2.1 Puntos Inversos con respecto a una circunferencia
Introducción
Una vez visto la potencia de un punto P, es hora de analizar una nueva transformación «Inversión«.
Definición Inversión:
Sea una circunferencia $C(O,r)$ con centro $O$ y radio $r>0$. Si $P$ y $P’$ son dos puntos colineales con $O$ se tiene que $P’$ es el inverso de $P$ y viceversa si y solo si $P’O \times PO=r^2$.
El punto $O$ es el centro de Inversión, la circunferencia $C$ es la circunferencia de inversión, y su radio $»r»$ es el radio de inversión.
Esta es una relación simétrica, ya que $P’$ es inverso de $P$ y $P$ es inverso de $P’$ con respecto a la circunferencia $C(O,r)$.
Propiedades de Inversión
- Cada punto en el plano, excepto el centro, tiene un inverso único.
- El inverso de un punto en la circunferencia de inversión es su propio inverso.
- El inverso de un punto interior a la circunferencia de inversión es siempre un punto exterior a la circunferencia de inversión.
De esta forma se puede construir el inverso de un punto $P$ con respecto a $C(O,r)$.
Proposición (Inversión)
Sea $C(O,r)$ una circunferencia y un punto $P$, por lo cual existe un $P’$ tal que $OP \times OP’ =r^2$.
Demostración
Se considera una circunferencia $C(O,r)$ y un punto $P$, pero existen 3 casos, el punto $P$ interno, externo y sobre la circunferencia $C(O,r)$.
Caso 1: $P$ interno a $C(O,r)$
Trazamos la perpendicular a $OP$ por $P$, donde la intersección es $T$ de la perpendicular a $C(O,r)$. Trazamos $OT$ y trazamos la tangente a $C(O,r)$ por $T$, llamemos $P’$ a la intersección de $OP$ con respecto a la tangente mencionada.
Por construcción $\angle OTP’ = \pi /2 = \angle OPT$, y los triangulos $\triangle OTP$ y $ \triangle OP’T$ comparten $\angle O$, por lo cual son semejantes, entonces $\triangle OTP \approx \triangle OP’T$.
$\Rightarrow \frac{OP’}{OT} = \frac{OT}{OP} \Leftrightarrow OP \times OP’ =r^2$ $_\blacksquare$
Caso 2: $P$ externo a $C(O,r)$
Trazamos una circunferencia de diámetro $PO$ y unimos $P$ con la intersección de las 2 circunferencias la cual llamaremos $T$.
De $T$ sacamos la perpendicular respecto a $OP$, la intersección será $P’$.
El angulo $\angle OTP = \pi /2 $ ya que abarca el diametro $OP$. Ahora los $\triangle OP’T \approx \triangle OTP$ porque comparten $\angle TOP$ y $\angle OTP =\pi /2=\angle OP’T$
$\Rightarrow \frac{OP’}{OT} = \frac{OT}{OP} \Leftrightarrow OP’ \times OP=OT \times OT =r^2$ $_\blacksquare$
Caso 3: $P$ está en $C(O,r)$
Su inverso $P’$ con respecto a $C(O,r)$ es colineal con $P$ y $O$, y además $OP=r$ entonces se debe cumplir $OP \times OP’ =r^2$
$\Rightarrow r \times OP’ =r^2 \Rightarrow OP’=r \Rightarrow OP’=OP \Rightarrow P’=P$ $_\blacksquare$
Ahora veremos un teorema que será útil más adelante.
Teorema
Sea $C(O,r)$ una circunferencia de inversión, $P$ y $P’$ dos puntos inversos respecto a $C$. Cualquier circunferencia que pase por $P$ y $P’$ es ortogonal a $C$.
Demostración
Sea $C$ una circunferencia y $OP$ un segmento, sean $A$ y $B$ los puntos donde $OP$ toca a $C$ y $B \in OP$
Por hipotesis $OP \times OP’ = r^2$ y $O$ es punto medio de $AB$
$\Rightarrow P’$ y $P$ son armonicos respecto a $A$ y $B$
$\Rightarrow (\frac{AP’}{P’B}) =-(\frac{AP}{PB})$
Ahora como $C$ pasa por $A$ y $B$, y $C_1$ pasa por $P’$ y $P$ entonces $C\perp C_1$ $_\blacksquare$
Más adelante
Una vez ya estudiado la definición de inversión y sus propiedades, es momento de analizar como afecta la inversión a otros objetos geométricos, en específico en Rectas y Circunferencias.
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