(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Una matriz es un objeto matemático que se compone de una colección ordenada de números, llamados elementos, dispuestos en filas y columnas. Las matrices se utilizan en numerosas áreas de las matemáticas, la física, la informática, la ingeniería y otras disciplinas para manipular y analizar datos, realizar cálculos y resolver problemas. Bajo las condiciones adecuadas las matrices se pueden sumar, multiplicar, transformar mediante operaciones matriciales, etc. para obtener información relevante. Las matrices también se utilizan en la representación de sistemas lineales de ecuaciones.

Ve el siguiente video:

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos y $K$ un conjunto. Una matriz $A$ con entradas en $K$ de $m$ renglones y $n$ columnas es una función:

$A:\set{1,2,\dotsc,m}\times \set{1,2,\dotsc,n}\to K.$

Decimos en este caso que $A$ es una matriz de tamaño $m\times n$ o simplemente una matriz $m\times n$.

Al elemento de $K$ $A(i,j)$ se le llama la entrada $i\,j$ de $A$.

Decimos que $A$ es una matriz cuadrada si $m=n$, que es una matriz renglón si $m=1$ y que es una matriz columna si $n=1.$

Notación

$A(i,j)$ se denotará por $A_{ij}$ o por $a_{ij}$

$A$ se describirá mediante una tabla con $m$ renglones y $n$ columnas o de forma abreviada como $(a_{ij})$:

$A=\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \end{equation*}=(a_{ij})$

Nota: Usualmente consideraremos $K=\mathbb R$ o de modo más general $K$ un campo.

Ejemplos

$1.$ Considera la siguiente matriz de tamaño $3\times 2$:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 0 & \frac{1}{2}\\ 4 & \pi \\ -7 & 0 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$.

$A_{11}=0,\,A_{12}=\frac{1}{2},\,A_{21}=4,\,A_{22}=\pi,\,A_{31}=-7,\,A_{32}=0.$

$2.$ Considera la siguiente matriz cuadrada de tamaño $2\times 2$:

$B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 5\\ 5 & -2 \\ \end{array} \right)\end{equation*}$.

$B_{11}=1,\,B_{12}=5,\,B_{21}=5,\,B_{22}=-2.$

$3.$ Considera la siguiente matriz columna de tamaño $3\times 1$:

$C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{r} 3 \\ 9 \\ -5\\ \end{array} \right)\end{equation*}$.

$C_{11}=3,\,C_{21}=9,\,C_{31}=-5.$

$4.$ Considera la siguiente matriz renglón de tamaño $1\times 4$:

$D=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -3 & 4\\ \end{array} \right) \end{equation*}$.

$D_{11}=1,\,D_{12}=2,\,D_{13}=-3,\,D_{14}=4.$

Definición

Sean $n,m,r$ y $s$ naturales positivos y $K$ un conjunto. Sea $A$ una matriz $m\times n$ con entradas en $K$ y $B$ una matriz $r\times s$ con entradas en $K$.

Decimos que $A$ es igual a $B$ si:

$m=r,\,n=s$ y $A_{ij}=B_{ij}\,\,\, \forall i\in \set{1,\dotsc, n},\,\,\,\forall j\in \set{1,\dotsc, n}.$

Es decir dos matrices son iguales si tienen la misma cantidad de renglones, la misma cantidad de columnas, y coinciden entrada a entrada.

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A$ y $B$ matrices $m\times n$ con entradas en $\mathbb R$. La suma de $A$ y $B$ es la matriz $A+B$ de $m\times n$ tal que $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.$

Dado $\lambda\in \mathbb R$ el producto escalar de $\lambda$ por $A$ es la matriz $\lambda A$ de $m\times n$ tal que $(\lambda A)_{ij}=\lambda A_{ij}.$

Notación.

Dados $n$ y $m$ naturales positivos $\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)=\set{A\mid A\,\,es\,\,una\,\,matriz\,\,m\times n\,\,con\,\,entradas\,\,reales}.$

Ejemplos

$1.$ $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 4\\ 3 & \frac{1}{2} & 1 & -5 \end{array} \right) \end{equation*}$, $ B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & -3 & -5\\ 7 & 1 & \frac{1}{4} & 2 \end{array} \right) \end{equation*}$.

