Archivo de la etiqueta: Ecuaciones separables

Ecuaciones Diferenciales l: Ecuaciones diferenciales NO lineales de primer orden, métodos de resolución

Introducción

Continuando con la teoría analítica sobre la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, es momento de estudiar las ecuaciones diferenciales NO lineales de primer orden.

En entradas anteriores estudiamos las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, recordando la definición de ecuación diferencial lineal podemos decir que una ED que no satisface las propiedades de linealidad es entonces una ecuación diferencial NO lineal.

En esta entrada vamos a estudiar dos tipos de ED no lineales de primer orden conocidas como ecuaciones diferenciales separables y ecuaciones diferenciales homogéneas. Cabe mencionar que las ED no lineales homogéneas que estudiaremos en esta entrada no tienen que ver con las ED homogéneas que estudiamos con anterioridad así que será importante reconocer el tipo de ecuaciones con las que estemos trabajando.

Ecuaciones separables

Definición: Una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

$$\dfrac{dy}{dx} = H(x, y)$$

se dice que es separable o que tiene variables separables siempre que $H(x, y)$ puede escribirse como el producto de una función de $x$ y una función de $y$:

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = H(x, y) = g(x)h(y) \label{1} \tag{1}
\end{align}

Inmediatamente podemos darnos cuenta que no es una ecuación diferencial lineal debido a que en esta ocasión aparece una función dependiente de la variable dependiente $y$.

Veamos cómo encontrar la solución general a este tipo de ecuaciones.

Solución a ecuaciones separables

Por conveniencia vamos a definir la función $h(y) = \dfrac{1}{f(y)}$ de manera que la ecuación (\ref{1}) se puede reescribir como:

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g(x)}{f(y)} \label{2} \tag{2}
\end{align}

Esta ecuación la podemos reescribir como

\begin{align}
f(y) \dfrac{dy}{dx} = g(x) \label{3} \tag{3}
\end{align}

Puedes observar que en el lado derecho de la igualdad tenemos la función que depende de la variable dependiente $y$ mientras que en el lado izquierdo tenemos la función que depende de la variable independiente $x$, en esta situación decimos que hemos separado a la ecuación diferencial.

Es bastante común encontrar en la literatura que la ecuación (\ref{3}) se escribe como

\begin{align}
g(x) dx = f(y) dy \label{4} \tag{4}
\end{align}

Esta es la forma diferencial de la ecuación (\ref{2}), es una notación informal pero nos permite visualizar que hemos sido capaz de separar a las variables, el lado izquierdo sólo depende de $x$ mientras que el lado derecho sólo depende de $y$

Ahora se puede integrar ambos lados de la ecuación. Si consideramos la ecuación en la forma (\ref{3}) entonces integramos ambos lados con respecto a la variable $x$ (y si consideramos la ecuación en la forma (\ref{4}) integramos con respecto a la variable correspondiente).

\begin{align*}
\int f(y) \dfrac{dy}{dx} dx &= \int g(x) dx \\
\int f(y) dy &= \int g(x) dx
\end{align*}

Sólo es necesario que las antiderivadas

\begin{align}
F(y) = \int f(y) dy \label{5} \tag{5}
\end{align}

y

\begin{align}
G(x) = \int g(x) dx \label{6} \tag{6}
\end{align}

existan y puedan resolverse. Una vez resolvamos las integrales obtendremos una familia uniparamétrica de soluciones, que usualmente se expresa de manera implícita.

Método de separación de variables

De acuerdo a lo anterior, los siguiente pasos nos permiten resolver una ecuación diferencial separable:

  1. Dada una ecuación diferencial no lineal de primer orden, el primer paso es identificar si es posible modificar la ecuación de manera que podamos determinar una función $g = g(x)$ que sólo depende de la variable independiente y una función $f = f(y)$ que sólo depende de la variable dependiente y si esto es posible escribimos a la ecuación diferencial en la siguiente forma:

$$f(y) \dfrac{dy}{dx} = g(x)$$

  1. El segundo paso es integrar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable $x$. Considera en todo momento las constantes de integración.

