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Álgebra Moderna I: Una modificación al Teorema de Cayley

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la entrada anterior aprendimos que el Teorema de Cayley es muy útil porque nos permite visualizar a un grupo $G$ como un subgrupo del grupo de permutaciones. Si el grupo es de orden $n$, se puede visualizar como un subgrupo del grupo $S_n$ que tiene orden $n!$, entonces hemos visualizado a $G$ como parte de un grupo de permutaciones $S_n$ que es realmente mucho más grande que $G$. Lo que haremos en esta entrada es relacionar al grupo $G$ con un grupo simétrico pero más pequeño que $S_n$. Utilizaremos los elementos de $G$ no para mover sus propios elementos, si no, para mover clases laterales.

Después de probar este resultado, veremos una aplicación de esta modificación del Teorema de Cayley para trabajar con clase laterales. Esta aplicación generaliza el resultado que se probó para grupos normales, anteriormente establecimos que todo subgrupo de índice 2 es un subgrupo normal. Probaremos que si tomamos el menor primo que divide al orden de un grupo y tenemos un subgrupo ese índice, entonces este subgrupo tiene que ser normal.

Para esta entrada, es recomendable que repases los grupos de permutaciones.

Relacionemos a $G$ con un grupo simétrico más pequeño

En el siguiente teorema relaciona a $G$ con un grupo simétrico, pero en este caso $n$ no es el orden de $G$, si no el índice de $G$ con respecto a un subgrupo $H$.

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$ subgrupo de $G$ de índice finito, $[ G:H ] = n.$
Existe un homomorfismo $\phi: G \to S_n$ con $\text{Núc }\phi \leq H$.

Observemos que el Teorema de Cayley nos da un isomorfismo y este teorema sólo nos da un homomorfismo (no necesariamente inyectivo). De todas maneras, se puede usar este teorema para probar otros resultados.

Demostración.

Sea $G$ un grupo, $H\leq G$ de índice finito, digamos $[ G:H ] = n$. Para cada $a \in G$ definimos $\tau_a : G/H \to G/H$ con $\tau_a(gH) = agH$ para toda $g\in G$.

Para esta demostración, como $H$ no es necesariamente normal, $G/N$ no es un grupo. Sólo lo estamos pensando como la colección de todas las clases laterales de $G$ con respecto a $H$.

Dada $g\in G$,
\begin{align*}
\tau_a \circ \tau_{a^{-1}} (gH) &= \tau_a(\tau_{a^{-1}}(gH)) = a(a^{-1}g)H = gH\\
\tau_{a^{-1}} \circ \tau_a (gH)&= \tau_{a^{-1}} (\tau_a(gH)) = a^{-1}(ag)H = gH.
\end{align*}

Así, $\tau_{a^{-1}}$ es la inversa de $\tau_a$ y $\tau_a$ es biyectiva.

Definimos entonces $\psi: G \to S_{G/H}$ con $\psi(a) = \tau_a$ para todo $a\in G$. Tomemos $a,b\in G$ y $g\in G$. A continuación demostraremos que $\psi$ es un homomorfismo:
\begin{align*}
\psi(ab) (gH) &= \tau_{ab}(gH) = (ab)gH = a(bg)H = \tau_a(\tau_b(gH))\\
&= \tau_a \circ \tau_b(gH) = \psi (a) \circ \psi(b) (gH)
\end{align*}

Observemos que las igualdades son producto exclusivamente de las definiciones de $\psi$ y de $\tau_a$. Así, $\psi(ab) = \psi(a)\circ\psi(b)$ para todo $a,b\in G$. Por lo que $\psi$ es un homomorfismo.

Ahora pasemos a la segunda parte del teorema.

Sí $a\in\text{Núc }\psi$, $\psi(a) = \text{id}_{G/N}$ y entonces, para todo $g\in G$ obtenemos,
\begin{align*}
\psi(a)(gH) = gH &\Rightarrow \tau_a(gH) = gH & \text{definición de }\psi\\
&\Rightarrow agH= gH & \text{pues } \psi(a) = \text{id}_{G/N} \\
&\Rightarrow aH = H &\text{en particular, cuando } g=e\\
&\Rightarrow a \in H.
\end{align*}

Por lo tanto $\text{Núc }\psi \leq H$.

Como $\#G/N = n$, sabemos que $S_{G/N}\cong S_n$ y existe $\rho: S_{G/H}\to S_n$ un isomorfismo. Así $\rho\circ\psi: G\to S_n$ es el homomorfismo buscado.

$\blacksquare$

Observación. Si $H = \{e\}$ se tienen el Teorema de Cayley.

Ilustremos lo aprendido

Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Tomemos el grupo simétrico $G = S_3$, el subgrupo $H = \left<(1,2)\right>$ y el cociente $G/H = \{H, (1\;3)H, (2\;3)H\}$.