$A+B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 3 & -2 & -3 & -1\\ 10 & \frac{3}{2} & \frac{5}{4} & -3 \end{array} \right) \end{equation*}.$

Si $\lambda =2$

$\lambda A=2 A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 2 & -4 & 0 & 8\\ 6 & 1 & 2 & -10 \end{array} \right) \end{equation*}.$

$2.$ $C=\begin{equation*}\left(\begin{array}{rr} 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{3} \end{array} \right) \end{equation*}$, $ D=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 2 & 0\\ 4 & 8 \end{array} \right) \end{equation*}.$

$C+D=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 3 & \frac{1}{2}\\ 4 & \frac{25}{3} \\ \end{array} \right) \end{equation*}.$

Si $\lambda =\frac{1}{4}$

$\lambda D=\frac{1}{4} D=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & 0\\ 1 & 2 \end{array} \right) \end{equation*}.$

Proposición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A,B,C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\,\,\lambda,\mu \in \mathbb R .$

Se cumplen las siguientes propiedades:

$1.$ $(A+B)+C=A+(B+C)$

$2.$ $A+B=B+A$

$3.$ Existe $\theta \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que:

$A+\theta=\theta+A=A\,\,\,\forall A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$.

$4.$ Para cada $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ existe $\tilde{A}\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que:

$A+\tilde{A}=\tilde{A}+A=\theta$

$5.$ $1A=A\,\,\forall A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$

$6.$ $\lambda(\mu A)=(\lambda\mu)A$

$7.$ $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$

$8.$ $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

Demostración

Vamos a probar las propiedades $1,3$ y $7$. Las demás se dejan al lector. Recuerda no confundir las operaciones entre matrices, con las operaciones en los números reales.

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A,B,C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\,\,\lambda,\mu \in \mathbb R .$

Demostración de la propiedad $1$

Por demostrar que $(A+B)+C=A+(B+C).$

Como $A+B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ entonces $(A+B)+C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$.

Como $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $B+C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ entonces $A+(B+C)\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$

Considera a $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}$

	Explicación de las igualdades
$(A+(B+C))_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $A+(B+C).$
$=A_{ij}+(B+C)_{ij}$	Por definición de suma de matrices.
$=A_{ij}+(B_{ij}+C_{ij})$	Por definición de suma de matrices.
$=(A_{ij}+B_{ij})+C_{ij}$	Por asociatividad en $\mathbb R.$
$=(A+B)_{ij}+C_{ij}$	Por definición de suma de matrices.
$=((A+B)+C)_{ij}$	Por definición de suma de matrices.

Por lo tanto $A+(B+C)$ y $(A+B)+C$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $(A+(B+C))_{ij}=((A+B)+C)_{ij}$. Así, $A+(B+C)=(A+B)+C.$

Demostración de la propiedad $3$

Sea $\theta\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que $\theta_{ij}=0\,\,\forall i,j$. Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$

Por demostrar que $A+\theta=\theta +A=A.$

Sabemos que $A+\theta\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sean $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}.$

	Explicación de las igualdades
$(A+\theta)_{ij}=$	Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $A+\theta .$
$=A_{ij}+\theta_{ij}$	Por definición de suma de matrices.
$=A_{ij}+0$	Por definición de $\theta$: $\theta_{ij}=0,\,\,\,\forall i,j.$
$=A_{ij}$	$0$ es el neutro en $\mathbb R .$

Por lo tanto $A+\theta$ y $A$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $(A+\theta)_{ij}=A_{ij}$. Así, $A+\theta=A$. Análogamente $\theta +A=A.$

Demostración de la propiedad $7$

Por demostrar que $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.$

Sabemos que $(\lambda+\mu)A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. También $\lambda A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $\mu A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ por lo que $\lambda A+\mu A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sean $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}.$

	Explicación de las igualdades
$((\lambda+\mu)A)_{ij}=$	Partimos un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(\lambda+\mu)A.$
$=(\lambda+\mu)A_{ij}$	Por definición del producto por escalar de matrices.
$=\lambda A_{ij}+\mu A_{ij}$	Por la distributividad en $\mathbb R.$
$=(\lambda A)_{ij}+(\mu A)_{ij}$	Por definición del producto por escalar de matrices.
$=(\lambda A+\mu A)_{ij}$	Por definición de suma de matrices.

Por lo tanto $(\lambda+\mu)A$ y $\lambda A+\mu A$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $((\lambda+\mu)A)_{ij}=(\lambda A+\mu A)_{ij}$. Así, $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.$

$\square$

Observa que $\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ cumple entonces propiedades análogas a las que cumple $\mathbb R^n$ con las operaciones de suma y producto por escalar. Debido a ello se le llama también un $\mathbb R$-espacio vectorial.

