Archivo de la etiqueta: Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden

Por Eduardo Vera Rosales

Deja un comentario

Introducción

Vamos a concluir la tercera unidad del curso revisando el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden, en su forma general, es decir, para sistemas lineales y no lineales que satisfagan las hipótesis del teorema. Hasta el momento únicamente demostramos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales con coeficientes constantes, pero es importante demostrar la versión general al igual que hicimos para las ecuaciones de primer orden.

Lo primero que veremos es que un sistema de ecuaciones de la forma $$\begin{alignedat}{4} \dot{x}_{1} &= F_{1}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ \dot{x}_{2} &= F_{2}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ & \; \; \vdots \notag \\ \dot{x}_{n} &= F_{n}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \end{alignedat}$$ se puede escribir en forma abreviada como sigue: $$\dot{\textbf{X}}(t)=\textbf{F}(t,\textbf{X}(t))$$ donde $\textbf{F}$ es el vector conformado por las funciones $F_{i}$ del sistema, con $i \in \{1,…,n\}$. Si además agregamos la condición inicial $\textbf{X}(t_{0})=\textbf{Y}$, entonces podemos ver que el sistema se reduce a una expresión muy similar al problema de condición inicial $$\frac{dy}{dt}=f(t,y(t)) \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, y(t_{0})=y_{0}$$ salvo que ahora $\textbf{X}$ es una función que toma valores en $\mathbb{R}^{n}$, y $\textbf{F}$ es una función de $\mathbb{R}^{n+1}$ a $\mathbb{R}^{n}$.

Afortunadamente la mayoría de los lemas y teoremas que usamos para demostrar el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden se pueden extender a funciones de varias variables, por lo que la demostración será muy similar a la demostración de este último teorema.

Antes de iniciar te dejo la entrada correspondiente al teorema de existencia y unicidad de Picard, para que te familiarices con él y te sea más fácil ver los videos de esta entrada.

El teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Ecuación integral asociada

Enunciamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden, analizamos las similitudes que existen con el teorema de existencia y unicidad de Picard, y vemos que resolver el problema de condición inicial es equivalente a resolver la ecuación integral $$\textbf{X}(t)=\textbf{Y}+\int_{t_{0}}^{t} \textbf{F}(s, \textbf{X}(s)) \, ds.$$

Demostración de la existencia de la solución al problema de condición inicial

Demostramos la existencia de una solución al problema de condición inicial estudiando bajo qué circunstancias converge uniformemente la sucesión de iteraciones de Picard del problema. En dado caso que esto último suceda, la función a la cual convergen las iteraciones será solución a la ecuación integral del video anterior.

Demostración de la unicidad de la solución al problema de condición inicial

Concluimos la demostración del teorema probando la unicidad de la solución al problema de condición inicial.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Sea $\textbf{F}(t,\textbf{X}(t))$ continua en un dominio $E \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ que contenga a $(t_{0},\textbf{Y})$. Demuestra que $\textbf{X}(t)$ es solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}(t)=\textbf{F}(t,\textbf{X}(t)) \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, \textbf{X}(t_{0})=\textbf{Y}$$ si y sólo si es solución a la ecuación integral $$\textbf{X}(t)=\textbf{Y}+\int_{t_{0}}^{t} \textbf{F}(s,\textbf{X}(s)) \, ds.$$
  • Considera el problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \textbf{X} + \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$$ Calcula las iteraciones de Picard correspondientes al problema. ¿Convergen a alguna función? En caso afirmativo, muestra que dicha función es solución al problema de condición inicial.
  • Supongamos que $\textbf{F}(t,\textbf{X}(t))$ es continua en $$R:=\{(t,x_{1},…,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n+1} : |t-t_{0}| \leq a, \lVert \textbf{X}(t) – \textbf{Y} \rVert \leq b, \, \, a, b \in \mathbb{R}\}.$$ Demuestra que existe $M > 0$ y $h \in \mathbb{R}$ tal que $$\lVert \textbf{X}^{n}(t)-Y \rVert \leq M |t-t_{0}|, \forall n \in\mathbb{N}, \forall t \in I_{h} \subseteq \mathbb{R}.$$ Recuerda que $\textbf{X}^{n}(t)$ es la $n$-ésima iteración de Picard correspondientes al problema de condición inicial que estudiamos a lo largo de la entrada. (Hint: La prueba es similar al lema análogo que probamos en este video para el teorema de existencia y unicidad de Picard).
  • Consideremos el problema de condición inicial $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=0 \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, y(t_{0})=y_{0} \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, \frac{dy}{dt}(t_{0})=y_{1}$$ con $a,b,c$ constantes. ¿Si el sistema de ecuaciones asociado satisface el teorema de existencia y unicidad, entonces el problema de condición inicial original tiene una única solución?

