Introducción

En las dos entradas anteriores hemos definido y obtenido una serie de resultados de las funciones exponencial compleja y logaritmo complejo, mediante las cuales hemos extendido sobre $\mathbb{C}$ a las funciones reales exponencial y logaritmo, respectivamente.

En esta entrada definiremos a las funciones trigonométricas complejas así como a las funciones hiperbólicas complejas y obtendremos para ambas algunas de sus propiedades más elementales, extendiendo sobre $\mathbb{C}$ a sus correspondientes versiones reales.

Notemos que mediante la identidad de Euler podemos relacionar a las funciones trigonométricas reales con la función exponencial compleja. Tenemos que: \begin{equation*} e^{i\theta} = \operatorname{cos}(\theta) + i \operatorname{sen}(\theta), \tag{22.1} \end{equation*} donde $\theta$ es un número real. Sustituyendo $\theta$ por $-\theta$ tenemos que: \begin{align*} e^{-i\theta} & = \operatorname{cos}(-\theta) + i \operatorname{sen}(-\theta)\\ & = \operatorname{cos}(\theta) – i \operatorname{sen}(\theta). \tag{22.2} \end{align*}

Sumando (22.1) y (22.2) tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{cos}(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}. \tag{22.3} \end{equation*}

Por otra parte, restando a (22.1) la ecuación (22.2) tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{sen}(\theta) = \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i}. \tag{22.4} \end{equation*}

Las expresiones obtenidas en (22.3) y (22.4) nos motivan a extender las funciones trigonométricas reales a $\mathbb{C}$ mediante la siguiente:

Definición 22.1. (Funciones seno y coseno complejas.)
Sea $z\in\mathbb{C}$. Definimos a las funciones complejas seno y coseno, respectivamente, como: \begin{equation*} \operatorname{sen}(z) := \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i}, \quad \operatorname{cos}(z) := \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}. \end{equation*}

Ejemplo 22.1.
Sea $z\in\mathbb{C}$. Determinemos los ceros de las funciones complejas seno y coseno y veamos que son todos reales.

Solución. Tenemos que: \begin{align*} \operatorname{sen}(z) = \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i} = 0 \quad & \Longleftrightarrow \quad e^{iz} – e^{-iz} = 0,\\ & \Longleftrightarrow \quad e^{iz} = e^{-iz},\\ & \Longleftrightarrow \quad e^{2iz} = 1 = e^{2k\pi i}, \quad k \in \mathbb{Z}, \end{align*} de donde $2iz = 2\pi i(k+n)$ para $k\in\mathbb{Z}$ y para alguna $n\in\mathbb{Z}$ (corolario 20.2), es decir $z = k’\pi$ con $k’=k+n \in \mathbb{Z}$, por lo que los ceros de la función seno son $z=0, \pm\pi, \pm2\pi, \pm 3\pi, \ldots$.

Procedemos de manera análoga para la función coseno, es decir: \begin{align*} \operatorname{cos}(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = 0 \quad & \Longleftrightarrow \quad e^{iz} + e^{-iz} = 0,\\ & \Longleftrightarrow \quad e^{iz} = -e^{-iz},\\ & \Longleftrightarrow \quad e^{2iz} = -1 = e^{(2k+1)\pi i}, \quad k \in \mathbb{Z}, \end{align*}

entonces $2iz = (2(k+n)+1)\pi i$ para $k\in\mathbb{Z}$ y para alguna $n\in\mathbb{Z}$ (corolario 20.2), es decir $z = \left(k’ + \frac{1}{2}\right)\pi$ con $k’=k+n \in \mathbb{Z}$, por lo que los ceros de la función coseno son $z=\pm\pi/2, \pm3\pi/2, \pm 5\pi/2, \ldots$.

En ambos casos es claro que los ceros de las funciones seno y coseno son todos reales.

Observación 22.1.
De nuestros cursos de Cálculo sabemos que las funciones reales hipérbolicas seno y coseno se definen, para $x\in\mathbb{R}$, respectivamente como: \begin{equation*} \operatorname{senh}(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{cosh}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}. \end{equation*}

Al igual que en el caso real, las funciones trigonométricas complejas satisfacen algunas identidades con las que ya estamos familiarizados y que suelen ser de utilidad en la resolución de ciertos problemas.

Proposición 22.1. (Identidades trigonométricas seno y coseno.)
Sean $z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}$, con $z=x+iy$, entonces las funciones trigonométricas complejas seno y coseno satisfacen:

1. $\operatorname{sen}(-z) = -\operatorname{sen}(z)$ y $\operatorname{cos}(z) = \operatorname{cos}(-z)$.
2. $\operatorname{sen}(z_1 \pm z_2) = \operatorname{sen}(z_1) \operatorname{cos}(z_2) \pm \operatorname{sen}(z_2) \operatorname{cos}(z_1)$.
3. $\operatorname{cos}(z_1 \pm z_2) = \operatorname{cos}(z_1) \operatorname{cos}(z_2) \mp \operatorname{sen}(z_1) \operatorname{sen}(z_2)$.
4. Son $2\pi$-periódicas.
5. $\operatorname{sen}\left(z+\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{cos}(z)$ y $\operatorname{cos}\left(z+\frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{sen}(z)$.
6. Fórmula de Euler para argumentos complejos: \begin{equation*} e^{iz} = \operatorname{cos}(z) + i \operatorname{sen}(z). \end{equation*}
7. $\operatorname{cos}^2(z) + \operatorname{sen}^2(z) = 1$.
8. $\operatorname{sen}^2(z) = \dfrac{1-\operatorname{cos}(2z)}{2}$.
9. $\operatorname{cos}^2(z) = \dfrac{1+\operatorname{cos}(2z)}{2}$.
10. $\operatorname{sen}(z) = \operatorname{sen}(x) \operatorname{cosh}(y) + i\operatorname{cos}(x) \operatorname{senh}(y)$.
11. $\cos(z) = \cos(x) \cosh(y) – i\operatorname{sen}(x) \operatorname{senh}(y)$.

