Introducción

Ya que hemos visto cómo son las bolas abiertas en diferentes métricas, procederemos a analizar cómo son cuando las comparamos con un conjunto $A \subset X$. Como recurso, usaremos imágenes representativas con la intención de ayudar en la abstracción de los conceptos que a continuación se anuncian. Aunque las bolas no necesariamente se representan siempre como circunferencias (métrica del taxista), o como objetos con bordes punteados (como el segmento vertical que forma parte de la bola abierta en la métrica del ascensor), para fines gráficos rescataremos la idea de usar líneas punteadas para hacer alusión al «borde» de una bola abierta, sugiriendo que son puntos en el conjunto $X$ que no están en ella. Por el contrario, representaremos con lineas continuas puntos que sí formen parte de un conjunto dado.

Unas breves comparaciones entre subconjuntos y puntos

Para iniciar, pensemos en un espacio métrico $(X,d)$:

Y en un conjunto $A$ contenido en $X$:

Identifiquemos puntos arbitrarios en $X$:

Entonces un punto $x \in X$ puede pertenecer o no al conjunto $A$.
Si $x \in A$, entonces una bola abierta con centro en $x$ puede tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.

¿Puede haber una bola con centro en un punto en $A$ que esté totalmente contenida en el conjunto $X \setminus A$?

Por otro lado, si consideramos ahora $x \notin A$ , una bola abierta con centro en $x$ podría tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.

O bien, puede solo tener puntos en $X \setminus A$

¿Es posible que una bola con centro en un punto en $X \setminus A$ esté totalmente contenida en $A$?.

Habiendo hecho estos comentarios generales, asignemos términos a los puntos de $X$ según las condiciones que cumplan las bolas abiertas asociadas.

Conceptos topológicos en un espacio métrico

Definición punto interior de un conjunto: Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto interior de $A$ en $(X,d)$ si existe $\varepsilon > 0$ tal que $B(x,\varepsilon) \subset A$.

Aunque $x$ pueda tener alguna bola abierta que no esté totalmente contenida en A, basta con que exista una que sí lo esté para que a $x$ se le considere un punto interior.

De acuerdo a la definición, un punto $x \in X$ no será punto interior de $A$ cuando $\forall \varepsilon >0, B(x,\varepsilon)$ tiene puntos en $X \setminus A$. Los siguientes esquemas muestran puntos que no son puntos interiores del conjunto $A$ (tal vez sí lo sean de otro conjunto).

Definición interior de un conjunto: El conjunto formado por todos los puntos interiores de $A$ se denomina interior de $A$ en $(X,d)$ y se denota como:
$$Int (A) = : \{x \in X|x \text{ es punto interior de A}\}$$

El conjunto $Int(A)$ se representa de la siguiente manera:

Definición conjunto abierto: Diremos que $A \subset X$ es un conjunto abierto en $(X,d)$ si $A=Int(A)$.

Si pruebas que para todo $A \subset X$ se cumple que $Int(A) \subset A$ notarás que un conjunto $A$ es abierto cuando todos sus puntos son puntos interiores, es decir, cuando $A \subset Int(A)$. El conjunto $A$ que estamos considerando no es abierto, pues tiene puntos que no son puntos interiores.

Pero si consideramos un conjunto $A$ de esta forma, sí coincide con su interior y por lo tanto, es abierto.

Definición punto de contacto o punto de adherencia: Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Se dice que $x$ es punto de contacto (o de adherencia) de $A$ en $(X,d)$ si $\forall \, \varepsilon >0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$.

Incluso un punto que no esté en $A$ puede ser punto de contacto de $A$.

Incluso si alguna bola interseca al conjunto $A$, si hay alguna que no lo haga, no será punto de contacto de $A$.

Definición cerradura o adherencia de un conjunto: El conjunto formado por todos los puntos de contacto es denominado la cerradura de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:

$$ \overline {A} =: \{x \in X| x \text{ es punto de contacto de A}\}$$

Todos los puntos de contacto de $A$.

Definición conjunto cerrado: Diremos que un conjunto $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si $A=\overline{A}$.
Si pruebas que para todo $A \subset X$ se satisface que $A \subset \overline{A}$ notarás que un conjunto $A$ es cerrado cuando todos sus puntos de contacto están en $A$, es decir, cuando $\overline{A} \subset A$. En el ejemplo que estamos manejando, $A$ no es cerrado, pues tiene puntos de contacto que no están en $A$:

Si $A$ fuera considerado inicialmente de esta forma, sí coincide con su cerradura y por tanto, es cerrado:

Al final de esta sección se te propondrá como ejercicio demostrar que $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto en $(X,d)$.