Retomemos la función de la demostración: $\psi: S_3 \to S_{G/H}$, $\psi(a) = \tau_a$ para toda $a \in S_3$. Entonces,

\begin{align*}
a \in \text{Núc }\psi &\Leftrightarrow \psi(a) = \text{id}_{G/N} \\ &\Leftrightarrow \tau_a(gH) = gH \;\; \forall g\in S_3\\
&\Leftrightarrow agH = gH \;\; \forall g\in S_3.
\end{align*}

Así, en este caso si $a\in \text{Núc }\psi$,
\begin{align*}
a(1\;3)H = (1\;3)H &\Rightarrow (1\;3) a (1\;3) \in H = \{(1), (1\;2)\}.
\end{align*}
Recordemos que dos clases laterales $aH, bH$ son iguales si y sólo si $b^{-1}ab\in H$. En este caso, el inverso de $(1\;3)$ es él mismo.
\begin{align*}
&\Rightarrow a = (1) \text{ ó } a = (1\; 3) (1\; 2)(1\;3) = (3\;2).
\end{align*}

Sin embargo, como $a\in\text{Núc }\psi$, no sólo deja fijo a $(1\;3)$, si no también a $(2\;3)$, siguiendo un razonamiento similar obtenemos:
\begin{align*}
a(2\;3)H = (2\; 3)H &\Rightarrow (2\; 3)a(2\; 3) \in H = \{(1), (1\;2)\}\\
&\Rightarrow a = (1) \text{ ó } a = (2\; 3) (1\; 2) (2\; 3) = (1\; 3).
\end{align*}

Entonces, por un lado tenemos que $a = (1) \text{ ó } a = (3\;2)$ y por el otro, tenemos que $a = (1) \text{ ó } a = (1\; 3)$. Así, $a = (1)$.

Por lo tanto, $\text{Núc }\psi = \{(1)\}\leq H.$

Aplicación de la modificación

A continuación veremos la aplicación de la modificación del Teorema de Cayley que mencionamos en la introducción. La aplicación consiste en una generalización de un resultado visto previamente. En entradas anteriores, vimos que todo subgrupo de índice 2 es un subgrupo normal. Ahora veremos que si hay un subgrupo de orden el menor primo que divide al orden de un grupo, este subgrupo será normal.

Corolario. Si $G$ es un grupo finito y $p\in \z^+$ es el menor primo positivo que divide al orden de $G$, entonces todo subgrupo de $G$ de índice $p$ es normal en $G$.

Demostración.

Sea $G$ un grupo finito, $|G|= n$, $p\in\z^+$ el menor primo positivo que divide a $n$.

Supongamos que $H\leq G$ con $[ G:H ] = p$. Probaremos que $H$ es normal.

Sea $\psi:G\to S_{G/H}$ con $\psi(a) = \tau_a$ para toda $a\in G$ como en el teorema anterior. Sabemos que $\text{Núc } \psi \leq H \leq G$, como secuencia del Teorema de Lagrange tenemos
\begin{align} \label{eq:orden}
[ G: \text{Núc }\psi] = [ G:H ] [ H: \text{Núc }\psi ] = p [ H:\text{Núc } \psi].
\end{align}

Por el Primer Teorema de Isomorfía, $$G/\text{Núc }\psi\cong \text{Im }\psi \leq S_{G/H}\cong S_p,$$

\begin{align*}
\Rightarrow& [ G: \text{Núc }\psi ] = \left|G/\text{Núc }\psi \right|\Big| |S_p|\\
\Rightarrow& p [ H: \text{Núc }\psi ] \Big| p! & \text{porque } |S_p| = p! \text{ y } (\ref{eq:orden})\\
\Rightarrow &[ H: \text{Núc }\psi ] \Big| (p-1)!
\end{align*}

Si $[ H: \text{Núc }\psi ] > 1$, existiría $q\in\z^+$ un primo que lo divide, entonces $q\Big| a$ con $a \in \{1,2,\dots,p-1\}$. Por lo tanto $q<p.$

Pero, por el Teorema de Lagrange, $$|G| = [ G:\text{Núc }\psi ] |\text{Núc }\psi| = [ G:H] [ H: \text{Núc }\psi] |\text{Núc }\psi|.$$ Entonces $[ H: \text{Núc }\psi] \Big| |G|.$

Y como $q| [ H : \text{Núc }\psi ]$, entonces $q\Big||G|$.

Entonces, $q$ sería un divisor primo positivo de $n$, menor que $p$. Esto es una contradicción.

Así $[ H: \text{Núc }\psi ] = 1$, de donde $|H| = |\text{Núc }\psi|$ y como $ \text{Núc }\psi \leq H$ concluimos que $H = \text{Núc }\psi \unlhd G.$

Por lo tanto $H\unlhd G$.

$\blacksquare$

Observación. No siempre existe dicho subgrupo, por ejemplo $A_4$ no tiene subgrupos de índice 2.

Esto sucede porque $A_4$ tiene 12 elementos, el menor primo que divide a 12 es 2. Pero, de acuerdo a lo que estudiamos, $A_4$ no tiene subgrupos de orden 6, entonces no existen subgrupos de índice 2.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra la observación: Si $H = \{e\}$ se tienen el Teorema de Cayley.
  2. Sea $V$ el grupo de Klein. $H = \left< (1,0) \right>$. Determina cómo son las funciones $\tau_a$ para cada $a\in V$ y describe cómo se puede visualizar a cada elemento $a\in V$ como una permutación en $\{(a,b) + H\,|\, (a,b) \in V \}$, y como una permutación en $S_2$.
  3. Dado $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$ de índice finito $n$, sabemos que existe un homomorfismo $\phi$ de $G$ en $S_n$ con $\text{Núc }\phi \leq H.$ Da una condición necesaria y suficiente para que $\text{Núc }\phi = H.$
  4. Sea $G$ un grupo finito de orden $n$ y $H$ un subgrupo de de índice primo $p$. ¿Es $H$ normal en $G$? Prueba o da un contraejemplo.

Más adelante…

Con este teorema hemos avanzado un pasito en la idea de usar elementos de un grupo para modificar otro, ahora usando clases laterales. El Teorema de Cayley y su modificación son importantes para el tema que veremos en la siguiente entrada, donde ahora sí, usaremos un grupo cualquiera para actuar sobre otro grupo cualquiera.