Demostración. Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$, entonces:

1. De acuerdo con la definición 22.1 tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{sen}{(-z)} = \frac{e^{i(-z)} – e^{-i(-z)}}{2i} = \frac{e^{-iz} – e^{iz}}{2i} = – \left(\frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i}\right) =\operatorname{sen}{(z)}, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{cos}{(-z)} = \frac{e^{i(-z)} + e^{-i(-z)}}{2} = \frac{e^{-iz} + e^{iz}}{2} = \operatorname{cos}{(z)}. \end{equation*}
2. Se deja como ejercicio al lector.
3. Se deja como ejercicio al lector.
4. De acuerdo con la definición 22.1 y la proposición 20.2 tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{sen}{(z+2\pi)} = \frac{e^{i(z+2\pi)} – e^{-i(z+2\pi)}}{2i} = \frac{e^{iz}e^{i 2\pi} – e^{-iz}e^{-i2\pi}}{2i} = \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i} = \operatorname{sen}{(z)}, \end{equation*} \begin{equation*} \cos{(z+2\pi)} = \frac{e^{i(z+2\pi)} + e^{-i(z+2\pi)}}{2} = \frac{e^{iz}e^{i 2\pi} + e^{-iz}e^{-i2\pi}}{2} = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = \cos{(z)}. \end{equation*}
5. Se deja como ejercicio al lector.
6. De acuerdo con la definición 22.1 tenemos que: \begin{equation*} \cos{(z)} + i\operatorname{sen}{(z)} = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} + i\left(\frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i}\right) = \frac{e^{iz} + e^{-iz} + e^{iz} – e^{-iz}}{2} = e^{iz}. \end{equation*}
7. Considerando los resultados (1) y (6), tenemos que: \begin{align*} 1 = e^{iz} e^{-iz} & = \left[ \cos{(z)} + i\operatorname{sen}{(z)}\right]\left[\cos{(-z)} + i\operatorname{sen}{(-z)}\right]\\ & = \left[ \cos{(z)} + i\operatorname{sen}{(z)}\right]\left[\cos{(z)} – i\operatorname{sen}{(z)}\right]\\ & = \left[\cos{(z)}\right]^2 – \left[i\operatorname{sen}{(z)}\right]^2\\ & = \cos^2{(z)} + \operatorname{sen}^2{(z)}. \end{align*}
8. De acuerdo con (3), para $z=z_1=z_2$ tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{cos}{(2z)} = \operatorname{cos}^2{(z)} – \operatorname{sen}^2{(z)}. \end{equation*} Por otra parte, de (7) tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{cos}^2{(z)} = 1 – \operatorname{sen}^2{(z)}. \end{equation*} Por lo que: \begin{equation*} \operatorname{cos}{(2z)} = 1 – \operatorname{sen}^2{(z)} – \operatorname{sen}^2{(z)} = 1 – 2\operatorname{sen}^2{(z)}, \end{equation*} de donde se sigue el resultado.
9. Se deja como ejercicio al lector.
10. De acuerdo con la proposición 20.2 y la observación 22.1 tenemos que: \begin{align*} \operatorname{sen}(z) = \operatorname{sen}{(x+iy)} & = \frac{e^{i(x+iy)} – e^{-i(x+iy)}}{2i}\\ & = \frac{e^{-y+ix} – e^{y-ix}}{2i}\\ & = \frac{e^{-y}e^{ix} – e^{y}e^{-ix}}{2i}\\ & = \frac{e^{-y}\left[\operatorname{cos}(x)+i\operatorname{sen}(x)\right] – e^{y}\left[\operatorname{cos}(-x)+i\operatorname{sen}(-x)\right]}{2i}\\ & = \frac{-\operatorname{cos}(x)\left[ e^{y} – e^{-y} \right] + i\operatorname{sen}(x)\left[ e^{-y} + e^{y} \right]}{2i}\\ & = \operatorname{sen}(x) \left( \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\right) + i \operatorname{cos}(x) \left( \frac{e^{y} – e^{-y}}{2}\right)\\ & = \operatorname{sen}(x) \operatorname{cosh}(y) + i\operatorname{cos}(x) \operatorname{senh}(y). \end{align*}
11. Se deja como ejercicio al lector.

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Ejemplo 22.2.
Determina todas las soluciones de la ecuación $\cos{(z)} = 2$.

Solución. Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$, entonces por el resultado anterior tenemos que la ecuación dada se puede reescribir como: \begin{equation*} \cos(z) = \cos(x) \cosh(y) – i\operatorname{sen}(x) \operatorname{senh}(y) = 2. \end{equation*}

Tomando las partes real e imaginaria de esta última igualdad tenemos: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \cos(x) \cosh(y) = 2, \tag{22.5}\\ \operatorname{sen}(x) \operatorname{senh}(y) = 0. \end{array} \right. \end{equation*}

Procedemos a resolver este sistema de ecuaciones para las variables $x$ e $y$.

Notemos que si $y=0$, entonces $\cosh(0)=1$, por lo que de la primera ecuación de (22.5) se tiene que: \begin{equation*} \cos(x) = 2, \end{equation*} lo cual claramente no es posible para ningún valor de $x\in\mathbb{R}$, por tanto concluimos que $y\neq 0$.

Como $y\neq 0$, entonces $\operatorname{senh}(y)\neq 0$, por lo que de la segunda ecuación de (22.5) se tiene que: \begin{equation*} \operatorname{sen}(x) = 0, \end{equation*} de donde $x = n\pi$, con $n\in\mathbb{Z}$.

Sustituyendo lo anterior en la primera ecuación, para $n\in\mathbb{Z}$ tenemos que: \begin{equation*} \cos\left( n\pi\right) \cosh(y) = 2 \quad \Longleftrightarrow \quad \left( -1\right)^n \cosh(y) = 2, \end{equation*} pero como $\cosh(y)>0$ para toda $y\in\mathbb{R}$, entonces $n$ debe ser par, es decir: \begin{equation*} x = 2k\pi, \end{equation*} para $k\in\mathbb{Z}$. Por lo que: \begin{align*} \cosh{(y)} = 2 \quad &\Longleftrightarrow \quad \frac{e^{y} + e^{-y}}{2} = 2,\\ &\Longleftrightarrow \quad e^{y} + e^{-y} = 4,\\ &\Longleftrightarrow \quad e^{y}e^{y} + e^{-y}e^{y} – 4e^{y} = 0,\\ &\Longleftrightarrow \quad \left(e^{y}\right)^2 – 4e^{y} + 1 = 0. \end{align*}

Resolviendo la ecuación cuadrática para $e^y$, tenemos: \begin{equation*} e^y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}, \end{equation*} de donde $y = \ln{\left(2 \pm \sqrt{3}\right)}$.

Notemos que: \begin{equation*} \ln{\left(2 – \sqrt{3}\right)} = \ln{\left(\frac{\left[2 – \sqrt{3} \, \right] \left[2 + \sqrt{3} \, \right] }{2 + \sqrt{3}}\right)} = \ln{\left(\frac{1}{2 + \sqrt{3}}\right)} = – \ln{\left(2 + \sqrt{3}\right)}, \end{equation*} por lo que: \begin{equation*} y = \pm \ln{\left(2 + \sqrt{3}\right)}. \end{equation*}

Entonces, las soluciones de la ecuación $\cos{(z)} = 2$ son: \begin{equation*} z = 2k\pi \pm i \ln{\left(2 + \sqrt{3}\right)}, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Considerando la definición 22.1 y el hecho de que las funciones complejas seno y coseno son una extensión de las funciones trigonométircas reales, resulta natural definir el resto de las funciones trigonométricas complejas mediante estas dos funciones.