Se cumplen diversas propiedades que se desprenden de las anteriores, cuya pruebas son análogas a las que se realizaron en la unidad anterior para $\mathbb R^n$, como por ejemplo:

El neutro aditivo $\theta$ es único y es la matriz de ceros. La prueba de la unicidad se deja de tarea moral.

El inverso aditivo de $A$ es único y es $(-1)A$, se denota por $-A$. Esta prueba se deja de tarea moral.

Tarea Moral

$1.$ Considera la matriz:

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} \frac{4}{3} & -9 & 7 & -1 \\ -\frac{2}{3} & -3 & 4 & 0 \\ 1 & 22 & -11 & \pi \\ \end{array} \right)\end{equation*}$

$i)$ Encuentra el tamaño de $A.$

$ii)$ Determina cuál es la entrada $A_{24}.$

$iii)$ Expresa al primer renglón de $A$ como una matriz renglón y a la tercera columna de $A$ como una matriz columna, indicando en cada caso el tamaño de ambas matrices.

$2.$ Considera las siguientes matrices:

$A=\begin{equation*}\left(\begin{array}{rrr} -3 & 5 & 2 \\ 7 & -4 & 11 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$ y $B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 6 & -\frac{3}{4} & 0 \\ 4 & 1 & -5 \\ \end{array} \right) \end{equation*}$

Obtén $-7A+B$ y encuentra la matriz $X$ tal que $\frac{1}{5}B+4X=-A.$

$3.$ Compara las propiedades de suma y producto por escalar de matrices con las de $\mathbb R^n.$

$4.$ Sean $n$ y $m$ naturales positivos. Prueba que el neutro aditivo de $\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ es único.

$5.$ Sean $n$ y $m$ naturales positivos. Prueba que cada $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tiene un único inverso aditivo.

$6.$ Sean $n$ y $m$ naturales positivos,. Sean $A,B,C \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $\lambda\in \mathbb R$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones.

$i)$ Si $A+C=B+C$, entonces $A=B.$

$ii)$ Si $\lambda A$ es la matriz nula, entonces $\lambda=0.$

$iii)$ Si $\lambda A=A$, entonces $\lambda=1.$

$iv)$ $(-1)A$ es el inverso aditivo de $A.$

$7.$ Sean $n$ y $m$ naturales positivos y $A \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sea $t\in \mathbb N$. ¿Podremos sumar $A$ $t$ veces, sin importar qué tan grande sea $t$?, ¿podremos sumar $A$ una infinidad de veces?

Más adelante

En la siguiente nota definiremos la multiplicación de matrices, así como la matriz identidad, las matrices inversas y las transpuestas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$espacio vectorial

Enlace a la nota siguiente. Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente entrada entenderemos lo que es la dimensión de un espacio vectorial. Ésta será la cardinalidad de cualquiera de sus bases y estará bien definida ya que como hemos visto todas las bases tienen la misma cantidad de elementos. Así como podemos completar un conjunto linealmente independiente de $V$ agregando vectores hasta obtener una base de $V$, también podemos, a partir de un conjunto generador $\gamma$ de $V$, obtener una base de $V$ quitando vectores.

Definición

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. La dimensión de $V$ es la cardinalidad de cualquiera de sus bases.

Notación: $dim_{\mathbb R}V$ o simplemente $dim\,\,V$.

Ejemplos

1. $dim\,\,\mathbb R^n=n$ ya que $\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es una base de $\mathbb R^n$.

2. Considera el subespacio de $\mathbb R^2$ dado por $V =\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x+3y=0}.$ Notemos que

$\begin{align*} V &=\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x+3y=0}\\ \, &=\set{(x,y)\in \mathbb R^2\mid x=-3y}\\ \, &=\set{(-3y,y)\in \mathbb R^2\mid y\in \mathbb R}\\ \, &=\set{y(-3,1)\in \mathbb R^2\mid y\in \mathbb R}\\ \, &=\langle (-3,1) \rangle .\\ \end{align*}$

Así, $\set{(-3,1)}$ genera a $V$. Se deja al lector verificar que además $\set{(-3,1)}$ es $l.i$, entonces es una base de $V$. Por lo tanto $dim\,\,V=1.$

