1. La modelación matemática en las ciencias
La modelación matemática es la herramienta que sirve para representar sistemas naturales y entender cómo funcionan, además de predecir y analizar comportamientos y encontrar soluciones de problemas sobre sistemas complejos.
1.1. ¿Qué es y para qué sirve un modelo matemático?
¿Qué es un modelo matemático?
Un modelo matemático es una representación abstracta de un sistema real. Utiliza variables, ecuaciones matemáticas, funciones o algoritmos para describir cómo interactúan estos elementos. Como se mencionó anteriormente, los modelos son herramientas para simplificar, entender, estudiar y predecir comportamientos de sistemas complejos, como los ecosistemas, el crecimiento de poblaciones, la difusión de enfermedades, entre otros. Por ejemplo, en biología, un modelo podría representar la dinámica de una población, utilizando factores como la tasa de natalidad, mortalidad y recursos disponibles.
¿Para qué sirve un modelo matemático?
- Predecir: los modelos matemáticos pueden predecir futuros comportamientos bajo condiciones específicas. Según Allman y Rhodes, “los modelos permiten entender las consecuencias que una ecuación puede tener a través del análisis matemático, para así poder comparar la formulación con observaciones biológicas” (Allman, p. 1). Por ejemplo, si se conoce la cantidad de individuos que tiene una población y cuántos nacen y mueren cada año, se puede predecir la población que habrá en algún momento del futuro. Esto es útil para la conservación de especies.
- Simular: se pueden crear diferentes escenarios para explorar los resultados de diferentes intervenciones, por lo que se puede practicar la «prueba y error» las veces necesarias sin consecuencias dañinas para un ecosistema. Por ejemplo, si se deseara saber qué pasaría si se introdujera un nuevo depredador en un ecosistema, un modelo puede ayudar a ver cómo esto afectaría a la población sin tener que hacer un experimento real que podría ser perjudicial.
- Optimizar: en algunos casos, los modelos se utilizan para encontrar la mejor estrategia o solución a un problema, como en el control de plagas, sin embargo, la optimización busca no solo eficiencia, sino también sostenibilidad y equilibrio en la gestión de recursos naturales, Britton señala que “las políticas de gestión de recursos pueden derivarse de modelos matemáticos” (Britton, p. 45). Por ejemplo, si se trabaja en la gestión de un área natural, es posible usar un modelo para determinar cómo distribuir los recursos de manera eficiente, asegurando tanto la salud del ecosistema como su sostenibilidad a largo plazo.
- Comprender: los modelos también son herramientas educativas, ayudan a visualizar y entender relaciones complejas. Según Kline, “las matemáticas nos permiten observar patrones y relaciones” (Kline, p. 5), al representar gráficamente los datos y las relaciones, se pueden observar patrones que no son obvios sólo al mirar los números.
1.2. De la biología al modelo y de regreso: Supuestos, limitaciones y predicciones verificables
Para pasar de un fenómeno biológico real a un modelo matemático se deben hacer suposiciones que son fundamentales para construir dicho modelo, pero es importante considerar que también imponen limitaciones sobre qué tan exacto o útil será en ciertos contextos. Los sistemas biológicos pueden involucrar una “gran cantidad de interacciones y predisposiciones que compiten entre sí, lo que puede dificultar la comprensión completa de un fenómeno en su totalidad” (Allman, p. 1). Por esta razón, los modelos matemáticos deben simplificar estos sistemas, enfocándose en los factores más relevantes, pero esta simplificación puede llevar a la omisión de detalles importantes y afectar la precisión de las predicciones en algunos escenarios.
Observación. Todo comienza con la observación, es importante prestar atención a todas las variables que pueden intervenir o afectar el desarrollo de un evento.
Supuestos. Al momento de realizar suposiciones se deben considerar aspectos como
• Homogeneidad: suposición de que el sistema es uniforme en ciertas características, por ejemplo, asumir que todos los individuos de una población tienen la misma tasa de crecimiento.
