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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones no lineales de primer orden separables

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En entradas anteriores resolvimos por diversos métodos ecuaciones diferenciales de primer orden lineales, es decir, de la forma $a_{0}(t)\frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$. Es turno de estudiar ecuaciones que no pueden escribirse en la forma anterior, las cuales llamamos no lineales. En particular, en esta entrada resolveremos ecuaciones que se pueden escribir en la forma $\frac{dy}{dt}=f(y)g(t)$, como un caso particular de ecuaciones no lineales, a las que llamaremos ecuaciones separables.

Ecuaciones separables de primer orden

En el primer video la ecuación diferencial no lineal separable en su forma general y posteriormente, en el segundo video, resolvemos ejemplos de este tipo de ecuaciones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=t^{2}y^{3}$ ; $y(0)=1$.

Considera la ecuación $$\frac{dy}{dt}=\frac{t^{2}+3ty+y^{2}}{t^{2}}.$$

  • Expresa el lado derecho de la ecuación como una función $f(\frac{y}{t})$.
  • Haz el cambio de variable $y=tv$ y reescribe la ecuación diferencial en términos de $t$ y $v$.
  • Resuelve la ecuación diferencial del punto anterior.
  • ¿Cuál es la solución a la ecuación diferencial original?
Ecuaciones separables
Comportamiento de las soluciones a la ecuación diferencial. Elaboración propia.

Considera la ecuación del modelo logístico de poblaciones $\frac{dP}{dt}=k(1-\frac{P}{N})P$, donde $k>0$ y $N$ es la capacidad de soporte. (Para mayor referencia de esta ecuación, revisa la siguiente entrada, o ve directamente el video que forma parte de este mismo curso aquí).

  • Resuelve la ecuación si $k=1$ y $N=10$.
  • Resuelve el problema de condición inicial con los mismos valores del punto anterior y $y(1)=5$.

Más adelante

En la siguiente entrada veremos otro caso particular de ecuaciones no lineales de primer orden, que son las ecuaciones exactas que en general tienen la forma $M(t,y)+N(t,y)\frac{dy}{dt}=0$. Veremos que condiciones deben satisfacer las funciones $M(t,y)$ y $N(t,y)$ para que la ecuación sea exacta, y también qué podemos hacer cuando este par de funciones no satisfacen las propiedades que requerimos para la exactitud de la ecuación diferencial. Por supuesto, resolveremos la ecuación en su forma general, así como ejemplos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En las entradas anteriores hemos estudiado las soluciones a ecuaciones de primer orden desde dos distintos puntos de vista, el cualitativo y el analítico. En el camino hemos encontrado un comportamiento similar en las soluciones, como es el que el problema de condición inicial tenga una solución, o que las curvas solución no se intersectan en el plano. Estos comportamientos no son una casualidad, y están justificados por el teorema de existencia y unicidad que nos dice que el problema de condición inicial tiene una y sólo una solución definida en un intervalo $(a,b)$. Este teorema, en su versión para ecuaciones lineales sustenta el trabajo que hemos realizado en los últimos videos.

Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden

En el video demostramos la versión del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(t_{0})=y_{0}$, con $t_{0}\neq 0$, $y_{0}\neq 0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(0)=0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(0)=y_{0}$, con $y_{0}\neq 0$.
  • ¿Contradicen las soluciones de los ejercicios anteriores el Teorema de existencia y unicidad?
  • Esboza las soluciones a la ecuación diferencial.

Más adelante

Con esta entrada terminamos el estudio a las ecuaciones lineales de primer orden. En la siguiente entrada comenzaremos a estudiar ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. En particular veremos un caso especial de estas ecuaciones, a las que llamaremos ecuaciones separables.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante y por variación de parámetros

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En particular, resolvimos el caso cuando la función $g(t)$ que aparece en la ecuación $a_{0}(t) \frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$ es la función constante cero.

