En este material, se ha estado abordando los modelos de interés compuesto, su evolución con las anualidades, las tasas de interés, sus tipos, y combinación de cada una de ellas dependiendo de la forma en que se realicen los pagos, y dependiendo también del tipo de tasa de interés con la que se decida trabajar.
Concepto y descripción
En este apartado, se desarrollará el tipo de amortización con pajos fijos, así como tasas de interés fijas. Las manejaremos con el nombre de amortización de créditos con pagos fijos al capital, y en este rubro encajan las tablas de amortización con anualidades ordinarias vencidas.
Su desarrollo justo, tiene que ver con las herramientas vistas en el tema que lleva el mismo nombre, la cual, suele representar la forma más utilizada para hacer el pago de una deuda, por lo que resulta necesario hacer algunos recordatorios:
La forma general de la ecuación de valor que se va a estar utilizando será:
$$S=X\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i$$
donde para estos fines, $S$ representa el monto de la deuda y que equivale al saldo insoluto al inicio de la operación, mientras que la variable $X$, representa la cantidad que será pagada en cada periodo.
Las filas y columnas serán calculadas de forma análoga al tema anterior.
Para el primer periodo, el saldo insoluto será calculado con la siguiente expresión:
$$\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i=\frac{1-v^n}{i}$$
luego los intereses contenidos en el pago se van a multiplicar por la tasa de interés, esto es:
$$\frac{1-v^n}{i}(i)=1-v^n$$
ahora el capital contenido en el pago se calcula al restar la celda con el nombre de intereses contenidos en el pago, y esto se traduce en:
$$1-(1-v^n)=1-1+v^n=v^n.$$
Por último, la celda con el nombre de saldo insoluto al final del periodo se obtiene al efectuar la resta del saldo al principio del periodo, el capital contenido en el pago, lo cual es:
$$\left(\frac{1-v^n}{i}\right)-v^n.$$
De la expresión que se acaba de obtener, nos fijamos en el factor común, para tener la siguiente ecuación:
$$\frac{1-v^n-iv^n}{i}$$
luego factorizamos a $v^{n-1}$, y la ecuación se transforma en:
$$\frac{1-v^{n-1}(v+iv)}{i}.$$
Recordando que $v=\frac{1}{1+i}$, la expresión que se obtiene es:
la cantidad que se tiene expresada entre paréntesis es igual a uno, entonces la ecuación queda:
$$\frac{1-v^{n-1}}{i}.$$
Recordando que, $\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i=\frac{1-v^n}{i}$ y haciendo mención que todos los cálculos que hasta el momento se han estado realizando, son con un capital de un peso, además se está manejando una anualidad vencida de $n-1$ pagos, entonces se tiene:
Este resultado tiene sentido, toda vez que al final del primer periodo se hizo el primero de los $n$ pagos de la anualidad, lo cual implica que en ése momento aun faltan por realizar $n-1$ pagos, los cuales en valor presente en ése periodo son: $\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i$, expresión que representa la cantidad que se obtiene como saldo insoluto al final del periodo.
A continuación, se procederá a construir la tabla de amortización de una anualidad vencida ordinaria de $n$ pagos, con un capital de un peso.
Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 191.
Es importante hacer mención que, en la tabla que se acaba de presentar, la tasa de interés permanece constante, por dicha razón es que no aparece el subíndice $i$ en las expresiones de las $v^t$. Además, el renglón expresado con la letra, $t$ permite hacer el cálculo de cualquiera de las filas, sin tener que calcular toda la tabla, esto nos sirve cuando se da el caso de que el deudor, quiera conocer cuál es el saldo insoluto de su préstamo en cualquier momento, siempre y cuando esté comprendido en el periodo de la vigencia de la operación. Esto también sirve si se desea liquidar en ese momento la totalidad de la deuda o quiera hacer alguna reestructuración de la misma.
Ahora generalizando la tabla anterior, y sustituyendo el valor de un peso de capital, por la cantidad $X$, se tiene lo siguiente:
Para conocer el valor de $X$, que es la cantidad que determina el pago en la ecuación de valor, se utiliza la expresión:
$$S=X\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i$$
despejando a $X$ se tiene:
$$X=\frac{S}{\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i}$$
y la tabla queda modificada de la siguiente manera:
Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 192.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. El señor Juan desea adquirir una pantalla, para ello solicitó un préstamo por \$30 mil pesos, el cual desea pagar a 24 mensualidades, a una tasa de interés del 15% efectivo mensual, durante toda la duración del crédito. Si al cabo de un año desea liquidar la deuda, ¿Cuál es la cantidad que deberá pagar?
Solución
En primer lugar se procederá a obtener cuánto se deberá pagar cada mes, para ello se hará uso de la siguiente ecuación:
$$X=\frac{S}{\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i}$$
Sustituyendo los valores:
$$X=\frac{30,000}{\frac{1-v_i^n}{i}}$$
$$X=\frac{30,000}{6.4337}=4662.8948$$
El pago sería de $\$4,662.8948$.
Ahora como el señor Juan quiere liquidar su deuda, y se esta trabajando con una forma de pago de manera vencida, entonces el periodo en el que desea liquidar es el número 13.
El saldo insoluto al final del periodo 13 esta dado por la expresión:
$$X=\frac{S}{\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i}$$
sustituyendo los valores n=24, t=12:
La diferencia (n-t) queda: $24-12=12$, entonces el saldo insoluto al final del periodo es \$25,275.77
Ejercicio. Calcula la tabla de amortización del ejercicio anterior y corrobora el resultado.
Solución
Efectivamente, se cumple el saldo insoluto al final del periodo corresponde a la cantidad obtenida en el ejercicio anterior.
Más adelante…
Hay ocasiones en los que el mercado financiero, por alguna razón puede sugerir hacer cambios en ésta, dependiendo de muchos otros factores en los que se encuentre la economía, un ejemplo de esto es cuando se decide trabajar con una tasa de interés variable que dependa de alguna tasa de referencia, lo cual afecta directamente la forma en que se vaya a pagar.
