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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para calcular la exponencial de una matriz diagonalizable

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En entradas anteriores definimos la exponencial de una matriz cuadrada con coeficientes constantes $\textbf{A}$, que denotamos por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, y demostramos sus principales propiedades. Entre ellas, vimos que la exponencial $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ es una matriz fundamental de soluciones para el sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Ahora, calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ mediante la pura definición puede resultar bastante difícil si tomamos en cuenta que esta matriz esta conformada por $n\times n$ series convergentes. Es por eso que buscamos alguna alternativa para calcular esta exponencial que no resulte tan complicada.

Afortunadamente, para algunos casos particulares en la forma de la matriz $\textbf{A}$, calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ puede resultar relativamente sencillo. El caso más simple resulta cuando $\textbf{A}$ es una matriz diagonal, en cuyo caso $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ es también diagonal, cuyas entradas son de la forma $e^{ta_{ii}}$ donde $a_{ii}$ es el $i$-ésimo elemento de la diagonal en la matriz $\textbf{A}$.

El siguiente caso más sencillo es cuando la matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable, es decir, cuando existe una matriz $\textbf{M}$ invertible, tal que $\textbf{D}=\textbf{M}^{-1}\textbf{A}\textbf{M}$ es una matriz diagonal. Probaremos que $$\textbf{e}^{t\textbf{A}}= \textbf{M}\textbf{e}^{t\textbf{D}} \textbf{M}^{-1}.$$ El problema se reduce al de encontrar precisamente las matrices $\textbf{M}$, $\textbf{M}^{-1}$ y $\textbf{D}$. Es decir, debemos diagonalizar a la matriz $\textbf{A}$.

Para esto, utilizaremos el método de valores y vectores propios para diagonalizar una matriz. Definiremos los conceptos necesarios, y desarrollaremos el método de manera muy breve. Toda la teoría que estudiaremos es propia de un curso de Álgebra Lineal, pero vale la pena darle un vistazo en este curso. Además, no nos desviaremos del camino y conectaremos los conceptos con nuestro propósito principal: encontrar soluciones al sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Si quieres profundizar más en la teoría de valores y vectores propios y diagonalización, te dejo el enlace correspondiente a dichos temas al final de la entrada.

La exponencial de una matriz diagonalizable. Valores y vectores propios y el polinomio característico de una matriz

Definimos los conceptos necesarios para desarrollar el método de vectores y valores propios, y los relacionamos con el problema de calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$.

Método de valores y vectores propios para diagonalizar una matriz con valores propios distintos

En el primer video desarrollamos el método de valores y vectores propios considerando una matriz $\textbf{A}$ diagonalizable, cuyo polinomio característico asociado tiene $n$ raíces distintas.

En el segundo video, ponemos en práctica el método, diagonalizando una matriz en particular.

Método de valores y vectores propios para diagonalizar una matriz con valores propios repetidos

Desarrollamos nuevamente el método de valores y vectores propios, pero ahora considerando una matriz $\textbf{A}$ diagonalizable en particular con raíces repetidas. Además, mencionamos brevemente el problema de calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ cuando $\textbf{A}$ no es diagonalizable.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que si $\textbf{v}$ es un vector propio para una matriz $\textbf{A}$, entonces cualquier múltiplo de $\textbf{v}$ es también vector propio de $\textbf{A}$. ¿Cuál es el valor propio asociado a este nuevo vector propio?
  • Verifica que efectivamente $$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}=\textbf{D}$$ donde $\textbf{D}$ es la matriz diagonal conformada por los valores propios de $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.$$ Recuerda que revisamos este ejemplo en el tercer video de la entrada.
  • Encuentra $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ y la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 1 & 0\end{pmatrix}\textbf{X}$$ (La matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable).
  • Calcula $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ y encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & -2 & -3\\ 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\textbf{X}.$$ Recuerda que diagonalizamos la matriz asociada en el último video de esta entrada.
  • Encuentra $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ -2 & 4 & 2 \\ -2 & 1 & 5\end{pmatrix}\textbf{X}.$$ (La matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable).

Más adelante

Ahora que conocemos un poco del proceso acerca de diagonalizar una matriz, vamos a utilizar el mismo método para encontrar la solución general a un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes suponiendo que la matriz asociada al sistema sea diagonalizable. En particular, en la siguiente entrada revisaremos el caso cuando las raíces del polinomio característico asociado al sistema son todas reales y distintas.

