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Geometría Moderna II: Inversión Construcciones

Por Armando Arzola Pérez

Introducción

A lo largo de los temas hemos visto definiciones de inversión junto con teoremas, pero también podemos verlo a través de construcciones a la inversión usando regla y compas.

Construcciones

Construcción. Dada una línea que pasa por $A$ y $B$ , encontrar el punto medio del segmento $A B$ usando únicamente compas.

Solución. Podemos construir una circunferencia con centro $A$ y radio $A B = r$ se tiene $C (A, r)$ y con esta localizamos $P$ en la línea $A B$ talque $B$ es el punto medio de $A P$ . Usando $P$ como centro y radio $A P$ trazamos la circunferencia $C (P, A P)$ la cual interseca a la primera circunferencia $C (A, r)$ en un punto $C$ . Por último dibujamos la circunferencia $C (C, r = A B)$ donde intersecamos a $A B$ en $P^{'}$ , entonces $P^{'}$ es punto medio de $A B$ .

Notemos que $△ A P^{'} C \approx △ A C P$ , ya que son triángulos semejantes isósceles, puesto que comparten un mismo ángulo con vértice $A$ , tal que

$\frac{A P^{'}}{A C} = \frac{A C}{A P} \Rightarrow \frac{A P^{'}}{r} = \frac{r}{2 r}$

$\Rightarrow A P^{'} = \frac{r \times r}{2 r} = \frac{r}{2} = \frac{A B}{2}$

Por lo cual $A P = 2 r$ y $A P^{'} = \frac{1}{2} r$ , entonces $A P \times A P^{'} = 2 r \times \frac{1}{2} r = r^{2}$ , esta relación entre $P^{'}$ y $P$ es la que llamamos inversión.

La construcción anterior nos sirve para encontrar el inverso, entonces analicemos otras construcciones para encontrar el inverso con compas.

Construcción. Sea $C (O, r)$ y $P$ un punto externo, tracemos la recta $O P$ . Ahora con centro $P$ y radio $O P$ dibujamos el arco que interseque a $C (O, r)$ en $Q$ . Con centro $Q$ y radio $O Q$ , dibujamos un arco que interseque a $O P$ en $P^{'}$ .

Entonces $P^{'}$ es el inverso de $P$ y como $△ O Q P \approx △ O P^{'} Q$ por triángulos isósceles con ángulo en común $O$ entonces

$\frac{O P}{O Q} = \frac{O Q}{O P^{'}} \Rightarrow O P \times O P^{'} = r^{2} .$

Construcción. (Método de la tangente) Otra construcción del inverso es de la siguiente forma, dada una circunferencia $C (O, r)$ y un punto $P$ externo a la circunferencia, trazamos el segmento $O P$ , y trazamos las tangentes desde $P$ a la circunferencia $C (O, r)$ que son $P Q$ y $P R$ con $Q$ y $R$ los puntos de tangencia, la figura es la siguiente:

Sea $P^{'} = Q R \cap O P$ entonces $P^{'}$ es inverso de $P$ .
Sean los $△ O Q P^{'}$ y $△ O P Q$ comparten el angulo $O$ , el lado $O Q$ y $∠ O P^{'} Q = ∠ O Q P$ entonces

$△ O Q P^{'} \approx △ O P Q \Rightarrow \frac{O P^{'}}{O Q} = \frac{O Q}{O P}$

$\Rightarrow O P^{'} \times O P = r^{2} .$

Construcción. (Método de la perpendicular) Otro método para ver el inverso cuando $P$ está dentro o fuera de la circunferencia, es de la siguiente forma.

Sea la circunferencia $C (O, r)$ trazamos el diámetro con puntos en los extremos $S T$ , donde el diámetro es perpendicular a $O P$ . Unimos $S$ con $P$ y la intersección con la circunferencia es $Q$ , se une $T$ con $Q$ y esta recta $T Q$ interseca a $O P$ en $P^{'}$ , entonces $P^{'}$ es inverso de $P$ .

