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Introducción

Anteriormente introdujimos el concepto de transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales. Vimos diversas propiedades que toda transformación lineal debe satisfacer. Finalmente, se presentaron las definiciones de kernel e imagen. Lo que haremos ahora es hablar de algunos tipos especiales de transformaciones lineales: las proyecciones y las simetrías. Para ello, aprovecharemos lo que ya estudiamos de suma y suma directas de subespacios.

Además, hablaremos del concepto de subespacios estables. Intuitivamente, un subespacio es estable para una transformación lineal si al aplicarla en elementos del subespacio, «no nos salimos del subespacio».

Proyecciones

Hablemos de una clase fundamental de transformaciones lineales: las proyecciones sobre subespacios. Para ellas, se comienza expresando a un espacio vectorial como una suma directa $V = W_{1} \oplus W_{2}$ . Recuerda que, a grandes rasgos, esto quiere decir que cada vector $v$ de $V$ se puede expresar de manera única como $v = w_{1} + w_{2}$ , donde $w_{1}$ está en $W_{1}$ y $w_{2}$ está en $W_{2}$ .

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial y sean $W_{1}$ y $W_{2}$ dos subespacios de $V$ tales que $V = W_{1} \oplus W_{2}$ . La proyección sobre $W_{1}$ es la función $π_{1} : V \to W_{1}$ definido como: para cada $v \in V$ , se tiene que $π_{1} (v)$ es el único vector en $W_{1}$ tal que $v - π_{1} (v)$ está en $W_{2}$ .

De manera similar podemos definir la proyección sobre $W_{2}$ , llamada $π_{2} : V \to W_{2}$ .

Hay otra forma de decir esto. Dado que $V = W_{1} \oplus W_{2}$ , para todo $v \in V$ existen únicos vectores $v_{1} \in W_{1}$ y $v_{2} \in W_{2}$ tales que $v = v_{1} + v_{2}$ . Entonces $π_{1} (v) = v_{1}$ y $π_{2} (v) = v_{2}$ .

Ejemplo. Sea $V = R^{2}$ , y sean $W_{1} = {(a, 0) : a \in R}$ y $W_{2} = {(0, b) : b \in R}$ . Sabemos que $W_{1}$ y $W_{2}$ son subespacios y que $V = W_{1} \oplus W_{2}$ . Entonces, si $(a, b) \in V$ , se tiene que $π_{1} ((a, b)) = (a, 0)$ y $π_{2} ((a, b)) = (0, b)$ .

$△$

Cuando hablamos de una proyección $π$ de un espacio vectorial $V$ , sin indicar el subespacio, de manera implícita nos referimos a una función para la cual existe una descomposición $V = W_{1} \oplus W_{2}$ tal que $π$ es la proyección sobre $W_{1}$ .

Problema. Muestra que la transformación lineal $π : M_{2} (R) \to M_{2} (R)$ tal que $π (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + b & 0 \\ c & 0 \end{matrix})$ es una proyección.

Solución. Para resolver el problema, tenemos que mostrar que se puede escribir $M_{2} (R) = W_{1} \oplus W_{2}$ , de modo que $π$ sea una proyección sobre $W_{1}$ .

Proponemos $W_{1} = {(\begin{matrix} r & 0 \\ s & 0 \end{matrix}) : r, s, \in R}$ y $W_{2}$ como $W_{2} = {(\begin{matrix} - r & r \\ 0 & s \end{matrix}) : r, s, \in R} .$

Si una matriz está simultánteamente en $W_{1}$ y $W_{2}$ , es sencillo mostrar que únicamente puede ser la matriz cero, es decir $O_{2}$ . Esto lo puedes verificar por tu cuenta. Además, cualquier matriz en $M_{2} (R)$ se puede escribir como suma de elementos en $W_{1}$ y $W_{2}$ como sigue: $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + b & 0 \\ c & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - b & b \\ 0 & d \end{matrix}) .$

Justo $π$ es la primer matriz. Esto muestra que $π$ es una proyección, pues es la proyección sobre $W_{1}$ en la descomposición $V = W_{1} \oplus W_{2}$ .

Aún no hemos mostrado que las proyecciones son transformaciones lineales. Hacemos esto a continuación.

Proposición. Sean $V$ un espacio vectorial, $W_{1}$ un subespacio vectorial de $V$ y $π : V \to W_{1}$ una proyección de $V$ sobre $W_{1}$ . Entonces $π$ es una transformación lineal.