Nota: La ecuación $f(y) \dfrac{dy}{dx} = g(x)$ se puede escribir de manera informal como $g(x) dx = f(y) dy$, la ventaja de esta notación es que ya podemos integrar directamente sobre la variable correspondiente, es decir, $\int f(y) dy = \int g(x) dx$.

  1. Resolver la integral $\int f(y) dy$ nos dará a la función $y(x)$ que estamos buscando, ya sea de manera implícita o de manera explicita, si es de manera implícita en muchas ocasiones sí será posible despejar a la función $y$ para obtener la solución explícita, sin embargo recuerda que es totalmente válida una función implícita.

Para aplicar este método vamos a realizar un ejemplo en el que resolvamos una ecuación diferencial separable.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} e^{y -x} = x$ con la condición inicial $y(0) = \ln(2)$.

Solución: El primer paso es determinar si la ecuación es separable, es decir, si podemos hallar las funciones $g(x)$ y $f(y)$. Vemos que

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} e^{y -x} &= x \\
\dfrac{dy}{dx} e^{y} e^{-x} &= x \\
e^{y} \dfrac{dy}{dx} &= x e^{x}
\end{align*}

Ya logramos escribir a la ecuación en la forma (\ref{3}) donde podemos establecer que $g(x) = x e^{x}$ y $f(y) = e^{y}$. Usando la notación diferencial podemos escribir a la ecuación como

$$e^{y} dy = x e^{x} dx$$

Ahora podemos integrar ambos lados de la ecuación ante la respectiva variable.

\begin{align*}
\int {e^{y} dy} = \int {x e^{x} dx}
\end{align*}

Por un lado

\begin{align*}
\int {e^{y} dy} = e^{y} + k_{1}
\end{align*}

y por otro lado, para la integral $\int {x e^{x} dx}$ consideramos que $u(x) = x$ y $dv(x) = e^{x}$ e integramos por partes:

\begin{align*}
\int {x e^{x} dx} &= x e^{x} -\int{e^{x} dx} \\
&= x e^{x} -(e^{x} + k_{2})\\
&= x e^{x} -e^{x} -k_{2}
\end{align*}

Igualando ambos resultados tenemos lo siguiente:

\begin{align*}
e^{y} + k_{1} &= x e^{x} -e^{x} -k_{2} \\
e^{y} &= x e^{x} -e^{x} -k_{2} -k_{1} \\
e^{y} &= x e^{x} -e^{x} + c
\end{align*}

En donde $c = -k_{2} -k_{1}$. Por lo tanto la solución implícita es $e^{y} = x e^{x} -e^{x} + c$. Si se requiere conocer la solución explícita sólo tomamos el logaritmo natural.

$$y = \ln|x e^{x} -e^{x} + c|$$

Ahora podemos obtener la solución particular aplicando la condición inicial $y(0) = \ln(2)$

$y(0) = \ln|0 e^{0} -e^{0} + c| = \ln(2)$
$y(0) = \ln|0 -1 + c| = \ln(2)$
$\ln|c -1| = \ln(2)$

Aplicando la exponencial en ambos lados de la última ecuación tenemos

$$c -1= 2$$

De donde $c = 3$. Por lo tanto la solución particular es

$$e^{y} = x e^{x} -e^{x} + 3$$

O bien.

$$y = \ln| x e^{x} -e^{x} + 3|$$

En conclusión, la solución general a la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} e^{y -x} = x$$

es

$$y(x) = \ln|x e^{x} -e^{x} + c|$$

Y la solución particular dada por la condición inicial $y(0) = \ln(2)$ es

$$y(x) = \ln| x e^{x} -e^{x} + 3|$$

$\square$

Este tipo de ecuaciones son muy sencillas de resolver, prácticamente se resuelven aplicando una integración directa. Veamos ahora las ecuaciones diferenciales no lineales homogéneas, lo interesante de este tipo de ecuaciones es que si hacemos el cambio de variable adecuado las podremos reducir a una ecuación separable las cuales ya sabemos resolver.