Construcción. Dado un punto $P$ fuera de la circunferencia $α$ con centro $O$ , construir el inverso de $P$ con respecto a $α$ .

Solución. Dibujamos el arco con centro $P$ que pase por $O$ y corte a la circunferencia $α$ en 2 puntos $B$ y $C$ ; Ahora dibujamos los arcos con centros $B$ y $C$ y que pase por $O$ , la intersección la llamaremos $P^{'}$ y será el inverso de $P$ .

Construcción. Dado un punto $A$ y $B$ , construir el punto $C$ tal que $B$ es el punto medio de $A C$ .

Solución. Trazamos la circunferencia $α$ con centro $B$ y radio $A$ , trazamos el arco con centro $A$ y radio $B$ que corte a la circunferencia $α$ en $D$ , trazamos el arco con centro $D$ y radio $A B$ que corte a $α$ en $E$ y por último dibujamos el arco con centro $E$ con radio $A B$ que corte a $α$ en $C$ .

Los triángulos $△ A B D$ , $△ E B C$ y $△ D B E$ son equiláteros, entonces $∠ A B D = ∠ E B C = ∠ D B E = 60 °$ . Esto significa que $A B C$ es una línea recta, y $A C$ es el diámetro de $α$ .
Por lo tanto, $B$ es el punto medio de $A C$ .

Construcción. Dada una circunferencia $α$ con centro $A$ y radio $r$ , y dado un punto $P$ dentro de $α$ , construir el inverso de $P$ con respecto a $α$ .

Solución. Para esta se usarán distintas construcciones, es por ello que usando la construcción 5 se pueden construir puntos $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ ,…, $P_{i}$ tal que $P_{i}$ este fuera de $α$ , entonces:

$\begin{aligned} A P_{1} & = 2 A P \\ A P_{2} & = 2 A P_{1} = 4 A P \\ A P_{3} & = 2 A P_{2} = 8 A P \\ . \\ . \\ . \\ A P_{i} & = 2 A P_{i - 1} = 2^{i} A P \end{aligned}$

Si $k = 3$ entonces

Usando la construcción 4 se puede encontrar el inverso de $P_{i}$ lo llamaremos $S$ , entonces $A S \times A P_{i} = r^{2}$ . De igual forma, aplicando la construcción 5 a $S$ se pueden generar puntos $S_{1}$ , $S_{2}$ ,…, $S_{i}$ tal que

$\begin{aligned} A S_{1} & = 2 A S \\ A S_{2} & = 2 A S_{1} = 4 A S \\ A S_{3} & = 2 A S_{2} = 8 A S \\ . \\ . \\ . \\ A S_{i} & = 2 A S_{i - 1} = 2^{i} A S \end{aligned}$

Entonces $S_{i}$ es el inverso de $P$ , por lo cual

$A S_{i} \times A P = 2^{i} A S \times A P = A S \times 2^{i} A P = A S \times A P_{i} = r^{2} .$

Construcción. Dada una circunferencia $α$ con centro desconocido $A$ , construir este centro.

Solución. Con un punto $P$ en $α$ , construimos un círculo $ω$ que interseca a $α$ en $C$ y $D$ , radio de $ω$ es menor al radio de $α$ . Dibujar los arcos de $C$ y $D$ con radio $C P$ y se intercepta en $Q$ . Y por la construcción 6 se encuentra $Q^{'}$ el inverso de $Q$ con respecto a $ω$ , por lo tanto, $Q^{'}$ es el centro de $α$ y $Q^{'} = A$ .

Más adelante…

Con esto concluye la unidad de Inversión, es por ello que ahora es necesario dejar algunos problemas para reforzar e investigar más sobre la Inversión.

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Geometría Moderna II: Conservación de ángulos

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

Ya analizado en el anterior tema, la inversión de rectas y circunferencias, es momento de ver como la inversión hace conservación de ángulos.

