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Variable Compleja I: Teorema del residuo y aplicaciones

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En la entrada anterior dimos una clasificación de los ceros y las singularidades de una función analítica, en particular de las singulares aisladas que como vimos pueden clasificarse en tres tipos: singularidades removibles, polos y singularidades esenciales.

Esta entrada corresponde con la última del curso. En ella definiremos el residuo de una función analítica y veremos el teorema del residuo, mediante el cual nos será posible evaluar integrales reales, tanto impropias como integrales definidas, de una manera sencilla.

De acuerdo con la observación 42.5, sabemos que si $f$ es una función analítica en el disco abierto perforado $B^{*} (z_{0}, R)$ , con $R > 0$ , y $z_{0} \in C$ es una singularidad asilada de $f$ , entonces para $0 < r < R$ , se cumple que la circunferencia $γ_{r} (t) = z_{0} + r e^{i t}$ , con $t \in [0, 2 π]$ , está contenida en el anillo $A (z_{0}, 0, R) = B^{*} (z_{0}, R)$ y en dicho anillo $f$ tiene una expansión en serie de Laurent, por lo que:
$\int_{γ_{r}} f (z) d z = 2 π i c_{- 1},$ de donde:
$\begin{matrix} (44.1) & c_{- 1} = \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} f (z) d z, \end{matrix}$ donde $0 < r < R$ .

Definición 44.1. (Residuo de una función analítica.)
Sean $f$ una función analítica en el disco abierto perforado $B^{*} (z_{0}, R)$ , con $R > 0$ , y $z_{0} \in C$ una singularidad asilada de $f$ . El coeficiente $c_{- 1}$ dado en (44.1) es llamado el {\bf residuo de $f$ en $z_{0}$ } y se denota como:
$Res (f, z_{0}) := c_{- 1} .$

Ejemplo 44.1.
De acuerdo con el ejemplo 42.7, para todo $z \in A (0, 1, 2)$ , tenemos que:
$f (z) = \frac{1}{z^{2} - 3 z + 2} = - \sum_{n = - \infty}^{- 1} z^{n} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{2^{n + 1}} = - \sum_{n = - \infty}^{- 2} z^{n} - \frac{1}{z} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{2^{n + 1}},$ por lo que $Res (f, 0) = - 1$ .

Por otra parte, del mismo ejemplo, para todo $z \in A (- i, \sqrt{2}, \sqrt{5})$ , tenemos que:
$\begin{aligned} f (z) & = \frac{1}{z^{2} - 3 z + 2} \\ = - \sum_{n = - \infty}^{- 1} \frac{{(z + i)}^{n}}{(1 + i)^{n + 1}} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(z + i)}^{n}}{(2 + i)^{n + 1}} \\ = - \sum_{n = - \infty}^{- 2} \frac{{(z + i)}^{n}}{(1 + i)^{n + 1}} - \frac{1}{z + i} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(z + i)}^{n}}{(2 + i)^{n + 1}}, \end{aligned}$ por lo que $Res (f, - i) = - 1$ .

Ejemplo 44.2.
Del ejemplo 42.8 tenemos que en $A (0, 0, \infty)$ se cumple que:
$f (z) = e^{1 / z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{z^{n} n!},$ por lo que $Res (f, 0) = 1$ .

Ejemplo 44.3.
Del ejemplo 42.9 tenemos que en $A (0, 1, \infty)$ se cumple que:
$f (z) = \frac{1}{(1 - z)^{3}} = - \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n (n + 1)}{z^{n + 2}},$ por lo que $Res (f, 0) = 0$ .

Procedemos a caracterizar al residuo de una función analítica.

Observación 44.1.
De acuerdo con la proposición 43.2, sabemos que si $f$ tiene una singularidad removible en $z_{0}$ , entonces:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}, \forall z \in B^{*} (z_{0}, R),$ por lo que $Res (f, z_{0}) = c_{- 1} = 0$ . ¿Qué sucede si $z_{0}$ es un polo?