Ecuaciones homogéneas

Definición: Una ecuación diferencial homogénea es de la forma

\begin{align}
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \label{7} \tag{7}
\end{align}

donde $M$ y $N$ tienen la propiedad de que para todo $t > 0$, la sustitución de $x$ por $tx$ y la de $y$ por $ty$ hacen que $M$ y $N$ sean del mismo grado $n$, esto es:

\begin{align}
M(tx, ty) = t^{n} M(x, y) \label{8} \tag{8}
\end{align}

\begin{align}
N(tx, ty) = t^{n} N(x, y) \label{9} \tag{9}
\end{align}

De tus cursos de álgebra recordarás que un polinomio homogéneo es aquel en los que todos los términos son del mismo grado, por ejemplo, el polinomio

$$x^{2}y^{2} -5xy^{3} + x^{4} -y^{4}$$

es un polinomio homogéneo de grado $4$ ya que la suma de los exponentes del primer término es $2 +2 = 4$, del segundo término es $1 + 3 = 4$ y evidentemente el exponente de los últimos dos términos es $4$. Es en este sentido que la ecuación $(\ref{7})$ se dice que es homogénea si se cumplen las ecuaciones (\ref{8}) y (\ref{9}) conjuntamente.

Este tipo de ecuaciones se pueden reducir a la forma de una ecuación separable y aplicando el procedimiento anterior es como podremos encontrar la solución a las ecuaciones diferenciales homogéneas.

Reducción de una ecuación homogénea a una de variables separables

La ecuación diferencial que queremos resolver es de la forma

$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$

Por definición se cumple que

$\dfrac{M(tx, ty)}{N(tx, ty)} = \dfrac{M(x, y)}{N(x, y)}$

Si se considera el valor $t = \dfrac{1}{x}$, la ecuación anterior queda como

$\dfrac{M(x, y)}{N(x, y)} = \dfrac{M(tx, ty)}{N(tx, ty)} = \dfrac{M \left( 1, \dfrac{y}{x} \right) }{N \left( 1, \dfrac{y}{x} \right) } = f \left( \dfrac{y}{x} \right)$

Consideremos el cambio de variable $y = xu$, con $u = u(x)$ una función de la variable independiente $x$ y derivable. Si derivamos la función $y(x)$, aplicando la regla de la cadena obtenemos lo siguiente:

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = u \dfrac{dx}{dx} + x \dfrac{du}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx} \label{10} \tag{10}
\end{align}

Pero si $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ entonces

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{M(x, y)}{N(x, y)} = -f \left( \dfrac{y}{x} \right) = -f(u)$$

es decir

\begin{align}
f(u) = -\dfrac{dy}{dx} \label{11} \tag{11}
\end{align}

Si en la ecuación (\ref{11}) sustituimos el resultado (\ref{10}), tenemos

\begin{align*}
f(u) &= -\left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) \\
f(u) &= -u -x \dfrac{du}{dx} \\
f(u) + u &= -x \dfrac{du}{dx} \\
-\dfrac{1}{x} (f(u) + u) &= \dfrac{du}{dx}
\end{align*}

De manera que

\begin{align}
\dfrac{du}{dx} = \left( -\dfrac{1}{x} \right) \left( u + f(u) \right) \label{12} \tag{12}
\end{align}

Si definimos $g(x) = -\dfrac{1}{x}$ y $h(u) = u + f(u)$ entonces

\begin{align}
\dfrac{du}{dx} = g(x) h(u) \label{13} \tag{13}
\end{align}

Vemos que este resultado corresponde a la definición de una ecuación diferencial de variables separables. Si resolvemos esta ecuación usando el método de separación de variables podremos darle solución a las ecuaciones homogéneas.

Método de resolución a las ecuaciones diferenciales homogéneas

A continuación se establecen, como recomendación, los pasos a seguir para resolver una ecuación diferencial homogénea (\ref{7}).

  1. El primer paso es verificar que en efecto la ecuación sea homogénea, para ello verificamos que $M$ y $N$ sean del mismo grado, tal como se muestra en las ecuaciones (\ref{8}) y (\ref{9}).
  1. Una vez que comprobamos que la ecuación es homogénea, podemos reescribir a la ecuación (\ref{7}) como

\begin{align}
M(x, y) + N(x, y) \dfrac{dy}{dx} = 0 \label{14} \tag{14}
\end{align}

Y hacemos el cambio de variable $y = ux$ y $\dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx}$ y sustituimos en la ecuación (\ref{14}).