• Condiciones iniciales conocidas: los modelos suelen necesitar condiciones iniciales específicas para poder ser resueltos, por ejemplo, la cantidad inicial de individuos en una población.
• Aislamiento de factores externos: a veces se puede asumir que el sistema es cerrado, es decir, que no influyen factores externos, para facilitar el análisis.
Limitaciones. Los modelos son abstracciones de la realidad que nunca podrán representar todos los factores posibles que influyen en un sistema biológico, por lo que es importante reconocer que todos los modelos tienen limitaciones.
Según Allman, “aunque muchos de los modelos que examinamos pueden parecer al principio simplificaciones burdas, su misma simplicidad es una fortaleza. Los modelos simples muestran claramente las implicaciones de nuestros supuestos más básicos» (Allman, p . 1). En otras palabras, aunque los modelos matemáticos omiten muchos detalles, esta simplificación les permite centrarse en los aspectos fundamentales del fenómeno. Por ejemplo, en un modelo de crecimiento poblacional tal vez no se consideren detalles como la competencia entre especies o las interacciones con otras especies.
Otra limitación puede ser la escalabilidad; un modelo que funciona a pequeña escala (como en un laboratorio) puede no ser válido cuando se aplica a una escala mayor (por ejemplo, en un ecosistema natural).
Predicciones verificables. Los modelos matemáticos tienen que ser capaces de hacer predicciones que puedan ser verificadas empíricamente mediante experimentos u observaciones. Es fundamental que un modelo no solo explique o demuestre lo que ya se sabe, sino que también permita visualizar comportamientos futuros. Si las predicciones del modelo se verifican mediante datos reales, esto aumenta la confiabilidad del modelo.
Ejemplo: Imagina que estás modelando el crecimiento de una población de bacterias. Supón que el modelo establece que la población crece de acuerdo con la ecuación de Malthus. Si realizas experimentos y observas que la población crece más lentamente debido a la competencia por recursos, tu modelo necesitará ajustarse para reflejar este nuevo factor (por ejemplo, usando un modelo logístico que limite el crecimiento cuando la población se acerca a la capacidad de carga).
Pasos para crear un modelo.
Supongamos que estamos interesados en modelar el crecimiento de una población de bacterias en un cultivo cerrado -es decir, sin interferencia externa- en un laboratorio, donde la bacteria se reproduce a través de divisiones celulares. Empezaremos desde la observación y avanzaremos paso a paso.
1. Observación. En este caso, se pueden hacer las siguientes observaciones:
- Se sabe que las bacterias en un cultivo crecen a una tasa proporcional a su población actual.
- En un principio, se tiene un número pequeño de bacterias (supongamos 100), y después de cierto tiempo, el número de bacterias aumenta.
- No hay depredadores, no hay competencia por recursos en las primeras etapas, y el entorno es ideal para su crecimiento.
2. Identificación de Variables. En cualquier modelo, primero es necesario identificar las variables involucradas.
- Variable dependiente (a modelar): N(t) es el número de bacterias en el tiempo t.
- Variable independiente: t es el tiempo, generalmente en horas, días, o cualquier unidad pertinente.
- Parámetro constante: r es la tasa de crecimiento de la población (la tasa de natalidad). Esto indica cuántas bacterias nuevas nacen por cada bacteria existente en un tiempo determinado.
3. Supuestos. Para simplificar el problema y poder construir un modelo matemático, necesitamos hacer algunos supuestos que describen cómo el sistema se comporta:
- Supuesto 1: El entorno es ideal para el crecimiento bacteriano; no hay limitación de recursos.
- Supuesto 2: La tasa de crecimiento r es constante durante todo el proceso.
- Supuesto 3: Las bacterias se dividen de manera exponencial, es decir, cada bacteria produce exactamente dos hijas en un tiempo fijo.
- Supuesto 4: El número de bacterias en el tiempo t = 0 es conocido, es decir, tenemos un número inicial
de bacterias.