Proposición 44.1.
Sean $f$ una función analítica en $A (z_{0}, 0, R)$ , con $R > 0$ y $z_{0} \in C$ una singularidad aislada de $f$ . Si $f$ tiene un polo de orden $m \in N^{+}$ en $z_{0}$ , entonces:
$Res (f, z_{0}) = \frac{1}{(m - 1)!} lim_{z \to z_{0}} \frac{d^{m - 1}}{d z^{m - 1}} [(z - z_{0})^{m} f (z)] .$

Si $z_{0}$ es un polo simple, es decir, $m = 1$ , entonces no hay diferenciación.

Demostración. Dadas las hipótesis, por la proposición 43.3(6) tenemos que:
$f (z) = \sum_{n = - m}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}, \forall z \in A (z_{0}, 0, R) .$

Entonces, para $z \in A (z_{0}, 0, R)$ tenemos que:
$(z - z_{0})^{m} f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n - m} (z - z_{0})^{n} .$

Por la convergencia uniforme de la serie de potencias, teorema 39.2, tenemos que:
$\begin{aligned} \frac{d^{m - 1}}{d z^{m - 1}} (z - z_{0})^{m} f (z) & = \frac{d^{m - 1}}{d z^{m - 1}} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n - m} (z - z_{0})^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{d^{m - 1}}{d z^{m - 1}} c_{n - m} (z - z_{0})^{n} \\ = \sum_{n = m - 1}^{\infty} \frac{n!}{(n - m + 1)!} c_{n - m} (z - z_{0})^{n - m + 1} \\ = (m - 1)! c_{- 1} + \sum_{n = m}^{\infty} \frac{n!}{(n - m + 1)!} c_{n - m} (z - z_{0})^{n - m + 1} . \end{aligned}$

Entonces:
$lim_{z \to z_{0}} \frac{d^{m - 1}}{d z^{m - 1}} (z - z_{0})^{m} f (z) = (m - 1)! c_{- 1} + 0,$ de donde:
$Res (f, z_{0}) = c_{- 1} = \frac{1}{(m - 1)!} lim_{z \to z_{0}} \frac{d^{m - 1}}{d z^{m - 1}} [(z - z_{0})^{m} f (z)] .$

Corolario 44.1.
Sean $f$ una función analítica en $A (z_{0}, 0, R)$ , con $R > 0$ y $z_{0} \in C$ una singularidad aislada de $f$ .

$f$ tiene un polo simple en $z_{0}$ si y solo si:
$Res (f, z_{0}) = lim_{z \to z_{0}} f (z) \neq 0.$
Si $f (z) = \frac{p (z)}{q (z)}$ , donde $p$ y $q$ son analíticas en $z_{0}$ , $p (z_{0}) \neq 0$ y $q$ tiene un cero simple en $z_{0}$ , entonces:
$Res (f, z_{0}) = Res (\frac{p}{q}, z_{0}) = \frac{p (z_{0})}{q^{'} (z_{0})} .$

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos:

$\Rightarrow)$ Por la proposición 43.3(3) y la la proposición 44.1, tenemos que:
$0 \neq lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z) = Res (f, z_{0}) .$ $(\Leftarrow$ Por la definición 44.1, tenemos que:
$c_{- 1} = Res (f, z_{0}) = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z) \neq 0,$ por lo que el resultado se sigue de la proposición 43.3.
Como $q$ tiene un cero simple en $z_{0}$ , entonces, $q^{'} (z_{0}) \neq 0$ , proposición 43.1(2). Más aún, por el ejercicio 7 de la entrada anterior, tenemos que $1 / q$ tiene un polo simple en $z_{0}$ , por lo que $f$ tiene un polo simple en $z_{0}$ , ya que $p (z_{0}) \neq 0$ , entonces, como $q (z_{0}) = 0$ , del inciso anterior se sigue que:
$\begin{aligned} Res (\frac{p}{q}, z_{0}) & = Res (f, z_{0}) \\ = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) \frac{p (z)}{q (z)} \\ = lim_{z \to z_{0}} \frac{p (z)}{\frac{q (z) - q (z_{0})}{z - z_{0}}} \\ = \frac{p (z_{0})}{q^{'} (z_{0})} . \end{aligned}$

Ejemplo 44.4.
Determinemos el residuo de la función $f (z) = {(\frac{z + 1}{z - 1})}^{3}$ , en la singularidad aislada $z_{0} = 1$ .

