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Introducción

En esta ocasión veremos algunos resultados sobre los puntos de Fermat y los triángulos de Napoleón, objetos que aparecen al construir triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo cualquiera.

Definición. Sean $△ A B C$ y puntos $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ tales que los triángulos $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ son equiláteros y ninguno se traslapa con $△ A B C$ , decimos que $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ es una configuración externa de Napoleón.

De manera análoga definimos una configuración interna de Napoleón, si los triángulos $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ son equiláteros y todos se traslapan con $△ A B C$ .

Puntos de Fermat

Teorema 1. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón, entonces
$i)$ los circuncírculos de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ , $△ A B C^{'}$ y las rectas $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como primer punto de Fermat,
$i i)$ $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'}$ .

Demostración. Sea $F_{1} = Γ (A B^{'} C) \cap Γ (A B C^{'})$ la intersección de los circuncírculos de $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ respectivamente.

Como $A F_{1} C B^{'}$ y $A F_{1} B C^{'}$ son cíclicos entonces los pares de ángulos $∠ B C^{'} A$ , $∠ A F_{1} B$ y $∠ A B^{'} C$ , $∠ C F_{1} A$ son suplementarios, por lo tanto, $∠ A F_{1} B = ∠ C F_{1} A = \frac{2 π}{3}$ .

En consecuencia, $∠ B F_{1} C = \frac{2 π}{3}$ , por lo tanto, $∠ B F_{1} C$ y $∠ P A^{'} B$ son suplementarios, así, $F_{1} B A^{'} C$ es cíclico, es decir $F_{1} \in Γ (A^{'} B C)$ .

Por otra parte, $∠ B F_{1} A^{'} = ∠ B C A$ , pues abarcan el mismo arco, entonces, $∠ A F_{1} B + ∠ B F_{1} A^{'} = (π - ∠ B C^{'} A) + ∠ B C A^{'} = π - \frac{π}{3} + \frac{π}{3} = π$ , por lo tanto, $F_{1} \in A A^{'}$ .

Igualmente podemos ver que $F_{1} \in B B^{'}$ y $F_{1} \in C C^{'}$ .

Finalmente, hagamos una rotación de $\frac{π}{3}$ en sentido contrario al de las manecillas y centro en $B$ , entonces $A$ toma el lugar de $C^{'}$ y $A^{'}$ toma el lugar de $C$ , por lo tanto, $A A^{'} = C C^{'}$ .

Con una rotación de $\frac{π}{3}$ en el sentido de las manecillas, con centro en $C$ , $A^{'}$ toma el lugar de $B$ y $A$ el de $B^{'}$ , por lo tanto, $C C^{'} = A A^{'} = B B^{'}$ .

Nota. Si $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ es una configuración interna de Napoleón, los mismos resultados son ciertos y al punto de concurrencia le llamamos segundo punto de Fermat.

Problema de Fermat

Problema de Fermat. Dado un triángulo $△ A B C$ tal que ninguno de sus ángulos internos es mayor a $\frac{2 π}{3}$ , encuentra el punto $P$ que minimiza la suma de las distancias a los vértices de $△ A B C$ , $P A + P B + P C$ .

Solución. Sea $P$ un punto fuera de $△ A B C$ (figura 2), sin pérdida de generalidad supongamos que $P$ y $C$ se encuentran en lados contrarios respecto de $A B$ .

Sea $D = P C \cap A B$ aplicando la desigualdad del triángulo tenemos lo siguiente
$P A + P B + P C = P^{'} A + P^{'} B + P C$
$= P^{'} A + P^{'} B + P D + D C$
$= P^{'} A + P^{'} B + P^{'} D + D C$
$\geq P^{'} A + P^{'} B + P^{'} C$ .

De lo anterior concluimos que el punto buscado debe estar dentro de $△ A B C$ .

Ahora supongamos que $P$ está dentro de $△ A B C$ (figura 3), sea $△ B C^{'} P^{'}$ la imagen de $△ B A P$ bajo una rotación de $\frac{π}{3}$ en sentido contrario al de las manecillas y centro en $B$ .

Como $B P = B P^{'}$ y $∠ P B P^{'} = \frac{π}{3}$ entonces $△ B P P^{'}$ es equilátero y tenemos lo siguiente
$P A + P B + P C = P^{'} C^{'} + P P^{'} + P C \geq C C^{'}$ .

Por lo tanto, para que la suma de distancias sea mínima es necesario que $P \in C C^{'}$ , pero por un razonamiento análogo también es necesario que $P \in A A^{'}$ y $P \in B B^{'}$ , donde $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ es una configuración externa de Napoleón.

Por el teorema 1, $P = F_{1}$ , es el primer punto de Fermat.