4. Limitaciones. Ahora, debemos tener en cuenta algunas limitaciones que podrían afectar la validez de nuestro modelo:
- Limitación 1: Este modelo no tiene en cuenta mutaciones o factores estocásticos (azar), como la posibilidad de que algunas bacterias no se reproduzcan debido a variabilidad genética o factores aleatorios.
- Limitación 2: El modelo no incluye interacciones con otras especies, como bacterias depredadoras o interacciones simbióticas que podrían alterar el crecimiento.
5. Formulación del modelo. El siguiente paso es escribir la ecuación matemática que describe el fenómeno. Con base en nuestras observaciones, sabemos que el crecimiento bacteriano sigue una ley de crecimiento exponencial. En el capítulo 1, Britton discute el crecimiento de poblaciones y la ecuación diferencial
es la tasa de cambio de la población de bacterias con respecto al tiempo (es decir, cuántas bacterias están naciendo por unidad de tiempo),- r es la tasa de crecimiento de la población,
- N(t) es el número de bacterias en el tiempo t.
Esta es una ecuación diferencial que describe cómo cambia la población de bacterias con el tiempo. Para obtener la expresión de N(t), resolvemos esta ecuación diferencial. La solución es:
donde
es el número inicial de bacterias en t = 0,- e es la base del logaritmo natural.
Este modelo nos dice que el número de bacterias crece exponencialmente en función del tiempo, con una tasa de crecimiento r.
6. Verificación del Modelo. Finalmente, se verifica el modelo utilizando datos reales o se realiza el experimento para comprobar si las predicciones del modelo son correctas.
Un caso práctico de verificación:
Supongamos que, en un experimento real, comenzamos con una población de 100 bacterias (es decir,
Para comprobar si el modelo puede predecir este comportamiento usamos la fórmula del modelo:
Sabemos que
Despejamos r:
Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:
Ahora, sabemos que la tasa de crecimiento r es aproximadamente 0.6931 por hora. Podemos usar este valor para hacer más predicciones y compararlas con los datos reales.
Predicción adicional:
Supongamos que queremos saber cuántas bacterias habrá después de 5 horas. Usamos el modelo con r = 0.6931:
Esto nos da una predicción de que habrá 3200 bacterias después de 5 horas.
Si el número real de bacterias se acerca a este valor, podemos estar bastante seguros de que nuestro modelo está funcionando bien. Si no es así, será necesario ajustar el modelo, considerar efectos de límite de recursos (como el modelo logístico), o incorporar factores estocásticos.
Resumen del procedimiento:
- Observación: se identifica el fenómeno a estudiar (crecimiento de bacterias).
- Identificación de variables: se determina qué variables son importantes (número de bacterias, tiempo, tasa de crecimiento).
- Supuestos: se realizan suposiciones sobre el entorno ideal, el crecimiento exponencial y las condiciones iniciales.
- Limitaciones: se considera que el modelo tiene limitaciones como el crecimiento ilimitado y la falta de factores estocásticos.
- Formulación del modelo: se desarrolla una ecuación diferencial para modelar el crecimiento exponencial de las bacterias.
- Verificación: se comprueban las predicciones del modelo con datos reales del experimento.
1.3. Tipos de modelos: Deterministas vs. Estocásticos
Modelos deterministas. Son aquellos que producen resultados predecibles, es decir que están completamente definidos y se puede calcular exactamente lo que sucederá. En otras palabras, no hay incertidumbre; dado un conjunto de condiciones iniciales y parámetros, el modelo siempre dará el mismo resultado. Como menciona Britton, en un modelo determinista, “el estado del sistema en el tiempo t + 1 se determina completamente a partir del estado en el tiempo t» (Britton, p. 2). Estos modelos se suelen representar con ecuaciones diferenciales o sistemas algebraicos que describen el comportamiento del sistema en función del tiempo.