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Álgebra Moderna I: Relación de equivalencia dada por un subgrupo e índice de $H$ en $G$

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Como pudiste darte cuenta por el título, en esta entrada definiremos una relación de equivalencia en un grupo. Permítenos dar una motivación usando un grupo que tal vez ya hayas estudiado en cursos anteriores como el de Álgebra Superior II.

Dicho grupo tan importante, es el de los enteros con la suma $(\z, +)$. Para $a,b\in \z$ es posible establecer una relación $\thicksim$ dentro de los enteros como sigue
\begin{align*}
a \thicksim b \Leftrightarrow b-a \text{ es múltiplo de } n.
\end{align*}
Esta relación de equivalencia induce una partición de $\z$, con exáctamente $n$ conjuntos. Donde cada conjunto es una de las clases módulo $n$. En esta entrada queremos introducir una relación parecida, pero generalizada a cualquier grupo.

Comencemos modificando este ejemplo un poco. Primero, llamemos $H$ al conjunto de todos los enteros múltiplos de $n$. Así nuestra relación quedaría, para $a,b\in \z$,
\begin{align*}
a \thicksim b \Leftrightarrow b-a \in H.
\end{align*}

Luego, notemos que a pesar de que la operación que usamos para definir el grupo es la suma usual, nuestra relación está definida usando la resta. En realidad, lo que está pasando es que estamos sumando $b$ con el inverso aditivo de $a$, es decir $-a$. Entonces $b -a = b + (-a)$. Además, $(\z,+)$ es un grupo abeliano, por lo que $b + (-a) \in H \Leftrightarrow (-a) + b \in H$. Para nuestra generalización usaremos el segundo caso.

Así, tenemos que comenzar agarrando un subgrupo cualquiera de $G$, es decir, nos tomamos $H\leq G.$ Entonces nuestra relación debe quedar, dados $a,b\in G$,
\begin{align*}
a \thicksim b \Leftrightarrow a^{-1}b\in H.
\end{align*}

Ya al tener esa relación y demostrar que es una relación de equivalencia, usaremos las propiedades de grupo para descubrir que las clases de equivalencia son las clases laterales vistas en la entrada anterior.

Relación Generalizada

Lo anterior queda formalizado en la siguiente definición.

Definición. Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$. Definimos una relación en $G$ del siguiente modo: dados $a,b \in G$,

\begin{align*}
a \thicksim b \Leftrightarrow a^{-1}b \in H.
\end{align*}

Ahora, demostraremos que esa relación, así como la de la introducción, es una relación de equivalencia.

Observación. La definición anterior es una relación de equivalencia.

Demostración.
Sean $G$ un grupo y $H\leq G$.

Primero, tomamos $a \in G$.
También podemos tomar $a^{-1}$ . Así $a^{-1}a = e \in H$. Por lo tanto $a \thicksim a$ y nuestra relación es reflexiva.

Ahora tomamos $a,b \in G$. Si $a \thicksim b$, entonces $a^{-1} b\in H$.

\begin{align*}
\Rightarrow b^{-1}a = (a^{-1}b)^{-1} \in H \Rightarrow b \thicksim a
\end{align*}

Por lo que nuestra relación es simétrica.

Sean $a,b,c \in G$. Si $a \thicksim b$ y $b \thicksim c$, entonces $a^{-1}b \in H$ y $b^{-1}c \in H$, entonces usando la cerradura de $H$ y asociando de otra manera, obtenemos

\begin{align*}
a^{-1}c = (a^{-1}b)(b^{-1}c) \in H \Rightarrow a \thicksim c.
\end{align*}

Así, nuestra relación es transitiva.

Por lo tanto, nuestra relación es una relación de equivalencia.

$\square$

Nótese que para probar las tres propiedades de una relación de equivalencia (reflexividad, simetría y transitividad) usamos las tres condiciones de un subgrupo (la existencia del neutro, la cerradura de los inversos y la cerradura del producto).

A continuación, veamos cómo son las clases de equivalencia:
Sea $a \in H$.

\begin{align*}
\bar{a} &= \{b \in G | a \thicksim b\} = \{b \in G | a^{-1}b \in H\} \\
&= \{b \in G | a^{-1}b = h, h \in H\} = \{b \in G | b = ah, h \in H\} \\
&= \{ah | h \in H\} = a H.
\end{align*}

Ahora veremos algunas observaciones de lo anterior.

Observación. Sean $G$ un grupo, $H\leq G$ y $a,b\in G$, entonces
\begin{align*}
a H = bH & \Leftrightarrow a^{-1}b \in H.
\end{align*}

En particular,
\begin{align*}
H = bH & \Leftrightarrow b \in H
\end{align*}

Nota. Análogamente se puede trabajar con clases laterales derechas, i.e. ($Ha = Hb \Leftrightarrow ba^{-1}\in H$).

Como $\thicksim$ es una relación de equivalencia, esta induce una partición y, como sus clases de equivalencia son las clases laterales, tenemos el siguiente teorema.

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$ subgrupo de $G$.

  1. $aH \neq \emptyset \quad \forall a \in G$ .
  2. Si $a,b \in G$ son tales que $aH \cap bH \neq \emptyset$, entonces $aH = bH$.
  3. $\displaystyle \bigcup_{a\in G} aH = G$

Claramente el teorema anterior enuncia las características de una partición, por lo que no hay nada que probar.

Ejemplos

Ejemplo 1. Consideremos al grupo de los cuaternios $Q$ , tomemos el subgrupo $H = \left< i \right> = \{\pm 1 , \pm i\}$. Veamos qué sucede con sus clases laterales.
\begin{align*}
jH &= \{j(+1), j(-1), j(+i), j(-i)\}\\
&= \{j, -j, -k k\} \\
&= Hj.
\end{align*}

La última igualdad la puedes comprobar tú, multiplicando los mismos elementos por $j$, pero ahora del lado izquierdo.