Definición 22.2. (Funciones trigonométricas complejas.)
Sea $z\in\mathbb{C}$. Definimos a las funciones {\bf trigonométricas complejas} como: \begin{equation*} \operatorname{tan}(z) := \frac{\operatorname{sen}(z)}{\operatorname{cos}(z)} = -i \left( \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{e^{iz} + e^{-iz}} \right), \quad \operatorname{cos}(z)\neq 0, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{cot}(z) := \frac{\operatorname{cos}(z)}{\operatorname{sen}(z)} = i \left( \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{e^{iz} – e^{-iz}}\right), \quad \operatorname{sen}(z)\neq 0, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{sec}(z) := \frac{1}{\operatorname{cos}(z)} = \frac{2}{e^{iz} + e^{-iz}}, \quad \operatorname{cos}(z)\neq 0, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{csc}(z) := \frac{1}{\operatorname{sen}(z)} = \frac{2i}{e^{iz} – e^{-iz}}, \quad \operatorname{sen}(z)\neq 0. \end{equation*}

Observación 22.2.
Notemos que las funciones trigonométricas dadas en la definición anterior son funciones racionales, por lo que tanto su dominio natural como su dominio de analicidad dependen de los ceros de las funciones complejas seno y coseno.

Ejemplo 22.3. La función tangente compleja es $\pi$-periódica. Veamos que $\operatorname{tan}(z_1) = \operatorname{tan}(z_2)$ si y solo si $z_1 = z_2 + k\pi$, con $k\in\mathbb{Z}$.

Solución. De acuerdo con el ejemplo 22.1 tenemos que la función tangente compleja no está definida para los valores de $z = \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$, entonces consideremos a $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ tales que $z_1, z_2 \neq \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi$. Por la proposición 22.1(2) tenemos que: \begin{align*} \operatorname{tan}(z_1) = \operatorname{tan}(z_2) \quad & \Longleftrightarrow \quad \frac{\operatorname{sen}(z_1)}{\operatorname{cos}(z_1)} = \frac{\operatorname{sen}(z_2)}{\operatorname{cos}(z_2)}\\ & \Longleftrightarrow \quad \operatorname{sen}(z_1) \operatorname{cos}(z_2) – \operatorname{sen}(z_2) \operatorname{cos}(z_1) = 0\\ & \Longleftrightarrow \quad \operatorname{sen}(z_1 – z_2) = 0\\ & \Longleftrightarrow \quad z_1 – z_2 = k\pi, \quad k\in\mathbb{Z},\\ & \Longleftrightarrow \quad z_1 = z_2 + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{align*}

Es posible deducir una serie de identidades para las funciones trigonométricas complejas con las que ya estamos familiarizados.

Proposición 22.2. (Identidades funciones trigonométricas.)
Sean $z,z_1,z_2\in\mathbb{C}$. Considerando el dominio de definición de cada una de las funciones trigonométricas complejas, tenemos que:

1. $\tan(-z) = -\tan(z)$.
2. $\cot(-z) = -\cot(z)$.
3. $\sec(-z) = \sec(z)$.
4. $\csc(-z) = -\csc(z)$.
5. $1+\tan^2(z) = \sec^2(z)$.
6. $1+\cot^2(z) = \csc^2(z)$.
7. $\tan(z_1\pm z_2) = \dfrac{\tan(z_1)\pm \tan(z_2)}{1\mp \tan(z_1)\tan(z_2)}$.
8. $\cot(z_1\pm z_2) = \dfrac{\cot(z_1)\cot(z_2)\mp 1}{\cot(z_1)\pm \cot(z_2)}$.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

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Ejemplo 22.4.
Determinemos el valor de las siguientes funciones trigonométricas en su forma $a+ib$.
a) $\operatorname{sen}(i)$.
b) $\operatorname{cos}(1+i)$.
c) $\operatorname{tan}(2i – \pi)$.

Solución.
a) Por definición de la función seno complejo y considerando a la función real seno hiperbólico tenemos que: \begin{align*} \operatorname{sen}(i) & = \frac{e^{i^2} – e^{-i^2}}{2i}\\ & = -i \left(\frac{e^{-1} – e^{1}}{2}\right)\\ & = i \left(\frac{e^{1} – e^{-1}}{2}\right)\\ & = i \operatorname{senh}(1). \end{align*} b) Por la definición de la función coseno complejo, de acuerdo con la proposición 20.2, de la entrada 20, y considerando a las funciones reales seno y coseno hiperbólicos tenemos que: \begin{align*} \operatorname{cos}(1+i) & = \frac{e^{i(1+i)} + e^{-i(1+i)}}{2}\\ & = \frac{e^{i+i^2} + e^{-i-i^2}}{2}\\ & = \frac{e^{i-1} + e^{1-i}}{2}\\ & = \frac{e^{i}e^{-1} + e^{1}e^{-i}}{2}\\ & = \frac{e^{-1}\left[\operatorname{cos}(1) + i \operatorname{sen}(1)\right] + e\left[\operatorname{cos}(-1) + i \operatorname{sen}(-1)\right]}{2}\\ & = \frac{\operatorname{cos}(1)\left[e^1 + e^{-1} \right]}{2} – i \left( \frac{\operatorname{sen}(1) \left[e^1 – e^{-1}\right]}{2}\right)\\ & = \operatorname{cos}(1)\operatorname{cosh}(1) – i \operatorname{sen}(1)\operatorname{senh}(1). \end{align*} c) De acuerdo con la proposición 22.2(1) sabemos que para $z \neq \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi$, con $k\in\mathbb{Z}$, se cumple que $\operatorname{tan}(-z) = – \operatorname{tan}(z)$, es decir que $\tan(z)$ es una función impar, por lo que considerando la definición de la función tangente compleja, la proposición 20.1, de la entrada 20, y la observación 22.1 tenemos que: \begin{align*} \operatorname{tan}(2i-\pi) = – \operatorname{tan}(\pi – 2i) &= -(-i)\left( \frac{e^{i\pi -2i^2} – e^{-i\pi + 2i^2}}{e^{i\pi -2i^2} + e^{-i\pi + 2i^2}}\right)\\ &= i\left( \frac{e^{i\pi}e^{2} – e^{-i\pi} e^{-2}}{e^{i\pi}e^{2} – e^{-i\pi} e^{-2}}\right)\\ &= i\left( \frac{e^{2}\left(-1\right) – e^{-2}\left(-1\right)}{e^{2}\left(-1\right) + e^{-2}\left(-1\right)}\right)\\ &= i\left( \frac{e^{2} – e^{-2}}{e^{2} + e^{-2}}\right)\\ & = i \tanh{(2)}. \end{align*}