Más adelante

Con este teorema finalizamos la tercera unidad del curso. En la cuarta unidad comenzaremos con la teoría cualitativa de los sistemas de ecuaciones de primer orden.

Veremos que los sistemas tienen puntos de equilibrio, los clasificaremos según su estabilidad. En virtud de esto vamos a analizar el comportamiento de las soluciones cerca de puntos de equilibrio y dibujaremos el plano fase de un sistema.

Abordaremos sistemas no lineales, y aunque no los resolveremos explícitamente, veremos el comportamiento de sus soluciones cerca de sus puntos de equilibrio.

Finalmente, veremos algunos sistemas que satisfacen propiedades interesantes, como los sistemas Hamiltonianos, los disipativos, entre otros.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas. Solución por variación de parámetros

Por Eduardo Vera Rosales

4 respuestas

Introducción

En las últimas entradas del curso analizamos a detalle el método de valores y vectores propios para resolver sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Revisamos los distintos casos que se pueden presentar, según las raíces del polinomio característico asociado a la matriz $\textbf{A}$. También resolvimos ejemplos para cada caso.

Es turno de enfocarnos en resolver sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}(t)$, donde $\textbf{Q}(t)$ es un vector de funciones que dependen de $t$. Para esto, utilizaremos el método de variación de parámetros para sistemas lineales, que es una generalización del método que lleva el mismo nombre, y que estudiamos para resolver ecuaciones lineales no homogéneas de orden uno y dos.

Sabemos que la solución general a tales sistemas es de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{X}_{H}(t)+\textbf{X}_{P}(t)$$ donde $\textbf{X}_{H}(t)$ es la solución general al sistema homogéneo asociado, y $\textbf{X}_{P}(t)$ es una solución particular al sistema no homogéneo. Con ayuda de la función solución $\textbf{X}_{H}(t)$, el método de variación de parámetros nos ayudará a encontrar a $\textbf{X}_{P}(t)$. En efecto, si $$\textbf{X}_{H}(t)=c_{1}\textbf{X}_{1}(t)+c_{2}\textbf{X}_{2}(t)+…+c_{n}\textbf{X}_{n}(t)$$ donde las funciones $\textbf{X}_{i}(t)$ forman un conjunto fundamental de soluciones al sistema homogéneo, entonces supondremos que $$\textbf{X}_{P}(t)= u_{1}(t)\textbf{X}_{1}(t)+u_{2}(t)\textbf{X}_{2}(t)+…+u_{n}(t)\textbf{X}_{n}(t).$$ Si sustituimos $\textbf{X}_{P}(t)$ y su derivada en el sistema no homogéneo, después de realizar el álgebra correspondiente obtendremos un sistema de ecuaciones que tiene a las derivadas de las funciones $u_{i}(t)$ como incógnitas. Si resolvemos tal sistema, podremos encontrar a las funciones $u_{i}(t)$, y por tanto a la solución particular $\textbf{X}_{P}(t)$.

¡Vamos a comenzar!