Así, las clases laterales son:

  • Clases laterales izquierdas: $H, jH$.
  • Clases laterales derechas: $H, Hj$.

Ejemplo 2. Tomemos $S_3$ y $H = \{(1), (32)\}$.
Primero, veamos cómo se ven las clases laterales izquierdas.

Primero, tenemos la clase del neutro, es decir $(1) H = H$. Luego, tenemos que tomarnos un elemento de $S_3$ que no esté en $H$, digamos $(1\;2\;3)$, entonces,
\begin{align*}
(1\;2\;3)H &= \{(1\;2\;3)(1), (1\;2\;3)(3\;2)\}\\
&= \{(1\;2\;3), (1\;2)\}.
\end{align*}

Repetimos lo anterior, tomamos un elemento de $S_3$ que no esté $H$ y sea distinto al que ya nos tomamos para obtener una clase distinta. Esto nos da
\begin{align*}
(1\;3\;2)H &= \{(1\;3\;2)(1), (1\;3\;2)(3\;2)\} \\
& = \{(1\;3\;2)(1\;3)\}.\\
\end{align*}

Por lo que las clases laterales izquierdas son:
\begin{align*}
&(1)H = H\\
&(1\;2\;3)H = \{(1\;2\;3), (1\;2)\}\\
&(1\;3\;2)H = \{(1\;3\;2)(1\;3)\}.\\
\end{align*}

De la misma manera obtenemos las clases laterales derechas:
\begin{align*}
&H(1) = H \\
&H(1\;2\;3) = \{(1)(1\;2\;3), (3\;2)(1\;2\;3)\} = \{(1\;2\;3), (1\;3)\} \\
&H(1\;3\;2) = \{(1)(1\;3\;2), (3\;2)(1\;3\;2)\} = \{(1\;3\;2), (1\;2)\}.\\
\end{align*}

Este ejemplo nos permite ver que las clases laterales izquierdas y las clases laterales derechas no siempre coinciden.

Partición del ejemplo 1.
Partición de las clases laterales izquierdas del ejemplo 2.
Partición de las clases laterales derechas del ejemplo 2.

Número de elementos en las clases laterales

El último ejemplo nos dice que las clases laterales derechas e izquierdas no siempre coinciden, sin embargo probaremos que siempre hay la misma cantidad de ambas.

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$. Entonces

\begin{align*}
\#\{a H | a \in G\} = \#\{Ha | a \in G\}.
\end{align*}

Demostración.

Sea $\psi: \{a H | a \in G\} \to \{Ha | a \in G\}$, definida como $\psi(aH) = Ha^{-1} \quad \forall a \in G$. Probaremos que esta función es biyectiva.

Pequeño paréntensis:

Antes de comenzar con la demostración, pongamos atención a la definición de $\psi$. En un inicio podríamos pensar ¿por qué no hacemos $\psi(aH) = Ha$? La respuesta es simple, porque esto no funcionaría. Definamos una nueva función para ejemplificar, sea $\phi: \{a H | a \in G\} \to \{Ha | a \in G\} $ tal que $\phi(aH ) = Ha$.

Tomemos $b\in G$ tal que $aH = bH$, para que $\phi$ esté bien definida, necesitaríamos que $\phi(aH) = \phi(bH)$, es decir $Ha = Hb$. Por la relación que definimos, esto implica que si $a^{-1}b \in H$, entonces $ba^{-1} \in H$, pero esto no necesariamente es cierto porque el grupo puede no ser abeliano. Lo que sí sabemos es que si $a^{-1}b\in H$, entonces $Ha^{-1}b = H$, y así $Ha^{-1} = Hb^{-1}$.

Por esto es que escogimos a $\psi$ de esa manera.

Termina paréntesis. Ahora sí comencemos con la demostración.

Sean $a,b \in G$,

\begin{align*}
aH = bH & \Leftrightarrow a^{-1}b \in H \\
&\Leftrightarrow Ha^{-1}b = H \\
& \Leftrightarrow Ha^{-1} = Hb ^{-1} \\
& \Leftrightarrow \psi (aH) = \psi (bH).
\end{align*}
Por tanto, $\psi$ está bien definida y es inyectiva.

Además, dada $Ha, a \in G$.

\begin{align*}
Ha = H(a^{–1})^{-1} = \psi(a^{-1} H)
\end{align*}

así $\psi$ es suprayectiva.

Por lo tanto $\# \{aH | a \in G\} = \# \{Ha|a\in G\}.$

$\square$

Ahora, ya sabemos que la cantidad de clases laterales izquierdas es la misma que la de clases laterales derechas. Entonces podemos nombrar esto como el índice.

Definición. Sea $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$. El índice de $H$ en $G$ es

\begin{align*}
[G:H ] = \# \{aH | a\in G\}.
\end{align*}

Ejemplos

Retomemos los ejemplos que ya hemos visto.

  1. Tomemos a $Q$ como los cuaternios, $H= \left< i \right> = \{\pm 1, \pm i\}$
    $[Q:H]= 2$.
  2. Ahora, tomemos $S_3$, $H = \{(1), (3 2)\}$. Como ya vimos,
    $[S_3:H]= 3$.
  3. Consideremos el grupo $(\z, +)$ y $H = \{6m | m \in \z\}$.
    Hay 6 clases laterales: $H, 1+H, 2+H, 3+H, 4+H, 5+H$. Que serían los múltiplos de $6$, $6+1$, $6+2$, $\dots$ respectivamente.
    Así, $[\z, H ]= 6$.