Este concepto, se usa cuando las instituciones de crédito, como los bancos, otorgan préstamos y esta herramienta, facilita mucho la forma de cómo describir el comportamiento del pago de una deuda, a través del tiempo. En términos generales, es un tipo de registro que desglosa de manera detallada cada uno de los conceptos que conforman el pago, tales como interés, periodos, cantidad que se paga directo a la deuda, así como el saldo pendiente por liquidar. En este apartado se analizará la forma en que se construye una tabla de amortización, algunas de sus tipos, además; se podrán hacer uso de las anualidades.
Concepto y forma de construir una tabla de amortización
El significado de la palabra amortización, tiene su origen en el latín, la cual significa mort, muerte, y tiene su relación con las matemáticas financieras ya que es una forma de asociar el término de una deuda, misma que estará regida por los conceptos que se han venido trabajando casi en todos los temas, tales como una tasa de interés, un plazo, pagos cada cierto tiempo, etc.
A cualquier operación financiera, se le puede construir una tabla de amortización, ejemplos como el adquirir una casa, un departamento, un automóvil, a crédito, que tenga que ver con una deuda, siempre podremos obtener una forma de pago que deberá ser amortizada.
Recordando un poco lo que se ha estudiado, cuando los pagos que se van a destinar para saldar un préstamo, y se hace uso de alguna de las anualidades que se han visto, sea cual sea la anualidad, todos tienen una forma predeterminada de hacerlos.
Lo anterior, nos permite observar que cuando usamos anualidades, se determina la forma en que se van a hacer los pagos, y a partir de éstas, quedan programados cada cierto tiempo, es bajo este supuesto que en el concepto de tabla de amortización se puede visualizar las cantidades del pago que se destinan a el pago de la deuda, al pago de intereses, la cantidad de pagos que falta por realizar, así como el saldo que aún falta por liquidar.
Es importante hacer mención, que al igual que como se manejó en los diferentes tipos de anualidades, también en las tablas de amortización se puede dar la combinación entre éstas, esto se traduce, a que las cantidades que se destinen para el pago de interés, de capital, que son variables que igual aparecen en las anualidades, también se verán afectados, por lo que no podrán siempre ser las mismas, irán variando dependiendo de las cláusulas que se pacten entre las partes involucradas.
Sin embargo, también es posible que se fijen todas las variables, y en tal caso se podrá tener la cantidad que ascenderá cada uno de los pagos. En cambio, cuando las tasas sean variables, por ejemplo, sólo se podrá conocer cuando se conozca el valor de la tasa de interés. Esto ocurre, cuando en algunos créditos se escoge una tasa de interés (conocida como tasa de referencia, la cual tiene la característica de que se le agregan puntos porcentuales para determinarla), que, por su naturaleza, su valor puede estar cambiando todos los días, cada semana o cada mes.
A continuación, se muestran los diferentes tipos de tablas de amortización que se pueden obtener para hacer el pago de un préstamo:
Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, Pag. 184.
En la mayoría de los créditos, cuyos pagos se calculen a través de alguna anualidad, se les proporciona una tabla que contiene, cada uno de los periodos que dura el contrato, además indica la cantidad que se aporta en cada pago, el porcentaje que se destina a pago de intereses, la cantidad que se destina en cada pago para liquidar la deuda, la cantidad de pagos que conforman el crédito, y la cantidad que falta por pagar para poder liquidarlo en su totalidad.
Dicha tabla, recibe el nombre de tabla de amortización, muy útil, porque permite visualizar por cada periodo la forma en que se va pagando el crédito, incluso nos permite saber la cantidad exacta que se debe, cuando se decida pagar antes el crédito, porque nos muestra el saldo insoluto (cantidad que aún se debe hasta ése periodo).
Para realizar la primera tabla de amortización, se hará uso del siguiente ejemplo:
Un banco otorga un crédito a Julia por la cantidad de \$80,000 pesos, la cual se pretende pagar en 10 mensualidades vencidas, con una tasa de interés del 5% efectivo mensual.
En primer lugar, se procederá a obtener el monto de los pagos, haciendo uso de la siguiente ecuación:
En cada columna se describe la información que representa cada uno de los valores que se van a desglosar.
Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, Pag. 185
En la primer columna, se describe el número de cada periodo que en conjunto forman el plazo que se pacto, a través del cual se va a liquidar el crédito.
En la segunda columna, lleva por nombre saldo insoluto, que como se puede observar, la primera casilla, describe la cantidad que fue otorgada el crédito, que en el ejemplo que se está manejando corresponde a la cantidad de \$80 mil pesos, en otras palabras es el total de la deuda. Para la siguiente celda, aparece el saldo insoluto que corresponde al final del periodo anterior, el cual aparece en la columna 6, y se calcula como el saldo al principio del periodo de la columna 2 menos el capital contenido en el pago de la columna 5, esto es, $\$80,000-\$6,360.366=\$73,639.634$.
De forma análoga, se hace el cálculo de los demás renglones, el saldo insoluto es la cantidad que aparece al principio del periodo que es igual al saldo insoluto al final del periodo anterior. Esto ocurre porque el tiempo que pasa entre el fin de un periodo y el inicio de otro es cero.
En la tercera columna, corresponde al pago, que consiste en la cantidad que se va a estar aportando cada periodo, misma que contiene la cantidad que se destina a los intereses, como la cantidad que se destina a pagar la deuda, y es la que se obtuvo en la ecuación de valor y es igual a $\$10,360.366$. Cabe hacer mención que ésta no va a ser modificada, será la misma en las demás celdas.
Columna cuatro, se describe los intereses contenidos en el pago, cantidad que se obtiene de multiplicar el saldo insoluto al principio del período (columna 2), por la tasa de interés efectiva por período, que en éste ejemplo es la misma para toda la duración del crédito, lo cual implica que también es la misma para todos los periodos. Esto es: $(\$80,000)(0.05)=\$4,000$.
Las demás celdas serán calculadas de la misma forma:
(Saldo Insoluto al Principio del Periodo)(Tasa Interés Efectiva Mensual)=
=Intereses Contenidos en el Pago.