Entradas relacionadas

Las siguientes entradas pertenecen a un curso de Álgebra Lineal. Si deseas conocer más acerca de la teoría utilizada en esta entrada no dudes en revisarlas.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior definimos la exponencial de una matriz $\textbf{A}$ de coeficientes constantes, denotada por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, demostramos sus principales propiedades, y estudiamos la relación que guarda con el sistema lineal de ecuaciones $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ y su matriz fundamental de soluciones. Con esta herramienta a nuestra disposición, podremos enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes.

Como mencionamos en la entrada anterior, nuestra meta es tratar de generalizar la fórmula para soluciones a ecuaciones lineales de primer orden con condición inicial, la cual es de la forma $$y(t)=e^{-\int p(t) dt} \left[\int e^{\int p(t) dt}q(t)+k_{0}\right]$$ para cierta constante $k_{0}$, y encontrar una solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\textbf{C}$$ que se vea de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{e}^{-\int \textbf{A}(t) dt} \left[\int \textbf{e}^{\int \textbf{A}(t) dt}\textbf{Q}(t)+\textbf{B}\right].$$

El teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden nos garantiza la existencia de tal solución. Además, una vez que definimos la exponencial de una matriz, ya no nos sorprenderá la notación de la fórmula anterior. Dividiremos el teorema y su demostración en dos casos: para sistemas homogéneos y para sistemas no homogéneos.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes

En el primer video demostramos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes

En el segundo video demostramos el mismo teorema pero ahora para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(1)=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$$

Más adelante

Una vez que hemos encontrado formas explícitas para las soluciones a sistemas lineales con coeficientes constantes $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$, debemos encontrar algún método para calcular eficientemente $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$, sin pasar por el complicado camino de calcular cada serie que conforma a la exponencial de $t\textbf{A}$. El método que desarrollaremos es una aplicación de los eigenvalores y eigenvectores (o valores y vectores propios) que quizá hayas visto en cursos de álgebra lineal.

Es por eso que, aunque no estamos en un curso de álgebra lineal, haremos un alto en el camino y revisaremos de manera muy breve estos conceptos y demás herramientas que utilizaremos muy pronto. Iremos relacionando los conceptos con los temas que nos interesan, que son los de hallar una matriz fundamental de soluciones, la exponencial de una matriz, y por supuesto resolver sistemas lineales de primer orden.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: La exponencial de una matriz

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos a resolver algunos sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Sin embargo como pudimos advertir, el método de eliminación de variables funciona para casos muy sencillos con pocas ecuaciones en el sistema. Además, necesitamos previo conocimiento de cómo resolver ecuaciones diferenciales de orden superior pues dicho método nos lleva a resolver una ecuación de este tipo. Por tanto, quisiéramos un nuevo método que nos permita resolver los mismos sistemas y algunos más complejos.

Antes de presentar tal método, lo que quisiéramos conocer es si existe una fórmula explícita para las funciones solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$$ con condición inicial $\textbf{X}(t_{0})=\textbf{C}$, que sea muy parecida a la fórmula que encontramos para ecuaciones lineales de primer orden $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t)$ con condición inicial $y(t_{0})=y_{0}$, la cual es de la forma $$y(t)=e^{-\int p(t) dt} \left[\int e^{\int p(t) dt}q(t)+k_{0}\right]$$ para cierta constante $k_{0}$. Intercambiando las respectivas funciones, nuestra hipotética solución al sistema quedaría de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{e}^{-\int \textbf{A}(t) dt} \left[\int \textbf{e}^{\int \textbf{A}(t) dt}\textbf{Q}(t)+\textbf{B}\right]$$ con cierta matriz constante $\textbf{B}$. Por supuesto, no sabemos qué significa $\int \textbf{A}(t) dt$ ni mucho menos la exponencial de esta última expresión.

En esta entrada responderemos a estas preguntas. Daremos las definiciones auxiliares necesarias para construir el concepto de exponencial de una matriz cuadrada de tamaño $n \times n$ con coeficientes constantes, que denotaremos por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$. Posteriormente, demostraremos las principales propiedades que cumple $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, entre ellas su relación con los sistemas de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ con condición inicial $\textbf{X}(0)=\textbf{C}$. Finalmente, dado $t \in \mathbb{R}$ relacionaremos a la exponencial de $t \textbf{A}$ con la matriz fundamental de soluciones al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

¡Manos a la obra!

La exponencial de una matriz

En el primer video de esta entrada definimos la exponencial de una matriz $\textbf{A}$ de tamaño $n \times n$ con coeficientes constantes.