Tarea moral

  1. Analizando los ejemplos que tienes hasta ahora observa si existe alguna relación entre el orden de un grupo $G$, el orden del subgrupo $H$ y la cantidad de clases laterales de $H$ en $G$.
  2. Considera $\{\pm 1\} \leq \left< i \right> \leq Q$. Describe las clases laterales izquierdas de $\{\pm 1\}$ en $\left< i \right>$, las clases laterales izquierdas de $\left< i \right>$ en $Q$, y las clases laterales izquierdas de $\{\pm 1\}$ en $Q$. Encuentra $[Q: \{\pm 1\}]$, $[Q:\left< i \right>]$ y $[\left< i \right>: \{\pm 1\}]$.
  3. Considera $\left< (1\;2\;3) \right> \leq A_4 \leq S_4$. Describe las clases laterales izquierdas de $\left< (1\;2\;3) \right>$ en $A_4$, las clases laterales izquierdas de $A_4$ en $S_4$, y las clases laterales izquierdas de $\left< (1\;2\;3) \right>$ en $S_4$. Encuentra $[S_4:\left< (1\;2\;3) \right>]$, $[S_4: A_4]$ y $[A_4: \left< (1\;2\;3) \right>]$.
  4. Puedes checar el video de Mathologer.

Más adelante…

Ahora conoces el índice de $H$ en $G$. Recúerdalo para la siguiente entrada, porque intentaremos describir el orden de $G$ en términos del orden de $H$ y del índice. Sin hacer trampa, ¿cómo crees que se puede relacionar el orden de $G$ y el índice?

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Álgebra Moderna I: Producto de subconjuntos y Clases Laterales

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Antes de comenzar conviene que recordemos que estamos trabajando con grupos. Un conjunto con una operación da lugar a un grupo si cumple ciertas condiciones, entre ellas tener un neutro y ser cerrado bajo su operación. Ahora nos interesamos por los subconjuntos cualquiera del grupo, no necesariamente subgrupos. Esta entrada está dedicada al estudio del producto de dichos subconjuntos.

La primera parte comienza definiendo a nuestro producto y lo ilustramos con unos ejemplos. La segunda parte pretende responder a la pregunta ¿cuándo es el producto de dos subconjuntos un subgrupo? En la tercera parte, nos imaginamos un caso particular, ¿qué pasa cuando uno de los subconjuntos elegidos es unitario? Es decir, estamos multiplicando un subgrupo de $G$ por un solo elemento de $G$.

Producto de $S$ con $T$

Definición. Sea $G$ un grupo, $S,T$ subconjuntos no vacíos de $G$. El producto de $S$ con $T$ es el conjunto

$$ST = \{st|s\in S, t\in T\}.$$

El orden de los elementos de $ST$ es importante, recordemos que $G$ no es necesariamente abeliano. Más adelante analizaremos más al respecto.

Nota: Cuando escribimos $st$ nos referimos a la operación que pertenece al grupo $(G, \cdot)$. Por ejemplo, si tomamos a $\z$, la operación sería la suma $+$ usual.

Tomamos dos subgrupos $S$ y $T$ de $G$. Si multiplicamos sus elementos, el resultado queda en $G$

Ejemplos.

  1. Tomemos las permutaciones de $S_3 = \{(1), (1\;2), (1 \;3), (2 \; 3), (1 \; 2 \; 3), (1\;3\;2)\}$. Consideramos a $S$ como $S=\{(1\;2)\}$ y a $T$ como $T=\{(1\;2\;3), (1\;3\;2)\}$. Entonces, su producto queda
    \begin{align*}
    ST &= \{(1\;2) (1\;2\;3), (1\;2)(1\;3\;2)\}\\
    &= \{(2\;3), (1\;3)\}.
    \end{align*}
  2. Si consideramos $(\z, +)$, podemos tomar a $S$ y a $T$ como
    \begin{align*}
    S &= 2\z = \{2n|n\in \z\},\\
    T &= 3\z = \{3m|m\in\z\}.
    \end{align*}
    En este caso, el producto se denota como $S+T$ y este conjunto es
    \begin{align*}
    S+T = 2\z + 3\z = \{2n+3m|n,m\in\z\} = \z.
    \end{align*}
    Donde la última igualdad se da porque $(2,3) = 1$ (es decir, $2$ y $3$ son primos relativos).

¿Cuándo es el producto un subgrupo de $G$?

Vamos a ver qué pasa ahora a la hora de multiplicar subgrupos. Durante la demostración del siguiente teorema, observaremos que en general, el producto no es un subgrupo debido a un detalle de la conmutatividad de los elementos. El siguiente se trata de un resultado clásico que aparece por ejemplo en el texto de Dummit mencionado en la bibliografía, Proposición 14:

Teorema. Sea $G$ un grupo, $H$, $K$ subgrupos de $G$. Entonces,
\begin{align*}
HK \leq G \; \text{ si y sólo si } \; HK = KH.
\end{align*}

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $H,K$ subgrupos de $G$.

$|\Rightarrow)$ Supongamos que $HK \leq G$.
P.D. $KH=HK$

Procedemos por doble contención.
$\subseteq]$
Sea $x\in KH$, entonces existen $k \in K$ y $h \in H$ tales que $x = kh$.

Como $HK$ es subgrupo de $G$, entonces $h^{-1}k^{-1} \in HK$, así
\begin{align*}
x^{-1} = (kh)^{-1} = h^{-1}k^{-1} \in HK.
\end{align*}

Entonces, $x^{-1} \in HK$, y como $HK$ es subgrupo, $x \in HK$. Por lo tanto $KH \subseteq HK$.

