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Introducción

Con esta entrada concluimos la unidad tres y en general temas relacionados con el triángulo, hablaremos de la circunferencia de Brocard y el primer triángulo de Brocard, veremos como se relacionan con los puntos de Brocard.

Circunferencia de Brocard

Definición. La circunferencia $Γ (K O)$ que tiene como diámetro el segmento que une el punto simediano $K$ y el circuncentro $O$ de un triángulo se conoce como circunferencia de Brocard.

El triángulo cuyos vértices son las segundas intersecciones de las mediatrices de un triángulo con su circunferencia de Brocard es el primer triángulo de Brocard.

Observación. Recordemos que el centro de la primera circunferencia de Lemoine es el punto medio entre el punto simediano y el circuncentro de un triángulo, por lo tanto, la circunferencia de Brocard y la primera circunferencia de Lemoine son concéntricas.

Teorema 1. Los puntos de Brocard están en la circunferencia de Brocard.

Demostración. En $△ A B C$ sea $Ω$ el primer punto de Brocard, $K$ el punto simediano, $O$ el circuncentro y $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , los puntos medios de $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente.

Recordemos que las distancias de $K$ a los lados del triángulo son proporciónales a estos,
$d (K, B C) = a \frac{2 (△ A B C)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

En un ejercicio de la entrada anterior se pide mostrar que
$\frac{1}{\tan ω} = \cot ω = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 (△ A B C)}$ .

Donde $ω$ es el ángulo de Brocard y $a$ , $b$ , $c$ los lados de $△ A B C$ .

Por lo tanto, $d (K, B C) = \frac{a}{2} \tan ω$ .

Sea $A_{1} = O A^{'} \cap B Ω$ , en $△ A_{1} B A^{'}$ , $A^{'} A_{1} = \frac{a}{2} \tan ω$ .

Esto implica que $A_{1} K ∥ B C$ , como $O A_{1}$ es mediatriz de $B C$ entonces $∠ O A_{1} K = \frac{π}{2}$ , y por lo tanto $A_{1} \in Γ (K O)$ .

De manera similar si consideramos $B_{1}$ la intersección del rayo $C Ω$ con la mediatriz de $C A$ , podemos ver $B_{1} K ∥ C A$ y que $B_{1} \in Γ (K O)$ .

Como $A_{1} K ∥ B C$ y $B_{1} K ∥ C A$ entonces $∠ K A_{1} Ω = ω = ∠ K B_{1} Ω$ .

En consecuencia, el cuadrilátero $Ω A_{1} B_{1} K$ es cíclico, pero el circuncírculo de $△ A_{1} B_{1} K$ , es la circunferencia de Brocard.

Por lo tanto, el primer punto de Brocard $Ω$ , está en la circunferencia de Brocard.

Sea $Ω^{'}$ el segundo punto de Brocard, como $A_{1}$ y $B_{1}$ están en las mediatrices de $B C$ y $C A$ entonces $△ A_{1} B C$ y $△ B_{1} C A$ son isósceles y $∠ A_{1} C B = ∠ B_{1} A C = ∠ Ω^{'} C B = ∠ Ω^{'} A C = ω$ .

Esto implica que $C A_{1}$ y $A B_{1}$ se intersecan en $Ω^{'}$ .

Ya que $A_{1} K ∥ B C$ y $B_{1} K ∥ C A$ , entonces, $∠ Ω^{'} A_{1} K = ω$ y $∠ K B_{1} Ω^{'} = π - ω$ .

Esto implica que $A_{1} Ω B_{1} K$ es cíclico, y así el segundo punto de Brocard está en la circunferencia de Brocard.

Corolario 1. Un triángulo y su primer triángulo de Brocard están en perspectiva desde los puntos de Brocard.

Demostración. En el teorema anterior vimos que $B A_{1}$ y $C B_{1}$ se intersecan en el primer punto de Brocard, de manera similar se puede ver que $A$ , $C_{1}$ y $Ω$ son colineales.

También mostramos que $C A_{1} \cap A B_{1} = Ω^{'}$ , de manera análoga podemos ver que $B C_{1}$ pasa por $Ω^{'}$ .

Por lo tanto $Ω$ y $Ω^{'}$ son centros de perspectiva de $△ A B C$ y $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Corolario 2. $△ A B C$ y su primer triángulo de Brocard son semejantes.

