(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

No nos rompamos tanto la cabeza, desde que estamos en educación preescolar hemos estado trabajando con ellos, colocamos objetos con alguna característica común o no y consideramos esa colección como una unidad.

De forma que podemos dar una definición de lo que es un conjunto:

Definición:

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un todo, y los objetos que pertenecen a un conjunto son sus elementos.

Los objetos de estudio de la teoría de conjuntos quedan intuitivamente descritos con las siguientes ideas:

1. Si $X$ no tiene elementos se considera un objeto y se llama un elemento atómico. Por ejemplo piensa en los números, son elementos atómicos.
2. Si $X$ es un conjunto, entonces $X$ es un objeto.

La pertenencia es una relación binaria que se aplica entre los objetos de la teoría de conjuntos.

Notación:

$x\in A$ indica que $x$ es un elemento del conjunto $A$, mientras que la negación $x\notin A$ indica que $x$ no es un elemento de $A$ .

Ejemplo:

Dados dos objetos $a$ y $b$ formamos el conjunto que tiene a éstos como elementos y lo denotamos como $\set{a,b}$.

Formamos ahora un conjunto que tiene como elementos al conjunto $\set{a,b}$ y al objeto $c$, denotado por $\set{\set{a,b},c}$.

Observa que:

• $a\in \set{a,b}$
• $b\in \set{a,b}$
• $\set{a,b}\in \set{\set{a,b},c}$
• Si $a\neq c$ entonces $a\notin \set{\set{a,b},c}$.

Detente un momento, observa las siguientes afirmaciones y determina si son verdaderas o falsas:

Considera el siguiente conjunto $\set{\,\set{2,3},4,\set{\,33,1,\set{\,3,\set{33}\,}\,}\,}$

• $2\in A$
• $4\in A$
• $\set{2,3}\in A$
• $\set{3}\in A$
• $\set{4}\in A$
• $\set{3,\set{3}}\in A$

Ten en cuenta lo siguiente:

1. Un objeto puede ser conjunto y elemento a la vez.
2. Un conjunto puede tener como elementos a conjuntos.

Los conjuntos se pueden describir a partir de propiedades que caracterizan a sus elementos.

Ejemplos:

1. $\set{\,x \mid x=1 \,\,o\,\, x=2}=\set{1,2}$.
2. $\set{\,x \mid x \, \text{es un número tal que $x^2=1$}}=\set{1,-1}$.
3. $\set{\,x \mid x\neq x}$ es un conjunto sin elementos, se llama el conjunto vacío y se denota por $\emptyset$, $\emptyset=\set{}$.
4. $A=\set{2,-7,\frac{1}{4},5,\pi}$.

En general, si una propiedad $P$ describe a los elementos del conjunto $A$ escribimos:

$A=\set{x \mid x\, \text{cumple $P$}}$

¿Toda propiedad $P$ describe a los elementos de un conjunto?

La colección denotada por:

$\set{\,x \mid \,x=x}$

es la colección de todos los objetos de la teoría de conjuntos, que cuando es considerada como un conjunto lleva a afirmaciones que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, es decir a paradojas, por eso no será considerada un conjunto, date un tiempo para ver más detalladamente este tema en el video que aparece en la tarea moral en la parte inferior de esta nota.

Definición

Una colección o clase son todos los objetos que cumplen cierta propiedad.

Nota que todo conjunto es una clase, pero no toda clase será considerada un conjunto.

Debemos establecer reglas llamadas axiomas que nos permitan saber cuándo una colección será considerada un conjunto. Veremos un par de ellos.

Axioma del conjunto vacío

Podemos construir un conjunto que no tenga elementos, se llamará el conjunto vacío, se denotara por $\emptyset$

Axioma del par

Dados dos objetos $C$ y $D$ podemos construir un conjunto que tiene por elementos exactamente a $C$ y $D$, $\set{C,D}$, si $C=D$ entonces $\set{C,D}$ = $\set{C}$.

En general si $C_1,…,C_n$ son objetos, podemos construir el conjunto $\set{ C_1,…,C_n }$ .

Lo que nos interesará de los conjuntos son sus elementos, no el orden en que aparecen , ni si se escribe un mismo elemento varias veces.

Tarea Moral

Resuelve los ejercicios mencionados en las notas y ve el siguiente video:

Más adelante

En la siguiente nota veremos más objetos de la teoría de conjuntos que se obtienen de considerar colecciones formadas al elegir algunos elementos de un conjunto dado, además será la primera entrada donde haremos afirmaciones y las probaremos.

Entradas relacionadas

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Nota siguiente del curso: Nota 2. Subconjuntos.

Nota. Las imágenes mostradas para ilustrar los conjuntos no fueron de diseño propio, y se da las gracias a: https://www.spanish.cl/ por sus divertidos dibujos. Se deja el link de donde se obtuvieron: https://www.spanish.cl/vocabulario/animales-de-la-granja.htm.