Ahora veremos el caso no homogéneo, es decir, cuando la función $g(t)$ no es cero. Resolveremos esta ecuación por dos vías distintas. El primer método es mediante la búsqueda de una función que dependa de la variable independiente $t$ que nos ayude a simplificar la ecuación. A esta función la llamaremos factor integrante. El segundo método, llamado variación de parámetros, utiliza la solución general a la ecuación homogénea asociada, para encontrar a su vez la solución general a la ecuación no homogénea.

¡Vamos a comenzar!

Solución a ecuación lineal no homogénea por factor integrante

En el primer video resolvemos la ecuación diferencial $a_{0}(t) \frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$ como un caso general por el método de factor integrante. En el segundo video resolvemos algunas ecuaciones por el mismo método.

Solución a ecuación lineal no homogénea por variación de parámetros

En el primer video resolvemos de forma general la ecuación lineal no homogénea, ahora por el método de variación de parámetros. En el segundo video resolvemos dos ecuaciones por este método, una de ellas la resolvimos en la sección anterior por el método de factor integrante, esto para comprobar que los dos métodos llevan a la misma solución.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que la expresión de la solución general para la ecuación lineal homogénea es un caso particular de la solución general de la ecuación lineal no homogénea.
  • Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por los métodos de factor integrante y variación de parámetros: $$\frac{dy}{dt}=y+t^{2}$$ $$\frac{dy}{dt}+y+t+t^{2}+t^{3}=0.$$
  • Intenta resolver la ecuación $t^{2}\frac{dy}{dt}+y=\frac{1}{t}$ con $t>0$, por el método de variación de parámetros. ¿Qué dificultades se presentan? Esto muestra que habrá ocasiones en que alguna ecuación diferencial no podrá ser resuelta por ciertos métodos.
  • Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ soluciones a las ecuaciones diferenciales $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q_{1}(t)$ y $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q_{2}(t)$. Prueba que $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$ es solución a la ecuación $\frac{dy}{dt}+p(t)y=c_{1}q_{1}(t)+c_{2}q_{2}(t)$, donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes.
  • Cuando resolvimos la ecuación lineal no homogénea por variación de parámetros, encontramos una forma explícita para la suma de soluciones $y_{H}+y_{P}$ donde $y_{H}$ es solución general a la ecuación homogénea y $y_{P}$ es una solución particular a la ecuación no homogénea, y afirmamos que esta nueva solución es la misma que encontramos por el método del factor integrante. Ahora supongamos por un momento que no conocemos el método del factor integrante. Argumenta por qué $y_{H}+y_{P}$ es solución general a la ecuación no homogénea. (Hint: Utiliza el ejercicio anterior).
  • Resuelve la ecuación diferencial $\frac{dT}{dt}=-50(T(t)-30)$ con condición inicial $T(0)=75$.

Más adelante

Hasta el momento hemos estudiado diversos tipos de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista cualitativo y también analítico. Sin embargo, muchos de los resultados a los que hemos llegado tienen una justificación que aún no hemos revisado a detalle. Dicha justificación está dada por el Teorema de existencia y unicidad.

En la siguiente entrada demostraremos una primera versión de este teorema, enfocado en ecuaciones lineales de primer orden, que son las ecuaciones que hemos estudiado en los últimos videos.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales homogéneas de primer orden

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

Durante las dos últimas entradas conocimos un poco de la geometría de las soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden, aún sin conocerlas explícitamente. En esta entrada resolveremos por primera vez de manera analítica algunas de ellas. En particular, resolveremos ecuaciones del tipo $a_{0}(t)\frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=0$, que llamaremos ecuaciones homogéneas. Primero encontraremos la solución a la ecuación de forma general, y posteriormente resolveremos algunos ejemplos particulares.

Ecuaciones lineales homogéneas

En el primer video resolvemos la ecuación lineal homogénea de primer orden en su forma general.