Método de variación de parámetros para sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas

En el primer video desarrollamos el método de variación de parámetros para sistemas lineales con coeficientes constantes. En el segundo video resolvemos un par de sistemas no homogéneos por variación de parámetros.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} \sin{t}\\ \cos{t}\end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & -2 \end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} e^{3t}\\ e^{3t}\end{pmatrix}.$$
  • Resuelve el problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ -1 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 1\end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} \sin{t}\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución general a la ecuación de segundo orden $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=3e^{-x}.$$ (Recuerda que podemos transformar una ecuación de orden $n$ en un sistema de $n$ ecuaciones de primer orden).
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -3 & 5 \end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} 0\\ S_{0}(1-\cos{t})\end{pmatrix}.$$ donde $S_{0}$ es una constante.

Más adelante

Con esta entrada terminamos de revisar los métodos más importantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Estamos a punto de finalizar la tercera unidad, pero aún nos falta demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes continuos. Aunque no hemos vamos a resolver tales sistemas es importante dicho teorema, y es lo que haremos en la siguiente entrada del curso.

¡Hasta la próxima!

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios repetidos

Por Eduardo Vera Rosales

Deja un comentario

Introducción

En las últimas entradas hemos revisado el método de valores y vectores propios para resolver sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Revisamos los casos cuando la matriz asociada tiene valores propios reales y todos distintos, y cuando tiene valores complejos. Para el primer caso las funciones $e^{\lambda_{i} t}\textbf{v}_{i}$ son soluciones linealmente independientes, donde $\lambda_{i}$ es un valor propio y $\textbf{v}_{i}$ es un vector propio asociado a $\lambda_{i}, \; \forall i \in \{1,…,n\}$. La solución general es la combinación lineal de dichas soluciones. Para el caso de valores propios complejos vimos que de una solución compleja $e^{\lambda_{i} t}\textbf{v}_{i}$ podíamos encontrar dos soluciones reales: la parte real y la parte imaginaria de dicha solución. Además estas soluciones resultaron ser linealmente independientes por lo que no fue difícil hallar la solución general al sistema de esta forma.

Vamos a terminar de revisar el método de valores y vectores propios analizando el caso cuando la matriz $\textbf{A}$ asociada al sistema tiene valores propios repetidos, tanto si es diagonalizable como si no lo es.

Iniciaremos con el caso cuando es $\textbf{A}$ es diagonalizable. Veremos que es bastante sencillo hallar $n$ vectores propios linealmente independientes ya que si $\lambda_{i}$ es un valor propio con multiplicidad $k$, entonces existirán $k$ vectores propios linealmente independientes asociados a dicho valor propio. Por lo tanto, podremos encontrar $n$ soluciones linealmente independientes al sistema y la solución general será la combinación lineal de estas.

Finalizaremos con el caso cuando $\textbf{A}$ no es diagonalizable, donde no existirán $n$ vectores propios linealmente independientes ya que para algún valor propio $\lambda_{i}$ con multiplicidad $k$ no existirán $k$ vectores propios linealmente independientes. Sin embargo, con ayuda de la exponencial de la matriz $\textbf{e}^{t \textbf{A}}$ y el concepto de vector propio generalizado podremos encontrar $k$ soluciones linealmente independientes correspondientes al valor propio $\lambda_{i}$. Nuevamente la solución general será la combinación lineal de las $n$ soluciones generadas de esta manera.

Método de valores y vectores propios para matrices diagonalizables con valores propios repetidos

Analizamos el caso cuando la matriz $\textbf{A}$ asociada al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ es diagonalizable y tiene valores propios repetidos. Resolvemos un par de sistemas para ejemplificar el caso correspondiente.

Método de valores y vectores propios para matrices no diagonalizables

En el primer video analizamos de manera general el caso cuando la matriz asociada al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ no es diagonalizable. Definimos el concepto de vector propio generalizado y con ayuda de la exponencial $\text{e}^{t \textbf{A}}$ generamos la solución general al sistema. En el segundo video resolvemos un par de ejemplos referentes al caso analizado.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿Es posible tener una matriz $\textbf{A}$ de tamaño $3 \times 3$ con valores propios complejos repetidos?
  • Prueba que si $\lambda$ es un valor propio complejo con multiplicidad $k$ de $\textbf{A}$, entonces su conjugado $\bar{\lambda}$ tiene multiplicidad $k$.
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\textbf{X}.$$
  • Resuelve el problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\ 3 & 1 & 3\\ 3 & 3 & 1\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ 2 & -3 & 1\\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}\textbf{X}.$$

Más adelante

Con esta entrada terminamos de analizar el método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Una vez que logramos resolver tales sistemas, es tiempo de estudiar el caso no homogéneo.