$\supseteq]$
Sea $x \in HK$.

Observación: Si intentamos hacer lo mismo de antes, tomaríamos $h \in H$ y $k \in K$ tales que $x = hk$, así $x^{-1} = k^{-1}h^{-1}$ ya que en el inverso se invierte el orden, es decir $x^{-1} \in KH$. Pero como no sabemos nada de $KH$, nos atoramos aquí. Por lo tanto, tomaremos un camino un tanto diferente.

Sabemos que $HK\leq G$, entonces sabemos que $x^{-1} \in HK$. Entonces existen $h \in H$ y $k\in K$ tales que $x^{-1}=hk$. Así,

\begin{align*}
&x = (x^{-1})^{-1} = (hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH
\end{align*}
Por lo tanto $HK \subseteq KH$.

Así, $HK = KH$.

$\Leftarrow|)$ Supongamos que $HK = KH$.
P.D. $HK \leq G$.

Observemos primero que $e = ee \in HK$.

Ahora consideremos $x,y \in HK$, entonces
\begin{align*}
x = hk && h, \overline{h} \in H \\
y = \bar{h} \bar{k} && k,\overline{k} \in K.
\end{align*}

Entonces
\begin{align*}
xy^{-1} = (hk)(\bar{h} \bar{k})^{-1} &= (hk)(\bar{k}^{-1} \bar{h}^{-1})\\
&= h \left( (k\bar{k}^{-1})\bar{h}^{-1} \right).
\end{align*}

Pero
\begin{align*}
&(k\bar{k}^{-1}) \bar{h}^{-1} \in KH = HK &\text{Por la hipótesis} \\
\Rightarrow &\,(k \bar{k}^{-1})\bar{h}^{-1} =\hat{h}\hat{k} & \text{ con } \hat{h}\in H,\hat{k}\in K.
\end{align*}

Sustituyendo los valores $$xy^{-1} = h(\hat{h}\hat{k}) = (h\hat{h})\hat{k} \in HK.$$

Por lo tanto $HK \leq G$.

$\blacksquare$

Del teorema anterior se sigue este corolario:

Corolario. Sea $G$ un grupo abeliano, $H,K$ subgrupos de $G$. Tenemos que $HK$ es un subgrupo de $G$.

Clases Laterales

Ahora, tomemos $T = \{a\}$ con $a \in G$. De esta manera $TH = \{a\}H$, pero para simplificar la notación, usaremos $\{a\}H = aH$. A este caso específico, lo llamaremos clase lateral. A continuación lo definiremos de una manera más formal.

Definición. Sean $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$, $a\in G$.
La clase lateral izquierda de $H$ en $G$ con representante $a$ es
$$ aH = \{ah | h\in H\}. $$
La clase lateral derecha de $H$ en $G$ con representante $a$ es
$$Ha = \{ha|h\in H\}.$$

Ambas clases son análogas, aunque como veremos más adelante no necesariamente iguales, y para fines prácticos trabajaremos sólo con una, pero es importante definir ambas.

Ejemplos.

  1. Sean $G = S_n\, ,$ $H =A_n\, ,$ con $n\geq 2$.
    \begin{align*}
    (1\;2)\;A_n &= \{ (1\;2)\alpha \,|\, \alpha\in A_n\} \\
    & = \{\beta \in S_n \,| \, sgn\,\beta = -1\}.
    \end{align*}
  2. Sea $G=\r^2$ con la suma usual,
    \begin{align*}
    H &= \{(x,x) \,|\, x\in\r\}\\
    &\text{y }(a,b) \in\r^2 \\
    \text{Entonces, } \\
    (a,b) + H &= \{(a,b) +(x,x) \,|\, x\in \r\},
    \end{align*} que geométricamente es la diagonal trasladada por el vector $(a,b).$
Representación de $(a,b) + H$.

Tarea moral

  1. Prueba o da un contraejemplo: Si $G$ es un grupo y $S$ y $T$ son subconjuntos de $G$ tales que $ST$ es un subgrupo de $G$, entonces $S$ y $T$ son subgrupos de $G$.
  2. Sea $D_{2(6)} = \{\text{id}, a, \dots, a^5, b, ab, \dots, a^5b \}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un hexágono, con $a$ la rotación de $\frac{\pi}{3}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$. Calcula las clases laterales izquierdas y derechas de $\left< a \right>$ en $D_{2(6)}$.
  3. En cada inciso calcula $HK$ y determina si es un subgrupo de $S_4$.
    1. $H = \{(1), (1\;2)\}$ y $K = \{(1), (1\;3)\}$.
    2. $H = \{(1), (1\;2)\}$ y $K = \{(1), (3\;4)\}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos una relación de equivalencia y, al tratar de describir las clases de equivalencias inducidas, podremos relacionar las clases laterales con los elementos de $H$. Además, continuaremos respondiendo a las preguntas: ¿qué relación existe entre el número de elementos de las clases laterales derechas e izquierdas? y ¿qué es el índice de $H$ en $G$?

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Álgebra Moderna I: Paridad de una permutación

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

4 respuestas

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la entrada anterior descubrimos que toda permutación se puede factorizar en producto de transposiciones. Mas aún, el polinomio de Vandermonde nos permite saber que, aunque hayan varias factorizaciones, en realidad, todas siempre tienen una cantidad par (o un cantidad impar) de transposiciones. Con esto, podemos definir el signo de una permutación. La secuencia que se seguirá para abordar el signo de una permutación es la presentada en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto, es decir se usarán los resultados de la entrada previa de acuerdo al enfoque de Herstein, para introducir la función signo y probar que es multiplicativa, y con ello obtener la fórmula del signo que aparece en el libro de Rotman (todos estos libros son los que se mencionan en la bibliografía).