Propiedades de la exponencial de una matriz

En este video probamos las principales propiedades que satisface la exponencial de una matriz, entre ellas la relación que guarda con los sistemas lineales de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ con condición inicial $\textbf{X}(0)=\textbf{C}$.

La exponencial de una matriz $\textbf{A}$ y la matriz fundamental de soluciones de $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$

En el último video de esta entrada relacionamos el nuevo concepto de exponencial de una matriz $\textbf{A}$ con la matriz fundamental de soluciones al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Supongamos que $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ Demuestra que $$\textbf{e}^{t \textbf{A}}=\begin{pmatrix} \cos{t} & \sin{t} \\ -\sin{t} & \cos{t} \end{pmatrix}.$$
  • Considera las matrices $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Muestra que $\textbf{A}\textbf{B} \neq \textbf{B}\textbf{A}$, calcula $\textbf{e}^{\textbf{A}+\textbf{B}}$ y $\textbf{e}^{\textbf{A}}e^{\textbf{B}}$. ¿Contradice este ejemplo el teorema 4 del segundo video?
  • Calcula $\textbf{e}^{t \textbf{A}}$ si $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
  • Supongamos que $\textbf{A}$ es una matriz diagonal, es decir, una matriz cuyos únicos coeficientes distintos de cero se encuentran en la diagonal. Prueba que $\textbf{e}^{t \textbf{A}}$ es una matriz diagonal.
  • Supongamos que $\textbf{X}_{f}(t)$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Prueba que $\textbf{e}^{(t-t_{0}) \textbf{A}}=\textbf{X}_{f}(t)\textbf{X}^{-1}_{f}(t_{0})$.

Más adelante

Ahora que hemos definido a la exponencial de una matriz y visto sus principales propiedades, podremos enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes. Dividiremos el teorema en dos casos: cuando nuestro sistema es homogéneo, es decir, el sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$; y cuando el sistema es no homogéneo, es decir, de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$ con su respectiva condición inicial $\textbf{X}(t_{0})=\textbf{C}$.

Esto es lo que haremos en la próxima entrada. ¡No se la pierdan!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden $$\begin{alignedat}{4} \dot{x}_{1} &= F_{1}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ \dot{x}_{2} &= F_{2}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ & \; \; \vdots \notag \\ \dot{x}_{n} &= F_{n}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \end{alignedat}$$ donde revisamos las principales definiciones y enunciamos el teorema de existencia y unicidad correspondiente a sistemas de primer orden y sus problemas de condición inicial. Es momento ahora de estudiar las principales propiedades que cumple el conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden, las cuales se comportan de una manera bastante similar al conjunto de soluciones a una ecuación de segundo orden lineal que revisamos en la unidad anterior.

Iniciaremos revisando al conjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo $$\dot{\textbf{X}}={\textbf{A}}{\textbf{X}}$$ el cual cumple el principio de superposición, es decir, si tenemos $n$ soluciones, digamos ${\textbf{X}_{1}}(t), {\textbf{X}_{2}}(t),…,{\textbf{X}_{n}}(t)$, entonces cualquier combinación lineal de estas también lo será. Si recuerdas tus cursos de Álgebra Lineal, esta última propiedad nos dice que el conjunto de soluciones es cerrado bajo la suma y producto por escalar usuales definidos para matrices. Con estas operaciones, veremos que el conjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo forma un espacio vectorial.

Posteriormente definiremos el Wronskiano de un subconjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo, el cual es similar más no igual al Wronskiano que definimos para ecuaciones lineales de segundo orden. En la tarea moral demostrarás la relación que tienen estos dos Wronskianos.

Si hablamos del Wronskiano y del conjunto de soluciones como un espacio vectorial, debemos hablar también de dependencia e independencia lineal entre las soluciones al sistema. Además, demostraremos que si el Wronskiano no se anula entonces el subconjunto de soluciones es linealmente independiente. Además si lo último ocurre podremos expresar cualquier solución como una combinación lineal de las soluciones linealmente independientes. Con estos conceptos podremos definir a la matriz fundamental de soluciones del sistema, la cual revisaremos más a detalle en entradas posteriores.

Terminaremos revisando el caso no homogéneo $$\dot{\textbf{X}}={\textbf{A}}{\textbf{X}}+ {\textbf{Q}}$$ demostrando que su solución general será la suma de la solución general al sistema homogéneo y una solución particular al sistema no homogéneo.

El espacio vectorial del conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo

En el primer video probamos el principio de superposición de soluciones al sistema lineal homogéneo. Además, vemos que el conjunto de soluciones al sistema forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales para matrices.