Demostración. Si $v, v^{'} \in V$ entonces $v + v^{'} \in V$ y por definición de proyección tenemos que $π (v + v^{'})$ es el único vector en $W_{1}$ tal que:

$(v + v^{'}) - π (v + v^{'}) \in W_{2},$ por otra parte como $π (v)$ es el únco vector en $W_{1}$ tal que $v - π (v) \in W_{2}$ y $π (v^{'})$ es el único vector en $W_{1}$ tal que $v^{'} - π (v^{'}) \in W_{2}$ entonces $v - π (v) + v^{'} - π (v^{'}) \in W_{2}$ ya que $W_{2}$ es subespacio de $V$ , es decir que $(v + v^{'}) - (π (v) + π (v^{'})) \in W_{2}$ y debido a que $π (v) + π (v^{'}) \in W_{1}$ , entonces tenemos la situación en la que existe un vector $π (v) + π (v^{'}) \in W_{1}$ tal que $(v + v^{'}) - (π (v) + π (v^{'})) \in W_{2},$ pero $π (v + v^{'})$ es el único vector en $W_{1}$ tal que $(v + v^{'}) - π (v + v^{'}) \in W_{2}$ , esto implica que $π (v + v^{'}) = π (v) + π (v^{'}) .$ Así concluimos que $π$ abre sumas.

Para comprobar que $π$ saca escalares consideremos cualquier $v \in V$ y cualquier $c \in F$ , tenemos que $c v \in V$ (pues $V$ es espacio vectorial), por definición de proyección tenemos que $π (c v)$ es el único vector en $W_{1}$ tal que $c v - π (c v) \in W_{2},$ por otra parte $π (v)$ es el único vector de $W_{1}$ tal que $v - π (v) \in W_{2}$ entonces $c (v - π (v)) = c v - c π (v) \in W_{2}$ . Como $c π (v) \in W_{1}$ tal que $c v - c π (v) \in W_{2}$ entonces $π (c v) = c π (v)$ debido a la unicidad de $π (c v)$ , por lo que $π$ saca escalares. Como $π$ abre sumas y saca escalares concluimos que $π$ es una transformación lineal.

Finalmente, notemos que $π (v) = v$ para todo $v \in W_{1}$ pero $π (v) = 0$ si $v \in W_{2}$ .

Simetrías

Una segunda clase importante de trasnformaciones lineales son las simetrías.

Definición. Sea una descomposición $V = W_{1} \oplus W_{2}$ , con $W_{1}, W_{2}$ dos subespacios de $V$ . Decimos que $s : V \to V$ es una simetría con respecto a $W_{1}$ a lo largo de $W_{2}$ si para todo $v \in V$ , escrito como $v = v_{1} + v_{2}$ con $v_{1} \in W_{1}$ y $v_{2} \in W_{2}$ , tenemos que $s (v) = v_{1} - v_{2} .$

Al igual que con las proyecciones, no es dificil ver que las simetrías son transformaciones lineales.

Proposición. Sea $s : V \to V$ una simetría con respecto a $W_{1}$ a lo largo de $W_{2}$ . Entonces, $s$ es una transformación lineal.

Demostración. Sean $v, v^{'} \in V$ . Sean $v_{1}, v_{1}^{'} \in W_{1}$ y $v_{2}, v_{2}^{'} \in W_{2}$ tales que $v = v_{1} + v_{2}$ y $v^{'} = v_{1}^{'} + v_{2}^{'}$ . Eso implica que $v + v^{'} = (v_{1} + v_{1}^{'}) + (v_{2} + v_{2}^{'})$ con $v_{1} + v_{1}^{'} \in W_{1}$ y $v_{2} + v_{2}^{'} \in W_{2}$ . Entonces
$s (v) + s (v^{'}) = (v_{1} - v_{2}) + (v_{1}^{'} - v_{2}^{'}) = (v_{1} + v_{1}^{'}) - (v_{2} + v_{2}^{'}) = s (v + v^{'}) .$
Ahora sea $a \in F$ , entonces $a s (v) = a (v_{1} - v_{2}) = a v_{1} - a v_{2} = s (a v_{1} + a v_{2}) = s (a v)$ . Por lo tanto, $s$ es una transformación lineal.