Ya teniendo una noción de la paridad de una permutación podemos jugar con las consecuencias: podemos deducir qué pasa si multiplicamos dos permutación con la misma paridad, qué sucede cuando tienen distinta paridad y además, como es raro en los cursos de matemáticas… ¡podemos agrupar por paridad! En esta entrada, descubrimos que el conjunto de transposiciones con signo par, es en realidad un grupo con $\frac{n!}{2}$ elementos. Este conjunto es llamado el grupo alternante.

¿Pares o impares?

Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $\alpha$ es par si $\alpha = \text{id}$ o si $\alpha$ es un producto de un número par de transposiciones. Por otro lado, $\alpha$ es impar si es un producto de un número impar de transposiciones.

La función signo es $sgn: S_n \to \{+1, -1\}$ definida como
\begin{align*}
sgn \; \alpha = \begin{cases} +1 & \text{si } \alpha \text{ es par} \\
-1 & \text{si } \alpha \text{ es impar}
\end{cases}
\end{align*}

Observación. Sean $\alpha = \tau_{1} \cdots \tau_r \in S_n$, con $\tau_{1}, \cdots, \tau_r$ transposiciones. Entonces $sgn\;\alpha = (-1)^r$.

Demostración.
La definición nos asegura que $sgn\;\alpha = +1$ si y sólo si $r$ es par.

$\blacksquare$

Proposición. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Entonces $$sgn \;(\alpha \, \beta) = sgn\, \alpha \; sgn \, \beta.$$

Esto nos dice que la función signo ($sgn$) es multiplicativa. Esto lo hace más sencilla de trabajar.

Demostración.

Esto es bastante fácil de demostrar, para usar lo que vimos tenemos que expresar a estas permutaciones como producto de transposiciones.

Sean $\alpha, \beta \in S_n$, con $\alpha = \tau_{1} \cdots \tau_r$, $\beta = \rho_1 \cdots \rho_t$. Donde, $\tau_1, \cdots, \tau_r, \rho_{1}, \cdots, \rho_t$ son transposiciones.

Si calculamos el signo del producto $\alpha\,\beta$ y usando la observación anterior, obtenemos lo siguiente:
\begin{align*}
sgn(\alpha \, \beta) &= sgn(\tau_1 \cdots \tau_r \, \rho_1 \cdots \rho_t) \\
& = (-1)^{r+t} & \text{Observación anterior}\\
& = (-1)^r \, (-1)^t & \text{Propiedades de las potencias}\\
& = sgn\, \alpha \; sgn\, \beta &\text{Observación anterior}
\end{align*}

Esto es precisamente lo que queríamos probar.

$\blacksquare$

Podemos concluir que para calcular el signo de un producto, basta entender el signo de cada uno de los factores.

Calculando el signo de una permutación

Seguiremos puliendo la idea que nos dio la proposición anterior hasta llegar a una fórmula para sacar el signo de una permutación. Pero por ahora, veamos qué sucede con los $r$-ciclos.

Lema. Sea $\sigma = (i_1 \cdots i_r) \in S_n$ un $r$-ciclo. Entonces $sgn\, \sigma = (-1)^{r-1}$.

Demostración.
Recordemos que en la entrada anterior vimos que podemos ver a $\sigma$ como producto de transposiciones:
\begin{align*}
\sigma &= (i_1 \cdots i_r) = (i_1\,i_r) \cdots (i_1 \, i_2).
\end{align*}
Intuitivamente, estamos intercambiando a $i_1$ con los elementos que le siguen, esto nos da $r-1$ transposiciones. Por lo tanto, $\sigma$ es un producto de $r-1$ transposiciones. De acuerdo con la observación, podemos concluir que $sgn \, \sigma = (-1)^{r-1}$.

$\blacksquare$

Estamos listos para enunciar y probar  la fórmula del signo que aparece en el libro de Rotman que se menciona en la bibliografía, y que resulta muy útil para calcular el signo de una permutación.

Teorema. Sea $\alpha \in S_n$, $\alpha = \beta_1 \cdots \beta_t$ una factorización completa de $\alpha$. Entonces $sgn\,\alpha = (-1)^{n-t}$, donde $t$ es la cantidad de factores que tiene la factorización completa de $\alpha$.

Demostración.
Como el signo es multiplicativo,
\begin{align*}
sgn\,\alpha = \prod_{i=1}^t sgn\,\beta_i.
\end{align*}
Estamos tomando una factorización completa de $\alpha$, entonces todos los $\beta_i$ son ciclos disjuntos. Así que su signo está dado por la longitud del ciclo (de acuerdo al lema dado):
\begin{align*}
sgn\,\beta_i = (-1)^{\text{long}\,\beta_i-1} \qquad \forall i\in\{1,\dots,t\}.
\end{align*}
Juntando ambas ecuaciones y sumando los $t$ exponentes obtenemos las siguientes igualdades
\begin{align*}
sgn\,\alpha &= \prod_{i = 1}^{t} sgn \,\beta_i & \text{Proposición}
\\&= \prod_{i = 1}^t (-1)^{\text{long}\,\beta_i – 1} &\text{Lema}\\
& = (-1)^{\left(\sum_{i = 1}^t \text{long}\,\beta_i \right) -\;\large{ t}} = (-1)^{n-t}. &\text{Leyes de exponentes}
\end{align*}

Como la factorización es completa, la siguiente igualdad se cumple: $$\sum_{i = 1}^t \text{long}\,\beta_i = n.$$

Por lo tanto $sgn\,\alpha = (-1)^{n-t}$.