Solución. Notemos que para $z \neq 1$ se tiene que:
$(z - 1)^{3} f (z) = (z + 1)^{3}$ de donde:
$lim_{z \to 1} (z - 1)^{3} f (z) = lim_{z \to 1} (z + 1)^{3} = 8 \neq 0,$ por lo que, proposición 43.3(3), $z_{0} = 1$ es un polo de orden $3$ .

De la proposición 44.1 se sigue que:
$\begin{aligned} Res (f, 1) & = \frac{1}{2!} lim_{z \to 1} \frac{d^{2}}{d z^{2}} (z - 1)^{3} f (z) \\ = \frac{1}{2} lim_{z \to 1} \frac{d^{2}}{d z^{2}} (z + 1)^{3} \\ = \frac{1}{2} lim_{z \to 1} 6 (z + 1) \\ = \frac{12}{2} \\ = 6. \end{aligned}$

Ejemplo 44.5.
Sea $f (z) = \frac{1}{z^{4} + 1}$ . Es claro que $f$ tiene como singularidades aisladas a las cuatro raíces de $- 1$ . Por la proposición 5.1, sabemos que dichas raíces están dadas por:
$z_{k} = cis (\frac{π + 2 π k}{4}) = \exp (i [\frac{π + 2 π k}{4}]), k = 0, 1, 2, 3.$

Tenemos que $z_{0} = e^{i π / 4}, z_{1} = e^{i 3 π / 4}, z_{2} = e^{i 5 π / 4}$ y $z_{3} = e^{i 7 π / 4}$ , por lo que:
$f (z) = \frac{1}{z^{4} + 1} = \frac{1}{(z - z_{0}) (z - z_{1}) (z - z_{2}) (z - z_{3})} .$

Es claro que para $k = 0, 1, 2, 3$ se cumple que:
$lim_{z \to z_{0}} (z - z_{k}) f (z) \neq 0,$ por lo que, proposición 43.3, las cuatro raíces son polos simples de $f$ .

Procedemos a determinar sus residuos considerando el corolario 44.1(2). sean $p (z) = 1$ y $q (z) = z^{4} + 1$ . Tenemos que $q^{'} (z) = 4 z^{3}$ , por lo que:
$\begin{aligned} Res (f, z_{0}) & = \frac{1}{q^{'} (z_{0})} = \frac{1}{4 (e^{i π / 4})^{3}} = \frac{1}{4} e^{- i 3 π / 4} = - \frac{1}{4 \sqrt{2}} - i \frac{1}{4 \sqrt{2}} . \\ Res (f, z_{1}) & = \frac{1}{q^{'} (z_{1})} = \frac{1}{4 (e^{i 3 π / 4})^{3}} = \frac{1}{4} e^{- i 9 π / 4} = \frac{1}{4 \sqrt{2}} - i \frac{1}{4 \sqrt{2}} . \\ Res (f, z_{2}) & = \frac{1}{q^{'} (z_{2})} = \frac{1}{4 (e^{i 5 π / 4})^{3}} = \frac{1}{4} e^{- i 15 π / 4} = - \frac{1}{4 \sqrt{2}} + i \frac{1}{4 \sqrt{2}} . \\ Res (f, z_{3}) & = \frac{1}{q^{'} (z_{0})} = \frac{1}{4 (e^{i 7 π / 4})^{3}} = \frac{1}{4} e^{- i 21 π / 4} = - \frac{1}{4 \sqrt{2}} + i \frac{1}{4 \sqrt{2}} . \end{aligned}$

Teorema 44.1. (Teorema del Residuo.)
Sean $D \subset C$ un dominio y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ excepto por un número finito de singularidades aisladas (distintas) $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n} \in D$ . Si $γ$ es un contorno cerrado simple en $D ∖ {z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}}$ tal que $n (γ, z) = 0$ para todo $z \in C ∖ D$ , entonces:
$\frac{1}{2 π i} \int_{γ} f (z) d z = \sum_{k = 1}^{n} Res (f, z_{k}) n (γ, z_{k}) .$

Demostración. Dadas las hipótesis, como las singularidades son aisladas, dado $k \in {1, \dots, n}$ , existe $r_{k} > 0$ tal que $f$ tiene una expansión en serie de Laurent:
$f (z) = \sum_{j = - \infty}^{\infty} c_{j} (z - z_{k})^{j}, \forall z \in A (z_{k}, 0, r_{k}) .$

Del corolario 39.1 tenemos que la función:
$g_{k} (z) := \sum_{j = - \infty}^{- 1} c_{j} (z - z_{k})^{j},$ es analítica en $C ∖ {z_{k}}$ .

Notemos que:
$lim_{z \to z_{k}} (z - z_{k}) [f (z) - g_{k} (z)] = 0,$ por lo que, proposición 43.3(6), $f - g_{k}$ tiene una singularidad removible en $z_{k}$ .

Del ejemplo 34.2, para toda $j \leq - 2$ tenemos que:
$\int_{γ} (z - z_{k})^{j} d z = 0.$

Entonces, por la convergencia uniforme de la serie que define a $g_{k}$ , proposición 39.1, y las definiciones 36.1 y 44.1, tenemos que:
$\begin{aligned} \frac{1}{2 π i} \int_{γ} g_{k} (z) d z & = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \sum_{j = - \infty}^{- 1} c_{j} (z - z_{k})^{j} d z \\ = \sum_{j = - \infty}^{- 1} \frac{c_{j}}{2 π i} \int_{γ} (z - z_{k})^{j} d z \\ = \frac{c_{- 1}}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{z - z_{k}} d z \\ = Res (f, z_{k}) n (γ, z_{k}) . \end{aligned}$

Consideremos ahora a la función:
$F (z) := f (z) - \sum_{k = 1}^{n} g_{k} (z), \forall z \in D ∖ {z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}} .$

Dado $m \in {1, \dots, n}$ , sabemos que $f - g_{m}$ tiene una singularidad removible en $z_{m}$ y $g_{k}$ es una función definida y analítica en $z_{m}$ para todo $k \neq m$ . Notemos que lo anterior se cumple para todo $m$ , por lo que $F$ puede redefinirse de modo que sea una función analítica en $D$ . Entonces, del teorema de Cauchy, versión homológica (teorema 38.4), como $n (γ, z) = 0$ para todo $z \in C ∖ D$ , se tiene que:
$0 = \int_{γ} F (z) d z = \int_{γ} f (z) d z - \sum_{k = 1}^{n} \int_{γ} g_{k} (z) d z .$

De donde:
$\frac{1}{2 π i} \int_{γ} f (z) d z = \sum_{k = 1}^{n} \int_{γ} \frac{1}{2 π i} g_{k} (z) d z = \sum_{k = 1}^{n} Res (f, z_{k}) n (γ, z_{k}) .$

Una consecuencia inmediata de este resultado es el siguiente corolario. Sin embargo, considerando el teorema de Cauchy para dominios múltiplemente conexos, proposición 38.1, podemos dar una prueba sencilla del mismo.

Corolario 44.2. (Teorema del Residuo de Cauchy.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $C$ un contorno cerrado simple, orientado positivamente, contenido en $D$ . Si $f$ es una función analítica en $D$ , excepto por un número finito de singularidades aisladas (distintas) $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ , las cuales están dentro de $C$ , entonces:
$\int_{C} f (z) d z = 2 π i \sum_{k = 1}^{n} Res (f, z_{k}) .$

Demostración. Dadas las hipótesis, como $D$ es abierto, entonces podemos tomar pequeñas circunferencias $γ_{k} (t) = z_{k} + r_{k} e^{i t}$ , con $t \in [0, 2 π]$ , alrededor de la singularidad aislada $z_{k}$ , tal que $γ_{k}$ está contenida dentro de $C$ y $γ_{k}$ no contiene a ninguna otra singularidad $z_{j}$ de $f$ si $j \neq k$ .

Sea $ε > 0$ tal que el disco abierto perforado $B^{*} (z_{k}, r_{k} + ε)$ , no contiene a ninguna singularidad $z_{j}$ de $f$ si $j \neq k$ . Entonces en $B^{*} (z_{k}, r_{k} + ε)$ la función $f$ tiene una representación en serie de Laurent y $γ_{k}$ está contenida en $B^{*} (z_{k}, r_{k} + ε)$ . Por lo que, de la observación 42.5 y la definición 44.1, se sigue que:
$\int_{γ_{k}} f (z) d z = 2 π i c_{- 1} = 2 π i Res (f, z_{k}),$ para $k = 1, \dots, n$ .

Por lo tanto, del teorema de Cauchy para dominios múltiplemente conexos, proposición 38.1, tenemos que:
$\int_{C} f (z) d z = \sum_{k = 1}^{n} \int_{γ_{k}} f (z) d z = 2 π i \sum_{k = 1}^{n} Res (f, z_{k}) .$

Ejemplo 44.6.
Evaluemos la integral:
$\int_{γ} \frac{1}{z^{4} + 1} d z,$ donde $γ$ es el contorno cerrado simple de la figura 149.

Figura 149: Contorno $γ$ del ejemplo 44.6 que contiene a los polos simples $z_{0}$ y $z_{1}$ .

Solución. Por el ejemplo 44.5 sabemos que $f$ tiene cuatro polos simples en los puntos $z_{0} = e^{i π / 4}, z_{1} = e^{i 3 π / 4}, z_{2} = e^{i 5 π / 4}$ y $z_{3} = e^{i 7 π / 4}$ . Es claro que solo $z_{0}$ y $z_{1}$ están dentro del contorno $γ$ , por lo que del teorema del residuo se sigue que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{1}{z^{4} + 1} d z & = 2 π i (Res (f, z_{0}) + Res (f, z_{1})) \\ = 2 π i (- \frac{1}{4 \sqrt{2}} - i \frac{1}{4 \sqrt{2}} + \frac{1}{4 \sqrt{2}} - i \frac{1}{4 \sqrt{2}}) \\ = 2 π i (- \frac{2 i}{4 \sqrt{2}}) \\ = \frac{π}{\sqrt{2}} . \end{aligned}$

Ejemplo 44.7.
Veamos que:
$\int_{γ} e^{1 / z} d z = 2 π i,$ donde $γ$ es la circunferencia unitaria orientada positivamente.

Solución. Por el ejemplo 43.5 sabemos que $f (z) = e^{1 / z}$ tiene una singularidad esencial en $z_{0} = 0$ , por lo que no podemos recurrir a los resultados previos para determinar el residuo de $f$ . Sin embargo, considerando el ejemplo 44.2, tenemos que el coeficiente $z^{- 1}$ es $1$ , por lo que $Res (f, 0) = 1$ .

Por el teorema del residuo, como $z_{0} = 0$ es una singularidad aislada de $f$ y está dentro del contorno cerrado $γ$ , tenemos que:
$\int_{γ} e^{1 / z} d z = 2 π i Res (f, 0) = 2 π i (1) = 2 π i .$

Observación 44.2.
El teorema del residuo nos permite evaluar integrales reales muy particulares, analizamos los siguientes dos tipos.

Integrales reales trigonométricas de la forma:
$\int_{0}^{2 π} F (\cos (t), sen (t)) d t,$ donde $F (\cos (t), sen (t))$ es una función racional de $\cos (t)$ y $sen (t)$ con coeficientes reales y cuyo denominador no se anula en el intervalo $[0, 2 π]$ . Por ejemplo las integrales:
$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2 + \cos (t)} d t y \int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (t)}{2 + \cos (t)} d t,$ son de este tipo.
Integrales reales impropias del tipo:
$\int_{- \infty}^{b} f (t) d t, \int_{a}^{\infty} f (t) d t, \int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t,$ donde $f$ es una función continua en el dominio de integración y $a, b \in R$ .

Para el primer tipo de integrales consideramos a la circunferencia unitaria orientada positivamente, es decir, $γ (t) = e^{i t}$ , con $t \in [0, 2 π]$ .

Haciendo la sustitución $z = γ (t) = e^{i t}$ , con $0 \leq t \leq 2 π$ , tenemos que $d t = \frac{d z}{i z}$ . Considerano las definiciones de las funciones $sen (t)$ y $sen (t)$ , tenemos que:
$\begin{aligned} \cos (t) & = \frac{e^{i t} + e^{- i t}}{2} = \frac{z + \frac{1}{z}}{2}, \\ sen (t) & = \frac{e^{i t} - e^{- i t}}{2 i} = \frac{z - \frac{1}{z}}{2 i} . \end{aligned}$

Entonces:
$\int_{0}^{2 π} F (\cos (t), sen (t)) d t = \int_{γ} \frac{1}{i z} F (\frac{1}{2} [z + \frac{1}{z}], \frac{1}{2 i} [z - \frac{1}{z}]) d z .$

Utilizando el teorema del residuo tenemos que:
$\int_{γ} \frac{1}{i z} F (\frac{1}{2} [z + \frac{1}{z}], \frac{1}{2 i} [z - \frac{1}{z}]) d z = 2 π i \sum,$ donde $\sum$ es la suma de los residuos de la función:
$\frac{1}{i z} F (\frac{1}{2} [z + \frac{1}{z}], \frac{1}{2 i} [z - \frac{1}{z}]) .$

Ejemplo 44.8.
Evaluemos la integral:
$\int_{0}^{2 π} [\cos^{3} (t) + {sen}^{2} (t)] d t .$

Solución. Tenemos que:
$\begin{aligned} \cos^{3} (t) & = {[\frac{1}{2} (z + \frac{1}{z})]}^{3} = \frac{1}{8} (z^{3} + \frac{1}{z^{3}} + 3 z + \frac{3}{z}), \\ {sen}^{2} (t) & = {[\frac{1}{2 i} (z - \frac{1}{z})]}^{2} = - \frac{1}{4} (z^{2} + \frac{1}{z^{2}} - 2), \end{aligned}$ de donde:
$\begin{aligned} \cos^{3} (t) + {sen}^{2} (t) & = \frac{1}{8} (z^{3} + \frac{1}{z^{3}} + 3 z + \frac{3}{z}) - \frac{1}{4} (z^{2} + \frac{1}{z^{2}} - 2) \\ = \frac{z^{3}}{8} + \frac{1}{8 z^{3}} - \frac{z^{2}}{4} - \frac{1}{4 z^{2}} + \frac{3 z}{8} + \frac{3}{8 z} + \frac{1}{2} \\ = \frac{z^{6} - 2 z^{5} + 3 z^{4} + 4 z^{3} + 3 z^{2} - 2 z + 1}{8 z^{3}} . \end{aligned}$

Consideremos a la siguiente función:
$f (z) = \frac{z^{6} - 2 z^{5} + 3 z^{4} + 4 z^{3} + 3 z^{2} - 2 z + 1}{i 8 z^{4}} .$

Es claro que $z_{0} = 0$ es una singularidad aislada de $f$ . Más aún, $z_{0} = 0$ es un polo de orden $4$ ya que:
$lim_{z \to 0} (z - 0)^{4} f (z) = lim_{z \to 0} \frac{z^{6} - 2 z^{5} + 3 z^{4} + 4 z^{3} + 3 z^{2} - 2 z + 1}{i 8} = \frac{1}{8 i} \neq 0.$

Notemos que $z_{0} = 0$ está dentro de la circunferencia unitaria $γ$ , por lo que:
$\begin{aligned} Res (f, 0) & = \frac{1}{3!} lim_{z \to 0} \frac{d^{3}}{d z^{3}} (z - 0)^{4} f (z) \\ = \frac{1}{6} lim_{z \to 0} \frac{d^{3}}{d z^{3}} (\frac{z^{6} - 2 z^{5} + 3 z^{4} + 4 z^{3} + 3 z^{2} - 2 z + 1}{i 8}) \\ = \frac{1}{6} lim_{z \to 0} (\frac{120 z^{3} - 120 z^{2} + 72 z + 24}{i 8}) \\ = \frac{24}{48 i} = - \frac{i}{2} . \end{aligned}$

Entonces:
$\begin{aligned} \int_{0}^{2 π} [\cos^{3} (t) + {sen}^{2} (t)] d t & = \int_{γ} \frac{1}{i z} [\frac{z^{6} - 2 z^{5} + 3 z^{4} + 4 z^{3} + 3 z^{2} - 2 z + 1}{8 z^{3}}] d z \\ = \int_{γ} f (z) d z \\ = 2 π i Res (f, 0) \\ = 2 π i (- \frac{i}{2}) \\ = π . \end{aligned}$

Para el segundo tipo de integrales reales, recordemos que para una función $f$ continua en $(- \infty, b]$ y $[a, \infty)$ , respectivamente, las integrales reales impropias se definen en términos de límites, es decir:
$\begin{aligned} \int_{- \infty}^{b} f (t) d t & = lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{b} f (t) d t, \\ \int_{a}^{\infty} f (t) d t & = lim_{R \to \infty} \int_{a}^{R} f (t) d t, \end{aligned}$ siempre que los límites existan, en tal caso las integrales se llaman convergentes, en caso contrario se dice que las integrales divergen.

Por otra parte, si $f$ es continua en $(- \infty, \infty)$ y las integrales impropias $\int_{- \infty}^{0} f (t) d t$ y $\int_{0}^{\infty} f (t) d t$ existen, entonces la integral $\int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t$ es convergente y está dada por:
$\int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t = lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{0} f (t) d t + lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} f (t) d t .$

Definición 44.2. (Valor principal de Cauchy.)
Se define el valor principal de Cauchy de la integral impropia $\int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t$ como:
$P.V. \int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t = lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{R} f (t) d t,$ si el límite existe.

Observación 44.3.
El valor principal de Cauchy de una integral puede existir incluso si la integral impropia es divergente. Por ejemplo:
$\int_{- R}^{R} t d t = \frac{R^{2}}{2} - (- \frac{R^{2}}{2}) = 0,$ por lo que:
$P.V. \int_{- \infty}^{\infty} t d t = lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{R} t d t = 0.$

Sin embargo, la integral impropia de $f (t) = t$ , en $(- \infty, \infty)$ , es divergente, ya que:
$\int_{0}^{\infty} t d t = lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} t d t = lim_{R \to \infty} \frac{R^{2}}{2} = \infty .$

Cuando una integral impropia $\int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t$ es convergente, entonces existe su valor principal de Cauchy y ambas integrales son iguales, ya que:
$\begin{aligned} P.V. \int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t & = lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{R} f (t) d t \\ = lim_{R \to \infty} [\int_{- R}^{0} f (t) d t + \int_{0}^{R} f (t) d t] \\ = lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{0} f (t) d t + lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} f (t) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t . \end{aligned}$

Entonces, al evaluar integrales impropias utilizando integrales de contorno debe ser claro que estamos calculando su valor principal de Cauchy, y si dicha integral existe entonces coincidirá con el valor obtenido por este método.