  1. Una vez que se hizo la correspondiente sustitución ya podremos separar las variables reduciendo el problema a una ecuación de variables separables.

Veamos un ejemplo de una ecuación diferencial no lineal homogénea.

Ejemplo: Verificar que la siguiente ecuación diferencial es homogénea, determinar su grado y resolver la ecuación.

$(x^{2} + y^{2}) dx -xy dy = 0$

Solución: Podemos identificar a las funciones $M$ y $N$ como $M(x, y) = x^{2} + y^{2}$ y $N(x, y) = -xy$. Para obtener el grado de la ecuación diferencial hagamos la sustitución $x$ por $tx$ y $y$ por $ty$.

$M(tx, ty) = (tx)^{2} + (ty)^{2} = t^{2} (x^{2} + y^{2}) = t^{2} M(x, y)$

Por otro lado

$N(tx, ty) = -(tx)(ty) = t^{2} (-xy) = t^{2} N(x, y)$

Se cumple entonces que

$M(tx, ty) = t^{2} M(x, y)$ $\hspace{1cm}$ y $\hspace{1cm}$ $N(tx, ty) = t^{2} N(x, y)$

Por lo tanto la ecuación sí es homogénea y el grado es $n = 2$. Ahora resolvamos la ecuación reduciéndola a la forma de una ecuación de variables separables.

De acuerdo al método de resolución, una vez que ya vimos que sí es homogénea, escribimos a la ecuación diferencial en la forma (\ref{14}).

$$(x^{2} + y^{2}) -(xy) \dfrac{dy}{dx} = 0$$

Ahora hacemos el cambio de variable $y = xu$ y $\dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx}$ y sustituimos en la ecuación diferencial.

$$\left( x^{2} + (xu)^{2} \right) -x(xu) \left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) = 0$$

Ahora reducimos esta ecuación a una ecuación de variables separables.

\begin{align*}
\left( x^{2} + (xu)^{2} \right) -x(xu) \left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) &= 0 \\
x^{2} + x^{2} u^{2} -x^{2}u \left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) &= 0 \\
x^{2} + x^{2} u^{2} -x^{2}u^{2} -x^{3}u \dfrac{du}{dx} &= 0 \\
x^{2} -x^{3}u \dfrac{du}{dx} &= 0 \\
x^{2} \left( 1 -xu \dfrac{du}{dx} \right) &= 0 \\
\end{align*}

Para $x \neq 0$ tenemos

\begin{align*}
1 -xu \dfrac{du}{dx} &= 0 \\
xu \dfrac{du}{dx} &= 1 \\
u \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{1}{x} \\
\end{align*}

Ya logramos separar a las variables. Podemos escribir la última igualdad en la forma diferencial

$$u du = \dfrac{1}{x}dx$$

Integrando ambos lados de la ecuación sobre la variable correspondiente tenemos

\begin{align*}
\int{u du} &= \int{\dfrac{dx}{x}} \\
\dfrac{u^{2}}{2} + k_{1} &= \ln|x| + k_{2} \\
\dfrac{u^{2}}{2} &= \ln|x| + k_{2} -k_{1} \\
u^{2} &= 2 \ln|x| + 2(k_{2} -k_{1}) \\
u^{2} &= 2 \ln|x| + c
\end{align*}

Donde $c = 2(k_{2} -k_{1})$, como $u = \dfrac{y}{x}$, sustituimos en el resultado anterior para regresar a nuestras variables originales.

\begin{align*}
\left( \dfrac{y}{x} \right) ^{2} &= 2\ln|x| + c \\
\dfrac{y^{2}}{x^{2}} &= 2\ln|x| + c \\
y^{2} &= x^{2} (2\ln|x| + c)
\end{align*}

Por lo tanto, la solución implícita de la ecuación diferencial $(x^{2} + y^{2}) dx -xy dy = 0$ es

$$y^{2}(x) = x^{2} (2\ln|x| + c)$$

Si deseamos obtener la solución explícita sacamos raíz cuadrada a la ecuación

$$|y(x)| = x \left( \sqrt{2 \ln|x| + c} \right)$$

$\square$

En entradas siguientes continuaremos con el estudio de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden, en particular, en la siguiente entrada estudiaremos las llamadas ecuaciones exactas.