Notemos que si $v \in W_{1}$ , entonces $s (v) = v - 0 = v$ , y si $v \in W_{2}$ , entonces $s (v) = 0 - v = - v$ .

Subespacios estables

Observemos que las proyecciones y las simetrías satisfacen que $π (W_{1}) = W_{1}$ y $s (W_{1}) = W_{1}$ . Esta es una propiedad muy linda, pero en general, si $T : V \to V$ es una transformación lineal cualquiera y $W$ un subespacio de $V$ , no siempre tenemos que $T (W) = W$ , o ni siquiera que $T (W) \subset W$ . Es decir, aunque tomemos un vector $w$ en $W$ , puede pasar que $T (w)$ ya «esté fuera» de $W$ .

Los subespacios $W$ que sí satisfacen esta última propiedad son cruciales en el estudio de este curso, y por ello, merecen un nombre especial.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial y $T : V \to V$ una transformación lineal. Si $W$ es un subespacio de $V$ tal que $T (W) \subset W$ , decimos que $W$ es un subespacio estable bajo $T$ .

En otras palabras, $W$ es estable bajo $T$ si para todo $v$ en $W$ se tiene que $T (v)$ también está en $W$ . Un ejemplo trivial es la transformación identidad con cualquier subespacio $W$ . Otro ejemplo trivial es que $V$ y ${0}$ son dos subespacios estables bajo cualquier transformación lineal $T : V \to V$ . Otros ejemplos son los ya mencionados: las proyecciones y las simetrías.

En el siguiente ejemplo encontraremos todos los subespacios estables para una cierta transformación.

Ejemplo. Consideremos el mapeo $T : R^{2} \to R^{2}$ con $T (x, y) = (y, - x)$ . Claramente $T$ es lineal. Sea $W$ un subespacio estable de $R^{2}$ bajo $T$ . Supongamos que $W$ no es ni $R^{2}$ , ni el subespacio trivial ${(0, 0)}$ .

Veremos que no hay ningún otro subespacio estable. Procedamos por contradicción. Suponiendo que hay otro subespacio estable $W$ , su dimensión tendría que ser exactamente $1$ . Eso implica que $W$ está generado por un vector no cero, digamos $v = (x, y)$ . Es decir, cada $w \in W$ lo podemos escribir como $w = a v$ donde $a$ es un escalar. En particular $v \in W$ .

Como $W$ es estable bajo $T$ , entonces $T (v) \in W$ , esto es $T (v) = c v$ para algún $c$ . Así,
$\begin{aligned} (y, - x) & = T ((x, y)) \\ = T (v) \\ = c v \\ = c (x, y) \\ = (c x, c y) . \end{aligned}$ Igualando ambos extremos, obtenemos que $y = c x$ y $- x = c y$ , lo cual implica que $(c^{2} + 1) x = 0$ . Como $c$ es real, esto implica $x = 0$ y por lo tanto $y = 0$ . Concluimos que $v = (0, 0)$ , lo cual es una contradicción.

Esto demuestra que los únicos subespacios estables bajo $T$ son $R^{2}$ y ${(0, 0)}$ .

El siguiente problema estudia un problema inverso. En ella se encuentran todas las transformaciones lineales que dejan fijas «todas las rectas por el vector $0$ ».

Problema. Sea $V$ un espacio vectorial y $T : V \to V$ una transformación lineal tal que, para todo $v \in V$ , se tiene que $span (v)$ es un subespacio estable bajo $T$ . Entonces existe un escalar $c \in F$ tal que $T (x) = c x$ para todo $x \in V$ .

Demostración. Sea $x \in V$ un vector distinto de $0$ . Si $L = span (x)$ , tenemos que $T (L) \subset L$ por hipótesis. En particular $T (x) \in L$ y por lo tanto existe $c_{x}$ tal que $T (x) = c_{x} x$ . Queremos probar que esa constante realmente no depende de $x$ .

Sea $y \in V$ . Hay dos opciones: $x, y$ son linealmente independientes o no. Supongamos primero que $x, y$ son linealmente independientes. Entonces $x + y \neq 0$ y la igualdad $T (x + y) = T (x) + T (y)$ puede ser escrita como $c_{x + y} (x + y) = c_{x} x + c_{y} y$ , esto es equivalente a $(c_{x + y} - c_{x}) x + (c_{x + y} - c_{y}) y = 0.$ Por independencia lineal, $c_{x + y} - c_{x} = c_{x + y} - c_{y} = 0$ y por lo tanto. $c_{x} = c_{x + y} = c_{y}$ .