Proposición 22.3. (Derivadas de las funciones trigonométricas.)
Sea $z\in\mathbb{C}$. Considerando el dominio de definición de cada una de las funciones trigonométricas complejas, tenemos que:

1. $\operatorname{sen}(z)$ y $\operatorname{cos}(z)$ son funciones enteras y sus derivadas son, respectivamente: \begin{equation*} \frac{d}{dz} \operatorname{sen}(z) = \operatorname{cos}(z), \quad \frac{d}{dz} \operatorname{cos}(z) = -\operatorname{sen}(z). \end{equation*}
2. Para $z \neq \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$, las funciones $\operatorname{tan}(z)$ y $\operatorname{sec}(z)$ son analíticas y se tiene que: \begin{equation*} \frac{d}{dz} \operatorname{tan}(z) = \operatorname{sec}^2(z), \quad \frac{d}{dz} \operatorname{sec}(z) = \operatorname{sec}(z)\operatorname{tan}(z). \end{equation*}
3. Para $z \neq k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$, las funciones $\operatorname{cot}(z)$ y $\operatorname{csc}(z)$ son analíticas y se tiene que: \begin{equation*} \frac{d}{dz} \operatorname{cot}(z) = – \operatorname{csc}^2(z), \quad \frac{d}{dz} \operatorname{csc}(z) = -\operatorname{csc}(z)\operatorname{cot}(z). \end{equation*}

Demostración.

1. De acuerdo con la definición 22.1, como las funciones $\operatorname{sen}(z)$ y $\operatorname{cos}(z)$ están definidas en términos de las funciones $e^{iz}$ y $e^{-iz}$, las cuales son funciones enteras, entonces ambas funciones trigonométricas son enteras. Más aún, utilizando la regla de la cadena para cada una de las funciones tenemos que: \begin{align*} \frac{d}{dz} \operatorname{sen}(z) & = \frac{d}{dz} \left( \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i} \right)\\ & = \frac{\frac{d}{dz} e^{iz} – \frac{d}{dz} e^{-iz}}{2i}\\ & = \frac{i e^{iz} + i e^{-iz}}{2i}\\ & = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\\ & = \cos{(z)}. \end{align*} \begin{align*} \frac{d}{dz} \operatorname{cos}(z) & = \frac{d}{dz} \left( \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \right)\\ & = \frac{\frac{d}{dz} e^{iz} + \frac{d}{dz} e^{-iz}}{2i}\\ & = \frac{ i e^{iz} – i e^{-iz}}{2}\\ & =i \left( \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2}\right)\\ & =- \left(\frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i}\right)\\ & = -\operatorname{sen}(z). \end{align*}
2. Se deja como ejercicio al lector.
3. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Ejemplo 22.5.
Veamos que al igual que en el caso real, para las funciones complejas seno y coseno se cumple que: \begin{equation*} \lim_{z\to 0} \frac{\operatorname{sen}(z)}{z} = 1, \quad \lim_{z\to 0} \frac{\operatorname{cos}(z) – 1}{z} = 0. \end{equation*}

Solución. De acuerdo con la proposición 22.3 sabemos que las funciones $f(z) = \operatorname{sen(z)}$ y $g(z) = \operatorname{cos(z)}$ son enteras. En particular notemos que: \begin{equation*} 1 = \operatorname{cos}(0) = f'(0) = \lim_{z \to 0}\frac{f(z) – f(0)}{z-0} = \lim_{z \to 0}\frac{\operatorname{sen}(z)}{z}, \end{equation*} \begin{equation*} 0 = -\operatorname{sen}(0) = g'(0) = \lim_{z \to 0}\frac{g(z) – g(0)}{z-0} = \lim_{z \to 0}\frac{\operatorname{cos}(z) – 1}{z}. \end{equation*}

Ejemplo 22.6.
Determinemos el dominio de analicidad $U$ de la función $f(z) = \tan\left(\dfrac{\pi z^2}{2}\right)$ y obtengamos $f'(z)$ para $z\in U$.

Solución. Notemos que podemos ver a $f$ como la composición de las funciones $g(z) = \tan(z)$ y $h(z) = \dfrac{\pi z^2}{2}$, es decir $f = g \circ h$.

Dado que $h$ es una función polinómica es claro que es una función entera, mientras que $g$ es analítica en: \begin{equation*} V = \mathbb{C} \setminus \left\{\left(k + \frac{1}{2}\right)\pi : k \in\mathbb{Z} \right\}. \end{equation*}

Entonces, el dominio de analicidad de $f$ es el conjunto abierto: \begin{equation*} U =\left\{z\in\mathbb{C} : \frac{\pi z^2}{2} \in V \right\}. \end{equation*}

Tenemos que para $z\in\mathbb{C}$ se cumple que: \begin{equation*} \frac{\pi z^2}{2} = \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi \quad \Longleftrightarrow \quad z^2 = 2k + 1 \quad \Longleftrightarrow \quad z^2 \, \, \text{es un entero impar}, \end{equation*} por lo que $z\in V$ siempre que $z^2$ no sea un entero impar, entonces: \begin{equation*} U =\mathbb{C} \setminus \left( \left\{\pm\sqrt{2k+1} : k \in \mathbb{N} \right\} \bigcup \left\{\pm i \sqrt{2k+1} : k \in \mathbb{N}\right\} \right). \end{equation*}

Sea $z\in U$, entonces por la regla de la cadena tenemos que \begin{equation*} f'(z) = g’\left(h(z)\right) h’\left(z\right) = \sec^2\left( \frac{\pi z^2}{2}\right) \pi z. \end{equation*}

Considerando la definición de las funciones hiperbólicas reales, observación 22.1, podemos también extender estas funciones a $\mathbb{C}$ mediante la función exponencial compleja como sigue:

Definición 22.3. (Funciones hiperbólicas complejas.)
Sea $z\in\mathbb{C}$. Definimos al seno hiperbólico complejo y al coseno hiperbólico complejo, respectivamente, como: \begin{equation*} \operatorname{senh}(z) := \frac{e^{z} – e^{-z}}{2}, \quad \operatorname{cosh}(z) := \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}. \end{equation*}