Sin embargo, notemos que, $∠ B P C = π - ∠ P^{'} P B = \frac{2 π}{3}$ , por lo tanto, por el ejercicio 3 de la entrada desigualdad del triángulo, cualquier ángulo interno de $△ A B C$ debe ser menor o igual que $\frac{2 π}{3}$ , si esto se cumple entonces $F_{1}$ es el punto buscado.

Triángulos de Napoleón

Teorema 2, de Napoleón. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón, entonces los centroides de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ son los vértices de un triángulo equilátero, conocido como triángulo exterior de Napoleón y su centroide coincide con el centroide de $△ A B C$ .

Demostración. Sean $G_{1}$ , $G_{2}$ y $G_{3}$ los centroides de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ respectivamente, $G$ el centroide de $△ A B C$ y $M$ el punto medio de $B C$ .

Como $\frac{M A}{M G} = \frac{M A^{'}}{M G_{1}} = 3$ por el reciproco del teorema de Tales $G G_{1} ∥ A A^{'}$ , además $A A^{'} = 3 G G_{1}$ .

Igualmente podemos ver que $G G_{2} ∥ B B^{'}$ , $B B^{'} = 3 G G_{2}$ y $G G_{3} ∥ C C^{'}$ y $C C^{'} = 3 G G_{3}$ .

Como $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'}$ , entonces $G G_{1} = G G_{2} = G G_{3}$ , por lo tanto, $G$ es el circuncentro de $△ G_{1} G_{2} G_{3}$ .

Por el teorema 1, $∠ A^{'} F_{1} B^{'} = \frac{2 π}{3}$ , por lo tanto, $∠ G_{1} G G_{2} = \frac{2 π}{3}$ .

Igualmente vemos que $∠ G_{2} G G_{3} = ∠ G_{3} G G_{1} = \frac{2 π}{3}$ .

Por criterio de congruencia LAL, $△ G G_{1} G_{2} ≅ △ G G_{2} G_{3} ≅ △ G G_{1} G_{3}$ .

En consecuencia, $△ G_{1} G_{2} G_{3}$ es equilátero, como en un triángulo equilátero el circuncentro y el centroide coinciden entonces $G$ es el centroide de $△ G_{1} G_{2} G_{3}$ .

Nota. Si $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ es una configuración interna de Napoleón se obtienen los mismos resultados y al triángulo formado por los centroides se le conoce como triángulo interior de Napoleón.

Área del triángulo externo de Napoleón

Teorema 3. El área del triangulo externo de Napoleón es igual a la la mitad del área de su triángulo de referencia mas un sexto de la sumas de las áreas de los triángulos equiláteros construidos.

Demostración. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón y $G_{1}$ , $G_{2}$ , $G_{3}$ los centroides de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ , $△ A B C^{'}$ respectivamente.

Sean $F_{1}$ el primer punto de Fermat, como $A F_{1}$ es una cuerda común de $Γ (A B C^{'})$ y $Γ (A B^{'} C)$ , entonces $G_{2} G_{3}$ es la mediatriz de $A F_{1}$ , es decir, la reflexión de $A$ en $G_{2} G_{3}$ es $F_{1}$ .

Por lo tanto, $△ A G_{2} G_{3}$ y $△ F_{1} G_{2} G_{3}$ son congruentes.

Similarmente vemos que $△ B G_{1} G_{3} ≅ △ F_{1} G_{1} G_{3}$ y $△ C G_{1} G_{2} ≅ △ F_{1} G_{1} G_{2}$ .

Esto implica que,
$(△ G_{1} G_{2} G_{3}) = \frac{(A G_{3} B G_{1} C G_{2})}{2}$
$= \frac{1}{2} ((△ A B C) + (△ A B G_{3}) + (△ B C G_{1}) + (△ A C G_{2}))$
$= \frac{1}{6} ((△ A B C^{'}) + (△ A^{'} B C) + (△ A B^{'} C)) + \frac{(△ A B C)}{2}$ .

Área del triángulo interno de Napoleón

Teorema 3. El área del triangulo interno de Napoleón es igual a menos la mitad del área de su triángulo de referencia mas un sexto de la sumas de las áreas de los triángulos equiláteros construidos.

Demostración. Sea $A B C A^{″} B^{″} C^{″}$ una configuración interna de Napoleón, $F_{2}$ el segundo punto de Fermat y $G_{1}^{'}$ , $G_{2}^{'}$ , $G_{3}^{'}$ los centroides de $△ A^{″} B C$ , $△ A B^{″} C$ , $△ A B C^{″}$ respectivamente.