3. Considera el subespacio de $\mathbb R^4$ dado por $W =\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid 3x+2y-z+4w=0}.$ Observemos que

$\begin{align*} W &=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid 3x+2y-z+4w=0}\\ \, &=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x= -\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z-\frac{4}{3}w }\\ \, &=\bigg\{ \left( -\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z-\frac{4}{3}w ,y,z,w\right) \in \mathbb R^4\mid y,z,w\in \mathbb R\bigg\} \\ &=\bigg\{ y \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right)+z \left(\frac{1}{3},0,1,0\right)+w \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right)\in \mathbb R^4\mid y,z,w\in \mathbb R\bigg\}\\ \, &=\bigg\langle \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \bigg\rangle .\\ \end{align*}$

Así, $\big\{ \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \big\}$ genera a $W$. Se deja al lector verificar que además $\big\{ \left(-\frac{2}{3},1,0,0\right), \left(\frac{1}{3},0,1,0\right), \left(-\frac{4}{3},0,0,1\right) \big\}$ es $l.i$, entonces es una base de $W$ y por lo tanto $dim\,\,W=3.$

Lema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$, $m$ un natural positivo y $v_1,\dotsc,v_m\in V$ vectores distintos tales que $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.d.$ Entonces existe $v_j\in \set{v_1,\dotsc,v_m}$ tal que $\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle.$

Demostración

Sean $V\leq \mathbb R^n$, $m$ un natural positivo y $v_1,\dotsc,v_m\in V$ distintos tales que $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.d.$ Existen entonces $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m\in \mathbb R$ no todos nulos tales que:

$\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m=\bar{0}.$

Como $\lambda_1,\dotsc,\lambda_m$ no son todos nulos, podemos considerar $j\in\{1,2,\dots, m\}$ tal que $\lambda_j\neq 0$. Así:

$\begin{align} v_j &=-\frac{\lambda_1}{\lambda_j}v_1-\cdots- \frac{\lambda_{j-1}}{\lambda_j}v_{j-1}-\frac{\lambda_{j+1}}{\lambda_j}v_{j+1}-\cdots-\frac{\lambda_{m}}{\lambda_j}v_{m} \\ \label{ec1} \, &=\sum_{i\in\{1,\dots ,m\}, i\neq j} -\frac{\lambda_i}{\lambda_j}v_i . \\ \end{align}$

Sabemos que $ \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle \subseteq \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle.$

Ahora si $w\in \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle$ existen $\mu_1,\dotsc,\mu_m \in \mathbb R$ tales que:

$\begin{align*} w &=\mu_1v_1 + \cdots + \mu_j v_j+\cdots+\mu_m v_m \\ \end{align*}$

y sustituyendo $v_j$ de acuerdo a su expresión en \ref{ec1}

$\begin{align*} w &= \mu_1v_1 + \cdots + \mu_j \left(\sum_{i\in\{1,\dots ,m\}, i\neq j} -\frac{\lambda_i}{\lambda_j}v_i\right) +\cdots+\mu_m v_m . \\ \end{align*}$

Entonces $w$ es una combinación lineal del conjunto $\set{v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m}$ y por lo tanto $w\in \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle$, probando con ello que $ \langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle \subseteq \langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle .$ Así, tenemos la igualdad buscada:

$\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle.$

$\square$

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo conjunto generador finito de $V$ se puede reducir a una base de $V$, es decir, si $S$ es un conjunto generador finito de $V$, existe $\beta\subseteq S$ tal que $\beta$ es una base de $V$.

Demostración

Sea $V\leq \mathbb R^n$, $m$ un natural positivo y $v_1,\dotsc,v_m\in V$ distintos tales que $S=\set{v_1,\dotsc,v_m}$ genera a $V$.

Si $S$ es $l.i.$, entonces es una base de $V$.

Si $S$ es $l.d.$, por el lema existe $v_j\in S$ tal que $\langle v_1,\dotsc,v_j,\dotsc, v_m \rangle=\langle v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \rangle=V.$

Si $\{ v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \}$ es $l.i.$, entonces es una base de $V$.

Si $\{ v_1,\dotsc,v_{j-1},v_{j+1},\dotsc, v_m \}$ es $l.d.$ continuamos con este procedimiento (usando el lema) hasta obtener un subconjunto $\beta$ de $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ $l.i.$ y tal que $\langle \beta \rangle=V$. $\beta$ será entonces una base de $V$ contenida en $S$.