Conservación de ángulos y razón cruzada

Teorema. La inversión es una transformación, que preserva ángulos e invierte orientación.

Demostración. Para ello lo demostraré de dos maneras distintas:

1.º Forma

Se tiene una circunferencia de inversión $C_{o} (O, r)$ , $A$ y $B$ circunferencias que se intersecan, y sea $P$ uno de los puntos de intersección, además se tiene $P^{'}$ inversa de $P$ .
Ahora construyamos la circunferencia $C$ tangente a $A$ en $P$ y que pase por $P^{'}$ , de igual forma se construye $D$ tangente a $B$ en $P$ y que pase por $P^{'}$ . Sea $L_{1}$ recta tangente a $A$ en $P$ y de igual forma tangente a $C$ en $P$ , sea $L_{2}$ recta tangente a $B$ en $P$ y es tangente a $D$ en $P$ , entonces el ángulo entre $A$ y $B$ es el mismo entre $C$ y $D$ .
Como $C$ y $D$ pasan por puntos inversos, entonces son ortogonales a $C_{o}$ la circunferencia de inversión, $P$ y $P^{'}$ son ortogonales entre $A^{'}$ y $B^{'}$ dos circunferencias inversas a $A$ y $B$ respectivamente, entonces se tiene que el ángulo entre $A^{'}$ y $B^{'}$ es el mismo entre $A$ y $B$ .
Por lo tanto, la inversión preserva ángulos e invierte orientación.

2.º Forma

Sean 2 curvas que se intersecan en $P$ y $P \neq O$ . Tracemos una línea por $O P$ y otra por $O$ que corte a las curvas en $Q$ y $R$ , $O Q R$ colineales.
Se tiene que $P$ , $Q$ y $R$ tienen inversos $P^{'}$ , $Q^{'}$ y $R^{'}$ respectivamente, entonces las inversas de dichas curvas $P Q$ y $P R$ tendrán que intersecarse en $P^{'}$ , $Q^{'}$ y $R^{'}$ respectivamente, ahora por definición de inversión $O P \times O P^{'} = O Q \times O Q^{'} = O R \times O R^{'}$ , por lo cual $△ O P Q \approx △ O Q^{'} P^{'}$ y también $△ O P R \approx △ O R^{'} P^{'}$ , y si trazamos las secantes que corten a las curvas en $P$ y $P^{'}$ , y que pase por $Q$ , $R$ , $Q^{'}$ y $R^{'}$ , entonces

$∠ O P Q = ∠ P^{'} Q^{'} O$ , $∠ O P R = ∠ P^{'} R^{'} O .$

Y por lo cual $∠ Q P R = ∠ R^{'} P^{'} Q^{'}$ y $∠ R P Q = - ∠ R^{'} P^{'} Q^{'}$ , ahora si se tiene el límite cuando $Q$ y $R$ tienden a $P$ , entonces $Q^{'}$ y $R^{'}$ tienden a $P^{'}$ , por lo cual $∠ R P Q$ y $∠ R^{'} P^{'} Q^{'}$ tienden a ser los angulos límite de la intersección de las curvas.
Por lo tanto, los ángulos preservan la inversión en magnitud pero opuestos en signo.

Observación. Es por ello que se dice que la inversión es una transformación isogonal.

Corolario. Si dos curvas son tangente una a la otra en $P$ , sus inversas son tangentes una a la otra en $P^{'}$ .

Corolario. Objetos ortogonales se invierten en objetos ortogonales.

Corolario. Rectas paralelas se invierten en circunferencias tangentes en el centro de inversión.

Teorema. Sea $A$ una circunferencia y $A^{'}$ su inversa, entonces son homotéticas desde el centro de inversión.