El Wronskiano de un subconjunto de soluciones e independencia lineal

Definimos el Wronskiano de un subconjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo, así como los conceptos de dependencia e independencia lineal de soluciones. Probamos un importante teorema que relaciona estos dos conceptos y nos dice cómo se ve la solución general al sistema. Finalizamos definiendo la matriz fundamental de soluciones del sistema.

Solución general al sistema lineal no homogéneo

Finalizamos la entrada demostrando que la solución general al sistema lineal no homogéneo es la suma de la solución general al sistema homogéneo y una solución particular al sistema no homogéneo.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿El conjunto de soluciones a un sistema lineal no homogéneo forma un espacio vectorial con las operaciones usuales de matrices?
  • Prueba que $$\textbf{X}_{1}(t)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ; \, \textbf{X}_{2}(t)=\begin{pmatrix} t \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ; \, \textbf{X}_{3}(t)=\begin{pmatrix} t^{2} \\ t \\ 0 \end{pmatrix}$$ son linealmente independientes en $\mathbb{R}.$
  • Sean ${\textbf{X}_{1}}(t), {\textbf{X}_{2}}(t),…,{\textbf{X}_{n}}(t)$ soluciones al sistema $$\dot{\textbf{X}}={\textbf{A}}{\textbf{X}}$$ en el intervalo $[a,b]$. Demuestra que $W[{\textbf{X}_{1}}, {\textbf{X}_{2}},…,{\textbf{X}_{n}}](t)=0 \, \, \forall t \in [a,b]$, ó $W[{\textbf{X}_{1}}, {\textbf{X}_{2}},…,{\textbf{X}_{n}}](t) \neq 0 \, \, \forall t \in [a,b]$.
  • Considera el sistema lineal $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \textbf{X}.$$ Prueba que $$\textbf{X}_{1}(t)=\begin{pmatrix} e^{t} \\ -e^{t} \end{pmatrix} ; \, \textbf{X}_{2}(t)=\begin{pmatrix} e^{-t} \\ e^{-t} \end{pmatrix}$$ son soluciones al sistema. Además prueba que son linealmente independientes en $\mathbb{R}$ y por lo tanto forma una matriz fundamental de soluciones al sistema.
  • Considera la ecuación $$\ddot{y}+p(t)\dot{y}+q(t)y=0$$ y su sistema de ecuaciones correspondiente $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -q(t) & -p(t) \end{pmatrix} \textbf{X}.$$ Prueba que si $\textbf{X}_{1}(t)$, $\textbf{X}_{2}(t)$ son soluciones linealmente independientes al sistema de ecuaciones, y si $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ forman un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación de segundo orden, entonces se satisface la identidad $$W[y_{1}, y_{2}](t)=cW[\textbf{X}_{1}, \textbf{X}_{2}](t)$$ para alguna constante $c \neq 0$.

Más adelante

En la siguiente entrada comenzaremos a resolver algunos sistemas lineales bastante sencillos. El método que estudiaremos será el de eliminación de variables, el cual consiste en eliminar variables dependientes hasta quedarnos con una ecuación diferencial de orden superior. Resolviendo esta última ecuación podremos encontrar la solución general al sistema original. Este método funciona para sistemas lineales con coeficientes constantes.

¡Hasta la próxima!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de la transformada de Laplace

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

Bienvenidos a la última entrada de la segunda unidad del curso, donde revisaremos el método de la transformada de Laplace para resolver problemas de condición inicial de la forma $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t); \,\,\, y(0)=y_{0}, \,\,\, y'(0)=y_{1}$$ con $a$, $b$ y $c$ constantes.

Este método nos permite transformar el problema de resolver la ecuación diferencial por los métodos estudiados en esta misma unidad, por un problema algebraico donde encontraremos la expresión de la transformada de Laplace $\mathscr{L} \{y(t)\}$ de la función solución, y debemos hallar quién es la función $y(t)$ cuya transformada de Laplace es $\mathscr{L} \{y(t)\}$.

Comenzaremos definiendo la transformada de Laplace de una función cuyo dominio es el intervalo $[0, \infty)$, y demostraremos algunas de las propiedades más importantes que cumple esta transformada y que utilizaremos para nuestros propósitos.

Posteriormente resolveremos el problema de condición inicial de manera general, mencionaremos el problema de hallar la transformada inversa de Laplace de una función con ayuda de una tabla de transformadas y transformadas inversas, y revisaremos dos ejemplos particulares donde mostraremos cómo se utiliza el método en la práctica.