$\square$

Corolario

Sean $m\in \mathbb N$ y $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ de dimensión $m$. Tenemos que:

$a)$ Cualquier conjunto generador de $V$ con $m$ elementos es una base de $V$.

$b)$ Cualquier conjunto linealmente independiente en $V$ con $m$ elementos es una base de $V$.

Demostración

La demostración se deja como tarea moral.

Teorema

Sean $V$ y $W$ subespacios de $\mathbb R^n$ con $W\subseteq V$.

$a)$ Toda base de $W$ se puede completar a una base de $V.$

$b)$ $dim\, W\leq dim\, V.$

$c)$ Si $dim\, W=dim\,V$, entonces $W=V.$

Demostración

Demostración de $a)$

Se deja al lector realizar la demostración adaptando el procedimiento mediante el que se probó que todo subespacio de $\mathbb R^n$ tiene una base en la nota anterior.

Demostración de $b)$

Sean $\gamma$ una base de $W$ y $\beta$ una base de $V$. Como $\gamma$ es $l.i.$ en $V$ y $\beta$ es un generador de $V$ por la una nota en la entrada anterior se tiene que $dim\,W=\#\gamma\leq \#\beta=dim\,V.$

Demostración de $c)$

Supongamos que $dim\, W=dim\,V=m.$

Sea $\gamma$ una base de $W$. Sabemos que $\gamma$ es $l.i.$ en $V$ con $dim\,W=m$. Por el corolario anterior $\gamma$ es una base de $V$ y entonces $W=\langle \gamma \rangle=V$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y al subespacio:

$W=\langle (1,-7,-5), (2,10,2),(-3,-11,-1),(1,5,1) \rangle .$

Encuentra una base de $W$ reduciendo el conjunto generador dado.

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y los subespacios de $\mathbb R^3$ dados por:

i) $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid y=-2x,z=-3x}$

ii) $V=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+2y=z}.$

En cada inciso encuentra una base para cada subespacio y determina la dimensión del subespacio..

$3.$ Demuestra el corolario de la presente nota.

Más adelante

Con esta nota terminamos la unidad 3, en la siguiente y última unidad haremos un estudio de las matrices y sus determinantes.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 31. Bases de $\mathbb R^n$.

Enlace a la nota siguiente. Nota 33. Matrices.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota veremos el concepto de base de un subespacio vectorial, es decir un conjunto de vectores linealmente independiente, cuyo generado nos da el subespacio vectorial. Este concepto es muy importante pues nos permite describir a los elementos de un subespacio a partir de algunos vectores en el subespacio de forma única.

Definición

Sean $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y $\beta$ un subconjunto de $V$. Decimos que $\beta$ es una base de $V$ si genera a $V$ y es linealmente independiente. Decimos que $V$ es de dimensión finita si tiene una base finita.

Ejemplos

$1.$ En este ejemplo obtendremos una base para el espacio vectorial $\mathbb R^n$. Considera el vector cuyas entradas son todas cero excepto la $i$-ésima que es uno:

$e_i=(0,\dotsc,1,\dotsc,0).$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$ Sean $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n\in \mathbb R^n$ tales que:

$\lambda_1 e_1+\dotsc +\lambda_n e_n =\bar{0}.$

Entonces tenemos

$\lambda_1 (1,0,\dotsc, 0) + \lambda_2 (0,1,\dotsc, 0)+ \cdots + \lambda_n (0,0,\dotsc,0,1)= (0,0,\dotsc, 0).$

Desarrollando resulta que

$(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_n)=(0,0,\dotsc, 0)$

y comparando coordenada a coordenada concluimos que

$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0.$

Por lo tanto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es $l.i.$

Veamos que $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ genera a $\mathbb R^n$. Sabemos que $\langle \mathscr C \rangle \subseteq \mathbb R^n$ ya que $e_1,\dotsc,e_n\in \mathbb R^n$, y por lo tanto toda combinación lineal de ellos es un vector en $\mathbb R^n $.

Ahora si $ (x_1,x_2,\dotsc, x_n)\in \mathbb R^n$

$(x_1,x_2,\dotsc,x_n)=x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1).$

Observa que $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)$ es una combinación lineal de los elementos de $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$, es decir $x_1(1,0,\dotsc,0)+x_2(0,1,\dotsc,0)+\dotsc+x_n(0,0,\dotsc,1)\in \langle \mathscr C \rangle$. Así, cualquier vector en $\mathbb R^n$ es un elemento en $ \langle \mathscr C \rangle$, es decir $\mathbb R^n \subseteq \langle \mathscr C \rangle$.