Tarea Moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales separables:
  • $\dfrac{ds}{dt} = -sen(3t)$
  • $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{1 + x^{2}}$
  1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas.
  • $(x -y)dx + xdy = 0$
  • $(y^{2} +yx)dx -x^{2}dy = 0$
  1. Resuelve los siguientes problemas con valores iniciales.
  • $\dfrac{dy}{dx} = e^{3x + 2y}$ $\hspace{1.7cm}$ con $\hspace{0.3cm}$ $y(0) = 0$
  • $\dfrac{ds}{dr} = \dfrac{cos^{2}(r)}{s^{2}} $ $\hspace{1.3cm}$ con $\hspace{0.3cm}$ $s(\pi) = -1$
  • $xy \dfrac{dy}{dx} = y^{3} -x^{3}$ $\hspace{1cm}$ con $\hspace{0.3cm}$ $y(1) = 2$

Más adelante …

En esta entrada estudiamos dos tipos de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden, las separables y las homogéneas. En este curso además de las ya vistas revisaremos las ecuaciones exactas, la ecuación de Bernoulli y la ecuación de Riccati. Dedicaremos la siguiente entrada al estudio de las ecuaciones diferenciales exactas.

Entradas relacionadas

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones no lineales de primer orden separables

Introducción

En entradas anteriores resolvimos por diversos métodos ecuaciones diferenciales de primer orden lineales, es decir, de la forma $a_{0}(t)\frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$. Es turno de estudiar ecuaciones que no pueden escribirse en la forma anterior, las cuales llamamos no lineales. En particular, en esta entrada resolveremos ecuaciones que se pueden escribir en la forma $\frac{dy}{dt}=f(y)g(t)$, como un caso particular de ecuaciones no lineales, a las que llamaremos ecuaciones separables.

Ecuaciones separables de primer orden

En el primer video la ecuación diferencial no lineal separable en su forma general y posteriormente, en el segundo video, resolvemos ejemplos de este tipo de ecuaciones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=t^{2}y^{3}$ ; $y(0)=1$.

Considera la ecuación $\frac{dy}{dt}=\frac{t^{2}+3ty+y^{2}}{t^{2}}$.

  • Expresa el lado derecho de la ecuación como una función $f(\frac{y}{t})$.
  • Haz el cambio de variable $y=tv$ y reescribe la ecuación diferencial en términos de $t$ y $v$.
  • Resuelve la ecuación diferencial del punto anterior.
  • ¿Cuál es la solución a la ecuación diferencial original?
Ecuaciones separables
Comportamiento de las soluciones a la ecuación diferencial

Considera la ecuación del modelo logístico de poblaciones $\frac{dP}{dt}=k(1-\frac{P}{N})P$, donde $k>0$ y $N$ es la capacidad de soporte. (Para mayor referencia de esta ecuación, revisa la siguiente entrada, o ve directamente el video que forma parte de este mismo curso aquí).

  • Resuelve la ecuación si $k=1$ y $N=10$.
  • Resuelve el problema de condición inicial con los mismos valores del punto anterior y $y(1)=5$.

Más adelante

En la siguiente entrada veremos otro caso particular de ecuaciones no lineales de primer orden, que son las ecuaciones exactas que en general tienen la forma $M(t,y)+N(t,y)\frac{dy}{dt}=0$. Veremos que condiciones deben satisfacer las funciones $M(t,y)$ y $N(t,y)$ para que la ecuación sea exacta, y también qué podemos hacer cuando este par de funciones no satisfacen las propiedades que requerimos para la exactitud de la ecuación diferencial. Por supuesto, resolveremos la ecuación en su forma general, así como ejemplos.

Entradas relacionadas