Para finalizar consideraremos nuevamente el problema de condición inicial $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t); \,\,\, y(0)=y_{0}, \,\,\, y'(0)=y_{1}$$ donde ahora la función $f(t)$ es una función continua por pedazos. Este tipo de problemas suele aparecer con frecuencia en la física, y con la ayuda de la transformada de Laplace vamos a resolver un ejemplo particular, con ayuda de una función auxiliar y un teorema que enunciaremos y probaremos previamente.

Como te podrás dar cuenta, hicimos un cambio en la notación de la derivada de una función. Durante el curso hemos utilizado la notación de Leibniz $\frac{dy}{dt}$, $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$,…, para denotar a las derivadas de la función $y(t)$. Sin embargo, en esta entrada utilizaremos la notación $y'(t)$, $y^{\prime \prime}(t)$,…, para simplificar la escritura.

Transformada de Laplace y sus propiedades

En el primer video de esta entrada definimos la transformada de Laplace $\mathscr{L} \{y(t)\}$ de una función cuyo dominio es el intervalo $[0, \infty)$, y probamos algunas propiedades que cumple esta transformada y que nos servirán para resolver problemas de condición inicial.

Solución a problemas de condición inicial por método de la transformada de Laplace

En el primer video de esta sección resolvemos el problema de condición inicial $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t); \,\,\, y(0)=y_{0}, \,\,\, y'(0)=y_{1}$$ por el método de la transformada de Laplace.

En el segundo video resolvemos un par de problemas de condición inicial particulares.

Te presentamos una tabla de transformadas y transformadas inversas de Laplace, que aparece en el libro Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, William E. Boyce y Richard C. DiPrima, para que puedas realizar los cálculos presentados en los videos. Esta tabla no es única, por lo que puedes buscar en textos o en internet tablas diferentes según lo requieras.

Tabla de transformadas de Laplace y transformadas inversas
Tabla de transformadas y transformadas inversas de Laplace. Boyce y DiPrima (2012).

Solución a problemas de condición inicial con funciones discontinuas por método de transformada de Laplace

En el último video de esta entrada resolvemos un problema de condición inicial de la forma $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t); \,\,\, y(0)=y_{0}, \,\,\, y'(0)=y_{1}$$ donde $f(t)$ es una función continua por pedazos. Previamente definimos la función auxiliar $$H_{c}(t)= \begin{cases} 1 & 0 \leq t < c \\ 1 & t \geq c \ \end{cases} $$ y probamos un teorema que nos ayudan a resolver el problema de condición inicial.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la transformada de Laplace de la función $f(t)=t$.
  • Encuentra la transformada de Laplace de la función $f(t)=\cos{\beta t}$, $\beta$ constante.
  • Prueba que $$\mathscr{L} \{f ^{\prime \prime} (t)\}=s^{2}\mathscr{L}\{f(t)\}-sf(0)-f^{\prime}(0)$$ bajo las hipótesis del último teorema del primer video.
  • Resuelve el problema de condición inicial $$y^{\prime \prime}-2y’+2y=\cos{t}; \,\,\,\,\, y(0)=1, \,\,\,\,\, y'(0)=0$$ por el método de la transformada de Laplace.
  • Prueba que bajo las condiciones del primer teorema enunciado en el primer video, se cumplen las siguiente propiedad: $$F^{(n)}(s)=\mathscr{L}\{(-t)^{n}f(t)\}$$ donde $F^{(n)}$ denota a la $n$-ésima derivada de $F$.
  • Resuelve el problema de condiciones iniciales $$y^{\prime \prime}+2y’+2y=f(t); \,\,\,\,\, y(0)=0, \,\,\,\,\, y'(0)=1$$ donde $$f(t)= \begin{cases} 1 & \pi \leq t < 2\pi \\ 0 & 0 \leq t < \pi \ , t \geq 2\pi. \end{cases} $$

Más adelante

Con esta entrada concluimos el estudio a las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Como mencionamos en esta entrada, toda la teoría desarrollada en la segunda unidad se puede extender a ecuaciones de orden $n>2$. Sin embargo, a partir de la tercera unidad utilizaremos un método distinto para resolver ecuaciones de orden $n\geq2$.

Lo primero que haremos en la siguiente entrada será transformar una ecuación diferencial que orden $n\geq2$ en un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales de primer orden, hablaremos de las ventajas de hacer esta transformación y daremos una introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, que será el objeto de estudio de la tercera unidad del curso.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»