Concluimos que $\mathbb R^n = \langle \mathscr C \rangle$.

Como el conjunto $\mathscr C=\set{e_1,\dotsc,e_n}$ es linealmente independiente y genera a $\mathbb R^n$, es una base de $\mathbb R^n$, se le llama la base canónica de $\mathbb R^n$.

$2.$ Consideremos el subespacio de $\mathbb R^3$ dado por $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-y+2z=0}$. Busquemos una base de $W$.

Notemos que si $(x,y,z)\in W$, entonces $ x-y+2z=0$, o bien $x=y-2z.$ Así,

$(x,y,z)=(y-2z,y,z)=y(1,1,0)+z(-2,0,1).$

Entonces

$W=\set{y(1,1,0)+z(-2,0,1)\mid y,z\in \mathbb R}=\langle (1,1,0), (-2,0,1) \rangle .$

Con ello hemos probado que el conjunto $S=\{(1,1,0),(-2,0,1)\}$ genera a $W$, así que sólo falta ver que es un conjunto linealmente independiente para verificar que es una base de $W$.

Para ver que $S$ es linealmente independiente veamos que la única manera de obtener al vector cero como combinación lineal de $(1,1,0),(-2,0,1)\in W$, es la trivial. Pero esto es cierto pues si $\lambda,\mu \in \mathbb R$ son tales que

$\lambda(1,1,0)+\mu(-2,0,1)=(0,0,0)$,

desarrollando tenemos que:

$(\lambda-2\mu,\lambda,\mu)=(0,0,0)$

y comparando coordenada a coordenada obtenemos que

$\begin{align} \lambda-2\mu &=0\\ \lambda &=0\\ \mu &=0.\\ \end{align}$

Por lo tanto $\lambda=\mu=0$.

Así, $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es $l.i.$

Concluimos que $S$ es un conjunto de vectores $l.i$ y $\langle S \rangle=W$, entonces $S$ es una base de $W$. Así, $S=\set{(1,1,0),(-2,0,1)}$ es una base de $W$.

Entendamos un poco más quién es $W$. Observamos que de hecho $W$ es un plano que pasa por el origen, y tanto $(1,1,0)$ como $(-2,0,1)$ son vectores en dicho plano. $W$ es entonces el plano definido por estos dos vectores. Notemos que cualquier combinación lineal de $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ será también un vector en el plano $W$ y todo vector en $W$ se puede obtener como una combinación lineal de dichos vectores. Además, como $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$ no son colineales, por el lema de la nota previa forman un conjunto linealmente independiente.

Observa en el siguiente recurso que elaboré en Geogebra cómo cualquier combinación lineal de los vectores $(1,1,0),(-2,0,1)$, es un elemento del plano que pasa por el origen y la punta de los vectores $(1,1,0)$ y $(-2,0,1)$, que son los vectores en color rosa. Este plano está en color azul, mientras que el plano en color gris es el plano $xy$.

Puedes también mover los puntos $A$ y $B$ para cambiar el par de vectores con los que se construye el plano y ver cómo es el generado de esos vectores. Mueve $A$ y $B$ de manera que sean colineales y constata que el generado en ese caso se limita a una recta.

El siguiente resultado se puede probar usando sistemas de ecuaciones. El lector interesado puede escribir la demostración siguiendo las ideas del Teorema 7 en la página 181del libro de Anton que aparece en la bibliografía del curso.

Nota

Sean $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y $m$ un natural positivo. Si $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es un conjunto con $m$ vectores que genera a $V$, todo conjunto $l.i$ de $V$ tiene a lo más $m$ elementos. En consecuencia todo conjunto $l.i$ de $\mathbb R^n$ tiene a lo más $n$ elementos.

Lema

Sean $m$ un natural positivo y $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ un conjunto $l.i$ con $m$ vectores en $\mathbb R^n$. Si $w\in \mathbb R^n$ es tal que $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$ entonces $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

Demostración

Sean $m$ un natural positivo y $\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq \mathbb R^n$ un conjunto $l.i$con $m$ vectores y $w\in \mathbb R^n$ con $w\notin \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$.