Sea $F_{2}$ el segundo punto de Fermat, siguiendo un razonamiento análogo al teorema anterior tenemos
$(△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'})$
$= (△ F_{2} G_{1}^{'} G_{3}^{'}) + (△ F_{2} G_{3}^{'} G_{2}^{'}) - (△ F_{2} G_{1}^{'} G_{2}^{'})$
$\begin{matrix} (1) & = (△ B G_{1}^{'} G_{3}^{'}) + (△ A G_{3}^{'} G_{2}^{'}) - (△ C G_{1}^{'} G_{2}^{'}) . \end{matrix}$ .

Por otro lado,
$\frac{1}{3} ((△ A^{'} B C) + (△ A B^{'} C) + (△ A B C^{'}))$
$\begin{matrix} (2) & = (△ G_{1}^{'} B C) + (△ A G_{2}^{'} C) + (△ A B G_{3}^{'}) . \end{matrix}$ .

Sean, $E = A B \cap G_{1}^{'} G_{3}^{'}$ , $D = B C \cap G_{1}^{'} G_{3}^{'}$ , $J = B C \cap G_{2}^{'} G_{3}^{'}$ e $I = G_{1}^{'} C \cap G_{2}^{'} G_{3}^{'}$ , entonces tenemos lo siguiente:

$(△ G_{1}^{'} B C) = (△ B E D) + (△ B E G_{1}^{'}) + (△ C J I) + (G_{1}^{'} D J I)$ .

$(△ A B G_{3}^{'}) = (△ B E G_{3}^{'}) + (△ A G_{2}^{'} G_{3}^{'}) + (A E D J G_{2}^{'}) + (△ D G_{3}^{'} J)$ .

Sustituyendo en $(2)$
$\frac{1}{3} ((△ A^{'} B C) + (△ A B^{'} C) + (△ A B C^{'}))$
$= ((△ B E G_{3}^{'}) + (△ B E G_{1}^{'})) + (△ A G_{2}^{'} G_{3}^{'}) + ((△ B E D) + (A E D J G_{2}^{'})$
$+ (△ C J I) + (△ A G_{2}^{'} C)) + ((△ D G_{3}^{'} J) + (G_{1}^{'} D J I))$
$= (△ B G_{1}^{'} G_{3}^{'}) + (△ A G_{2}^{'} G_{3}^{'}) + ((△ A B C) - (△ C I G_{2}^{'})) + (△ I G_{1}^{'} G_{3}^{'})$
$= (△ B G_{1}^{'} G_{3}^{'}) + (△ A G_{2}^{'} G_{3}^{'}) + ((△ A B C) - (△ C I G_{2}^{'})) + ((△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'}) - (△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} I))$
$= (△ A B C) + ((△ B G_{1}^{'} G_{3}^{'}) + (△ A G_{2}^{'} G_{3}^{'}) - (△ C G_{1}^{'} G_{2}^{'})) + (△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'})$ .

Usando $(1)$
$\frac{1}{3} ((△ A^{'} B C) + (△ A B^{'} C) + (△ A B C^{'}))$
$= (△ A B C) + 2 (△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'})$ .

Por lo tanto,
$(△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'}) = \frac{1}{6} ((△ A B C^{'}) + (△ A^{'} B C) + (△ A B^{'} C)) - \frac{(△ A B C)}{2}$ .

Corolario. La diferencia entre el área del triángulo externo de Napoleón y el área del triángulo interno de Napoleón es igual al área de su triángulo de referencia.

Como consecuencia de los teorema 3 y 4 tenemos,
$(△ G_{1} G_{2} G_{3}) - (△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'}) = (△ A B C)$ .

Rectas de Euler concurrentes

Proposición 1. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón y $F_{1}$ el primer punto de Fermat, entonces las rectas de Euler de $△ A B F_{1}$ , $△ A F_{1} C$ y $△ F_{1} B C$ concurren en el centroide de $△ A B C$ .

Demostración. Sean $G$ , $G^{'}$ y $G_{3}$ los centroides de $△ A B C$ , $△ A B F_{1}$ y $△ A B C^{'}$ respectivamente, consideremos el $M$ el punto medio de $A B$ .

Por el teorema 1, $G_{3}$ es el circuncentro de $△ A B F_{1}$ y $C$ , $F_{1}$ y $C^{'}$ son colineales, como $G_{3}$ , $G^{'}$ y $G$ son los centroides de $△ A B C^{'}$ , $△ A F_{1}$ y $△ A B C$ entonces
$\frac{M G_{3}}{M C^{'}} = \frac{M G^{'}}{M F_{1}} = \frac{M G}{M C} = \frac{1}{3}$ .

Por el reciproco del teorema de Tales $G_{3} G^{'} ∥ C^{'} F_{1}$ y $G^{'} G ∥ F_{1} C$ .

Por lo tanto, $G_{3}$ , $G^{'}$ y $G$ son colineales, y $G_{3} G^{'}$ es la recta de Euler de $△ A B F_{1}$ .

Igualmente podemos ver que las rectas de Euler de $△ A F_{1} C$ y $△ F_{1} B C$ pasan por el centroide de $△ A B C$ .

Hexágono de Napoleón

Proposición 2. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón, sean $G_{1}$ , $G_{2}$ , $G_{3}$ los centroides de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ , $△ A B C^{'}$ y $G_{a}$ , $G_{b}$ , $G_{c}$ los centroides de $△ A B^{'} C^{'}$ , $△ A^{'} B C^{'}$ , $△ A^{'} B^{'} C$ , entonces $G_{a} G_{3} G_{1} G_{b} G_{2} G_{c}$ es un hexágono regular.

Demostración. Sea $M$ el punto medio de $C B^{'}$ , en $△ M A A^{'}$ tenemos
$\frac{M G_{2}}{M A} = \frac{M G_{c}}{M A^{'}} = \frac{1}{3}$ .

Por lo tanto, $G_{2} G_{c} ∥ A A^{'}$ y $3 G_{2} G_{c} = A A^{'}$ .

Análogamente consideremos $N$ el punto medio de $C A^{'}$ , en $△ N B B^{'}$ tenemos
$\frac{N G_{c}}{N B^{'}} = \frac{N G_{1}}{N B} = \frac{1}{3}$ .

Por lo tanto, $G_{1} G_{c} ∥ B B^{'}$ y $3 G_{1} G_{c} = B B^{'}$ .

Por el teorema 1, $A A^{'} = B B^{'}$ , por lo que $G_{1} G_{c} = G_{c} G_{2}$ , sea $F_{1}$ el primer punto de Fermat entonces $∠ G_{1} G_{c} G_{2} = ∠ B F_{1} A = \frac{2 π}{3}$ .

Igualmente podemos ver que los demás lados del hexágono son iguales y que el ángulo entre ellos es de $\frac{2 π}{3}$ .

En conclusión, $G_{a} G_{3} G_{1} G_{b} G_{2} G_{c}$ es un hexágono regular.

Más adelante…

Con la siguiente entrada daremos inicio a la unidad III y con la ayuda de segmentos dirigidos mostraremos el teorema de Menelao, que nos dice cuando tres puntos sobre los lados de un triángulo son colineales.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración interna de Napoleón (figura 6), para los ejercicios 1, 2 y 3 demuestra lo siguiente:
$i)$ los circuncírculos de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ , $△ A B C^{'}$ y las rectas $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ son concurrentes,
$i i)$ $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'}$ .
Prueba que los centroides de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ son los vértices de un triángulo equilátero y que su centroide coincide con el centroide de $△ A B C$ (figura 6).
Considera $F_{2}$ , el segundo punto de Fermat, muestra que las rectas de Euler de $△ A B F_{2}$ , $△ A F_{2} C$ y $△ F_{2} B C$ concurren en el centroide de $△ A B C$ (figura 6).
Sean $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón y $A B C A^{″} B^{″} C^{″}$ una configuración interna de Napoleón, demuestra que
$i)$ el punto medio de $C C »$ coincide con el punto medio de $A^{'} B^{'}$ ,
$i i)$ el punto medio de $C C^{'}$ coincide con el punto medio de $A » B »$ .
Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón demuestra que el centroide de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ coincide con el centroide de $△ A B C$ .
Divide los lados de un triángulo en tres partes iguales, sobre el tercio de en medio de cada lado del triángulo, construye externamente (internamente) triángulos equiláteros, muestra que los terceros vértices construidos son los vértices de un triángulo equilátero (figura 9).

Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón, considera los arcos $\overset{⌢}{B C}$ , $\overset{⌢}{C A}$ y $\overset{⌢}{A B}$ de los circuncírculos de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ respectivamente que no contienen a los vértices de $△ A B C$ (figura 1), sean $P \in \overset{⌢}{A B}$ arbitrario y $Q = P A \cap \overset{⌢}{C A}$ , muestra que la intersección $R$ de $P B$ y $Q C$ esta en el arco $\overset{⌢}{B C}$ y que $△ P Q R$ es equilátero.

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Fuentes

Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 77-78.
Coxeter, H. y Greitzer, L., Geometry Revisited. Washington: The Mathematical Association of America, 1967, pp 60-65.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 87, 281-283.
Dimitrov, Nikolay. On some results related to Napoleon configurations. Elemente der Mathematik, 2013, vol. 68, no 4, pp 137-147.
N. I. Beluhov, Ten Concurrent Euler Lines, Forum Geometricorum, 2009, vol 9, pp 271-274.
Cut the Knot

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

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