Inversión y Distancias

Teorema. Sean $P$ y $P^{'}$ puntos inversos y $B$ un punto colineal a $P P^{'}$ y que corta al círculo de inversión, entonces

$B P^{'} = \frac{B P}{1 + B P / r}$ y $B P = \frac{B P^{'}}{1 - B P^{'} / r} .$

Demostración. Se tiene que $B P^{'} = r - O P^{'} = r - \frac{O P^{'} \times O P}{O P}$ , entonces por definición de inversión:

$\begin{aligned} B P^{'} & = r - \frac{r^{2}}{O P} \\ = r - \frac{r^{2}}{r + B P} \\ = \frac{r \times B P}{r + B P} \\ = \frac{B P}{1 + B P / r} \end{aligned}$

$\Rightarrow B P^{'} = \frac{B P}{1 + B P / r}$

Ahora

$\begin{aligned} B P & = O P - r \\ = \frac{O P^{'} \times O P}{O P^{'}} - r \\ = \frac{r^{2}}{O P^{'}} - r \\ = \frac{r^{2}}{r - B P^{'}} - r \\ = \frac{r \times B P^{'}}{r - B P^{'}} \\ = \frac{B P^{'}}{1 - B P^{'} / r} . \end{aligned}$

Teorema. Sea $C (O, r)$ una circunferencia de inversión y $P$ y $Q$ dos puntos con inversos $P^{'}$ y $Q^{'}$ respectivamente, entonces

$P^{'} Q^{'} = \frac{r^{2} \times Q P}{O P \times O Q} .$

Demostración. Se tiene por definición de inversión: $O P \times O P^{'} = r^{2}$ y $O Q \times O Q^{'} = r^{2} .$

$\begin{aligned} \Rightarrow O P \times O P^{'} = O Q \times O Q^{'} \\ \Rightarrow \frac{O P}{O Q^{'}} = \frac{O Q}{O P^{'}} \\ \Rightarrow △ O Q P \approx △ O P^{'} Q^{'} \\ \Rightarrow \frac{O P}{O Q^{'}} = \frac{O Q}{O P^{'}} = \frac{Q P}{P^{'} Q^{'}} \\ \Rightarrow \frac{O Q}{O P^{'}} = \frac{Q P}{P^{'} Q^{'}} \\ \Rightarrow P^{'} Q^{'} = \frac{Q P \times O P^{'}}{O Q} \\ \Rightarrow P^{'} Q^{'} = \frac{Q P \times O P^{'} \times O P}{O Q \times O P} \\ \Rightarrow P^{'} Q^{'} = \frac{r^{2} \times Q P}{O Q \times O P} . \end{aligned}$

Si $P$ , $Q$ y $O$ son colineales, asumiendo $O P < O Q$ .

Entonces $O P \times O P^{'} = O Q \times O Q^{'}$ y $P^{'} Q^{'} = O P^{'} - O Q^{'}$

$\begin{aligned} \Rightarrow P^{'} Q^{'} & = \frac{O P \times O P^{'}}{O P} \\ = \frac{r^{2}}{O P} - \frac{r^{2}}{O Q} \\ = r^{2} (\frac{O Q - O P}{O P \times O Q}) \\ = \frac{r^{2} \times P Q}{O P \times O Q} . \end{aligned}$

Teorema de Ptolomeo. Sea $A B C D$ un cuadrilátero cíclico convexo, entonces

$B C \times B D = B C \times A D + C D \times A B .$

Demostración. Sea una circunferencia de inversión $C (A, r)$ y se tiene una circunferencia circunscrita del cuadrilátero cíclico. La circunferencia invierte los puntos en una línea, es decir, se tiene $B^{'}$ inverso de $B$ , $C^{'}$ inverso de $C$ y $D^{'}$ inverso de $D$ , los cuales forman la línea « $L$ », se muestra:

Conservación de ángulos
Teorema Ptolomeo

Entonces se maneja las distancias de la línea «L $, s e t i e n e$ B’D’=B’C’+C’D’$ y por el teorema anterior:

$B^{'} D^{'} = \frac{B D \times r^{2}}{A B \times A D}$ , $B^{'} C^{'} = \frac{B C \times r^{2}}{A B \times A C}$ y $C^{'} D^{'} = \frac{C D \times r^{2}}{A C \times A D}$

$\Rightarrow \frac{B D \times r^{2}}{A B \times A D} = \frac{B C \times r^{2}}{A B \times A C} = \frac{C D \times r^{2}}{A C \times A D}$

Entonces se cancelan las $r^{2}$ y si nos fijamos en el denominador tenemos en comun $A B$ , $A D$ y $A C$ . Por lo cual multiplicamos por $A B \times A D \times A C$

$\Rightarrow \frac{B D \times A B \times A D \times A C}{A B \times A D} = \frac{B C \times A B \times A D \times A C}{A B \times A C} = \frac{C D \times A B \times A D \times A C}{A C \times A D}$

Por lo tanto, $A C \times B D = B C \times A D + C D \times A B .$

Teorema de Feuerbach

Teorema. La circunferencia de los nueve puntos del triángulo es tangente al incirculo y a los tres excirculos.

Demostración. Sea el triángulo $△ A B C$ con $C_{I}$ el incirculo y $C_{E}$ el excirculo, sea $B C$ la tangente a $C_{1}$ y $C_{E}$ , se tiene otra tangente $B^{'} C^{'}$ la cual es simétrica a $B C$ con respecto a la bisectriz $A I$ , de lo anterior se tienen tres cosas: $C \in A B$ , $B^{'} \in A C$ y $A^{'} = B C \cap B^{'} C^{'}$ .

Por otra parte, los puntos $A$ y $A^{'}$ son centros de homotecia de $C_{I}$ y $C_{E}$ respectivamente, entonces $I_{E}$ es dividido por $A^{'}$ y $A$ interna y externamente en razón de sus radios.

$\Rightarrow \frac{I A^{'}}{A^{'} E} = - \frac{I A}{A E} = \frac{r}{r A}$

Entonces $A$ y $A^{'}$ son armónicos respecto a $I$ y $E$ . Trazamos perpendiculares $E$ , $I$ y $A$ sobre $B C$ y sus pies los llamamos $P_{e}$ , $P_{i}$ y $P_{a}$ respectivamente, entonces los triángulos $△ E P_{e} A^{'} \approx △ I P_{i} A^{'} \approx A P_{a} A^{'}$ , entonces $P_{a}$ y $A^{'}$ son armonicos respecto a $P_{i}$ y $P_{e}$ .
Ahora sea $M_{A}$ punto medio de $B C$ entonces también lo es de $P_{i}$ y $P_{e}$ , trazamos la circunferencia $Z$ con centro $M_{A}$ y radio $M_{A} P_{i}$ , entonces $A^{'}$ y $P_{a}$ son inversos respecto a $Z$

Por lo cual

$P_{e} P_{i} = B C - 2 P_{i} C = a - 2 (s - c) = c - b .$

Donde $a$ es el lado opuesto al vértice $A$ , de igual forma $b$ es de $B$ , $c$ es de $C$ y $s$ es el semiperímetro.

Entonces el radio de $z$ es de $\frac{c - b}{2}$ y $M_{A} M_{B} = c / 2.$

Por lo cual $S = B^{'} C^{'} \cap M_{A} M_{B} .$

$\Rightarrow M_{A} S = M_{A} M_{B} + M_{B} S = M_{A} M_{B} - S M_{B}$ , y $M_{A} M_{B}$ paralelo a $B A$ entonces $△ B^{'} S M_{B} \approx △ B^{'} C^{'} A$ por lo cual sus lados son proporcionales $\frac{S M_{B}}{C^{'} A} = \frac{M_{B} B^{'}}{A B^{'}} .$ .