En la columna 5, Capital contenido en el pago, cantidad que se obtiene de restar el pago (columna 3) menos los intereses contenidos en el pago (columna 4), es decir;
$(\$10,360.366)-(\$4,000)=\$6360.366$
Esta es la cantidad, que en verdad se aporta en ésta mensualidad para liquidar la deuda.
Finalmente, en la columna 6, Saldo insoluto al final del periodo, corresponde a la cantidad que falta aún por pagar. Se obtiene de la siguiente operación
Saldo insoluto al principio del período (columna 2) menos el capital contenido en el pago (columna 5), lo que es igual al saldo insoluto al final del periodo, esto es:
$(\$80,000)-(\$6360.366)=\$73,639.634$
De forma análoga, se van a construir las demás filas, sin embargo, es necesario considerar que el saldo insoluto al final del periodo es el mismo que el saldo insoluto que aparecerá al principio del segundo.
Recapitulando, algunos puntos importantes de la tabla de amortización que se acaba de construir, destacan:
El saldo insoluto al principio del periodo, que corresponde a la columna 2, y el saldo f insoluto al final del periodo (columna 6), van a ir disminuyendo en cada fila, esto ocurre porque cada renglón se representa un periodo, en el que se realiza un pago, y por consiguiente se liquida una parte de la deuda. Ésta es la misma razón, por la que al final de la tabla, el saldo insoluto al final del periodo debe quedar en cero, pues en el último periodo es cuando se liquida por completa la deuda.
En el ejemplo que se manejó, se pactaron que las mensualidades fueran las mismas, de un pago de $\$10,360.366$ en cada una, sin embargo; no siempre van a ser así, ya que como se ha visto en el tema de las anualidades, hay ocasiones en las que, dependiendo del tipo de éstas, con que se elija trabajar para hacer el pago de algún crédito, van a estar determinados los pagos.
Los intereses contenidos en el pago, que corresponde a la columna 4, también van a estar disminuyendo, esto ocurre porque conforme se vaya avanzando en las mensualidades, se va a ir disminuyendo la cantidad que aún falte por pagar, y como los intereses son calculados justamente a partir de la cantidad que se deba (saldo insoluto), pues mientras menos se deba, menos intereses se irán pagando.
El pago de $\$10,360.366$, ya contiene la cantidad que se destina a liquidar los intereses, así como, la cantidad que se destina para liquidar la deuda adquirida, esto ocurre porque la forma en que se calcular la anualidad vencida $\prescript{}{10}{\mathbf{A}}_{0.05}$, trae a valor presente cada uno de los pagos, haciendo uso de la expresión: $v_i^1+v_i^2+v_i^3+…+v_i^n$, la cual garantiza que los intereses se están siendo calculados del saldo insoluto.
En la práctica, es frecuente encontrar operaciones de crédito que otorgan éste, a partir de dar cierto enganche, el cual representa un porcentaje del valor total del bien que se está adquiriendo, algunos ejemplos de ésta situación se dan cuando se pretende adquirir un automóvil, algún terreno, electrodomésticos, etc.
En este contexto, lo que regularmente se hace para construir la tabla de amortización es agregar una fila o renglón, el cual jugará el papel de periodo cero de la tabla, en el que quedará registrado el pago de dicho enganche, y como se paga al inicio de la operación, se considera que no ha transcurrido nada de tiempo, de allí su nombre. Es importante señalar que como no ha transcurrido tiempo, entonces no hay intereses que se hayan generado, lo que se interpreta el monto del enganche es directo a liquidar ése porcentaje de la deuda adquirida.
En estos casos lo que se hace es, que el saldo insoluto al principio del periodo cero, se a igual al valor total del bien que se pretende comprar, y el pago que realizan que corresponde al enganche es 100% el enganche y el saldo insoluto al final del periodo es igual al valor total del bien que se va a adquirir menos el enganche pagado. Luego los siguientes renglones son calculados a partir del saldo que se obtuvo de ésta operación, la cual se convierte en la cantidad real por la que se ha adquirido el crédito.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. Una persona desea adquirir un automóvil, con un valor de \$100 mil pesos, pagando un enganche del 30%, y el resto lo quieren pagar en 7 mensualidades con una anualidad vencida de pagos iguales, con una tasa de interés del 15% efectiva anual.
Solución
En base a la teoría que se abordó en ésta sección, lo primero que debemos hacer es determinar la cantidad real por la cual nos están otorgando el crédito, la cual se obtiene restando la cantidad del enganche que inicialmente fue solicitada, a la cantidad total por la cual fue otorgado el crédito.
$\$100,000(0.30)=\$30,000$
El saldo que se obtiene es de $\$100,000-\$30,000=\$70,000$
El pago se determina despejando de la siguiente ecuación de valor a $X$:
Ahora se realizará la construcción de la tabla de amortización que requiere éste problema
La empresa de estampados del señor Adrián, quiere saber cuánto es la cantidad que deberá tener que pagar, por un crédito de \$15 mil pesos, si la entidad financiera, le esta cobrando una tasa de interés del 11% trimestralmente, durante 2 años
Solución
Para encontrar la solución, se hará uso de la siguiente ecuación:
La tabla de amortización, que se trabajó en ésta sección corresponde a la forma general de construirla, sin embargo, como ya se mencionó puede tener variantes, dependiendo de las condiciones que se pacten entre los involucrados a la hora de firmar el contrato de crédito, como se verá en los siguientes temas.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la entrada anterior definimos a los $p$-subgrupos de Sylow de un grupo $G$ como un $p$-subgrupo de $G$ tal que no estuviera contenido en otro $p$-subgrupo de $G$. En esta entrada estudiaremos los Teoremas de Sylow que hablan, como su nombre nos indica, de los $p$-subgrupos de Sylow que definimos antes.
El primero trata sobre del orden de los $p$-subgrupos de Sylow, que es la máxima potencia de $p$ que divide al orden del grupo $G$. El segundo habla de la relación entre los $p$-subgrupos de Sylow y establece que todo par de $p$-subgrupos son conjugados. El tercero describe de modo aproximado la cantidad de $p$-subgrupos de Sylow que hay en un grupo $G$. No nos da un número exacto, pero nos da alguna información al respecto.