Definición bola cerrada: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Considera un punto $x \in X$ y $\varepsilon \in \mathbb {R}, \varepsilon>0$. La bola cerrada con centro en $x$ y radio $\varepsilon$ se define como el conjunto de puntos en $X$ tales que el valor de su distancia al punto $x$ es menor o igual que $\varepsilon$. Se denota como:

$$\overline{B}(x,\varepsilon) := \{y \in X | d(x,y) \leq \varepsilon \}$$

Nota: A diferencia de la bola abierta, la bola cerrada sí incluye a los puntos cuya distancia al centro sea exactamente $\varepsilon$.

Antes de poner un círculo cerrado como representación de una bola cerrada, enunciemos la siguiente:
Proposición: La cerradura de una bola abierta $B(x,\varepsilon)$ (denotado como $\overline{B(x,\varepsilon)}$) no coincide, necesariamente con la bola cerrada $\overline{B}(x,\varepsilon)$. Veamos un contraejemplo con la métrica discreta en $\mathbb{R}^2$ y con $\varepsilon=1$.

Proposición. En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,\varepsilon)} = \overline{B}(x,\varepsilon)$. La demostración se propone como ejercicio.

Definición punto de acumulación: Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto de acumulación de $A$ en $(X,d)$ si $\forall \, \varepsilon >0$ se cumple que $(B(x,\varepsilon) \setminus \{ x \}) \cap A \neq \emptyset$. Nota que a diferencia del punto de contacto, el punto de acumulación se descarta de la intersección entre las bolas abiertas y $A$.

¿Es un punto de contacto también un punto de acumulación en cualquier métrica?

Proposición: Toda bola abierta que tiene un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en A.

Demostración:
Supón que $x \in X$ es un punto de acumulación de $A$ y que $x \in B(y,\varepsilon), y \in X, \varepsilon>0$.

Supón también que, contrario a lo que se quiere demostrar, esta bola abierta tiene una cantidad finita de puntos en $A$, digamos $\{x_1,x_2,…,x_n\}$ distintos de $x$.

Considera $\varepsilon_{i}=d(x,x_i), i=1,2,…,n$ la distancia entre cada uno de ellos a $x$. Sea $\varepsilon_0>0$ tal que $B(x,\varepsilon_0) \subset B(y,\varepsilon)$ y $\varepsilon_{m}= min\{\varepsilon_{i}|i=0,…,n\}$. Entonces el conjunto $B(x,\varepsilon_{m})\setminus \{x\}$ deja fuera todos los puntos de $A$, pues $\forall \, x_i, i=1,…,n$ pertenecientes a $A \cap B(y,\varepsilon), \varepsilon_{m} \leq d(x,x_i)$, por lo tanto existe una bola abierta que, al quitarle el punto $x$ no interseca a $A$.

Entonces $x$ no es un punto de acumulación de $A$, lo cual es una contradición a la hipótesis. Por lo tanto una bola abierta que tenga un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en $A$.

Nota: Se puede concluir también que un conjunto finito no tiene puntos de acumulación.

Definición punto frontera de un conjunto. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto frontera de $A$ en $(X,d)$ si para toda $\varepsilon > 0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$ y también $B(x,\varepsilon) \cap (X/A) \neq \emptyset$ .

Definición conjunto frontera de un conjunto: El conjunto formado por todos los puntos frontera es denominado la frontera de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:

$$\partial A =: \{x \in X| x \text{ es punto frontera de A}\}$$

Proposición: Prueba que $\partial A =: \overline{A} \setminus Int(A)$. La demostración se propone como ejercicio.

Para finalizar con esta sección, veamos por qué un espacio métrico es un espacio topológico:

Proposición. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Entonces cumple con los siguientes axiomas:

• 1. Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $(X,d)$.
• 2. Si $\{U_i\}:i \in \mathcal{I}$ es una colección de conjuntos abiertos de $X$ entonces la unión $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto.
• 3. Si $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos de $X$ entonces la intersección $U \cap V$ es un conjunto abierto en $X$.