De manera natural definimos el resto de las funciones hiperbólicas complejas en términos de estas dos funciones. \begin{equation*} \operatorname{tanh}(z) := \frac{\operatorname{senh}(z)}{\operatorname{cosh}(z)}, \quad \operatorname{cosh}(z)\neq 0, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{coth}(z) := \frac{\operatorname{cosh}(z)}{\operatorname{senh}(z)}, \quad \operatorname{senh}(z)\neq 0, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{sech}(z) := \frac{1}{\operatorname{cosh}(z)}, \quad \operatorname{cosh}(z)\neq 0, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{csch}(z) := \frac{1}{\operatorname{senh}(z)}, \quad \operatorname{sen}(z)\neq 0. \end{equation*}

Observación 22.4.
En el ejercicio 4 de esta entrada se determinan los ceros de las funciones complejas seno y coseno hiperbólicas, es decir $\operatorname{senh}(z) = 0$ si y solo si $z = ik\pi$, para $ k\in\mathbb{Z}$. Mientras que $ \operatorname{cosh}(z) = 0$ si y solo si $ z = i\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi$, con $k\in\mathbb{Z}$. Por tanto, el dominio natural y el dominio de analicidad de las funciones hiperbólicas, definidas como funciones racionales en términos de las funciones seno y coseno hiperbólicos, dependerán de los ceros de dichas funciones.

Es interesante notar que las funciones complejas trigonométricas e hiperbólicas están relacionadas mediante las siguientes identidades.

Proposición 22.4.
Sea $z = x+iy \in\mathbb{C}$, entonces, considerando el dominio de definición de cada una de las funciones trigonométricas e hiperbólicas, se cumple que:

1. $\operatorname{senh}(iz) = i \operatorname{sen}(z)$ y $\operatorname{sen}(iz) = i\operatorname{senh}(z)$.
2. $\operatorname{cosh}(iz) = \operatorname{cos}(z)$ y $\operatorname{cos}(iz) = \operatorname{cosh}(z)$.
3. $\operatorname{tanh}(iz) = i \operatorname{tan}(z)$ y $\operatorname{tan}(iz) = i\operatorname{tanh}(z)$.
4. $\operatorname{coth}(iz) = -i\operatorname{cot}(z)$ y $\operatorname{cot}(iz) = – i \operatorname{coth}(z)$.
5. $\operatorname{senh}(z) = \operatorname{senh}(x) \operatorname{cos}(y) + i\operatorname{cosh}(x)\operatorname{sen}(y)$.
6. $\operatorname{cosh}(z) = \operatorname{cosh}(x) \operatorname{cos}(y) + i\operatorname{senh}(x)\operatorname{sen}(y)$.

Demostración. Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$, tenemos que:

1. De acuerdo con la definición 22.3 tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{senh}{(iz)} = \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2} = i\left(\frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i}\right) = i \operatorname{sen}{(z)}, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{sen}{(iz)} = \frac{e^{i^2z} – e^{-i^2z}}{2i} = -(-i)\left(\frac{e^{z} – e^{-z}}{2}\right) = i\operatorname{senh}{(z)}. \end{equation*}
2. De acuerdo con la definición 22.3 tenemos que: \begin{equation*} \cosh{(iz)} = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = \cos{(z)}, \end{equation*} \begin{equation*} \cos{(iz)} = \frac{e^{i^2z} + e^{-i^2z}}{2} = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} = \cosh{(z)}. \end{equation*}
3. Se deja como ejercicio al lector.
4. Se deja como ejercicio al lector.
5. De acuerdo con la definición 22.3 y la proposición 20.2 tenemos que: \begin{align*} \operatorname{senh}(z) = \operatorname{senh}{(x+iy)} & = \frac{e^{x+iy} – e^{-x-iy}}{2}\\ & = \frac{e^{x}e^{iy} – e^{-x}e^{-iy}}{2}\\ & = \frac{e^{x}\left[\cos{(y)} + i\operatorname{sen}{(y)}\right] – e^{-x}\left[\cos{(-y)} + i\operatorname{sen}{(-y)}\right]}{2}\\ & = \frac{e^{x}\left[\cos{(y)} + i\operatorname{sen}{(y)}\right] – e^{-x}\left[\cos{(y)} – i\operatorname{sen}{(y)}\right]}{2}\\ & = \frac{\cos{(y)}\left[ e^{x} – e^{-x}\right] + i\operatorname{sen}{(y)}\left[e^{x}+e^{-x}\right]}{2}\\ & = \cos{(y)} \left( \frac{e^{x} – e^{-x}}{2}\right) + i \operatorname{sen}{(y)} \left( \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\right)\\ & =\operatorname{senh}(x) \operatorname{cos}(y) + i\operatorname{cosh}(x)\operatorname{sen}(y). \end{align*}
6. Se deja como ejercicio al lector.

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Al igual que con las funciones trigonométricas complejas, para las funciones hiperbólicas complejas es posible deducir algunas identidades que resultan útiles al resolver algún problema. Podemos mencionar algunas en la siguiente:

Proposición 22.5. (Identidades funciones hiperbólicas.)
Sean $z, z_1, z_2\in\mathbb{C}$. Considerando el dominio de definición de cada una de las funciones trigonométricas, se cumple que:

1. $\operatorname{senh}{(-z)} = -\operatorname{senh}{(z)}$.
2. $\cosh{(-z)} = \cosh{(z)}$.
3. $\tanh{(-z)} = -\tanh{(z)}$.
4. Las funciones seno y coseno hiperbólicas son $2\pi i$-periódicas, mientras que la función tangente hiperbólica es $\pi i$-periódica.
5. $\operatorname{senh}(z_1 \pm z_2) = \operatorname{senh}(z_1) \operatorname{cosh}(z_2) \pm \operatorname{senh}(z_2) \operatorname{cosh}(z_1)$.
6. $\operatorname{cosh}(z_1 \pm z_2) = \operatorname{cosh}(z_1) \operatorname{cosh}(z_2) \pm \operatorname{senh}(z_1) \operatorname{senh}(z_2)$.
7. $\tanh{(z_1 \pm z_2)} = \dfrac{\tanh(z_1)\pm \tanh(z_2)}{1\pm \tanh(z_1)\tanh(z_2)}$.
8. $\operatorname{cosh}^2(z) – \operatorname{senh}^2(z) = 1$.
9. $1-\operatorname{tanh}^2(z)= \operatorname{sech}^2(z)$.
10. $\operatorname{coth}^2(z) – 1= \operatorname{csch}^2(z)$.