En el segundo video ponemos en práctica lo aprendido en el video anterior para resolver un par de ecuaciones diferenciales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la solución general a la ecuación $\frac{dy}{dt}+e^{t}y=0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial $t^2\frac{dy}{dt}+\sqrt{t}y=0$ ; $y(0)=5$. Encuentra el intervalo donde la solución está definida.
  • Antes de resolver analíticamente, esboza las soluciones a la ecuación $\frac{dP}{dt}=kP$, con $k>0$, $P(t) \geq 0, \forall t \in \mathbb{R}$, que modela el crecimiento de una población. (Para mayor referencia a esta ecuación revisa la primer entrada de este curso). Si no recuerdas cómo hacerlo, te recomiendo revisar la entrada anterior.
  • Encuentra la solución general a la ecuación anterior.
  • Compara las soluciones que dibujaste en el tercer ejercicio con las soluciones que encontraste en el cuarto ejercicio. ¿Qué observas?

Más adelante

Ya sabemos cómo resolver ecuaciones homogéneas. Ahora vamos a ver el otro lado de la moneda, es decir, vamos a resolver ecuaciones no homogéneas.

En la siguiente entrada estudiaremos dos métodos para resolver éste tipo de ecuaciones: primero por medio de una función que llamaremos factor integrante, y más adelante por el método de variación de parámetros en el cual las ecuaciones homogéneas nos serán de mucha ayuda.

Nos vemos en la próxima entrada!

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones autónomas, soluciones de equilibrio, línea fase y esbozo de soluciones

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior desarrollamos un par de técnicas geométricas para conocer las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden de la forma $\frac{dy}{dt}=f(t,y)$. En esta ocasión nos enfocaremos en una familia de ecuaciones en particular, que tienen la forma $\frac{dy}{dt}=f(y)$, las cuales llamaremos ecuaciones autónomas. Para conocer sus soluciones de manera geométrica, haremos uso de sus soluciones de equilibrio y su línea fase. Por supuesto definiremos estos conceptos y mediante herramientas de cálculo diferencial podremos hacer un esbozo de las soluciones a dicha ecuación diferencial.

Vamos a comenzar.

Esbozo de las soluciones a una ecuación autónoma mediante el trazo de la línea fase y sus soluciones de equilibrio

En este video definimos a las ecuaciones diferenciales autónomas de primer orden y sus soluciones de equilibrio. Posteriormente, dibujamos la línea fase asociada a la ecuación y con ayuda de esta hacemos un esbozo de las soluciones a la ecuación en el plano $t-y$.

Clasificación de las soluciones de equilibrio

Una vez que conocemos cómo dibujar las soluciones de una ecuación autónoma a partir de su línea fase, clasificamos sus soluciones de equilibrio en tres tipos, según el comportamiento de soluciones cercanas en el plano $t-y$.

Finalizamos con un teorema que nos permitirá conocer el tipo de solución de equilibrio de una ecuación autónoma, mediante el signo de la derivada de la función $f(y)$ evaluada en la solución de equilibrio.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra las soluciones de equilibrio y dibuja la línea fase de la ecuación $\frac{dy}{dt}=y^{3}-y^{2}$.
  • Considera la ecuación autónoma $\frac{dy}{dt}=\frac{1}{1-y}$. Encuentra sus soluciones de equilibrio (si las tiene) y dibuja la línea fase. Con la información obtenida, analiza cuál es el comportamiento de las soluciones a la ecuación. ¿Cómo crees que se ven las soluciones en el plano $t-y$?
  • ¿Cómo dibujarías las soluciones a la ecuación $\frac{dy}{dt}=f(y)$ si $f$ tiene la siguiente gráfica? Hint: Recuerda los criterios de los signos de las derivadas de primer orden en un punto que nos ayudan a ver cuándo la función es creciente o decreciente en dicho punto.
Ecuaciones autónomas
Gráfica de $f$. Elaboración propia.
  • Da ejemplos donde $\frac{dy}{dt}=f(y)$, $y_{0}$ es solución de equilibrio de la ecuación diferencial, $f'(y_{0})=0$ y $y_{0}$ sea atractor, repulsor o nodo.
  • Clasifica las soluciones de equilibrio del tercer ejercicio.

Más adelante

Ahora que hemos visto varias técnicas para encontrar las soluciones a una ecuación de primer orden, al menos de manera geométrica, nos enfocaremos en la parte analítica de las soluciones.

En el próximo video nos enfocaremos en las ecuaciones lineales homogéneas, y la técnica para resolverlas.

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