Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Abordaremos este tema demostrando algunos resultados con ayuda del álgebra de conjuntos. Algunos otros los probaremos con el método de demostración habitual.

Conceptos previos

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos arbitrarios, definimos la diferencia simétrica de $A$ con $B$, como:

$A\mathrm{△}B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

Ejemplo.

Consideremos $A=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$ y $B=\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}$. Tenemos que:

$$\begin{array}{rl}A\mathrm{△}B& =\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\mathrm{△}\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\\ & =(\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\setminus \{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\})\cup (\{\mathrm{\varnothing },\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\setminus \{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\\ & =\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\cup \{\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}\\ & =\{\{\mathrm{\varnothing }\},\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\}.\end{array}$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Si observamos con detalle el ejemplo anterior podremos notar que el conjunto que nos resulta también es igual a $(A\cup B)\setminus (A\cap B)$. De hecho, no solo ocurre para este caso en particular, sino que ocurre para cualesquiera conjuntos. Vamos a probarlo a continuación:

Proposición. Para cualesquiera $A,B$ conjuntos, se cumple que $A\mathrm{△}B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.

Demostración.

$$\begin{array}{rl}A\mathrm{△}B& =(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\ & =(A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus A))\\ & =(A\cup (B\cap (X\setminus A))\cap ((X\setminus B)\cup (B\cap (X\setminus A)))\\ & =((A\cup B)\cap (A\cup (X\setminus A)))\cap (((X\setminus B)\cup B)\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus A)))\\ & =((A\cup B)\cap X)\cap (X\cap (X\setminus (A\cap B))\\ & =(A\cup B)\cap (X\setminus (A\cap B))\\ & =(A\cup B)\setminus (A\cap B).\end{array}$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Otras equivalencias

Proposición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Sea $X$ un conjunto con respecto al cual tomaremos complementos. Se cumplen las siguientes igualdades de conjuntos:

1. $A\mathrm{△}B=(A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus A))$,
2. $A\mathrm{△}B=(A\cup B)\cap (X\setminus (A\cap B))$.

Demostración.

1. 
   $$\begin{array}{rl}(A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus A))& =(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\ & =A\mathrm{△}B.\end{array}$$
   
2. 
   $$\begin{array}{rl}A\mathrm{△}B& =(A\cup B)\setminus (A\cap B)\\ & =(A\cup B)\cap (X\setminus (A\cap B)).\end{array}$$

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Propiedades de la diferencia simétrica

Veamos otras tres propiedades de la diferencia simétrica.

Proposición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Se satisfacen las siguientes propiedades:

1. $A\mathrm{△}\mathrm{\varnothing }=A$,
2. $A\mathrm{△}A=\mathrm{\varnothing }$,
3. $A\mathrm{△}B=B\mathrm{△}A$.

Demostración.

1. 
   $$\begin{array}{rl}A\mathrm{△}\mathrm{\varnothing }& =(A\setminus \mathrm{\varnothing })\cup (\mathrm{\varnothing }\setminus A)\\ & =A\cup \mathrm{\varnothing }=A.\end{array}$$
2. 
   $$\begin{array}{rl}A\mathrm{△}A& =(A\setminus A)\cup (A\setminus A)\\ & =\mathrm{\varnothing }\cup \mathrm{\varnothing }\\ & =\mathrm{\varnothing }.\end{array}$$
3. 
   $$\begin{array}{rl}A\mathrm{△}B& =(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\ & =(B\setminus A)\cup (A\setminus B)\\ & =B\mathrm{△}A.\end{array}$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Proposición. $A\mathrm{△}B=\mathrm{\varnothing }$ si y sólo si $A=B$.

Demostración.

Supongamos primero que $A=B$, entonces $A\mathrm{△}B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\setminus A)\cup (A\setminus A)=\mathrm{\varnothing }\cup \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$.

Por otro lado, si $A\mathrm{△}B=\mathrm{\varnothing }$, tenemos que $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=\mathrm{\varnothing }$. Esto implica que $A\setminus B=\mathrm{\varnothing }=B\setminus A$ pues de otra forma la unión de estos conjuntos no resultaría ser el conjunto vacío.
Por un lado, $A\setminus B=\mathrm{\varnothing }$ implica que $A\subseteq B$ y $B\setminus A=\mathrm{\varnothing }$ implica que $B\subseteq A$. Por lo tanto, $A=B$.

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Tarea moral

Para $A$, $B$ y $C$ conjuntos, demuestra que se satisfacen las siguientes propiedades:

1. $A\cap (B\mathrm{△}C)=(A\cap B)\mathrm{△}(A\cap C)$.
2. Si $A\mathrm{△}B=A\mathrm{△}C$, entonces $B=C$.
3. $A\mathrm{△}(B\mathrm{△}C)=(A\mathrm{△}B)\mathrm{△}C$.

Más adelante…

En la siguiente entrada introduciremos nuevos conceptos: definiremos qué es un par ordenado y a partir de éste concepto definiremos al producto cartesiano. Será necesario que recuerdes el concepto de par no ordenado. (Ver Teoría de los Conjuntos I: Axioma de unión y axioma de par).

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»