$\blacksquare$

Esta forma resulta útil porque ya no necesito descomponer una permutación en producto de transposiciones, nos basta con encontrar una factorización completa. Veamos esto con un ejemplo.

Ejemplo.
Consideremos $\alpha \in S_{10}$ como
\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
2 & 4 & 7 & 5 & 1 & 8 & 3 & 9 & 6 & 10
\end{pmatrix}.
\end{align*}

También podemos escribirla como $\alpha = (1\;2\;4\;5)(3\;7)(6\;8\;9)(10)$. Esto nos muestra que $\alpha$ es una factorización completa con 4 factores.

Entonces, de acuerdo con el teorema que acabamos de probar, $$sgn\,\alpha = (-1)^{10-4} = (-1)^6 = +1.$$

Por otro lado podemos sacar una factorización de $\alpha$ en transposiciones: $\alpha = (1 \; 5)(1 \; 4)(1 \; 2)(3 \; 7)(6 \; 9)(6 \; 8)$ que tiene 6 transposiciones. Entonces, efectivamente $\alpha$ es un producto de un número par de transposiciones.

Hora de Agrupar

Hemos visto que la función $sgn$ es una función mutliplicativa. Esto nos da como consecuencia que al multiplicar dos permutaciones con la misma paridad, te da como resultado una permutación par. En caso contrario, el resultado es impar. Ahora nos fijaremos solamente en las permutaciones pares.

Definición. El grupo alternante para $n$ elementos está definido como

$$A_n = \{\alpha \in S_n | sgn \, \alpha = +1\}.$$

Observación. $A_n$ efectivamente es un subgrupo de $S_n$.

Demostración.
Si $\alpha = \text{id}$, por definición del signo, $sgn\,\text{id} = +1$. Así, $\text{id}\in A_n$.

Sean $\alpha, \beta \in A_n$.
Como la función signo es multiplicativa:
\begin{align*}
sgn\,\alpha\beta = sgn \, \alpha \; sgn \, \beta = (+1)(+1) = +1.
\end{align*}
Así, $\alpha\beta \in A_n$. Es decir, $A_n$ es cerrada bajo el producto.

Por último, sea $\alpha \in A_n$.

Por un lado, usando la propiedad multiplicativa del signo obtenemos:
\begin{align*}
sgn\,(\alpha\alpha^{-1}) = sgn \, \alpha \; sgn \, \alpha^{-1} = (+1)\, sgn\, \alpha^{-1}.
\end{align*}

Por otro lado, como $\alpha \,\alpha^{-1} = \text{id}$, tenemos:
\begin{align*}
sgn\,(\alpha\,\alpha^{-1}) = sgn\, \text{id} = +1.
\end{align*}

Por lo tanto $sgn\,(\alpha\, \alpha^{-1}) = +1$, así $\alpha^{-1} \in A_n$. Es decir, $A_n$ es cerrada bajo inversos.

Por lo tanto $A_n$ es un subgrupo de $S_n$.

$\blacksquare$

El siguiente resultado nos muestra que el grupo alternante $A_n$ «parte en dos» a las permutaciones, es decir, la mitad de permutaciones son pares.

Proposición. Sea $n>1$, entonces $|A_n| = \frac{n!}{2}$.

Demostración. Podemos ver a $S_n$ como la unión de las permutaciones pares e impares, esto se expresa así $$S_n = A_n \cup (S_n\setminus A_n).$$
Pero, podemos dar una biyección definida como $\phi: A_n \to S_n\setminus A_n$, definida como $\phi \, \alpha = (1\;2)\alpha$.

Entonces, $|A_n| = \# S_n \setminus A_n$.

Así, como dijimos que

$n! = |S_n| = |A_n| + \# S_n\setminus A_n = 2 |A_n|$.

Por lo tanto $|A_n| = \frac{n!}{2}$.

Notación. Para denotar la cardinalidad u orden de un conjunto $A$, usamos dos notaciones:
\begin{align*}
|A| \to & \;\text{Si $A$ es un grupo.}\\
\# A \to & \;\text{Si $A$ no es un grupo (o si no sabemos si $A$ es un grupo o no).}
\end{align*}

Tarea moral

  1. Considera el elemento $\alpha \in S_{12}$ como
    \begin{align*}
    \alpha = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10&11&12\\
    2 & 11&4& 1 & 8 &12& 3 & 6 & 9 & 5 & 7 & 10
    \end{pmatrix}
    \end{align*}
    1. Encuentra $\alpha^{-1}$, el signo de $\alpha$ y el de $\alpha^{-1}$.
    2. En general, ¿qué pasará con el signo de una permutación y de su inversa?
  2. Sea $\alpha$ un $r$ ciclo en $S_n$. ¿Podemos determinar el signo de $\alpha$ a partir de la paridad de $r$?
  3. Dada $\alpha \in S_n$ decimos que los números $i,j \in \{1,2,\dots,n\}$ forman una inversión si $i<j$ pero $\alpha(i) > \alpha(j)$. ¿Qué relación existe entre la paridad y el número de inversiones de $\alpha$?
  4. Encuentra todos los elementos de $A_4$.

Más adelante…

Esta entrada nos sirvió para construir los cimientos, es importante que lo tengamos claro antes de avanzar. En la siguiente entrada definiremos el producto de $S$ con $T$, veremos en qué situaciones el producto de los subconjuntos conmuta, cuándo se cumple que $ST$ es un subgrupo de $G$. Esto nos ayudará para definir las clases laterales. Más adelante, estas clases nos ayudarán a definir una nueva relación de equivalencia.

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