Demostración. Como $B_{1} K ∥ C A$ , $A_{1} K ∥ B C$ y tomando en cuenta que $A_{1} C_{1} B_{1} K$ es cíclico entonces $∠ A C B = π - ∠ A_{1} K B_{1} = ∠ B_{1} C_{1} A_{1}$ .

De manera similar vemos que $∠ A = ∠ A_{1}$ y $∠ B = ∠ B_{1}$ .

Conjugado isotómico del punto simediano

En la entrada triángulos en perspectiva vimos que si dos triángulos tienen dos centros de perspectiva entonces existe un tercero, en la siguiente proposición describimos este punto.

Proposición 1. El tercer centro de perspectiva entre un triángulo y su triángulo de Brocard es el conjugado isotómico del punto simediano respecto del triángulo original.

Demostración. Bajo la misma notación del teorema anterior, Recordemos que la $A$ -simediana y la $A$ -exsimediana son conjugadas armónicas respecto de $A B$ , $A C$ .

También sabemos que $B K$ y la $A$ -exsimediana se intersecan en un punto exsimediano, es decir el punto de intersección de las tangentes por $A$ y $C$ al circuncírculo de $△ A B C$ .

Sea $S = B K \cap A C$ , entonces la hilera $B K S E$ es armónica, así, el haz $B^{'} (B K S E)$ es armónico.

Tomando en cuenta que $O B_{1} B^{'} E$ es una recta.

En el teorema anterior vimos que $B_{1} K ∥ A C$ , entonces las otras tres rectas del haz bisecan a $B_{1} K$ , es decir $B B^{'}$ biseca a $B_{1} K$ .

Sea $X = B B_{1} \cap A C$ , como $△ B B_{1} K$ y $△ B X S$ son semejantes entonces $B^{'}$ es el punto medio entre $X$ y $S$ .

Por lo tanto, $B K$ , $B B_{1}$ , son rectas isotómicas, es decir, unen puntos isotómicos con el vértice opuesto.

Igualmente vemos que $A K$ , $A A_{1}$ y $C K$ , $C C_{1}$ son rectas isotómicas, como las simedianas concurren en $K$ , entonces, $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ concurren en u punto $Y$ .

Centroide del triángulo de Brocard

Teorema 2. El centroide de un triángulo y el centroide de su primer triángulo de Brocard coinciden.

Demostración. Nuevamente emplearemos la notación del teorema 1.

$A_{1}$ , $B_{1}$ y $C_{1}$ están en las mediatrices de $B C$ , $C A$ y $A B$ entonces $△ A_{1} B C$ , $△ B_{1} C A$ , $△ C_{1} A B$ son isósceles, además son semejantes, pues $∠ A_{1} B C = ∠ B_{1} C A = ∠ C_{1} A B = ω$ , por lo tanto,

$\frac{A C_{1}}{A B_{1}} = \frac{A B}{C A}$ y $\frac{C A_{1}}{C B_{1}} = \frac{B C}{C A}$ .

Sea $X$ la reflexión de $B_{1}$ respecto de $C A$ , entonces
$∠ C_{1} A X = ∠ C_{1} A C + ∠ C A X$
$= ∠ C_{1} A C + ∠ B_{1} A C = ∠ C_{1} A C + ω$
$= ∠ A$ ,

además $\frac{A C_{1}}{A X} = \frac{A C_{1}}{A B_{1}} = \frac{A B}{C A}$ .

Por criterio de semejanza LAL, $△ A B C \sim △ A C_{1} X$ , igualmente podemos ver que $△ A B C \sim △ X A_{1} C$ .

Por lo tanto, $△ A C_{1} X \sim △ X A_{1} C$ , pero $A X = A B_{1} = B_{1} C = C X$ , así que $△ A C_{1} X$ y $△ X A_{1} C$ son congruentes.

En consecuencia, $C_{1} X = A_{1} C = A_{1} B$ y $X A_{1} = A C_{1} = C_{1} B$ , esto implica que $C_{1} B A_{1} X$ es un paralelogramo y por lo tanto $A_{1} C_{1}$ y $B X$ se cortan en su punto medio $M$ .

En $△ B_{1} B X$ , $B_{1} M$ y $B B^{'}$ son medianas, donde $B^{'}$ es el punto medio de $B_{1} X$ y $C A$ , por lo tanto, su intersección $G$ , triseca a ambas medianas de $△ B_{1} B X$ .

Pero el centroide de $△ A B C$ y de $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ es el único punto con esa propiedad, por lo tanto, su centroide es el mismo.