Demostración. Sean $z, z_1, z_2\in\mathbb{C}$, entonces:

1. Por la definición 22.3 tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{senh}(-z) = \frac{e^{-z} – e^{-(-z)}}{2} = -\left(\frac{e^{z} – e^{-z}}{2}\right) = -\operatorname{senh}{(z)}. \end{equation*}
2. Por la definición 22.3 tenemos que: \begin{equation*} \cosh{(-z)} = \frac{e^{-z} + e^{-(-z)}}{2} = \frac{e^{-z} + e^{z}}{2} = \cosh{(z)}. \end{equation*}
3. Se deja como ejercicio al lector.
4. Considerando la definición 22.3 y la proposición 20.2, de la entrada 20, tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{senh}{(z+2\pi i)} = \frac{e^{z+2\pi i} – e^{-(z+2\pi i)}}{2} = \frac{e^{z}e^{2\pi i} – e^{-z}e^{-2\pi i}}{2} = \frac{e^{z} – e^{-z}}{2} = \operatorname{senh}{(z)}, \end{equation*} \begin{equation*} \cosh{(z+2\pi i)} = \frac{e^{z+2\pi i} + e^{-(z+2\pi i)}}{2} = \frac{e^{z}e^{2\pi i} + e^{-z}e^{-2\pi i}}{2} = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} = \cosh{(z)}. \end{equation*} Si $z \neq i\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi$, con $k\in\mathbb{Z}$, entonces: \begin{equation*} \tanh{(z+\pi i)} = \frac{\operatorname{senh}{(z+ \pi i)}}{\cosh{(z+\pi i)}} = \frac{e^z e^{\pi i} – e^{-z} e^{-\pi i}}{e^{z} e^{\pi i} + e^{-z} e^{-\pi i}} = \frac{e^z – e^{-z}}{e^{z} + e^{-z}} = \tanh{(z)}. \end{equation*}
5. Se deja como ejercicio al lector.
6. De acuerdo con la proposición 22.4 y la proposición 22.1(3), tenemos que: \begin{align*} \cosh{(z_1\pm z_2)} & = \cos{(iz_1 \pm i z_2)}\\ & = \operatorname{cos}(iz_1) \operatorname{cos}(iz_2) \mp \operatorname{sen}(iz_1) \operatorname{sen}(iz_2)\\ & = \operatorname{cos}(iz_1) \operatorname{cos}(iz_2) \pm \left[-i\operatorname{sen}(iz_1)\right] \left[-i\operatorname{sen}(iz_2)\right]\\ & = \operatorname{cosh}(z_1) \operatorname{cosh}(z_2) \pm \operatorname{senh}(z_1) \operatorname{senh}(z_2). \end{align*}
7. Se deja como ejercicio al lector.
8. De acuerdo con la definición 22.3 tenemos que: \begin{align*} \operatorname{cosh}^2(z) – \operatorname{senh}^2(z) & = \left( \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} \right)^2 – \left( \frac{e^{z} – e^{-z}}{2} \right)^2\\ & = \frac{e^{2z} + 2e^{z}e^{-z} + e^{-2z} – e^{2z} + 2 e^{z} e^{-z} – e^{-2z}}{4}\\ & = \frac{4e^{z-z}}{4}\\ & = \frac{4}{4}\\ & = 1. \end{align*}
9. Se deja como ejercicio al lector.
10. Se deja como ejercicio al lector.

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Observación 22.5.
Recordemos que las funciones reales seno y coseno cumplen que: \begin{equation*} |\,\operatorname{sen}(x)\,| \leq 1, \quad |\,\cos(x)\,| \leq 1, \quad \forall x\in\mathbb{R}, \end{equation*} es decir son funciones acotadas.

Es interesante notar que en el caso complejo las funciones seno y coseno no son acotadas. De acuerdo con la proposición 22.1 y la proposición 22.5 tenemos que: \begin{align*} |\,\operatorname{sen}(z)\,| & = \sqrt{\operatorname{sen}^2(x) \cosh^2(y) + \cos^2(x) \operatorname{senh}^2(y)}\\ & = \sqrt{\operatorname{sen}^2(x) \left[1 + \operatorname{senh}^2(y)\right] + \cos^2(x) \operatorname{senh}^2(y)}\\ & = \sqrt{\operatorname{sen}^2(x) + \left[\cos^2(x) + \operatorname{sen}^2(x)\right] \operatorname{senh}^2(y)}\\ & = \sqrt{\operatorname{sen}^2(x) + \operatorname{senh}^2(y)}. \end{align*}

Análogamente tenemos que: \begin{equation*} |\,\cos(z)\,| = \sqrt{\cos^2(x) + \operatorname{senh}^2(y)}. \end{equation*}

Como la función real seno hiperbólico no es acotada, se tiene que si $y \to \infty$, entonces $\operatorname{senh}(y) \to \infty$, por lo que no existe constante real $M>0$ tal que $|\,\operatorname{sen}(z)\,| < M$ ó $|\,\cos(z)\,| < M$ para todo $z\in\mathbb{C}$.

Ejemplo 22.7.
Muestra que para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$ se cumple que: \begin{equation*} |\,\operatorname{senh}(y)\,| \leq |\,\operatorname{sen}(z)\,| \leq \cosh(y),\quad |\,\operatorname{senh}(y)\,| \leq |\,\cos(z)\,| \leq \cosh(y). \end{equation*}

Solución. Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$. Por la observación anterior tenemos que: \begin{equation*} |\,\operatorname{sen}(z)\,|^2 = \operatorname{sen}^2(x) + \operatorname{senh}^2(y), \quad |\,\cos(z)\,|^2 = \cos^2(x) + \operatorname{senh}^2(y), \end{equation*} de donde: \begin{equation*} \operatorname{senh}^2(y) = |\,\operatorname{sen}(z)\,|^2 – \operatorname{sen}^2(x) \leq |\,\operatorname{sen}(z)\,|^2. \end{equation*}

Por otra parte, de la proposición 22.4 se sigue que: \begin{align*} |\,\operatorname{sen}(z)\,|^2 & = \operatorname{sen}^2(x) + \operatorname{senh}^2(y)\\ & = \operatorname{sen}^2(x) + \left(\cosh^2(y) -1\right)\\ & = \cosh^2(y) – \left(1 – \operatorname{sen}^2(x)\right)\\ & = \cosh^2(y) – \cos^2(x)\\ & \leq \cosh^2(y). \end{align*}

Considerando lo anterior es claro que: \begin{equation*} \operatorname{senh}^2(y) \leq |\,\operatorname{sen}(z)\,|^2 \leq \cosh^2(y). \end{equation*}

Dado que para todo $x\in\mathbb{R}$ se cumple que $\cosh(x)>0$, entonces tomando raíz cuadrada en la desigualdad anterior tenemos que: \begin{equation*} |\,\operatorname{sen}(y)\,| \leq |\,\operatorname{sen}(z)\,| \leq \cosh(y). \end{equation*}

De manera análoga, como: \begin{equation*} \operatorname{senh}^2(y) = |\,\cos(z)\,|^2 – \cos^2(x) \leq |\,\cos(z)\,|^2 \end{equation*} y \begin{align*} |\,\cos(z)\,|^2 & = \cos^2(x) + \operatorname{senh}^2(y)\\ & = \cos^2(x) + \left(\cosh^2(y) -1\right)\\ & = \cosh^2(y) – \left(1 – \cos^2(x)\right)\\ & = \cosh^2(y) – \operatorname{sen}^2(x)\\ & \leq \cosh^2(y), \end{align*} entonces: \begin{equation*} \operatorname{senh}^2(y) \leq |\,\operatorname{sen}(z)\,|^2 \leq \cosh^2(y), \end{equation*} de donde se sigue el resultado al tomar raíz cuadrada en la desigualdad anterior.