Ahora, prepárate para leer el nombre de Sylow aún más veces.
Primer Teorema de Sylow
Teorema (1er Teorema de Sylow). Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito con $|G|=p^t m$, $t\in\n^+, m\in \n^+, p\not{|}m.$ Entonces
para cada $i\in\{1,\cdots,t\}$, $G$ contiene un subgrupo de orden $p^i$.
Todo subgrupo de $G$ de orden $p^i$ con $i\in\{1,\cdots,t-1\}$ es un subgrupo normal de algún subgrupo de $G$ de orden $p^{i+1}$.
Demostración. Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito con $|G|=p^tm$, $t,m\in \n^+$, $p\not{|}m$.
P.D. Para toda $i\in\{1,\cdots,t\}$ existe $P_i \leq G$ con $|P_i| = p^{i}$ y de forma que $P_i \unlhd P_{i+1}$ para toda $i\in\{1,\cdots,t-1\}$. De hecho, con esto quedarían probados los dos incisos del PTS (Primer Teorema de Syow).
Primero necesitamos un subgrupo de orden $p$. Éste se tiene gracias al Teorema de Cauchy. Así, podemos afirmar que $G$ tiene un subgrupo de orden $p$. Ahora, si $i\in\{1,\cdots, t-1\}$ y $H$ es un subgrupo de orden $p^{i}$ veamos que podemos construir un subgrupo de $G$ de orden $p^{i+1}$ tal que $H$ sea normal a él:
Sabemos que $p$ divide a $ [ G : H ]$ y como $[ G : H ] \equiv [ N_G(H) : H ] (\text{mód } p)$ entonces \begin{align*} p\text{ divide a } [ N_G(H) : H ] = \left| N_G(H) \Big{/}H \right|. \end{align*}
Entonces por Cauchy, el grupo cociente $N_G(H)\Big{/}H$ tiene un subgrupo de orden $p$, y por el teorema de la correspondencia es de la forma $\tilde{H}/H$ con $H\leq \tilde{H} \leq N_G(H)$. Así,
\begin{align*} &p = \left| \tilde{H} \Big/ H \right| = \frac{|\tilde{H}|}{|H|} = \frac{\tilde{H}}{p^{i}} \\& \Rightarrow \frac{|\tilde{H}|}{p^{i}} = p \\&\Rightarrow |\tilde{H}| = p^{i+1} \end{align*} pero $H\unlhd N_G(H)$ por construcción del normalizador y $ \tilde{H} \leq N_G(H)$, entonces $H \unlhd \tilde{H}.$
Ilustración de por qué $H\unlhd \tilde{H}$.
De esta manera, dado un subgrupo de orden $p^i$ podemos encontrar un subgrupo de orden $p^{i+1}$ tal que el primero sea normal en el segundo. Entonces, considerando $P_1$ un subgrupo de $G$ de orden $p$, existe $P_2$ un subgrupo de $G$ de orden $p^2$ tal que $P_1\unlhd P_2$ y a partir de $P_2$ podemos hallar $P_3$ un subgrupo de $G$ de orden $p^3$ tal que $P_2\unlhd P_3$ y así sucesivamente.
Concluimos entonces que existen $P_1,\cdots, P_t$ subgrupos de $G$ con $|P_i| = p^{i}$ para toda $i\in \{1,\cdots, t\}$ tales que $P_1 \unlhd P_2 \unlhd \cdots \unlhd P_t$.
$\blacksquare$
En consecuencia, el PTS nos dice qué tamaño tienen los $p$-subgrupos de Sylow, una incógnita que no habíamos resuelto. Esto se ilustra en el siguiente corolario.
Corolario. Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito con $|G| = p^tm$, $t,m,\in \n^+$ y $p\not{|}m$. Los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ tienen orden $p^t$.
Segundo Teorema de Sylow
Antes de enunciar y probar el STS (Segundo Teorema de Sylow) vamos a dar una observación.
Observación. Los conjugados de un $p$-subgrupo de Sylow son también $p$-subgrupos de Sylow.
Demostración. Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito, $|G| = p^tm$ con $t,m\in\n^+$, $p\not{|}m.$
Al tomar $P$ un $p$-subgrupo de Sylow de $G$, por el corolario del PTS sabemos que $|P| = p^t$.
Ahora, al conjugarlo mediante $g\in G$ se tiene que $gPg^{-1} \leq G$ con $|gPg^{-1}| = |P| = p^t$. Así, $gPg^{-1}$ es un $p$-grupo y debido a que su orden es la máxima potencia de $p$ que divide a $|G|$ se tiene que es un $p$-subgrupo de Sylow.
$\blacksquare$
Esta observación nos dice que todos los conjugados de un $p$-subgrupo de Sylow son igual un $p$-subgrupo de Sylow, pero el STS va más allá y nos dice que conjugando $p$-subgrupos de Sylow podemos encontrar todos los $p$-subgrupos de Sylow de un grupo $G$.
Teorema (2do Teorema de Sylow). Sean $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito. Todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ son conjugados en $G$.
Demostración.
Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito, $P$ y $Q \; p$-subgrupos de Sylow de $G$.
Sea $X = \{gP \;|\; g\in G\}$. Para comenzar definimos $q\cdot(gP) = qgP$ para todas $q\in Q,g\in G.$ Ésta es una acción de $Q$ en $X$. Como $Q$ es un $p$-grupo, por el último teorema de la entrada Clase de Conjugación, Centro de $G$, Ecuación de Clase y $p$-Grupo sabemos que \begin{align*} \#X\equiv\#X_Q (\text{mód } p). \end{align*}
Como $p$ no divide a $[ G: P ]$ y $[ G: P ] = \# X$, entonces $p$ tampoco divide a $\# X_Q$. En particular $\#X_Q \neq 0$ y así $X_Q \neq \emptyset$.