Sean $\lambda_1,\dotsc, \lambda_{m+1}\in \mathbb R$ tales que

$\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m+\lambda_{m+1} w=\bar{0}.$

Si $\lambda_{m+1}\neq 0$ tendríamos que

$w=-\frac{\lambda_1}{\lambda_{m+1}}v_1-\cdots-\frac{\lambda_m}{\lambda_{m+1}}v_m,$

entonces $w$ sería una combinación lineal de los elementos del conjunto $\set{v_1,\dotsc,v_m}$, y por lo tanto $w\in \langle v_1,\dotsc,v_m \rangle$. Pero esto es una contradicción a nuestra hipótesis, así $\lambda_{m+1}=0$, de donde $\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_m v_m=\bar{0}$ y como $\set{v_1,\dotsc,v_m}$ es $l.i.$ tenemos que $\lambda_1=\lambda_1=\cdots=\lambda_m=0$. Concluimos que $\lambda_1=\lambda_1=\cdots=\lambda_m= \lambda_{m+1}=0$ y por lo tanto $\set{v_1,\dotsc,v_m,w}$ es $l.i.$

$\square$

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Existe $\beta$ una base de $V$.

Demostración

Sea $V\leq \mathbb R^n$. Si $V=\set{\bar{0}}$, $\emptyset $ es $l.i$ y $\langle \emptyset \rangle =\set{\bar{0}}=V$.

Si $V\neq \set{\bar{0}}$ existe $v_1\in V$ tal que $v_1\neq \bar{0}.$

Puede suceder que $\langle v_1 \rangle=V$ en cuyo caso $\set{v_1}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1 \rangle\subsetneq V$, sea $v_2\in V\setminus \langle v_1 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2}$ es $l.i.$

Si $\set{v_1,v_2}$ genera a $V$, $\set{v_1,v_2}$ es una base de $V$.

Si $\langle v_1,v_2 \rangle\subsetneq V$, sea $v_3\in V\setminus \langle v_1,v_2 \rangle$. Por el lema antes probado $\set{v_1,v_2,v_3}$ es $l.i.$

Continuando de este modo obtenemos conjuntos de la forma $\set{v_1,\dotsc,v_t}$, $ l.i. $ en cada paso. Por la nota anterior, en cada paso $t\leq n$ así que el proceso es finito y en algún momento (a lo mucho después de $n$ pasos), obtenemos un conjunto $\beta=\set{v_1,\dotsc,v_m}\subseteq V$, con $m\leq n$, un conjunto $l.i$ que genera a $V$ y sería entonces una base de $V$.

Por lo tanto $V$ tiene una base.

$\square$

Corolario

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todo conjunto $l.i$ de $V$ se puede completar a una base de $V$, es decir, si $\beta$ es un conjunto $l.i$ de $V$, existe $\gamma$ con $\beta\subseteq \gamma$ tal que $\gamma$ es una base de $V$.

Demostración

Esta demostración queda como tarea moral.

Teorema

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$. Todas las bases de $V$ son finitas y tienen el mismo número de elementos.

Demostración

Sea $V$ un subespacio de $\mathbb R^n$ y sean $\beta,\beta’ $ bases de $V$.

Por la nota que aparece en esta entrada $\beta$ y $\beta’ $ son finitas y además como:

$\beta $ es $l.i$ y $\beta’$ genera a $V$, entonces $\#\beta \leq \#\beta’$.

$\beta’ $ es $l.i$ y $\beta$ genera a $V$, entonces $\#\beta’ \leq \#\beta$.

Por lo tanto $\#\beta =\#\beta’$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales y el subconjunto de $\mathbb R^3$ indicado en cada inciso. Encuentra una base de $\mathbb R^3$ que contenga a $S$:

$i)$ $S=\set{(1,0,1)}.$

$ii)$ $S=\set{(-2,1,5),(3,0,2)}.$

$2.$ Considera al espacio vectorial $\mathbb R^3$ sobre el campo de los reales. Encuentra al menos tres bases para el subespacio $W=\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x-3y+4z=0}$. ¿Cuántos elementos tienen estas bases?

$3.$ Encuentra bases para los siguientes subespacios del correspondiente $\mathbb R^n$ visto como espacio vectorial sobre los reales:

$i)$ $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid 3x-2y+5z=0}$

$ii)$ $\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x=y+w}$

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de dimensión de un espacio vectorial.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 30. Dependencia e independencia lineal

Enlace a la nota siguiente. Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$ espacio vectorial