$\Rightarrow S M_{B} = \frac{C^{'} A \times B^{'} M_{B}}{B^{'} A}$

Y como $C A = C^{'} A$ y $B^{'} A = B A$ entonces

$S M_{B} = \frac{C^{'} A \times B^{'} M_{B}}{B^{'} A} = \frac{C A (B A - M_{B} A)}{B A} = \frac{2 b c - b^{2}}{2 c}$

$\Rightarrow M_{A} S = M_{A} M_{B} - S M_{B} = \frac{c}{2} - \frac{2 b c - b^{2}}{2 c} = \frac{(c - b)^{2}}{2 c} .$

Así,

$M_{A} S \times M_{A} M_{B} = \frac{(c - b)^{2}}{2 c} \times \frac{c}{2} = (\frac{c - b}{2})^{2} .$

Y por lo cual $S$ y $M_{B}$ son inversos respecto a la circunferencia $Z$ con diámetro $P_{i} P_{e}$ . El inverso de $B^{'} C^{'}$ es una circunferencia que pasa por $M_{A}$ el centro de inversión y por $P_{a}$ y $M_{B}$ . Como una circunferencia está determinada por tres puntos y la circunferencia de los nueve puntos cumple esto, entonces $C_{N}$ es la inversa de la recta $B^{'} C^{'}$ con respecto a la circunferencia $Z$ .
Pero el inverso de $C_{I}$ con respecto a $Z$ es $C_{I}$ , al igual $C_{E}$ su inverso con respecto a $Z$ es $C_{E}$ , ya que son ortogonales a $Z$ ; $B^{'} C^{'}$ es tangente a $C_{I}$ y $C_{E}$ y como la inversión conserva ángulos se sigue que la circunferencia $C_{N}$ será tangente a las circunferencias $C_{I}$ y $C_{E}$ (De igual forma para los otros 2 excirculos).

Teorema. La razón cruzada es invariante bajo inversiones.

Demostración. (Se debe de interpretar como la razón cruzada entre puntos colineales y rectas concurrentes).

Sea, $C (O, r)$ circunferencia, $A$ , $B$ , $C$ y $D$ cuatro puntos colineales distintos de $O$ , sus inversos $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ y $D^{'}$ con respecto a $C$ y $a^{'} = O A^{'}$ , $b^{'} = O B^{'}$ , $c^{'} = O C^{'}$ y $d^{'} = O D^{'} .$

Ahora las razones cruzadas coinciden: $O (a^{'} b^{'}, c^{'} d^{'}) = o (A B, C D) .$

Como la razón cruzada es una propiedad proyectiva y las inversiones respeten ángulos e invierten orientación.

$o (A B, C D) = \frac{s e n ∠ A O C}{s e n ∠ A O D} \times \frac{s e n ∠ D O B}{s e n ∠ C O B} = \frac{- s e n ∠ A^{'} O C^{'}}{- s e n ∠ A^{'} O D^{'}} \times \frac{- s e n ∠ D^{'} O B^{'}}{- s e n ∠ C^{'} O B^{'}} = O (a^{'} b^{'}, c^{'} d^{'}) .$

Más adelante…

Se verá como la inversión es una forma alterna de resolver problemas ya demostrados y más fáciles de ver, además se revisará un tema de importante, la circunferencia de antisimilitud.

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Geometría Moderna II: Unidad 2 Inversión

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

Una vez visto la potencia de un punto P, es hora de analizar una nueva transformación Inversión.

Puntos Inversos con respecto a una circunferencia

Definición. Sea una circunferencia $C (O, r)$ con centro $O$ y radio $r > 0$ . Si $P$ y $P^{'}$ son dos puntos colineales con $O$ se tiene que $P^{'}$ es el inverso de $P$ y viceversa si y solo si $P^{'} O \times P O = r^{2}$ .

El punto $O$ es el centro de Inversión, la circunferencia $C$ es la circunferencia de inversión, y su radio $» r »$ es el radio de inversión.

Esta es una relación simétrica, ya que $P^{'}$ es inverso de $P$ y $P$ es inverso de $P^{'}$ con respecto a la circunferencia $C (O, r)$ .