Pero \begin{align*} X_Q &= \{gP \;|\; q\cdot (gP) = gP \quad \forall q\in Q\}\\ &= \{gP \;|\; qgP = gP \quad \forall q\in Q\} \\ &= \{gP \;|\; g^{-1}qg \in P\quad \forall q\in Q\} \\ &= \{gP \;|\; g^{-1}Qg \subseteq P\} & \text{porque es para toda }q\in Q\\ &= \{gP \;|\; g^{-1}Qg = P\}. \end{align*}
donde la última igualdad se da porque $g^{-1}Qg$ y $P$ son $p$-subgrupos de Sylow y entonces tienen el mismo orden, la máxima potencia de $p$ que divide al orden de $G$.
Así, $\{gP \;|\;g^{-1}Qg = P\}\neq \emptyset$ y en consecuencia existe $g\in G$ tal que $g^{-1}Qg = P$.
Por lo tanto $P$ y $Q$ son conjugados en $G$.
$\blacksquare$
Tercer Teorema de Sylow
Teorema (3er Teorema de Sylow). Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito y $r_p$ el número de $p$-subgrupos de Sylow de $G$. Entonces
$r_p \equiv 1 (\text{mód } p)$.
$r_p$ divide a $ |G|$.
Demostración. Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito y $r_p$ el número de $p$-subgrupos de Sylow de $G$.
Sea $X = \{P_1,\cdots, P_{r_p}\}$ la colección de todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$. Definimos $g\cdot P_i = gP_ig^{-1}$ para todas $g\in P_1$ e $i\in\{1,\cdots, r_p\}$, que es una acción de $P_1$ en $X$ ya que $ gP_ig^{-1}$ es nuevamente un $p$-subgrupo de Sylow por la observación previa. Como $P_1$ es un $p$-grupo, por el último teorema de la entrada Clase de Conjugación, Centro de $G$, Ecuación de Clase y $p$-Grupo sabemos que \begin{align*} \#X \equiv \# X_{P_1} (\text{mód } p). \end{align*} Pero por la construcción de $X$, tenemos que $$r_p = \#X\equiv \# X_{P_1} (\text{mód } p).$$ Ahora, veamos que $\#X_{P_1} = 1$ y para ello analicemos quién es $X_{P_1}$ \begin{align*} X_{P_1} &= \{P_i \in X \;|\; g\cdot P_i = P_i \quad \forall g\in P_1\} \\ &= \{P_i \in X \;|\; gP_ig^{-1}=P_i \quad \forall g\in P_1\}. \end{align*} Así, para toda $P_i \in X_{P_1}$ se tiene que $P_1 \leq N_G(P_i)$ y también $P_i \leq N_G(P_i)$. Entonces $P_1$ y $P_i$ son $p$-subgrupos de Sylow de $N_G(P_i).$ Por el 2do Teorema de Sylow, $P_1$ y $P_i$ son conjugados en $N_G(P_i)$, es decir existe $g\in N_G(P_i)$ tal que \begin{align*} P_1 &= gP_ig^{-1} \\ &= P_i &\text{pues } g\in N_G(P_i). \end{align*} Concluimos entonces que $P_1$ es el único elemento en $X_{P_1}$ y así $\#X_{P_1} = 1$. Por lo tanto $r_p \equiv 1 (\text{mód } p)$.
Sea $X = \{P_1, \cdots, P_{r_p}\}$ la colección de todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$. Definimos $g\cdot P_i = gP_ig^{-1}$ para todas $g\in G$ e $i\in\{1,\cdots, r_p\}$, que es una acción de $G$ en $X$. Por el segundo teorema de Sylow sabemos que $P_1,\dots , P_{r_p}$ son conjugados de $P_1$, entonces $$ \mathcal{O}(P_1)=\{g\cdot P_1|g\in g\}=\{gP_1g^{-1}|g\in g\}=\{P_1,\dots , P_{r_p}\}=X$$ es decir, la acción es transitiva. Entonces obtenemos que $r_p = \# \mathcal{O}(P_1)$. Pero, sabemos que $$\# \mathcal{O}(P_1) = [ G : G_{P_i} ] = \frac{|G|}{|G_{P_i}|}$$ que es un divisor de $|G|$. Por lo tanto $r_p$ es un divisor de $ |G|$.
$\blacksquare$
Tarea moral
Demuestra el corolario del PTS: Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito con $|G| = p^tm$ con $t,m,\in \n^+$ y $p\not{|}m$. Los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ tienen orden $p^t$.
Sean $p\in \z^+$ un número primo, $G$ un grupo y $P$ un $p$-subgrupo de Sylow de $G$. Demuestra que $P$ es el único $p$-subgrupo de Sylow de $G$ si y sólo si $P \unlhd G.$
Sea $p\in \z^+$ un número primo. Da un ejemplo de un grupo finito $G$ que tenga tres $p$-subgrupos de Sylow $P$, $Q$ y $R$ tales que $P\cap Q = \{1\}$ y $P\cap R \neq \{1\}.$ (Sugerencia: Considera $S_3\times S_3.$)
Sean $p\in \z^+$ un número primo y $G$ un grupo finito. Considera $Q$ un $p$-subgrupo de $G$ tal que $Q \unlhd G$. Prueba que $Q \leq P$ para cada $p$-sugrupo de Sylow $P$ de $G$. (Sugerencia: Usa el hecho de que cualquier otro $p$-subgrupo de Sylow de $G$ es conjugado de $P$.)
Sean $p\in \z^+$ un número primo y $G$ un grupo finito. Para cada primo $p$ divisor del orden de un grupo finito $G$, escoge un $p$-subgrupo de Sylow $Q_p$. Prueba que $$G = \left< \bigcup_p Q_p\right>.$$(Sugerencia: Usa el orden de los subgrupos generados por los subgrupos de Sylow.)