Como ya sabemos, la solución general a estos sistemas serán la suma de la solución general al sistema homogéneo correspondiente mas una solución particular al sistema no homogéneo. El método por el cual encontraremos esta solución particular será el de variación de parámetros, el cual estudiaremos en la siguiente entrada.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios complejos

Por Eduardo Vera Rosales

Deja un comentario

Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio del método de valores y vectores propios para resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes, de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Vimos que si somos capaces de encontrar $n$ vectores propios de la matriz $\textbf{A}$ linealmente independientes, entonces las funciones de la forma $e^{\lambda t}\textbf{v}$, donde $\lambda$ es un valor propio con vector propio asociado $\textbf{v}$, son soluciones linealmente independientes, y por tanto la combinación lineal de estas será la solución general del sistema. También estudiamos el caso cuando $\textbf{A}$ tiene todos sus valores propios reales y distintos.

En esta entrada nos dedicaremos a estudiar el caso cuando $\textbf{A}$ tiene valores propios complejos. Dado que $e^{\lambda t}\textbf{v}$ es una solución compleja al sistema, entonces la solución general sería una función con valores complejos. Sin embargo nosotros queremos soluciones con valores reales, por lo que debemos hallar una forma de generar soluciones de esta forma.

Lo primero será ver que las partes real e imaginaria de una solución compleja al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ serán soluciones reales al mismo sistema. Además este par de soluciones serán linealmente independientes. Así, seremos capaces de encontrar un conjunto linealmente independiente de $n$ soluciones reales al sistema mediante el método de valores y vectores propios que nos ayuda a encontrar soluciones de la forma $e^{\lambda t}\textbf{v}$.

Finalizaremos la entrada con tres ejemplos, uno de ellos el problema del oscilador armónico, el cual revisamos en el siguiente video y que tiene asociado una ecuación diferencial de segundo orden. Resolveremos el mismo problema pero ahora mediante un sistema de ecuaciones homogéneo.

Método de valores y vectores propios. Raíces complejas del polinomio característico

Encontramos dos soluciones reales al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ dada una solución compleja de la forma $e^{\lambda t}\textbf{v}$ donde $\lambda$ es un valor propio complejo con vector propio asociado $\textbf{v}$. Las soluciones reales serán las partes real e imaginaria de la solución compleja. Además las dos soluciones reales serán linealmente independientes.

El oscilador armónico y más ejemplos

En el primer video resolvemos un par de ejemplos de sistemas cuya matriz asociada tiene valores propios complejos. En el segundo video resolvemos el problema del oscilador armónico sin fricción y sin fuerzas externas mediante un sistema de ecuaciones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Supongamos que $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ es un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes de 4 ecuaciones, y supongamos que $\lambda$, $\bar{\lambda}$, $\mu$ y $\bar{\mu}$ son los valores propios complejos de $\textbf{A}$ con vectores propios $\textbf{v}$, $\bar{\textbf{v}}$, $\textbf{w}$ y $\bar{\textbf{w}}$, respectivamente. Prueba que si $\textbf{Y}_{1}(t)$, $\textbf{Z}_{1}(t)$ son las partes real e imaginaria de $e^{\lambda t}\textbf{v}$, y si $\textbf{Y}_{2}(t)$, $\textbf{Z}_{2}(t)$ son las partes real e imaginaria de $e^{\mu t}\textbf{w}$ entonces $\textbf{Y}_{1}(t)$, $\textbf{Z}_{1}(t)$, $\textbf{Y}_{2}(t)$ y $\textbf{Z}_{2}(t)$ son soluciones linealmente independientes al sistema.
  • Supongamos que $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ es un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes de 3 ecuaciones. ¿Es posible que la matriz $\textbf{A}$ tenga tres valores propios complejos?
  • Demuestra que la matriz $\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a\end{pmatrix}$, con $b\neq0$ tiene valores propios complejos.
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}\textbf{X}.$$
  • Resuelve el problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 2 & -6\\ 2 & 1\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}.$$