Propiedades de Inversión

Cada punto en el plano, excepto el centro, tiene un inverso único.
El inverso de un punto en la circunferencia de inversión es su propio inverso.
El inverso de un punto interior a la circunferencia de inversión es siempre un punto exterior a la circunferencia de inversión.

De esta forma se puede construir el inverso de un punto $P$ con respecto a $C (O, r)$ .

Proposición. Sea $C (O, r)$ una circunferencia y un punto $P$ , por lo cual existe un $P^{'}$ tal que $O P \times O P^{'} = r^{2}$ .

Demostración. Se considera una circunferencia $C (O, r)$ y un punto $P$ , pero existen 3 casos, el punto $P$ interno, externo y sobre la circunferencia $C (O, r)$ .

Caso 1. Sea $P$ interno a $C (O, r)$ . Trazamos la perpendicular a $O P$ por $P$ , donde la intersección es $T$ de la perpendicular a $C (O, r)$ . Trazamos $O T$ y trazamos la tangente a $C (O, r)$ por $T$ , llamemos $P^{'}$ a la intersección de $O P$ con respecto a la tangente mencionada.

Por construcción $∠ O T P^{'} = π / 2 = ∠ O P T$ , y los triangulos $△ O T P$ y $△ O P^{'} T$ comparten $∠ O$ , por lo cual son semejantes, entonces $△ O T P \approx △ O P^{'} T$ .

$\Rightarrow \frac{O P^{'}}{O T} = \frac{O T}{O P} \Leftrightarrow O P \times O P^{'} = r^{2}$ .

Caso 2. Sea $P$ externo a $C (O, r)$ . Trazamos una circunferencia de diámetro $P O$ y unimos $P$ con la intersección de las 2 circunferencias, la cual llamaremos $T$ .
De $T$ sacamos la perpendicular respecto a $O P$ , la intersección será $P^{'}$ .

El angulo $∠ O T P = π / 2$ ya que abarca el diametro $O P$ . Ahora los $△ O P^{'} T \approx △ O T P$ porque comparten $∠ T O P$ y $∠ O T P = π / 2 = ∠ O P^{'} T$

$\Rightarrow \frac{O P^{'}}{O T} = \frac{O T}{O P} \Leftrightarrow O P^{'} \times O P = O T \times O T = r^{2}$ .

Caso 3. Sea $P$ está en $C (O, r)$ . Su inverso $P^{'}$ con respecto a $C (O, r)$ es colineal con $P$ y $O$ , y además $O P = r$ entonces se debe cumplir $O P \times O P^{'} = r^{2}$

$\Rightarrow r \times O P^{'} = r^{2} \Rightarrow O P^{'} = r \Rightarrow O P^{'} = O P \Rightarrow P^{'} = P$ .

Ahora veremos un teorema que será útil más adelante.

Teorema. Sea $C (O, r)$ una circunferencia de inversión, $P$ y $P^{'}$ dos puntos inversos respecto a $C$ . Cualquier circunferencia que pase por $P$ y $P^{'}$ es ortogonal a $C$ .

Demostración. Sea $C$ una circunferencia y $O P$ un segmento, sean $A$ y $B$ los puntos donde $O P$ toca a $C$ y $B \in O P$

Ortogonalidad en circunferencias con puntos inversos

Por hipótesis $O P \times O P^{'} = r^{2}$ y $O$ es punto medio de $A B$
$\Rightarrow P^{'}$ y $P$ son armónicos respecto a $A$ y $B$
$\Rightarrow (\frac{A P^{'}}{P^{'} B}) = - (\frac{A P}{P B})$
Ahora como $C$ pasa por $A$ y $B$ , y $C_{1}$ pasa por $P^{'}$ y $P$ entonces $C ⊥ C_{1}$ .

Más adelante

Una vez ya estudiado la definición de inversión y sus propiedades, es momento de analizar como afecta la inversión a otros objetos geométricos, en específico en Rectas y Circunferencias.

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