Más adelante…
En esta entrada abarcamos los tres Teoremas de Sylow, se colocaron los tres en esta entrada para que fuera más fácil consultarlos. Sin embargo, esto hace a la entrada un poco larga, así que la siguiente estará dedicada a algunos ejemplos de la aplicación de estos teoremas.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Cuando nació la Teoría de grupos uno de los problemas principales fue clasificar a los grupos finitos. Una manera de estudiar este problema es empezar por entender un tipo especial de grupos finitos: grupos con orden primo $p$, llamemos $G$ a este grupo. El estudio de $G$ se hace más sencillo pues sabemos que es un grupo cíclico y es isomorfo a $\z_p.$
Podemos aumentar la dificultad y considerar el caso cuando $|G| = p^t$, con $p$ primo y $t\in \n.$ Pero, ¿qué sucede si $G$ no es un $p$-grupo? Supongamos que $|G|= n = p^t m$ donde $t\in \n$ y $p$ no divide a $m.$
Dibujo de la representación de un $p$-grupo de Sylow
En esta entrada lo que haremos será intentar estudiar a un grupo cualquiera $G$ a partir de los $p$-grupos que lo conforman, que serán llamados $p$-subgrupos de $G$. Estos subgrupos pueden estar contenidos a su vez en otros $p$-subgrupos o bien ser máximos con respecto a la contención y no estar contenidos en ningún otro $p$-subgrupo. A estos $p$-subgrupos máximos se les llama $p$-subgrupos de Sylowde $G$.
Estudiar todos los $p$-subgrupos de Sylow de $G$ para los primos que dividen al orden de $G$ nos ayuda a entender cómo es el mismo $G.$
Comencemos con subgrupos de Sylow
Definición. Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito. Decimos que $P$ es un $p$-subgrupo de $G$ si el orden de $P$ es una potencia de $p$. Además, decimos que $P$ es un $p$-subgrupo de Sylowde $G$ si
$P$ es un $p$-grupo;
si $Q$ es un $p$-grupo con $P\subseteq Q \subseteq G$, entonces $P=Q$.
Es decir $P$ es un $p$-subgrupo de $G$ máximo con respecto a la contención.
Observación. Siempre existe los subgrupos de Sylow.
Demostración. Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito con $|G|= n$.
Si $p \not{|} n$, entonces $\{e\}$ es un $p$-subgrupo de Sylow.
Si $p|n$, por el teorema de Cauchy existe $g\in G$ de orden $p$. Si $\left< g\right>$ no es $p$-subgrupo de Sylow, entonces existe $Q_1 \leq G$ $p$-subgrupo con $\left< g\right> \not\subseteq Q_1.$ Si $Q_1$ no es un $p$-subgrupo de Sylow debe existir $Q_2\leq G$ $p$-subgrupo con $Q_1\not\subseteq Q_2.$ Continuando de este modo, dado que $G$ es de orden finito y $1<|\left< g\right> |<|Q_1|<|Q_2|<\dots <|G|$ obtenemos un $p$-subgrupo de Sylow después de un número finito de pasos.
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Ejemplos
Ejemplo 1. Sea $G = S_4$, $|S_4| = 4! = 24 = 2^3\cdot 3$. Entonces hay dos primos involucrados en $|S_4|$, estos son 2 y 3.
$\left< (1\, 2\, 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de $S_4$. Como no hay otra potencia de 3 que divida a $|S_4|$, no hay grupos de orden 9,27, etc. por lo que $\left< (1\, 2\, 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de Sylow de $S_4$
Por otro lado, para los $2$-subgrupos de Sylow podríamos tener subgrupos de orden $2$, $4$ y hasta $8$. De una manera intuitiva sabemos que podemos ver a $S_4$ como todas las simetrías de un cuadrado.
Notemos que no todas las permutaciones de los vértices de un cuadrado son simetrías, pero todas las simetrías de un cuadrado se pueden ver como permutaciones de sus vértices. Las permutaciones que también son simetrías son: las rotaciones por 90 grados, las reflexiones por los ejes y las reflexiones por las diagonales.
La rotación de $90$ grados, que corresponde a la permutación $(1\, 2\, 3\, 4),$ y la reflexión por el eje $x,$ que corresponde a la transposición $(2\,4)$, generan al grupo diédrico. Por lo que $\left< (1\, 2\, 3\, 4), (2\,4)\right>$ es isomorfo al grupo diédrico $D_{2(4)}$ que es de orden $8$. Así, $\left< (1\, 2\, 3\, 4), (2\,4)\right>$ es un $2$-subgrupo de Sylow de $S_4$ de orden 8.
Consideremos el grupo de Klein $\{(1), (1\,2)(3\, 4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3) \} $ que es un subgrupo de $A_5$ de orden $4$ y por lo tanto un $2$-subgrupo de Sylow de $A_5$.
El subgrupo anterior se hizo considerando todas las permutaciones que son productos de dos transposiciones disjuntas de los números $1$, $2$, $3$ y $4$, si ahora hacemos lo mismo pero considerando todas las permutaciones que son productos de dos transposiciones disjuntas de los números $2$, $3$, $4$ y $5$ obtenemos $\{(1), (2\,3)(4\,5), (2\,4)(3\,5), (2\,5)(3\,4)\}$ que es otro $2$-subgrupo de Sylow de $A_5$. Siguiendo de esta manera podríamos construir distintos $2$-subgrupos de Sylow.
Si nos tomamos un $3$-ciclo y su generado obtenemos un $3$-subgrupo de Sylow de $A_5$, por ejemplo $\left< (1\, 2\, 3)\right>$ es un $3$-subgrupo de Sylow de $A_5$. Notamos que podemos elegir $3$-ciclos distintos de $ (1\, 2\, 3)$ y de su inverso y con ello crear diferentes $3$-subgrupos de Sylow de $A_5$.
Si tomamos un $5$-ciclo y su generado obtenemos un $5$-subgrupo de Sylow de $A_5$, por ejemplo $\left< (1\, 2\, 3\,4\,5)\right>$ es un $5$-subgrupo de Sylow de $A_5$. Pero también podemos tomar un $5$-ciclo que no esté en el generado $\left< (1\, 2\, 3\, 4\, 5)\right>$ y obtener otro $5$- subgrupo de Sylow de $A_5$.