Por ejemplo, el modelo de crecimiento exponencial es un modelo determinista, donde la población crece de manera predecible si no hay factores limitantes:
Modelos estocásticos. En estos modelos hay incertidumbre, el azar juega un papel importante. Los resultados pueden variar incluso con las mismas condiciones iniciales; el sistema no sigue un camino único, sino que puede tener varios resultados posibles debido a la inclusión de variables aleatorias o probabilísticas. Son útiles cuando se requiere modelar fenómenos como las fluctuaciones en una población debido a factores aleatorios (mutaciones genéticas, migración, dispersión). Un ejemplo claro puede ser la modelación de la propagación de una enfermedad infecciosa en una población, donde la tasa de infección no es constante, sino que depende de la probabilidad de contacto entre individuos. En un modelo estocástico, la distribución de probabilidades es clave.
Referencias bibliográficas
Allman, E. S. & J. A. Rhodes. 2007. Mathematical models in biology: an introduction. Cambridge University Press, Cambridge.
Britton, N. F. 2003. Essential mathematical biology. Springer, Cham.
Kline, M. 1967. Mathematics for the nonmatemathician. Dover, Nueva York.
Evaluación
Ejercicio 1: Conceptos básicos de modelación matemática
a) ¿Qué es un modelo matemático?
Escribe una definición simple de qué es un modelo matemático en el contexto de las ciencias. Explica brevemente por qué es útil tener un modelo en lugar de estudiar un fenómeno de forma directa.
b) Menciona al menos tres ventajas de usar modelos matemáticos en biología.
Ejercicio 2: Supuestos y limitaciones de los modelos matemáticos
a) Define qué son los supuestos en un modelo matemático.
Da un ejemplo de un supuesto que podrías hacer si estás modelando el crecimiento de una población de bacterias.
b) ¿Por qué es importante conocer las limitaciones de un modelo matemático?
Explica qué podría suceder si un modelo no tiene en cuenta factores importantes (como la competencia entre especies o los recursos limitados en un ecosistema).
Ejercicio 3: Tipos de modelos (Deterministas vs. Estocásticos)
a) Explica la diferencia entre un modelo determinista y un modelo estocástico.
Usa un ejemplo sencillo para ilustrar la diferencia. Por ejemplo, si estás modelando el crecimiento de una población de bacterias, ¿cuál sería un modelo determinista y cuál uno estocástico?
b) Imagina que estás modelando el crecimiento de una población de animales en un hábitat. Si se incluye una probabilidad de que cada individuo muera debido a condiciones ambientales impredecibles, ¿cómo se llamaría este tipo de modelo? Justifica tu respuesta.
Ejercicio 4: Aplicación de un modelo matemático simple
a) Imagina que tienes una población de 1000 bacterias en un cultivo cerrado. Esta población crece a una tasa constante de 0.2 por hora. Si se mantiene esta tasa de crecimiento, ¿cómo describirías el comportamiento de la población en términos matemáticos?
b) ¿Este es un modelo determinista o estocástico? ¿Por qué?
Respuesta modelo: Este modelo es determinista, ya que asume que la tasa de crecimiento es constante, r = 0.2, y que el crecimiento de la población depende únicamente de este parámetro, sin ningún componente aleatorio.
c) ¿Cuáles serían algunos supuestos de este modelo?
Piensa en qué asumes sobre el comportamiento de las bacterias, el ambiente, o cualquier otro factor relevante.
Ejercicio 5: Verificación y Aplicación de Modelos
a) ¿Por qué es importante verificar las predicciones de un modelo matemático con datos reales o experimentales?
Explica cómo se puede hacer para comprobar si un modelo matemático está funcionando correctamente.
b) Si tienes un modelo de crecimiento de una población de plantas en un invernadero, ¿qué tipo de datos recolectarías para comparar con las predicciones del modelo?
Pregunta de Reflexión:
- ¿Qué importancia tiene comprender los supuestos y las limitaciones de un modelo matemático cuando se usan para tomar decisiones en biología (por ejemplo, para la conservación de especies, el manejo de recursos naturales, etc.)?