2=-1
^3=-i
i^4=1
i^5=i
i^6=-1
etcétera.
Si la potencia es par, entonces queda un número real (1 ó -1). Si la potencia es impar, entonces queda un número imaginario (i ó -i). Si quieres puedes pensarlo al revés: como n es impar, entonces a la derecha en la última igualdad tenemos un imaginario, pero a la izquierda hay un real. Esto es una contradicción.
En el último problema solución del 1 hay un error de subindices, donde la derecha de la ecuación de igualdad debe leer . Todo lo demás esta bien.