Últimos preparativos
Definición. Sea $G$ un grupo, $H$ subgrupo de $G$. El normalizador de $H$ en $G$ es \begin{align*} N_G(H) = \{g\in G \;|\; gHg^{-1} = H \}. \end{align*}
Representación del normalizador de $H$ en $G$. Observemos que un elemento $g $ del normalizado de $H$ no necesariamente está en $H$.
Observación. Por construcción $H \unlhd N_G(H)$.
Lema. Sea $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito, $H$ un $p$-subgrupo de $G$. Entonces \begin{align*} [ N_G(H) : H ] \equiv [ G: H ] (\text{mód }p). \end{align*}
Demostración. Sean $p\in \z^+$ un primo, $G$ un grupo finito y $H$ un $p$-subgrupo de $G$. Consideremos $X = \{gH\;|\;g\in G\}$ y la acción de $H$ en $X$ dada por \begin{align*} h\cdot (gH) = hgH \quad \forall h\in H, \forall g\in G. \end{align*}
Pero \begin{align*} X_H &= \{gH \in X \;|\; h\cdot(gH) = gH \quad \forall h \in H\} \\ &= \{gH \in X \;|\; hgH = gH \quad \forall h \in H\}\\ &= \{gH \in X \;|\; g^{-1}hg\in H \quad \forall h \in H\}\\ &= \{gH \in X \;|\; g^{-1}Hg\subseteq H\}\\ &= \{gH \in X \;|\; g^{-1}Hg = H\} & \text{pues $G$ es finito y en consecuencia $H$ también.}\\ &= \{gH \;|\; g\in N_{G}(H)\}\\ &= N_G(H) / H. \end{align*}
Así, $\#X_H = [ N_G(H) : H ]$ y entonces $[ G:H ] \equiv [ N_G(H) : H] (\text{mód }p).$
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Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Encuentra los $2$-subgrupos de los cuaternios $Q_8.$
Encuentra todos los $3$-subgrupos del grupo simétrico $S_4.$ Etiquetando los vértices del cuadrado de maneras distintas a la que viene en el ejemplo 2 de esta entrada, encuentra la mayor cantidad que puedas de $2$-subgrupos de Sylow de $S_4$.
Sea $P$ un $p$-subgrupo de Sylow de un grupo finito $G$. Prueba que:
Cada conjugado de $P$ también es un $p$-subgrupo de Sylow.
$p$ no divide a $|N_g(P)/P|$.
Si $g\in G$ es tal que $o(g) = p^m$ para alguna $m\in\z^+$ y si $gPg^{-1} = P$, entonces $g \in P.$
Más adelante…
¡Ahora sí! Todo está listo para que en la siguiente entrada estudiemos los tres Teoremas de Sylow. Te adelanto que todos los Teoremas de Sylow se sirven de los $p$-subgrupos que vimos en esta entrada. De hecho, los relaciona con los temas que hemos visto como subgrupo normal y conjugados.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Hemos llegado a uno de los resultados más importantes del curso: el Teorema de Cauchy. Éste nos asegura la existencia de un elemento de determinado orden en el grupo. De forma más precisa nos dice que para cada primo que divida al orden del grupo, existe un elemento con orden exactamente ese primo.
Con este resultado nos nace una nueva pregunta: ¿cómo se relaciona esto con los $p$-grupos? y otra más: ¿se puede relacionar esto con el centro de un grupo? Tal vez no parezcan preguntas que te harías directamente después de ver el teorema, pero igual las responderemos. Es especialmente interesante lo del centro de un grupo porque en ocasiones podemos concluir que ciertos grupos deben ser abelianos.
Uno de los resultados más importantes del curso
Teorema de Cauchy. Sea $G$ un grupo finito, $p\in\z^+$ un primo que divida a $|G|.$ Entonces existe $g\in G$ de orden $p.$
Demostración. Sea $G$ un grupo finito, $p\in \z^+$ un primo tal que $p\Big| |G|.$
P.D. Existe un elemento $g \in G$ de orden $p$.
Para esta demostración, queremos usar el último teorema de la entrada anterior. Pero este sólo aplica para un conjunto finito y un $p$-grupo. Por lo que comenzaremos definiendo un conjunto finito a partir de $G$.
Consideremos \begin{align*} X = \{(g_1,\cdots, g_p) \,|\, g_1, \cdots, g_p \in G, g_1\cdots g_p = e\} \end{align*} el conjunto de las $p-$adas cuyo producto dé el neutro.
Observemos que podemos elegir las primeras $p-1$ entradas de un elemento en $X$ como sea, pero la última no porque la condición $g_1\cdots g_p = e$ nos indica que $g_p = (g_1\cdots g_{p-1})^{-1}.$ Así $\# X = |G|^{p-1}$ y como $p$ divide al orden de $G$, entonces $p|\#X$.
Sea $H = \left< (1\,2\cdots p)\right> \leq S_p$, el cual es un $p$-grupo. $H$ actúa en $X$ permutando los subíndices, es decir, \begin{align*} (1\;2\cdots \;p)\cdot (g_1,\cdots, g_p) = (g_2,g_3,\cdots, g_p, g_1) \end{align*} y en general, si $\sigma = (1\; 2 \cdots p)$, entonces para toda $j\in\z$ \begin{align*} \sigma^j \cdot (g_1,\cdots,g_p) = (g_{\sigma^j(1)}, \cdots, g_{\sigma^j(p)}). \end{align*}
Tenemos que observar que la acción está bien definida. Esto sucede ya que si $(g_1, \cdots, g_p) \in X$ tenemos que $g_1 = (g_2, \cdots, g_p)^{-1}$ y así $$(g_2 \cdots g_p)g_1 = e.$$
Entonces $(1\;2\cdots p)\cdot (g_1,\cdots,g_p) = (g_2,\cdots,g_p,g_1)\in X.$ Así, $H$ manda elementos de $X$ en elementos de $X$.
Así, efectivamente tenemos una acción de $H$ en $X$.