Ahora si $x, y$ no son linealmente independientes, es porque $y = 0$ (en cuyo caso cualquier $c_{y}$ funciona, en particular $c_{x}$ ) o bien porque $y = a x$ para algún escalar $a$ no cero. Entonces la igualdad $T (y) = T (a x) = a T (x)$ puede ser escrita como $c_{y} y = a c_{x} x = c_{x} y$ , y esto implica que $c_{y} = c_{x}$ .

En cualquier caso, hemos mostrado que para todo $y \in V$ , se tiene que $c_{x} = c_{y}$ . Definiendo $c = c_{x}$ , se satisface la afirmación de la proposición.

Las imágenes y kernels son estables

Otros ejemplos importantes de subespacios estables son las imágenes y los kernels. Esto únicamente funciona para cuando tenemos una transformación lineal de un espacio vectorial a sí mismo.

Proposición. Sea $T : V \to V$ una transformación lineal. Entonces $\ker (T)$ e $Im (T)$ son subespacios estables bajo $T$ .

Demostración. En la entrada anterior ya vimos que $\ker (T)$ e $Im (T)$ son subespacios de $V$ . Veamos que son estables bajo $T$ .

Tomemos $v \in \ker (T)$ . Tenemos que mostrar que $T (v) \in \ker (T)$ . Pero esto es cierto pues $T (T (v)) = T (0) = 0.$ Así $T (\ker (T)) \subset \ker (T)$ y por lo tanto $\ker (T)$ es estable bajo $T$ .

Ahora tomemos $v \in Im (T)$ . De manera inmediata, $T (v) \in Im (T)$ . Así, $Im (T)$ es estable bajo $T$ .

Más adelante…

Las proyecciones y simetrías son dos ejemplos de transformaciones lineales que tienen propiedades específicas. Más adelante, cuando hablemos de geometría de espacios vectoriales y del proceso de Gram-Schmidt, veremos que las proyecciones satisfacen propiedades interesantes en términos de ciertas distancias.

La teoría de subespacios estables es muy útil a la hora de construir bases de subespacios vectoriales de manera inductiva. De hecho, los resultados en esta dirección son uno de los ingredientes que usaremos en la demostración del teorema estelar del curso: el teorema espectral.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Sea $Y$ es el subespacio $Y = {(0, r, 0) : r \in R}$ de $R^{3}$ . Argumenta por qué la transformación $π : R^{3} \to Y$ dada por $π (x, y, z) = (0, y, 0)$ es una proyección sobre $Y$ . Para ello tendrás que encontrar un subespacio $W$ de $R^{3}$ tal que $R^{3} = Y \oplus W$ y con el cual $π (x, y, z)$ satisface la definición.
Sea $X$ el subespacio $X = {(r, 0, 0) : r \in R}$ . ¿Es posible ver a la transformación $T : R^{3} \to X$ dada por $T (x, y, z) = (x + y + z, 0, 0)$ como una proyección sobre $X$ ? Si tu respuesta es sí, tendrás que dar un espacio $W$ bajo el cual se satisfaga la definición. Si tu respuesta es no, tendrás que mostrar que ningún subespacio $W$ funciona.
En el ejemplo de la sección de subespacios estables, ¿qué sucede si trabajamos en $C^{2}$ en vez de en $R^{2}$ ? ¿Quienes serían todos los subespacios estables?
Sea $B = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ una base para un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ . Sea $V_{i}$ el espacio vectorial generado por $v_{i}$ , es decir, el conjunto de vectores de la forma $c v_{i}$ con $c \in F$ . Como $B$ es base, cada vector $v \in V$ puede escribirse de la forma $a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \dots + a_{n} v_{n}$ de manera única. Muestra que para toda $i \in {1, 2, \dots, n}$ la función $π_{i} (v) = a_{i} v_{i}$ es una proyección sobre $V_{i}$ .
Para cada entero $n$ , muestra que $R_{n} [x]$ es un subespacio de $R [x]$ que es estable bajo la transformación lineal $T$ que manda a cada polinomio $p (x)$ a su derivada $T (p (x)) = p^{'} (x)$ .

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

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Álgebra Lineal I: Proyecciones, simetrías y subespacios estables