Ejemplo 22.8.
Determina todas las soluciones de la ecuación $\cosh(z) = -2$.

Solución. Podemos resolver este problema mediante un planteamiento similar al del ejemplo 22.2, sin embargo, a fin de mostrar otra alternativa procedemos mediante la definición de la función coseno hiperbólico.

Sea $z\in\mathbb{C}$, entonces: \begin{align*} \cosh{(z)} = -2 \quad & \Longleftrightarrow \quad \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} = -2,\\ & \Longleftrightarrow \quad e^{z} + e^{-z} = -4,\\ & \Longleftrightarrow \quad e^{z}e^{z} + e^{-z}e^{z} +4e^{z} = 0,\\ & \Longleftrightarrow \quad \left(e^{z}\right)^2 +4e^{z} + 1 = 0. \end{align*}

Resolvemos la ecuación cuadrática para $e^{z}$, entonces: \begin{equation*} e^z = \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-4\pm\sqrt{3}}{2} = -2\pm\sqrt{3}. \end{equation*}

Para determinar los valores de $z$ que satisfacen esta última igualdad utilizaremos el logaritmo complejo. Dado que las raíces obtenidas son ambas reales y negativas, tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}\left(-2\pm\sqrt{3}\right) = \pi, \end{equation*} entonces: \begin{equation*} \arg\left(-2\pm\sqrt{3}\right) = \pi + 2\pi n = \pi(2n + 1), \quad n\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Consideremos a la primera raíz, es decir $e^z = -2+\sqrt{3}$, entonces: \begin{equation*} z = \log(-2+\sqrt{3}) = \ln\left(\left|-2+\sqrt{3}\right|\right) + i \arg\left(-2+\sqrt{3}\right). \end{equation*}

Notemos que: \begin{equation*} \ln{\left(\left| – 2 + \sqrt{3} \right| \right)} = \ln{\left(\left|\frac{\left[- 2 + \sqrt{3} \, \right] \left[2 + \sqrt{3} \, \right]}{2 + \sqrt{3}}\right|\right)} = \ln{\left(\left|\frac{1}{2 + \sqrt{3}}\right|\right)} = – \ln{\left(\left|2 + \sqrt{3}\right|\right)} = – \ln{\left(2 + \sqrt{3}\right)}, \end{equation*} por lo que: \begin{equation*} z = \log(-2+\sqrt{3}) = – \ln{\left(2 + \sqrt{3}\right)} + i\pi(2n + 1), \quad n\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Consideremos ahora a la segunda raíz, es decir $e^z = -2-\sqrt{3}$, entonces: \begin{equation*} z = \log(-2-\sqrt{3}) = \ln\left(\left|-2-\sqrt{3}\right|\right) + i \arg\left(-2-\sqrt{3}\right). \end{equation*}

Pero tenemos que:
\begin{equation*} \ln{\left(\left| – 2 – \sqrt{3} \right| \right)} = \ln{\left(\left| 2 + \sqrt{3} \right| \right)} = \ln{\left(2 + \sqrt{3}\right)}, \end{equation*} de donde: \begin{equation*} z = \log(-2-\sqrt{3}) =\ln{\left(2 + \sqrt{3}\right)} + i\pi(2n + 1), \quad n\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación $\cosh(z) = -2$ son: \begin{equation*} z = \pm \ln{\left(2 + \sqrt{3}\right)} + i\pi(2n + 1), \quad n\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Proposición 22.4. (Derivadas de las funciones hiperbólicas.)
Considerando el dominio de definición de cada una de las funciones hiperbólicas complejas, tenemos que:

1. $\operatorname{senh}(z)$ y $\operatorname{cosh}(z)$ son funciones enteras y sus derivadas son, respectivamente: \begin{equation*} \frac{d}{dz} \operatorname{senh}(z) = \operatorname{cosh}(z), \quad \frac{d}{dz} \operatorname{cosh}(z) = \operatorname{senh}(z). \end{equation*}
2. Para $z \neq i\left(k + \frac{1}{2}\right)\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$, las funciones $\operatorname{tanh}(z)$ y $\operatorname{sech}(z)$ son analíticas y se tiene que: \begin{equation*} \frac{d}{dz} \operatorname{tanh}(z) = \operatorname{sec}^2(z), \quad \frac{d}{dz} \operatorname{sech}(z) = \operatorname{sec}(z)\operatorname{tan}(z). \end{equation*}
3. Para $z \neq i k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$, las funciones $\operatorname{coth}(z)$ y $\operatorname{csch}(z)$ son analíticas y se tiene que: \begin{equation*} \frac{d}{dz} \operatorname{coth}(z) = – \operatorname{csch}^2(z), \quad \frac{d}{dz} \operatorname{csch}(z) = -\operatorname{csch}(z)\operatorname{coth}(z). \end{equation*}

Demostración.

1. Como las funciones $\operatorname{senh}(z)$ y $\operatorname{cosh}(z)$ están definidas en términos de la función exponencial compleja, la cual es una función entera, entonces es claro que ambas funciones son enteras. Considerando la regla de la cadena para cada una de las funciones tenemos que: \begin{align*} \frac{d}{dz} \operatorname{senh}(z) & = \frac{d}{dz} \left( \frac{e^{z} – e^{-z}}{2} \right)\\ & = \frac{\frac{d}{dz} e^{z} – \frac{d}{dz} e^{-z}}{2}\\ & = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}\\ & = \cosh{(z)}. \end{align*} \begin{align*} \frac{d}{dz} \operatorname{cosh}(z) & = \frac{d}{dz} \left( \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} \right)\\ & = \frac{\frac{d}{dz} e^{z} + \frac{d}{dz} e^{-z}}{2}\\ & = \frac{e^{z} – e^{-z}}{2}\\ & = \operatorname{senh}(z). \end{align*}
2. Se deja como ejercicio al lector.
3. Se deja como ejercicio al lector.