Como $|H| = p$, por el teorema de la entrada anterior \begin{align*} \# X \equiv \# X_H (\text{mód }p). \end{align*} Pero recordemos que $p\mid \#X$, entonces $p\mid \# X_H.$
Ahora vamos a analizar cómo es $\# X_H$. Comencemos por entender quién es el conjunto $X_H$, \begin{align*} X_H &= \{ (g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \;\sigma^j\cdot (g_1,\cdots, g_p) = (g_1,\cdots, g_p) \, \forall j\}\\ &= \{(g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \;\sigma\cdot (g_1,\cdots, g_p) = (g_1,\cdots, g_p)\} &\text{si $\sigma$ fija a un elemento, también $\sigma^j$}\\ &= \{(g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \; (g_2, \cdots, g_p, g_1) = (g_1,\cdots, g_p)\} & \text{Definición de }\sigma\\ &= \{(g_1,\cdots, g_p)\in X \;| \; g_1 = \cdots = g_p\} &\text{Implicación directa}. \end{align*}
En particular, $(e,\cdots, e)\in X_H$ por lo que $\#X_H \geq 1$. Pero no puede haber exactamente un elemento en $X_H$ porque $p \Big|\#X_H$, entonces $\#X_H > 1.$ Existe entonces $(g,\cdots, g) \in X_H$ con $g\in G$ tal que $g\neq e.$
Como $(g,\cdots, g)\in X$ se tiene que $g^p = g\cdots g = e$ con $g\in G$ con $g\neq e.$
Así $g$ es un elemento en $G$ de orden $p$.
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Corolario. Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito. $G$ es un $p$-grupo si y sólo si para todo $g\in G$ el orden $o(g)$ es una potencia de $p$.
Proposición. Sea $p\in\z^+$ un primo. Si $G$ es un $p$-grupo con $G\neq\{e\}$ (no trivial) entonces $Z(G) \neq \{e\}.$
Demostración. Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un $p$-grupo con $G\neq\{e\}.$ Por la ecuación de clase \begin{align*} |G| = |Z(G)| + \sum_{j=1}^k [G: C_G(x_j)] \end{align*} con $x_1,\cdots, x_k$ representantes de las distintas clases de conjugación con más de un elemento, por lo que \begin{align*} 1 < \#x_j^G &= [ G: C_G(x_j) ] = \frac{|G|}{|C_G|}\Big|\; |G|. \end{align*}
Como $|G| = p^t$, $t\in \n$, entonces $p\Big| [G: C_G(x_j)]$ para toda $j\in \{1,\cdots, k\}$.
Así \begin{align*} p \Big| |G| – \sum_{j = 1}^k [G: C_{G}(x_j) ]= |Z(G)|. \end{align*}
Como $|Z(G)|$ es múltiplo de $p$ no nulo, no puede ser 1. Entonces $Z(G) \neq \{e\}.$
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¿Grupos abelianos de nuevo?
Lema. Sea $G$ un grupo. Si $G/ Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es abeliano.
Demostración. Sea $G$ un grupo tal que $G/Z(G)$ es cíclico.
Entonces $G/Z(G) = \left<gZ(G)\right>$ con $g\in G.$
Sean $a,b\in G$. Como $aZ(G), bZ(G) \in G/Z(G) = \left<gZ(G)\right>$ entonces \begin{align*} aZ(G) &= g^kZ(G) & \\ bZ(G) &= g^tZ(G)& \text{con } k,t\in \z. \end{align*}
Así, \begin{align*} a &= g^kz_1 &\\ b &= g^tz_2 & \text{con } k,t \in \z, z_1,z_2 \in Z(G). \end{align*}
Entonces \begin{align*} ab &= (g^kz_1)(g^tz_2) = g^{k+t}z_1z_2 &\text{Como }z_1\in Z(G),\text{ entonces $z_1$ conmuta con $g^t$}\\ ba &= (g^tz_2)(g^kz_1) = g^{t+k}z_2z_1 &\text{Como }z_2\in Z(G), \text{ entonces $z_2$ conmuta con $g^k$}. \end{align*}
Así $ab = ba$. Por lo tanto $G$ es abeliano.
$\blacksquare$
Corolario. Sea $p\in\z^+$ un primo. Si $G$ es un grupo de orden $p^2$, entonces $G$ es abeliano.
Demostración. Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo con $|G| = p^2$.
$G$ es entonces un $p$-grupo con $G\neq \{e\}$, por la proposición previa $Z(G) \neq \{e\}.$
Como $Z(G) \leq G$, entonces $|Z(G)|\Big| |G| = p^2$, con $|Z(G)|\neq 1.$ Así que $|Z(G)| = p$ ó $|Z(G)| = p^2.$
Si $|Z(G)| = p,$ entonces \begin{align*} \left|G/Z(G)\right| = \frac{|G|}{|Z(G)|} = \frac{p^2}{p} = p, \end{align*} entonces $G/Z(G)$ es cíclico. Por el lema se tiene que $G$ es abeliano y entonces $Z(G) = G$. Esto es una contradicción porque $|G| = p^2$ y estamos suponiendo que $|Z(G)|= p$.
En consecuencia, obtenemos que $|Z(G)| = p^2$, entonces $Z(G) = G$ y así $G$ es abeliano.
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Tarea moral
Demuestra el primer corolario de esta entrada: Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un grupo finito. $G$ es un $p$-grupo si y sólo si para todo $g\in G$ el orden $o(g)$ es una potencia de $p$. (Sugerencia: Usa el Teorema de Cauchy).
Sea $p$ un primo, prueba que cada grupo $G$ de orden $2p$ es cíclico o isomorfo a $D_{2p}.$
Prueba o da un contraejemplo: Todo grupo de orden $p^3$ con $p\in \z^+$ un primo, es abeliano.
Demuestra que si $G$ es un $p$-grupo finito no abeliano tal que $|G|=p^3.$ Entonces, $Z(G) \cong \z_p.$
Más adelante…
Nos estamos encaminando a demostrar los Teoremas de Sylow, para ello todavía nos faltan un par de definiciones. En la siguiente entrada definiremos a los $p$-subgrupos de Sylow y usaremos el Teorema de Cauchy para probar que estos subgrupos siempre existen.