Concurrencia en el centro de los nueve puntos.

Proposición 3. Las perpendiculares a los lados de un triángulo desde los puntos medios de su primer triángulo de Brocard concurren en el centro de los nueve puntos.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ su primer triángulo de Brocard, $D$ , $E$ , $F$ , los puntos medios de $B_{1} C_{1}$ , $C_{1} A_{1}$ , $A_{1} B_{1}$ respectivamente.

Notemos que las perpendiculares por $D$ , $E$ , $F$ , a $B C$ , $C A$ , $A B$ , respectivamente, son paralelas a $O A_{1}$ , $O B_{1}$ , $O C_{1}$ respectivamente, donde $O$ es el circuncentro de $△ A B C$ .

Como $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ y $△ D E F$ , están en homotecia desde $G$ , el centroide de $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ , y razón $\frac{- 1}{2}$ , entonces los tres pares de rectas paralelas son pares de rectas homotéticas, pues pasan por puntos homólogos.

Como $O A_{1}$ , $O B_{1}$ , $O C_{1}$ , concurren en $O$ entonces sus correspondientes rectas homotéticas concurren en el correspondiente punto homólogo, $O^{'}$ .

Entonces $O$ , $G$ y $O^{'}$ son colineales en ese orden y $\frac{O G}{2} = G O^{'}$ .

Como $G$ también es el centroide de $△ A B C$ entonces $O^{'}$ es el centro de los nueve puntos de $△ A B C$ .

Punto de Steiner

Proposición 4. Las rectas paralelas (perpendiculares) por los vértices de un triángulo a los respectivos lados de su primer triángulo de Brocard concurren en el circuncírculo del triángulo original, el punto de concurrencia se conoce como punto de Steiner (Tarry).

Demostración. Si $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ es el primer triángulo de Brocard de $△ A B C$ , sea $S$ la intersección de la paralela a $A_{1} C_{1}$ por $B$ y la paralela a $A_{1} B_{1}$ por $C$ .

$∠ B S C = ∠ C_{1} A_{1} B_{1} = ∠ B A C$ , por lo tanto, $S$ se encuentra en el arco $\overset{⌢}{A B}$ .

De manera análoga vemos que $C S$ y la paralela a $B_{1} C_{1}$ por $A$ se intersecan en el circuncírculo de $△ A B C$ .

Por lo tanto, las paralelas concurren en $S$ .

Considera $T$ el punto diametralmente opuesto a $S$ , entonces $A T ⊥ A S \Rightarrow A T ⊥ B_{1} C_{1}$ .

De manera similar vemos que $B T ⊥ A_{1} C_{1}$ y $C T ⊥ A_{1} B_{1}$ .

Por lo tanto, las perpendiculares concurren en el circuncírculo de $△ A B C$ .

Más adelante…

Con la siguiente entrada comenzaremos la última unidad en la que hablaremos sobre cuadriláteros, mostraremos algunos teoremas que establecen propiedades análogas a la de los triángulos, como, cuando un cuadrilátero tiene un incírculo o la formula de Euler que mide la distancia entre el incentro y el circuncentro pero esta vez para cuadriláteros.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Construye un triángulo, dado su primer triángulo de Brocard.
Muestra que la recta que une los vértices de un triángulo con los correspondientes vértices de su primer triángulo de Brocard dividen a los lados opuestos del triángulo original en el inverso de la razón de los cuadrados de los lados adyacentes.
Prueba que la reflexión del punto simediano respecto del centro de los nueve puntos de un triángulo es el centro de la circunferencia de Brocard de su triángulo anticomplementario.
Muestra que el punto simediano y el circuncentro de un triángulo son el punto de Steiner y el punto de Tarry de su primer triángulo de Brocard.
El triángulo cuyos vértices son las segundas intersecciones de las simedianas de un triángulo con su circunferencia de Brocard es el segundo triángulo de Brocard, demuestra que:
$i)$ los vértices del segundo triángulo de Brocard son los puntos medios de las cuerdas del circuncírculo de su triángulo de referencia determinadas por sus simedianas,
$i i)$ las circunferencias del grupo directo e indirecto que son tangentes a los lados de un mismo ángulo de un triángulo se intersecan en los vértices de su segundo triángulo de Brocard.

Entradas relacionadas

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Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 279-284.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 277-282.
Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 73-75.
Honsberger, R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington: The Mathematical Association of America, 1995, pp 106-124.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

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