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Ejemplo 22.9.
Analicemos la analicidad de la función $f(z) = \cosh\left(iz+e^{iz}\right)$ y obtengamos $f'(z)$.

Solución. Notemos que si consideramos a $g(z) = \cosh(z)$ y $h(z) = iz+e^{iz}$, entonces $f = g\circ h$.

Es claro que $h$ y $g$ son ambas funciones enteras, por lo que $f$ es también una función entera. Más aún, para $z\in\mathbb{C}$, por la regla de la cadena tenemos que: \begin{equation*} f'(z) = g'(h(z))h'(z) = \operatorname{senh}(iz+e^{iz}) \left(i + ie^{iz}\right). \end{equation*}

Tarea moral

1. Completa las demostraciones de la proposiciones de esta entrada.
2. Determina el valor de cada una de las siguientes funciones trigonométricas e hiperbólicas en su forma $a+ib$.
   a) $\operatorname{tan}(2i)$.
   b) $\operatorname{sec}\left(\frac{\pi}{2}-i\right)$.
   c) $\operatorname{csc}(1+i)$.
   d) $\operatorname{cosh}\left(1+\frac{\pi}{6}i\right)$.
   e) $\operatorname{senh}\left(\frac{\pi}{2}i\right)$.
   f) $\operatorname{tanh}\left(2+3i\right)$.
3. Muestra que para todo $z\in\mathbb{C}$ se cumple que: \begin{equation*} \operatorname{cos}\left(\overline{z}\right) = \overline{\operatorname{cos}(z)}, \quad \operatorname{sen}\left(\overline{z}\right) = \overline{\operatorname{sen}(z)}. \end{equation*}
4. Sea $z \in \mathbb{C}$, muestra que: \begin{align*} \operatorname{senh}(z) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad z = ik\pi, \quad k\in\mathbb{Z},\\ \operatorname{cosh}(z) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad z = i\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{align*} Hint: Utiliza la proposición 22.3.
5. Para cada inciso prueba lo que se te pide.
   a) Para $z\in\mathbb{C}$, con $z\neq 1$, y para $n\in\mathbb{N}$, muestra que: \begin{equation*} 1 + z + z^2 + \cdots + z^n = \frac{1 – z^{n+1}}{1-z}. \end{equation*} b) Considera a $z=e^{i\theta}$, para $\theta \in\mathbb{R}$ tal que $\theta \neq 2\pi k$, con $k\in\mathbb{Z}$ y muestra que: \begin{equation*} 1 + e^{i\theta} + e^{i2\theta} + \cdots + e^{i n\theta} = \frac{i}{2} \frac{\left(1 – e^{i(n+1)\theta}\right)e^{-i \frac{\theta}{2}}}{\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)}. \end{equation*} Hint: Sustituye en (a) $z=e^{i\theta}$, después multiplica y divide por $e^{-i\frac{\theta}{2}}$ y utiliza (22.4).
   c) Toma la parte real e imaginaria de la identidad obtenida en (b) y concluye que: \begin{equation*} \frac{1}{2} + \operatorname{cos}(\theta) + \operatorname{cos}(2\theta) + \cdots + \operatorname{cos}(n \theta) = \frac{\operatorname{sen}\left(\left[n+\frac{1}{2}\right]\theta\right)}{2\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)}, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{sen}(\theta) + \operatorname{sen}(2\theta) + \cdots + \operatorname{sen}(n \theta) = \frac{\operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right) – \operatorname{cos}\left(\left[n+\frac{1}{2}\right]\theta\right)}{2\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)}. \end{equation*} La suma $D_n(\theta) = 1 + 2\operatorname{cos}(\theta) + 2\operatorname{cos}(2\theta) + \cdots + 2\operatorname{cos}(n \theta)$ es llamada el núcleo de Dirichlet y juega un papel importante en la teoría de las series de Fourier.
6. Obtén la parte real e imaginaria de las siguientes funciones:
   a) $f(z) = \operatorname{sen}(2z)$.
   b) $f(z) = z\operatorname{cos}(z)$.
   c) $f(z) = \operatorname{cos}(z^2)$.
   d) $f(z) = \operatorname{tan}(z)$.
7. Determina el dominio de analicidad de las siguientes funciones y obtén su derivada.
   a) $f(z) = z \tan\left(\frac{1}{z}\right)$.
   b) $f(z) = \cos \left(i e^z\right)$.
   c) $f(z) = \sec \left(z^2\right)$.
   d) $f(z) = \operatorname{sen}(z) \operatorname{senh}{(z)} $.
   e) $f(z) = \tanh{ \left(iz-2\right)}$.
8. Resuelve las siguientes ecuaciones.
   a) $\cos{(z)} = i \operatorname{sen}{(z)}$.
   b) $\cosh{(z)} = i$.
   c) $\cos{(z)} = 4$.
   d) $ \operatorname{senh}{(z)} = -1$.
9. ¿Dónde son diferenciables las siguientes funciones? ¿Son analíticas?
   a) $f(z) = \operatorname{sen} \left(|\,z\,|^2\right)$.
   b) $f(z) = \dfrac{e^z}{\operatorname{cos}(z)}$.
10. Prueba que la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} 1 & \text{si} & z = 0, \\ \\ z^{-1} \operatorname{sen}(z) & \text{si} & z\neq 0, \end{array} \right. \end{equation*} es una función continua en $\mathbb{C}$.

Más adelante…

En esta entrada hemos extendido a $\mathbb{C}$ las funciones trigonométricas e hiperbólicas reales a través de la función exponencial compleja. Es interesante notar que a diferencia del caso real, para el caso complejo es posible definir a las funciones elementales a través de las funciones complejas exponencial y logaritmo, mediante las cuales es claro que muchas de las propiedades como continuidad, diferenciabilidad y analicidad, entre otras, se heredan de manera natural a las funciones elementales.

Vimos que muchas de las propiedades con las que estamos familiarizados para el caso real, se cumplen también para el caso complejo. Sin embargo, a diferencia del caso real, las funciones trigonométricas complejas no son acotadas, mientras que las funciones hiperbólicas complejas son periódicas y tienen una infinidad de ceros.

La siguiente entrada analizaremos a las funciones inversas de las funciones complejas trigonométricas e hiperbólicas vistas en esta sección, recordando nuevamente el concepto de función multivaluada.

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• Entrada anterior del curso: Logaritmo complejo y potencias complejas.
• Siguiente entrada del curso: Funciones inversas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas.