Se tiene una correspondencia geométrica fundamental, la cual implica la transformación de cada punto del plano en una línea recta única y viceversa, mediante el uso de una circunferencia. La línea recta vinculada a un punto se denomina la polar de dicho punto, mientras que el punto mismo recibe el nombre de polo de la línea, es por ello que estudiaremos el tema de polos y polares.
Polos y Polares
Definición. Dada una circunferencia $C(O,r)$, dos puntos inversos $P$ y $Q$ respecto a $C(O,r)$. Sea $p$ la perpendicular a $OQ$ y que pasa por $Q$, y sea $q$ la perpendicular a $OP$ y pasa por $P$.
Entonces se dirá que «$p$ es la recta polar de $P$» y «$q$ es la recta polar de $Q$» ambas respecto a $C$. De igual forma se dirá que «$Q$ es el polo de $q$» y «$P$ es el polo de $p$» ambos respecto a $C$.
Se cumplen varias propiedades:
1.- Si $P$ es un punto exterior a la circunferencia, entonces $p$ es secante a la circunferencia $C$.
2.- Si $P$ es un punto de $C$, entonces $p$ es tangente a la circunferencia $C$.
3.- Si $P$ es un punto interior a $C$, entonces $p$ es ajena a la circunferencia $C$.
4.- La polar del centro de la circunferencia es la línea al infinito, y el polo de un diámetro de circunferencia $C$ es un punto al infinito.
Teorema. (Fundamental de Polos y Polares) Si respecto a una circunferencia dada $C(O,r)$, la polar de $P$ pasa por $Q$ entonces la polar de $Q$ pasa por $P$. A las rectas $p$ y $q$, se les llama conjugadas polares y, a los puntos $P$ y $Q$ se les denomina conjugados polares.
Demostración. Se tiene que $p$ es la polar de $P$ y $Q$ pertenece a $p$, ahora se tiene que $Q’$ es el inverso de $Q$ entonces $OP \times OP’ = r^2 = OQ \times OQ’$, por lo cual se tiene un cuadrilátero cíclico $PP’QQ’$, entonces $Q’P$ es perpendicular a $OQ$.
Por lo tanto, $Q’P=q$ es polar de $Q$.
$\square$
Corolario. Sean $p$ y $q$ líneas tales que, con respecto a una circunferencia $C$ dada, se dice que el polo de $p$ está en $q$, entonces el polo de $q$ está en $p$.
Demostración. Dadas $p$ y $q$ dos rectas y $P$ el polo de $p$, supongamos que $P$ está en $q$.
Sea $P’$ el inverso de $P$ y $P’$ perteneciente a $p$. Sean $OQ’$ perpendicular a $q$ y $Q$ es $OQ’$ intersección con $p$, pero $PQ’QP$ es un cuadrilátero cíclico, la circunferencia que lo contiene es ortogonal a $C$ y su inversa respecto a $C$ es ella misma, también $OP \times OP’ = OQ \times OQ’ = r^2$.
Entonces $Q$ y $Q’$ son inversas, por lo tanto, $Q$ es polo de $q$.
$\square$
«Se puede decir que las polares de una hilera son las líneas de un haz y que los polos de las líneas de un haz son los puntos de una hilera.»
Definición. (Puntos Conjugados) Dados dos puntos $P$ y $Q$ con respecto a una circunferencia, tales que la polar de uno pasa por el otro, diremos que $P$ y $Q$ son puntos conjugados respecto a la circunferencia $C$.
Definición. (Líneas Conjugadas) Respecto a una circunferencia $C$, se tienen dos líneas $p$ y $q$ tales que el polo de una está en el otro, se dirá que $p$ y $q$ son rectas conjugadas respecto a la circunferencia $C$.
Se tienen las siguientes propiedades:
1.- De dos puntos conjugados distintos en una línea que interseque la circunferencia, uno está dentro y el otro fuera de la circunferencia.
Demostración. Sea $r$ la línea que contiene a $P$ y $Q$, sea $R$ el polo de $r$ por lo cual la polar de $R$ es $r$ y pasa por $P$, entonces la polar de $P$ pasa por $R$, ahora como $P$ y $Q$ son conjugados entonces la polar de $P$ pasa por $Q$, por lo cual la polar de $P$ es la línea $RQ$ !
Por lo tanto, uno de los dos puntos conjugados está dentro y el otro afuera de la circunferencia.
$\square$
2.- Dadas dos líneas distintas conjugadas que se intersecan fuera de la circunferencia, una corta la circunferencia y la otra no.
3.- Cualquier punto en la circunferencia es conjugado a todos los puntos de la tangente en ese punto.
4.- Cualquier tangente a la circunferencia es conjugada a todas las líneas por su punto de contacto.
Más adelante…
La relación armónica está relacionada con respecto a lo hablado de polos y polares, por lo cual más adelante se hablara sobre teoremas relacionados con ambos temas.
Ya que hemos visto cómo son las bolas abiertas en diferentes métricas, procederemos a analizar cómo son cuando las comparamos con un conjunto $A \subset X$. Como recurso, usaremos imágenes representativas con la intención de ayudar en la abstracción de los conceptos que a continuación se anuncian. Aunque las bolas no necesariamente se representan siempre como circunferencias (métrica del taxista), o como objetos con bordes punteados (como el segmento vertical que forma parte de la bola abierta en la métrica del ascensor), para fines gráficos rescataremos la idea de usar líneas punteadas para hacer alusión al «borde» de una bola abierta, sugiriendo que son puntos en el conjunto $X$ que no están en ella. Por el contrario, representaremos con lineas continuas a los puntos que sí formen parte de un conjunto dado.
Unas breves comparaciones entre subconjuntos y puntos
Para iniciar, pensemos en un espacio métrico $(X,d)$:
Representación de un espacio métrico $X.$
Y en un conjunto $A$ contenido en $X$:
Representación de un conjunto $A$ contenido en un espacio métrico $X.$
Identifiquemos puntos arbitrarios en $X$:
Representación de puntos en el espacio métrico $X.$
Entonces un punto $x \in X$ puede pertenecer o no al conjunto $A$. Si $x \in A$, entonces una bola abierta con centro en $x$ podría tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.
Representación de una bola abierta con centro en $A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$
Representación de otra bola abierta con centro en $A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$
o bien, puede tener todos sus puntos en $A$
Representación de una bola abierta con centro en $A$ y con todos sus puntos en $A.$
¿Puede haber una bola con centro en un punto en $A$ que esté totalmente contenida en el conjunto $X \setminus A$?
Por otro lado, si consideramos ahora $x \notin A$ , una bola abierta con centro en $x$ podría tener puntos tanto en $A$ como en $X \setminus A$.
Representación de una bola abierta con centro en $X \setminus A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$
Representación de otra bola abierta con centro en $X \setminus A$ y con puntos «dentro» y «fuera» del conjunto $A.$
O bien, puede solo tener puntos en $X \setminus A$
Representación de una bola abierta con centro en $X \setminus A$ y con todos sus puntos en $X \setminus A.$
¿Es posible que una bola con centro en un punto en $X \setminus A$ esté totalmente contenida en $A$?.
Habiendo hecho estos comentarios generales, asignemos términos a los puntos de $X$ según las condiciones que cumplan las bolas abiertas asociadas.
Conceptos topológicos en un espacio métrico
Definición. Punto interior de un conjunto. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto interior de $A$en $(X,d)$ si existe $\varepsilon > 0$ tal que $B(x,\varepsilon) \subset A$.
Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en $A.$
Aunque $x$ pueda tener alguna bola abierta que no esté «totalmente» contenida en $A$, basta con que exista una que sí lo esté para que a $x$ se le considere un punto interior.
Representación de bolas abiertas con centro en un punto interior $x.$ Existe una contenida en $A.$
De acuerdo con la definición, un punto $x \in X$ no será punto interior de $A$ cuando para todo $ \varepsilon >0, B(x,\varepsilon)$ tiene puntos en $X \setminus A$. Los siguientes esquemas muestran puntos que no son puntos interiores del conjunto $A$ (tal vez sí lo sean de otro conjunto).
Representación de las bolas abiertas con centro en un punto que no es punto interior de $A.$Representación de las bolas abiertas con centro en un punto que no es punto interior de $A.$Representación de las bolas abiertas con centro en un punto que no es punto interior de $A.$
Definición. Interior de un conjunto. El conjunto formado por todos los puntos interiores de $A$ se denomina interior de $A$en $(X,d)$ y se denota como: $$Int (A) := \{x \in X|x \text{ es punto interior de A}\}$$
Representación de puntos que tienen una bola abierta contenida en $A.$
El conjunto $Int(A)$ se representa de la siguiente manera:
Representación de todos los puntos interiores de $A.$
Definición. Conjunto abierto. Diremos que $A \subset X$ es un conjunto abierto en $(X,d)$ si $A=Int(A)$.
Nota que en la definición de punto interior, no hemos pedido, explícitamente, que el punto en cuestión pertenezca a $A,$ pero si pruebas que para todo $A \subset X$ se cumple que $Int(A) \subset A$ notarás que un conjunto $A$ es abierto cuando todos sus puntos son puntos interiores, es decir, cuando también $A \subset Int(A)$. El conjunto $A$ que estamos considerando en nuestros dibujos no es abierto, pues tiene puntos que no son puntos interiores.
Representación de un punto de $A$ que no tiene una bola abierta contenida en $A.$
Pero si tomamos un conjunto $A$ de la siguiente forma, sí coincide con su interior y por lo tanto, es abierto.
Representación de un conjunto $A$ donde todos sus puntos son puntos interiores de $A.$
Definición. Punto de contacto o punto de adherencia. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Se dice que $x$ es punto de contacto (o de adherencia) de $A$ en $(X,d)$ si para todo $\varepsilon >0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$.
Representación de un punto de contacto de $A.$Representación de un punto de contacto de $A.$
Incluso un punto que no esté en $A$ podría ser punto de contacto de $A$.
Representación de un punto de contacto de $A$ que no está en $A.$
Pero si existe una bola abierta con centro en $x$ que no interseca al conjunto $A,$ $x$ no será punto de contacto, incluso si sí tuviera alguna bola que sí interseca al conjunto $A.$
Representación de un punto de $X$ que no es punto de contacto de $A.$
Definición. Cerradura o adherencia de un conjunto. El conjunto formado por todos los puntos de contacto es denominado la cerradura de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:
$$ \overline {A} := \{x \in X| x \text{ es punto de contacto de A}\}$$
Representación de puntos de contacto del conjunto $A.$
Todos los puntos de contacto de $A$.
Representación de la cerradura de $A.$
Definición. Conjunto cerrado. Diremos que un conjunto $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si $A=\overline{A}$. Si pruebas que para todo $A \subset X$ se satisface que $A \subset \overline{A}$ notarás que un conjunto $A$ es cerrado cuando todos sus puntos de contacto están en $A$, es decir, cuando $\overline{A} \subset A$. En el ejemplo que estamos manejando, $A$ no es cerrado, pues tiene puntos de contacto que no están en $A$:
Representación de un punto de contacto de $A$ que no está en $A.$
Pero si $A$ fuera considerado inicialmente de esta forma, sí coincide con su cerradura y por tanto, es cerrado:
Representación de un conjunto que tiene como elementos a todos sus puntos de contacto.
Al final de esta sección se te propondrá como ejercicio demostrar que $A \subset X$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto en $(X,d)$.
Representación de un conjunto $A$ cerrado y su complemento abierto.
Definición. Bola cerrada. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Considera un punto $x \in X$ y $\varepsilon \in \mathbb {R}, \, \varepsilon>0$. La bola cerrada con centro en $x$ y radio $\varepsilon$ se define como el conjunto de puntos en $X$ tales que el valor de su distancia al punto $x$ es menor o igual que $\varepsilon$. Se denota como:
$$\overline{B}(x,\varepsilon) := \{y \in X | d(x,y) \leq \varepsilon \}$$
Nota: A diferencia de la bola abierta, la bola cerrada sí incluye a los puntos cuya distancia al centro es exactamente $\varepsilon$.
Antes de poner un círculo «cerrado» como representación de una bola cerrada, enunciemos la siguiente:
Proposición. La cerradura de una bola abierta $B(x,\varepsilon)$ (denotado como $\overline{B(x,\varepsilon)}$) no coincide, necesariamente con la bola cerrada $\overline{B}(x,\varepsilon)$. Veamos un contraejemplo con la métrica discreta en $\mathbb{R}^2$ y con $\varepsilon=1$.
Dado un punto $x$ en $\mathbb{R}^2$, según la definición, la bola cerrada de radio $1$ con centro en $x$ es el conjunto:
Pues la distancia entre dos puntos en la métrica discreta solo puede ser $0$ o $1$.
Representación de una bola cerrada de radio $1$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica discreta.
Pero si consideramos que para todos los puntos $y$ de $\mathbb{R}^2$ la bola abierta $B(y,1)= \{y\}$, (pues la distancia entre $y$ y el resto de los puntos en $\mathbb{R}^2$ no es menor que $1$), veremos que todos los puntos en $\mathbb{R}^2$ que son distintos de $x$ tienen una bola abierta que no interseca a $B(x,1)$, por lo tanto no hay ningún punto de $\mathbb{R}^2$ diferente de $x$ que esté en la cerradura de $B(x,1)= \{x\}$. En conclusión $\overline{B(x,1)}=\{x\}$.
Representación de la cerradura de una bola abierta de radio $1$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica discreta.
Proposición. En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,\varepsilon)} = \overline{B}(x,\varepsilon)$. La demostración se propone como ejercicio.
Definición. Punto de acumulación. Sea $A$ un subconjunto de un espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto de acumulación de $A$ en $(X,d)$ si para todo $ \varepsilon >0$ se cumple que $(B(x,\varepsilon) \setminus \{ x \}) \cap A \neq \emptyset$. Nota que a diferencia del punto de contacto, el punto de acumulación se descarta de la intersección entre las bolas abiertas y $A$.
Representación de bolas abiertas que intersecan al conjunto $A$ incluso quitando el centro.
¿Es un punto de contacto también un punto de acumulación en cualquier métrica?
Proposición. Toda bola abierta que tiene un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en $A.$
Demostración: Supón que $x \in X$ es un punto de acumulación de $A$ y que $x \in B(y,\varepsilon), y \in X, \varepsilon>0$.
Representación de un punto de acumulación $x$ como elemento de una bola abierta con centro en $y.$
Supón también que, contrario a lo que se quiere demostrar, esta bola abierta tiene una cantidad finita de puntos en $A$, digamos $\{x_1,x_2,…,x_n\}$ distintos de $x$.
Representación de la cantidad finita de puntos que suponemos pertenecen a la bola abierta con centro en $y.$
Considera $\varepsilon_{i}:=d(x,x_i), \, i=1,2,…,n \,$ la distancia entre cada uno de ellos a $x$. Sea $\varepsilon_0>0$ tal que $B(x,\varepsilon_0) \subset B(y,\varepsilon).$ Esta $\varepsilon_0$ existe porque $x$ es elemento de $B(y,\varepsilon) \, $ y toda bola abierta es un conjunto abierto en el espacio métrico (se dejará como ejercicio al final de esta sección). Sea $\varepsilon_{m}= min\{\varepsilon_{i}|i=0,…,n\}$. Entonces el conjunto $B(x,\varepsilon_{m})\setminus \{x\}$ deja fuera todos los puntos de $A$, pues para todo $ \, x_i, i=1,…,n$ pertenecientes a $A \cap B(y,\varepsilon), \varepsilon_{m} \leq d(x,x_i)$, por lo tanto existe una bola abierta que, al quitarle el punto $x$ no interseca a $A$.
Representación de una bola abierta con centro en $x$ que es punto de acumulación, pero al «quitar» $x$ no interseca al conjunto $A.$
Entonces $x$ no es un punto de acumulación de $A$, lo cual es una contradición a la hipótesis. Por lo tanto una bola abierta que tenga un punto de acumulación de $A$, tiene también una cantidad infinita de puntos en $A$.
Nota: Se puede concluir también que un conjunto finito no tiene puntos de acumulación.
Definición. Punto frontera de un conjunto. Sea $A$ un subconjunto del espacio métrico $(X,d)$ y sea $x \in X$. Decimos que $x$ es punto frontera de $A$ en $(X,d)$ si para toda $\varepsilon > 0$ se cumple que $B(x,\varepsilon) \cap A \neq \emptyset$ y también $B(x,\varepsilon) \cap (X/A) \neq \emptyset$ .
Representación de bolas abiertas que tienen puntos tanto «dentro» como «fuera» del conjunto $A.$
Definición. Conjunto frontera de un conjunto. El conjunto formado por todos los puntos frontera es denominado la frontera de $A$ en $(X,d)$, y se denota como:
$$\partial A := \{x \in X| x \text{ es punto frontera de A}\}$$
Representación de la frontera de $A.$
Proposición. Prueba que $\partial A := \overline{A} \setminus Int(A)$. La demostración se propone como ejercicio.
La Topología es un área de las Matemáticas que generaliza estos conceptos del espacio métrico. Estudia familias de subconjuntos de un conjunto $X$ donde los elementos, (que son subconjuntos de $X),$ se denominan abiertos en $X.$ Si esta familia $\tau \subset \mathcal{P}(X) \,$ de abiertos satisface que tiene al conjunto $X$ y al conjunto $\emptyset$ como elementos, que la unión arbitraria de abiertos es también un abierto y que la intersección de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto, decimos que $\tau$ es una topología, o un espacio topológico en $X.$ (Para saber más ver Antonyan, S., Curso de Topología. Facultad de Ciencias, UNAM). Para finalizar con esta sección, veamos por qué un espacio métrico es un espacio topológico:
Proposición. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Entonces cumple con los siguientes axiomas:
1. Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $(X,d)$.
2. Si $\{U_i\}:i \in \mathcal{I}$ es una colección de conjuntos abiertos de $X$ entonces la unión $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto.
3. Si $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos de $X$ entonces la intersección $U \cap V$ es un conjunto abierto en $X$.
Demostración: Para demostrar que $X$ es abierto, demostraremos que cada punto en $X$ es un punto interior de $X$. Sea $x \in X$ y $\varepsilon>0$, por definición $B(x,\varepsilon)= \{y \in X|d(x,y)<\varepsilon \} \subset X. \,$ Por lo tanto para todo $\, x\in X, \, x \in Int(X)$. Se concluye que $X$ es abierto. La propiedad para el conjunto $\emptyset$ se cumple por vacuidad.
Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en $X.$
Sea $x \in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i \,$ entonces $x \in U_{i_0}$ para algún $i_0 \in \mathcal{I}$. Como particularmente $U_{i_0}$ es un conjunto abierto, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que$ B(x,\varepsilon) \subset U_{i_0} \subset \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$. Por lo tanto para todo $ \, x\in \cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ se cumple que $x \in Int(\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i)$, en consecuencia $\cup_{i\in \mathcal{I}} \, U_i$ es un conjunto abierto en $X$.
Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en la unión de abiertos.
Si $x \in U \cap V$ para $U,V$ abiertos en $X$, entonces $x \in U$ y $x \in V$ de modo que existen $\varepsilon_1 >0$ y $\varepsilon_2 >0$ tales que $B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Sea $\varepsilon= min \{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ entonces $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_1) \subset U$ y $B(x,\varepsilon) \subset B(x,\varepsilon_2) \subset V$. Así, $B(x,\varepsilon) \subset U \cap V$, probando así que para todo $\, x \in U \cap V, x \in Int(U \cap V)$. Por lo tanto $U \cap V$ es un conjunto abierto en $X.$
Representación de una bola abierta con centro en $x$ contenida en la intersección de dos abiertos.
Más adelante…
Pondremos en práctica las nociones aquí aprendidas para analizar espacios métricos de funciones. Una vez conocido mejor ese espacio, continuaremos con la generalización de definiciones vistas en los cursos de cálculo y hablaremos de convergencia de sucesiones, límite y continuidad en espacios métricos.
Tarea moral
Sea $X$ un espacio métrico y $A \subset X$. Demuestra que se cumplen las siguientes afirmaciones:
Una bola abierta en $X$ es un conjunto abierto.
El conjunto $Int(A)$ es abierto.
Para todo $A \subset X$, $Int(A) \subset A$.
Una bola cerrada en $X$ es un conjunto cerrado.
El conjunto $\overline{A}$ es cerrado.
$A$ es un conjunto cerrado en $(X,d)$ si y solo sí su complemento $X \setminus A$ es un conjunto abierto.
La frontera de $A$ es un conjunto cerrado.
Si $A$ es finito, entonces es cerrado.
En espacios normados la cerradura de una bola abierta sí es la bola cerrada. Es decir $\overline{B(x,r)} = \overline{B}(x,r)$.
¿Es siempre la frontera de una bola abierta $B(x,d)$ el mismo conjunto de puntos $y \in X$ donde se cumple la igualdad $d(x,y)=\varepsilon? \,$ Demuestra que en espacios normados sí ocurre.
Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. (2a ed.). Moscú: Editorial MIR, 1975. Págs: 60-62 y 64-66.
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw–Hill, 1953. Págs: 32-35.
Probablemente recuerdes que en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral se habló de bolas de radio $\varepsilon>0$ con centro en un punto $x$. Había otros conjuntos, como los conjuntos abiertos y cerrados, de los que habrás visto representaciones gráficas, (puedes consultar la entrada $\mathbb{R}^n$ como espacio Topológico para tener presente los conceptos en la métrica usual). Estas ideas pueden generalizarse a otros espacios con métrica distinta a la euclidiana. En la sección que aquí se presenta visualizaremos algunos ejemplos y comprobarás que conjuntos como la bola abierta, quedan representados por figuras diferentes a las ya conocidas (no siempre se trata de círculos o esferas). Observarás los cambios que las métricas pueden generar, incluso cuando también se trata de distancias en el conjunto $\mathbb {R}^n$. Comencemos por identificar puntos que estén “cerca” entre sí, aquellos cuya distancia no exceda cierta cantidad. Para eso tenemos la siguiente:
Definición. Bola abierta. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Considera un punto $x \in X$ y $\varepsilon \in \mathbb {R}$ tal que $\varepsilon>0$. La bola abierta con centro en $x$ y radio $\varepsilon$ se define como el conjunto de puntos en $X$ tales que el valor de su distancia al punto $x$ es menor que $\varepsilon$. Se denota como:
$$B(x,\varepsilon) := \{y \in X | d(x,y) < \varepsilon\}$$
Representación de bola abierta con centro en $x.$ Los puntos en verde tienen distancia a $x$ menor que $\varepsilon,$ contrario a los puntos rojos.
Nota que si $x$ es el centro, entonces siempre está en la bola abierta sin importar el valor de $\varepsilon > 0$, pues precisamente, $d(x,x)=0<\varepsilon$
Ejemplosde bolas abiertas en espacios métricos
La bola abierta en la métrica discreta
Recordemos que en la métrica discreta, la distancia entre dos puntos diferentes siempre es $1$. Entonces, si $0<\varepsilon<1$ la bola abierta solo tendrá como elemento al centro.
Representación de $B(x, \varepsilon ),$ con $0 < \varepsilon<1 $ en la métrica discreta.
Por el contrario, si $\varepsilon>1$ la bola abierta tendrá como elementos a todos los elementos del espacio métrico.
Representación de $B(x, \varepsilon ),$ con $\varepsilon > 1 $ en la métrica discreta.
La bola abierta en $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana
Considera el conjunto $\mathbb{R}$ con la métrica usual. \[ d(x,y) := |x-y| := \left\{ \begin{array}{lcc} x-y & si & x \geq y \\ \\ y-x & si & x < y \end{array} \right. \] Para $x,y \in \mathbb{R}$
Entonces para un punto $x_{0} \in \mathbb{R}$ y $\varepsilon>0$, la bola abierta $B(x_0,\varepsilon)$ está dada por el intervalo abierto $(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon)$.
Representación de $B(x_0,\varepsilon) = (x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon).$
Representación de $B(0,3) = (-3,3).$
Más específicamente, la bola abierta con centro en $0$ y radio $3$ es el intervalo $(-3,3)$.
Mientras que la bola abierta con centro en $2$ y radio $3$ es el intervalo $(-1,5)$.
Representación de $B(2,3) = (-1,5).$
La bola abierta en $\mathbb{R}^2$ con la métrica euclidiana
Considera ahora $\mathbb{R}^2$ y la métrica euclidiana definida por: $$d(x,y) := \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2}$$ con $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$.
Entonces para un punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2}) \in \mathbb{R}^2$ y $\varepsilon>0$, la bola abierta $B(x_0,\varepsilon)$ está dada por el conjunto de puntos que están «dentro de la circunferencia» con centro en $x_0$ y radio $\varepsilon$.
Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica usual.
Representación de $B((2,3),4)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica usual.
Por ejemplo, si $x_0=(2,3)$ y $\varepsilon=4$ la bola abierta $B((2,3),4)$ está formada por los puntos dentro de la circunferencia con centro en $(2,3)$ y radio $4$.
La bola abierta en $\mathbb{R}^3$ con la métrica euclidiana
Si pensamos en $\mathbb{R}^3$ y la métrica euclidiana definida por: $$d(x,y) := \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2+(x_{3}-y_{3})^2}$$ con $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ y $y=(y_{1},y_{2},y_{3}) \in \mathbb{R}^3$.
Entonces para un punto $x_0=(x_{0_1},x_{0_2},x_{0_3}) \in \mathbb{R}^3$ y $\varepsilon>0$, la bola abierta $B(x_0,\varepsilon)$ está dada por el conjunto de puntos que están «dentro de la esfera» con centro en $x_0$ y radio $\varepsilon$.
Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ en $\mathbb{R}^3$ con la métrica usual.
Representación de $B((3,2,1),3)$ en $\mathbb{R}^3$ con la métrica usual.
Por ejemplo, si $x_0=(3,2,1)$ y $\varepsilon=3$, la bola abierta $B((3,2,1),3)$ está formada por los puntos “dentro de la esfera” con centro en $(3,2,1)$ y radio $3$.
La bola abierta en la métrica del taxista En la sección Otros ejemplos de espacios métricos definimos esta métrica en el conjunto $\mathbb{R}^2$ como: $$d(x,y) :=|y_1-x_1|+|y_2-x_2| $$ para $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$. Entonces para un punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2}) \in \mathbb{R}^2$ y $\varepsilon >0$, la bola abierta $B(x_{0},\varepsilon )$ está dado por el conjunto de puntos $y=(y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2$ que satisfacen: \begin{align*} d(x_{0},y)=|y_1-x_{0_1}|+|y_2-x_{0_2}|&< \varepsilon \\ \Leftrightarrow |y_2-x_{0_2}|&< \varepsilon -|y_1-x_{0_1}| \\ \Leftrightarrow – \varepsilon +|y_1-x_{0_1}|< y_2-x_{0_2}&< \varepsilon -|y_1-x_{0_1}| \end{align*} Esto quiere decir que el conjunto buscado está delimitado por las rectas: \begin{align} y_{2}-x_{0_2}&= \varepsilon -(y_1-x_{0_1})\\ y_{2}-x_{0_2}&= \varepsilon +(y_1-x_{0_1})\\ y_{2}-x_{0_2}&= – \varepsilon -(y_1-x_{0_1})\\ y_{2}-x_{0_2}&= – \varepsilon +(y_1-x_{0_1}) \end{align} Que son representadas a continuación:
Como la desigualdad es estricta concluimos que la bola abierta será un «rombo abierto» cuyas diagonales tienen longitud $2\varepsilon$ con centro en el punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2})$.
Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica del taxista.
Como ejemplo considera la bola abierta con centro en $(-3,2)$ y de radio $2$. El conjunto $B((-3,2),2)$ se muestra en la siguiente imagen.
Representación de $B((-3,2),2)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica del taxista.
La bola abierta en la métrica del ascensor
Recordemos que el desplazamiento entre dos pisos de edificios iguales o diferentes motiva una métrica en $\mathbb{R}^2$. (Ver Otros ejemplos de espacios métricos). Si estamos en el piso marcado con el punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2}) \in \mathbb{R}^2$ y tenemos $\varepsilon>0$ como límite de distancia, procedamos a identificar los puntos a los que podemos llegar:
Estando en el mismo edificio, el ascensor puede llevarnos hasta una distancia menor que $\varepsilon$ hacia arriba, o bien, una distancia menor que $\varepsilon$ hacia abajo.
Representación de $B((x_{0_1},x_{0_2}), \varepsilon)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica del ascensor cuando $|x_{0_2}|> \varepsilon$.
Como la planta baja está a distancia $\varepsilon_1:=|x_{0_2}|$ entonces si $\varepsilon_1> \varepsilon$, nuestro ascensor no llega hasta ahí.
En contraparte, si $\varepsilon_1 \leq \varepsilon$, entonces sí podemos llegar a la planta baja y, quizá también, a otros niveles del «sótano».
En este caso, aún nos podemos desplazar hasta una distancia $\varepsilon-\varepsilon_1$, primero sobre el eje $x$ y luego sobre el eje $y$ a modo de la métrica del taxista. En consecuencia, la bola abierta está conformado por una linea vertical de longitud $2\varepsilon$, sin los extremos, que tiene centro en el punto $x_{0}=(x_{0_1},x_{0_2})$. Si $\varepsilon_1 < \varepsilon$, se agrega también a la bola abierta, un «rombo abierto» con centro en el punto $(x_{0_1},0)$ cuyas diagonales miden $2(\varepsilon-\varepsilon_1)$. Esto se representa en la siguiente imagen:
Representación de $B((x_{0_1},x_{0_2}), \varepsilon)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica del ascensor cuando $|x_{0_2}|\leq \varepsilon$.
Como ejemplo, la bola con centro en $(-2,1)$ y radio $3$ tendrá la siguiente representación:
Representación de $B((-2,1), 3)$ en $\mathbb{R}^2$ con la métrica del ascensor.
La bola abierta en el tablero de ajedrez. Hemos visto que en un conjunto dado por las casillas del tablero de ajedrez se pueden definir métricas de acuerdo al movimiento de cada pieza. Como ejemplo, considera el movimiento permitido para la reina. Sea $x_0$ la casilla donde se encuentra. En cada turno, esta pieza se puede mover en cualquier dirección y cualquier cantidad de casillas. Como la distancia entre dos casillas se define como el mínimo de movimientos necesarios para que la pieza llegue de una casilla a la otra, entonces tenemos las siguientes bolas abiertas para distintos valores de $\varepsilon$:
Si $0<\varepsilon \leq 1$ entonces la distancia entre dos casillas debe ser menor que $1$. En consecuencia buscamos señalar las casillas a las que se puede desplazar la reina en $0$ movimientos que es, únicamente, la casilla en la que está posicionada.
Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $0<\varepsilon \leq 1$ en el tablero de ajedrez con la métrica de la reina.
Si $1<\varepsilon \leq 2$ entonces se permite hacer a lo más un movimiento. Las casillas a las que se puede desplazar la reina están señaladas en tonos amarillos, pues puede elegir cualquier dirección y elegir también, detenerse en cualquiera de ellas.
Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $1<\varepsilon \leq 2$ en el tablero de ajedrez con la métrica de la reina.
Si $2<\varepsilon$ entonces ya se permiten hacer 2 movimientos. En la figura anterior podemos visualizar casillas no sombreadas en amarillo. No obstante a cualquiera de ellas se puede llegar desde alguna de las casillas iluminadas. En consecuencia, con dos movimientos es posible que la reina llegue a cualquier casilla del tablero.
Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $2<\varepsilon$ en el tablero de ajedrez con la métrica de la reina.
En contraparte el rey, que también se puede mover en cualquier dirección, no puede avanzar más que una casilla por turno. Esto origina las siguientes representaciones de bolas abiertas:
Para $\varepsilon \leq 1$ el rey no puede hacer ningún movimento y permanece en la casilla donde esté ubicado.
Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $0 < \varepsilon \leq 1$ en el tablero de ajedrez con la métrica del rey.
Para $1 <\varepsilon \leq 2$ el rey puede hacer un movimiento y acceder así, a las casillas adyacentes a su posición.
Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $1 <\varepsilon \leq 2$ en el tablero de ajedrez con la métrica del rey.
Para $2 <\varepsilon \leq 3$ el rey puede avanzar hasta dos casillas, lo que se representa iluminando las casillas vecinas con respecto a la imagen anterior.
Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $2 <\varepsilon \leq 3$ en el tablero de ajedrez con la métrica del rey.
Para $3 <\varepsilon \leq 4$ una nueva familia de casillas vecinas se agrega a la bola abierta. ¿Puedes decir entonces, cuál es la distancia más grande entre dos casillas con la métrica del rey? ¿Y con la de la reina?
Representación de $B(x_0, \varepsilon)$ con $3 <\varepsilon \leq 4$ en el tablero de ajedrez con la métrica del rey.
Más adelante
Retomaremos los conceptos de interior, cerradura o frontera de un conjunto, así como de conjunto abierto y cerrado vistos en los cursos de Cálculo pero ahora generalizados en cualquier espacio métrico.
Tarea moral
Representa las bolas abiertas en la métrica del ajedrez con otras piezas.
Muestra un ejemplo de bola abierta en la métrica del ascensor en el que el centro esté fuera del rombo, uno donde esté dentro y uno más donde el centro esté sobre el vértice.
Da un ejemplo de espacio métrico y dos bolas $B(x,\varepsilon_1)$ y $B(y,\varepsilon_2)$ tales que $\varepsilon_1>\varepsilon_2$ pero $B(x,\varepsilon_1) \subset B(y,\varepsilon_2)$.
Como las capas de una cebolla, los sistemas numéricos se contienen unos a otros, ya en la prehistoria tuvimos la necesidad de contar, de llevar un registro de los días transcurridos, o del número de lunas llenas. Hubo pronto la necesidad de partir esos números, y tomarse la mitad, la tercera parte de una cierta medida, por ejemplo del mes lunar; esto dio origen a los números fraccionarios. Nuestro sistema numérico es posicional y de base $10$, es decir tenemos $10$ símbolos, que son los números $1,2,3,4,5,6,7,8,9,0$, que colocamos en las distintas posiciones: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.
Con el desarrollo de nuestra civilización también se ampliaron los sistemas numéricos, y posiblemente derivado del manejo de la finanzas se concibieron los números negativos, esos números que tienen signo y que localizamos a la izquierda del cero en la recta numérica.
Todos estos números, los naturales, los enteros, las fracciones, los números decimales, se encuentran en la recta numérica, y juntos todos se dice que son los números reales.
Los primeros números concebidos por la humanidad son los números naturales, y con ellos las $4$ operaciones fundamentales:
$\textcolor{Red}{Sumar}$, que significa agregar a una cantidad otra.
$\huge{7+5=12}$
$\textcolor{Red}{Restar}$, que significa quitar a una cantidad otra.
$\huge{7-5=2}$
$\textcolor{Red}{Multiplicar}$, que se significa amplificar una cantidad por otra.
$\huge{7\cdot5=5}$
$\textcolor{Red}{Dividir}$, que significa repartir una cantidad entre otra, o compararla.
$\huge{8\div 4=2}$
Estas operaciones nos permiten resolver gran cantidad de problemas de la vida cotidiana, identifica con que operación se resolverían las siguientes situaciones en el huerto:
Las donaciones al huerto este mes fueron de $1500$ pesos de Andrés, $400$ de Pedro y $350$ de Ana. ¿Cuánto lograron juntar?.
De lo juntado en el huerto ese mes, se decidió invertir $300$ pesos para comprar semillas de lechuga, ¿Cuánto quedo?.
Si cada sobre de semillas de lechuga cuesta $20$ pesos, ¿Cuántos compraron?.
Se decide cultivar una parcela con $500$ lechugas, esperando vender cada pieza en promedio en $10$ pesos, ¿Cuánto se obtendría?.
En el siguiente recurso de geogebra mueve el deslizador para cambiar la posición del punto, los números naturales avanzan de uno en uno en un proceso sin fin.
Los números enteros.
Vamos a considerar la siguiente situación: Juan decide comprar un nuevo teléfono, tiene $3500$ pesos y el teléfono que le gusta cuesta $2800$ pesos, efectúa la compra, ¿Cuánto le quedó?. $\textit{Es claro que tenemos que restar a 3500 los 2800.}$
$\huge{3500-2800=700}$
Pero y si la situación fuese al revés, si Juan solo tuviera $2800$ pesos y se compra un teléfono que vale $3500$, la pregunta es: ¿Cómo le hizo?. Si uno se detiene a pensar está situación, la única manera de que Juan comprara su teléfono, $\textbf{¡es pidiendo prestado!}.$
Vamos a interpretar de ahora en adelante, la resta de $2800$ menos $3500$, con la deuda que se tuvo que adquirir, es decir $700$, añadiremos el signo negativo al resultado y escribiremos:
$\huge{2800-3500=-700}$
Estos números con signo negativo los vamos a situar a la izquierda del número cero, y avanzaran en saltos a la izquierda de uno en uno, creando el conjunto de los números negativos.
En el siguiente recurso de geogebra mueve el deslizador para cambiar la posición del punto. Observa que los números negativos se encuentran a la izquierda del cero.
Juntos, el conjunto de los números negativos y el conjunto de los números naturales, forman el conjunto de los números enteros.
Efectúa las siguientes restas:
$\huge{7-4=?}$
$\huge{4-7=?}$
$\huge{25-5=?}$
$\huge{5-25=?}$
$\huge{25-100=?}$
Reflexiona: ¿En que otras situaciones se usan los números enteros además de la deuda?
Así como se hizo con los números naturales, aprenderemos las operaciones fundamentales con enteros, suma, resta, multiplicación y división.
La suma se traga a la resta
Sumar es añadir, cuando sumamos dos números enteros positivos, a la primera cantidad le agregamos la segunda. En la recta numérica nos situamos en el entero correspondiente a la primera cantidad y avanzamos a la derecha saltos de tamaño uno tantas veces como lo indique la segunda cantidad, para obtener el resultado.
$\huge {5+7=12}$
Pero ahora tenemos estos nuevos números negativos, puedo ahora a un número positivo sumarle un número negativo, y lo voy a interpretar en la recta numérica de la siguiente manera:
Me situó en la primera cantidad (la positiva), y como el número que le voy a sumar es negativo, avanzamos a la izquierda saltos de tamaño uno tantas veces como lo indique la segunda cantidad, para obtener el resultado.
$\huge {5+(-7)=-2}$
Nota que el resultado es lo mismo que la resta de 5 menos 7:
$\huge {5-7=-2}$
Observa que: las restas de números positivos se pueden ver como la suma de un positivo con un número negativo, y viceversa también, las sumas de un positivo con un negativo se pueden ver como la resta de dos positivos.
Para cada número entero, existe otro de tal forma que al sumarse entre si el resultado es cero: $\huge{\begin{align*} 7&+(-7)=0\\ 17&+(-17)=0 \\ 177&+(-177)=0 \end{align*}}$
Observa que a cada número se le suma su inverso, es decir el mismo número pero con signo negativo.
Reflexiona lo siguiente:
¿Cuál es el inverso aditivo de $5$?
Después de meditarlo te das cuenta que es el mismo número pero precedido del signo $\huge{\textcolor{red}{-}}$, es decir $\huge{\textcolor{red}{-}5}$, así:
$\huge {5+(\textcolor{red}{-}5)=0}$
Piensa ahora en lo siguiente: ¿Cuál es el inverso aditivo del número negativo $-10$?, recuerda que es un número que sumado con $-10$ te de como resultado cero.
¿Qué número se tiene que poner en el espacio faltante para que el resultado sea cero? $\huge{-10+\phantom{10}=0}$
Después de pensarlo un momento uno se da cuenta que ese número es el $10$, pero por otra parte como es el inverso de $-10$, es el mismo número $-10$ pero precedido del signo $\huge{\textcolor{red}{-}}$, es decir $\huge{\textcolor{red}{-}(-10)}.$
Por lo que acabamos de obtener que:
$\huge{-10+10=-10+\textcolor{red}{-}(-10)=0}$
De está forma acabamos de ver que $10=\textcolor{red}{-}(-10)$, es decir el inverso del inverso de $10$, es el número positivo $10$.
Como todas las restas se pueden ver como sumas y gracias a los inversos aditivos, ahora tendrá sentido restar números negativos.
Si tenemos la resta de un número positivo con uno negativo:
$\huge {9-(-3)}$
Primero la transformaremos en una suma, sumándole el inverso aditivo del segundo número:
$\huge {9-(-3)=9+(\textcolor{red}{-}(-3))}$
Pero como el inverso aditivo de un negativo es un positivo concluimos que:
El hecho de que toda resta se puede ver como suma, y que el inverso aditivo de un número negativo es un número positivo será el motivo de las llamadas leyes de los signos, que daremos en la siguiente nota.
(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Una matriz es un objeto matemático que se compone de una colección ordenada de números, llamados elementos, dispuestos en filas y columnas. Las matrices se utilizan en numerosas áreas de las matemáticas, la física, la informática, la ingeniería y otras disciplinas para manipular y analizar datos, realizar cálculos y resolver problemas. Bajo las condiciones adecuadas las matrices se pueden sumar, multiplicar, transformar mediante operaciones matriciales, etc. para obtener información relevante. Las matrices también se utilizan en la representación de sistemas lineales de ecuaciones.
Ve el siguiente video:
Definición
Sean $n$ y $m$ naturales positivos y $K$ un conjunto. Una matriz $A$ con entradas en $K$ de $m$ renglones y $n$ columnas es una función:
Sean $n,m,r$ y $s$ naturales positivos y $K$ un conjunto. Sea $A$ una matriz $m\times n$ con entradas en $K$ y $B$ una matriz $r\times s$ con entradas en $K$.
Decimos que $A$ es igual a $B$ si:
$m=r,\,n=s$ y $A_{ij}=B_{ij}\,\,\, \forall i\in \set{1,\dotsc, n},\,\,\,\forall j\in \set{1,\dotsc, n}.$
Es decir dos matrices son iguales si tienen la misma cantidad de renglones, la misma cantidad de columnas, y coinciden entrada a entrada.
Definición
Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A$ y $B$ matrices $m\times n$ con entradas en $\mathbb R$. La suma de $A$ y $B$ es la matriz $A+B$ de $m\times n$ tal que $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.$
Dado $\lambda\in \mathbb R$ el producto escalar de $\lambda$ por $A$ es la matriz $\lambda A$ de $m\times n$ tal que $(\lambda A)_{ij}=\lambda A_{ij}.$
Notación.
Dados $n$ y $m$ naturales positivos $\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)=\set{A\mid A\,\,es\,\,una\,\,matriz\,\,m\times n\,\,con\,\,entradas\,\,reales}.$
Vamos a probar las propiedades $1,3$ y $7$. Las demás se dejan al lector. Recuerda no confundir las operaciones entre matrices, con las operaciones en los números reales.
Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A,B,C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),\,\,\lambda,\mu \in \mathbb R .$
Demostración de la propiedad $1$
Por demostrar que $(A+B)+C=A+(B+C).$
Como $A+B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ entonces $(A+B)+C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$.
Como $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $B+C\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ entonces $A+(B+C)\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$
Considera a $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}$
Explicación de las igualdades
$(A+(B+C))_{ij}=$
Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $A+(B+C).$
$=A_{ij}+(B+C)_{ij}$
Por definición de suma de matrices.
$=A_{ij}+(B_{ij}+C_{ij})$
Por definición de suma de matrices.
$=(A_{ij}+B_{ij})+C_{ij}$
Por asociatividad en $\mathbb R.$
$=(A+B)_{ij}+C_{ij}$
Por definición de suma de matrices.
$=((A+B)+C)_{ij}$
Por definición de suma de matrices.
Por lo tanto $A+(B+C)$ y $(A+B)+C$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $(A+(B+C))_{ij}=((A+B)+C)_{ij}$. Así, $A+(B+C)=(A+B)+C.$
Demostración de la propiedad $3$
Sea $\theta\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tal que $\theta_{ij}=0\,\,\forall i,j$. Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$
Por demostrar que $A+\theta=\theta +A=A.$
Sabemos que $A+\theta\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sean $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}.$
Explicación de las igualdades
$(A+\theta)_{ij}=$
Partimos de un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $A+\theta .$
$=A_{ij}+\theta_{ij}$
Por definición de suma de matrices.
$=A_{ij}+0$
Por definición de $\theta$: $\theta_{ij}=0,\,\,\,\forall i,j.$
$=A_{ij}$
$0$ es el neutro en $\mathbb R .$
Por lo tanto $A+\theta$ y $A$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $(A+\theta)_{ij}=A_{ij}$. Así, $A+\theta=A$. Análogamente $\theta +A=A.$
Demostración de la propiedad $7$
Por demostrar que $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.$
Sabemos que $(\lambda+\mu)A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. También $\lambda A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $\mu A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ por lo que $\lambda A+\mu A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sean $i \in \set{1,\dotsc,m},\,\, j \in \set{1,\dotsc,n}.$
Explicación de las igualdades
$((\lambda+\mu)A)_{ij}=$
Partimos un elemento arbitrario $ij$ de la matriz $(\lambda+\mu)A.$
$=(\lambda+\mu)A_{ij}$
Por definición del producto por escalar de matrices.
$=\lambda A_{ij}+\mu A_{ij}$
Por la distributividad en $\mathbb R.$
$=(\lambda A)_{ij}+(\mu A)_{ij}$
Por definición del producto por escalar de matrices.
$=(\lambda A+\mu A)_{ij}$
Por definición de suma de matrices.
Por lo tanto $(\lambda+\mu)A$ y $\lambda A+\mu A$ son matrices del mismo tamaño y para toda $i$ y para toda $j$ tenemos que $((\lambda+\mu)A)_{ij}=(\lambda A+\mu A)_{ij}$. Así, $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.$
$\square$
Observa que $\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ cumple entonces propiedades análogas a las que cumple $\mathbb R^n$ con las operaciones de suma y producto por escalar. Debido a ello se le llama también un $\mathbb R$-espacio vectorial.
Se cumplen diversas propiedades que se desprenden de las anteriores, cuya pruebas son análogas a las que se realizaron en la unidad anterior para $\mathbb R^n$, como por ejemplo:
El neutro aditivo $\theta$ es único y es la matriz de ceros.La prueba de la unicidad se deja de tarea moral.
El inverso aditivo de $A$ es único y es $(-1)A$, se denota por $-A$. Esta prueba se deja de tarea moral.
$iii)$ Expresa al primer renglón de $A$ como una matriz renglón y a la tercera columna de $A$ como una matriz columna, indicando en cada caso el tamaño de ambas matrices.
Obtén $-7A+B$ y encuentra la matriz $X$ tal que $\frac{1}{5}B+4X=-A.$
$3.$ Compara las propiedades de suma y producto por escalar de matrices con las de $\mathbb R^n.$
$4.$ Sean $n$ y $m$ naturales positivos. Prueba que el neutro aditivo de $\mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ es único.
$5.$ Sean $n$ y $m$ naturales positivos. Prueba que cada $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tiene un único inverso aditivo.
$6.$ Sean $n$ y $m$ naturales positivos,. Sean $A,B,C \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $\lambda\in \mathbb R$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones.
$i)$ Si $A+C=B+C$, entonces $A=B.$
$ii)$ Si $\lambda A$ es la matriz nula, entonces $\lambda=0.$
$iii)$ Si $\lambda A=A$, entonces $\lambda=1.$
$iv)$ $(-1)A$ es el inverso aditivo de $A.$
$7.$ Sean $n$ y $m$ naturales positivos y $A \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$. Sea $t\in \mathbb N$. ¿Podremos sumar $A$ $t$ veces, sin importar qué tan grande sea $t$?, ¿podremos sumar $A$ una infinidad de veces?
Más adelante
En la siguiente nota definiremos la multiplicación de matrices, así como la matriz identidad, las matrices inversas y las transpuestas.