Demostración: Para demostrar que $X$ es abierto, demostraremos que cada punto en $X$ es un punto interior de $X$. Sea $x \in X$ y $\varepsilon>0$, por definición $B(x,\varepsilon)= \{y \in X|d(x,y)<\varepsilon \} \subset X$ Por lo tanto $\forall \, x\in X, x \in Int(X)$. Se concluye que $X$ es abierto. La propiedad para el conjunto $\emptyset$ se cumple por vacuidad.

Sea $x \in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ entonces $x \in U_{i_0}$ para algún $i_0 \in \mathcal{I}$. Como particularmente $U_{i_0}$ es un conjunto abierto, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que$ B(x,\varepsilon) \subset U_{i_0} \subset \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$. Por lo tanto $\forall \, x\in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ se cumple que $x \in Int(\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i)$, en consecuencia $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto en $X$.

Si $x \in U \cap V$ para $U,V$ abiertos en $X$, entonces $x \in U$ y $x \in V$ de modo que existen $\varepsilon_1 >0$ y $\varepsilon_2 >0$ tales que $B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Sea $\varepsilon= min \{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ entonces $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Así, $B(x,\varepsilon) \subset U \cap V$, probando así que $\forall \, x \in U \cap V, x \in Int(U \cap V)$. Por lo tanto $U \cap V$ es un conjunto abierto en X.

Más adelante…

Pondremos en práctica las nociones aquí aprendidas para analizar espacios métricos de funciones. Una vez conocido mejor ese espacio, continuaremos con la generalización de definiciones vistas en los cursos de cálculo y hablaremos de convergencia de sucesiones, límite y continuidad en espacios métricos.

Tarea moral

Sea $X$ un espacio métrico y $A \subset X$. Demuestra que se cumplen las siguientes afirmaciones:

1. Una bola abierta en $X$ es un conjunto abierto.
2. El conjunto $Int(A)$ es abierto.
3. Para todo $A \subset X$, $Int(A) \subset A$.
4. Una bola cerrada en $X$ es un conjunto cerrado.
5. El conjunto $\overline{A}$ es cerrado.
6. $A = \overline{A}$ si y solo si $A$ es cerrado.
7. $A$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto.
8. La frontera de $A$ es un conjunto cerrado.
9. Si $A$ es finito, entonces es cerrado.
10. En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,r)} = \overline{B}(x,r)$.
11. Es siempre la frontera de una bola abierta $B(x,d)$ el mismo conjunto de puntos $y \in X$ donde se cumple la igualdad $d(x,y)=\varepsilon$ Demuestra que en espacios normados sí ocurre.
12. $\partial A = \overline{A} \setminus Int(A)$.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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• Enlace a entrada siguiente.

Introducción

Probablemente recuerdes que en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral se habló de bolas de radio $\varepsilon>0$ con centro en un punto $x$. Había otros conjuntos, como los conjuntos abiertos y cerrados, de los que vimos representaciones gráficas. Estas ideas pueden generalizarse a otros espacios con métrica distinta a la euclideana. En la sección que aquí se presenta visualizaremos algunos ejemplos y comprobarás que conjuntos como la bola abierta, quedan representados por figuras diferentes a las ya conocidas. Observarás los cambios que las métricas pueden generar, incluso cuando también se trata del conjunto $\mathbb {R}^n$.
Comencemos por identificar puntos que estén “cerca” entre sí, aquellos cuya distancia no exceda cierta cantidad. Para eso tenemos la siguiente:

Definición bola abierta: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Considera un punto $x \in X$ y $\varepsilon \in \mathbb {R}$ tal que $\varepsilon>0$. La bola abierta con centro en $x$ y radio $\varepsilon$ se define como el conjunto de puntos en $X$ tales que el valor de su distancia al punto $x$ es menor que $\varepsilon$. Se denota como:

$$B(x,\varepsilon) := \{y \in X | d(x,y) < \varepsilon\}$$

Nota que si $x$ es el centro, entonces siempre está en la bola abierta, pues $d(x,x)=0<\varepsilon$

Ejemplos

La bola abierta en la métrica discreta

Recordemos que en la métrica discreta, la distancia entre dos puntos diferentes siempre es $1$. Entonces, si $0<\varepsilon<1$ la bola abierta solo tendrá como elemento al centro.

Por el contrario, si $\varepsilon>1$ la bola abierta tendrá como elementos a todos los elementos del conjunto.