Más adelante

En la próxima entrada concluimos el estudio al método de valores y vectores propios estudiando el caso cuando $\textbf{A}$ es una matriz diagonalizable con valores propios repetidos, y también el caso cuando $\textbf{A}$ no es diagonalizable, es decir, cuando $\textbf{A}$ no tiene $n$ vectores propios linealmente independientes, por lo que no se pueden generar $n$ soluciones linealmente independientes al sistema en la forma que lo hemos venido haciendo. En este caso debemos introducir un concepto nuevo, que es el de vector propio generalizado, y modificar el método de valores y vectores propios para encontrar las $n$ soluciones linealmente independientes al sistema.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios distintos

Por Eduardo Vera Rosales

Deja un comentario

Introducción

En la entrada anterior dimos las definiciones elementales y necesarias para diagonalizar una matriz de coeficientes constantes. Vimos los conceptos de valores y vectores propios y el polinomio característico, todo esto para poder encontrar la matriz $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$. Sabemos que $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, por lo que sus columnas son soluciones linealmente independientes a dicho sistema. Así, de paso encontramos la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Ahora vamos a olvidarnos un poco de $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$, y vamos a resolver $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ pero de una manera ligeramente distinta. Lo que haremos será suponer que una solución a tal sistema es de la forma $\textbf{X}(t)=e^{\lambda t}\textbf{v}$ para cierto vector constante $\textbf{v}$. Resultará que $\textbf{X}(t)$ será solución al sistema si y sólo si $\textbf{A}\textbf{v}=\lambda\textbf{v}$. Es decir, si y sólo si $\textbf{v}$ es un vector propio de la matriz $\textbf{A}$ del sistema, y $\lambda$ es el valor propio asociado a $\textbf{v}$.

El método de valores y vectores propios que desarrollamos para diagonalizar una matriz en la entrada anterior, nos servirá de la misma manera para hallar la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, al menos si $\textbf{A}$ es diagonalizable, pues ya sabemos cómo encontrar los valores y vectores propios de $\textbf{A}$, y al tener $n$ valores propios con sus respectivos vectores propios, entonces seremos capaces de encontrar $n$ soluciones linealmente independientes al sistema y formas la solución general a este.

Una vez establecido cómo debe verse la solución general al sistema, finalizaremos la entrada resolviendo un par de ejemplos de sistemas donde la matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable y las raíces del polinomio característico igualado a cero son todas reales y distintas.

La solución general al sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes

Hallamos la solución general al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, suponiendo que $\textbf{A}$ es una matriz diagonalizable.

Método de valores y vectores propios. Raíces reales distintas del polinomio característico

Mediante un par de ejemplos revisamos el caso cuando $\textbf{A}$ es diagonalizable y las raíces del polinomio característico son todas reales y distintas. Además en el segundo ejemplo, verificamos que $$\textbf{e}^{t\textbf{A}}=\textbf{X}_{f}(t)\textbf{X}_f^{-1}{0}$$ donde $\textbf{X}_{f}(t)$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema. La matriz del segundo ejemplo fue diagonalizada en el siguiente video de la entrada anterior, y calculamos $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$. (Compara los resultados obtenidos).

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Resuelve los siguientes sistemas y problemas de condición inicial. Encuentra $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ en cada caso:

  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 4 & -2\end{pmatrix}\textbf{X}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 3 & 2\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 10\end{pmatrix}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4\\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1\end{pmatrix}\textbf{X}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$.

Más adelante

Una vez que hemos logrado escribir la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, cuando $\textbf{A}$ es diagonalizable, continuaremos revisando los posibles casos que se presentan con las raíces del polinomio característico. En particular, en la siguiente entrada revisaremos el caso cuando se presentan raíces complejas, es decir, cuando aparecen valores propios complejos de la matriz $\textbf{A}$.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»