La bola abierta en $\mathbb{R}$ con la métrica euclideana

Considera el conjunto $\mathbb{R}$ con la métrica usual.
\[
d(x,y) = |x-y| = \left\{ \begin{array}{lcc}
x-y & si & x \geq y \\
\\ y-x & si & x < y
\end{array}
\right.
\]
Para $x,y \in \mathbb{R}$

La bola abierta en $\mathbb{R}^2$ con la métrica euclideana

Considera ahora $\mathbb{R}^2$ y la métrica euclideana definida por:
$$d(x,y) = \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2}$$
con $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$.

La bola abierta en $\mathbb{R}^3$ con la métrica euclideana

Si pensamos en $\mathbb{R}^3$ y la métrica euclideana definida por:
$$d(x,y) = \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2+(x_{3}-y_{3})^2}$$
con $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ y $y=(y_{1},y_{2},y_{3}) \in \mathbb{R}^3$.

La bola abierta en la métrica del taxista
En la sección Otros ejemplos de espacios métricos definimos esta métrica en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como:
$$d(x,y)=|y_1-x_1|+|y_2-x_2| $$
para $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$.
Entonces para un punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2}) \in \mathbb{R}^2$ y $r>0$, la bola abierta $B(x_{0},r)$ está dado por el conjunto de puntos $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$ que satisfacen:
\begin{align*}
d(x_{0},y)=|y_1-x_{0_1}|+|y_2-x_{0_2}|&<r \\
\Leftrightarrow |y_2-x_{0_2}|&< r -|y_1-x_{0_1}| \\
\Leftrightarrow -r +|y_1-x_{0_1}|< y_2-x_{0_2}&< r -|y_1-x_{0_1}|
\end{align*}
Esto quiere decir que el conjunto buscado está delimitado por las rectas:
\begin{align}
y_{2}-x_{0_2}&= r-(y_1-x_{0_1})\\
y_{2}-x_{0_2}&= r+(y_1-x_{0_1})\\
y_{2}-x_{0_2}&= -r-(y_1-x_{0_1})\\
y_{2}-x_{0_2}&= -r+(y_1-x_{0_1})
\end{align}
Que son representadas a continuación:

Como la desigualdad es estricta concluimos que la bola abierta será un «rombo abierto» cuyas diagonales tienen longitud $2\varepsilon$ con centro en el punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2})$.

La bola abierta en la métrica del ascensor

Recordemos que el desplazamiento entre dos pisos de edificios iguales o diferentes motiva una métrica en $\mathbb{R}^2$. (Ver Otros ejemplos de espacios métricos). Si estamos en el piso marcado con el punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2}) \in \mathbb{R}^2$ y tenemos $\varepsilon>0$ como límite de distancia, procedamos a identificar los puntos a los que podemos llegar:

Estando en el mismo edificio, el ascensor puede llevarnos hasta una distancia $\varepsilon$ hacia arriba, o bien, una distancia $\varepsilon$ hacia abajo.

La bola abierta en el tablero de ajedrez.
Hemos visto que en un conjunto dado por las casillas del tablero de ajedrez se pueden definir métricas de acuerdo al movimiento de cada pieza. Como ejemplo, considera el movimiento permitido para la reina. En cada turno, esta pieza se puede mover en cualquier dirección y cualquier cantidad de casillas. Como la distancia entre dos casillas se define como el mínimo de movimientos necesarios para que la pieza llegue de una casilla a la otra, entonces tenemos las siguientes bolas abiertas para distintos valores de $\varepsilon$:

En contraparte el rey, que también se puede mover en cualquier dirección, no puede avanzar más que una casilla por turno. Esto origina las siguientes representaciones de bolas abiertas:

Más adelante

Dado un punto fijo, buscaremos encontrar una bola abierta que lo tenga como centro y veremos cómo son los elementos de la bola, si están todos contenidos en un conjunto determinado o no. Veremos la generalización de otras definiciones a espacios métricos y comprobaremos que estos son también espacios topológicos.

Tarea moral

1. Representa las bolas abiertas en la métrica del ajedrez con otras piezas.
2. Muestra un ejemplo de bola abierta en la métrica del ascensor en el que el centro esté fuera del rombo, uno donde esté dentro y uno más donde el centro esté sobre el vértice.
3. Da un ejemplo de espacio métrico y dos bolas $B(x,\varepsilon_1)$ y $B(y,\varepsilon_2)$ tales que $\varepsilon_1>\varepsilon_2$ pero $B(x,\varepsilon_1) \subset B(y,\varepsilon_2)$.

Enlaces

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