Para evaluar un integral impropia $\int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t$ , donde $f$ es una función racional continua en $(- \infty, \infty)$ , reemplazamos a la variable real $t$ por la variable compleja $z$ e integramos a $f$ sobre un contorno cerrado $γ$ , orientado positivamente, que consiste del intervalo real $[- R, R]$ en el eje $x$ y una semicircunferencia $C_{R}$ de radio $R$ suficientemente grande para que los polos de $f$ estén en el interior de $γ$ , como en la figura 149, en el semiplano superior $Im (z) > 0$ .

Entonces, por la proposición 34.2(3) y el teorema del residuo, tenemos que:
$\int_{γ} f (z) d z = \int_{C_{R}} f (z) d z + \int_{- R}^{R} f (z) d z = 2 π i \sum_{k = 1}^{n} Res (f, z_{k}),$ donde $z_{k}$ , con $k = 1, \dots, n$ , denota a los polos en el semiplano superior $Im (z) > 0$ .

Por lo tanto, si se muestra que:
$lim_{R \to \infty} \int_{C_{R}} f (z) d z = 0,$ entonces tenemos que:
$P.V. \int_{- \infty}^{\infty} f (t) d t = lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{R} f (t) d t = 2 π i \sum_{k = 1}^{n} Res (f, z_{k}) .$

Ejemplo 44.9.
Determinemos el valor principal de Cauchy de la integral impropia:
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 9)} d t .$

Solución. Sea:
$f (z) = \frac{1}{(z^{2} + 1) (z^{2} + 9)} = \frac{1}{(z - i) (z + i) (z - 3 i) (z + 3 i)} .$

Dado que $z_{1} = i$ y $z_{2} = 3 i$ son los dos polos simples en el semiplano superior $Im (z) > 0$ , entonces podemos tomar a $γ$ como el contorno cerrado formado por el intervalo real $[- R, R]$ y la semicircunferencia $C_{R} (t) = R e^{i t}$ , con $t \in [0, π]$ , para $R > 3$ , como en la figura 149.

Por la proposición 34.2(3) y el teorema del residuo, tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{γ} f (z) d z & = \int_{C_{R}} \frac{1}{(z^{2} + 1) (z^{2} + 9)} d z + \int_{- R}^{R} \frac{1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 9)} d t \\ = 2 π i \sum_{k = 1}^{2} Res (f, z_{k}) \\ = 2 π i [Res (f, z_{1}) + Res (f, z_{2})] . \end{aligned}$

Para los polos simples $z_{1} = i$ y $z_{2} = 3 i$ , por la proposición 44.1 tenemos que:
$\begin{aligned} Res (f, z_{1}) & = lim_{z \to z_{1}} (z - z_{1}) f (z) \\ = lim_{z \to i} (z - i) \frac{1}{(z - i) (z + i) (z - 3 i) (z + 3 i)} \\ = lim_{z \to i} \frac{1}{(z + i) (z - 3 i) (z + 3 i)} \\ = \frac{1}{16 i}, \end{aligned}$
$\begin{aligned} Res (f, z_{2}) & = lim_{z \to z_{2}} (z - z_{2}) f (z) \\ = lim_{z \to 3 i} (z - 3 i) \frac{1}{(z - i) (z + i) (z - 3 i) (z + 3 i)} \\ = lim_{z \to 3 i} \frac{1}{(z - i) (z + i) (z + 3 i)} \\ = - \frac{1}{48 i}, \end{aligned}$ por lo que:
$\int_{C_{R}} \frac{1}{(z^{2} + 1) (z^{2} + 9)} d z + \int_{- R}^{R} \frac{1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 9)} d t = 2 π i [\frac{1}{16 i} - \frac{1}{48 i}] = \frac{π}{12} .$

Notemos que:
$| (z^{2} + 1) (z^{2} + 9) | = | z^{2} + 1 | | z^{2} + 9 | \geq | | z^{2} | - 1 | | | z^{2} | - 9 | = (R^{2} - 1) (R^{2} - 9) .$

Entonces, de la proposición 34.3(5) tenemos que:
$\begin{aligned} | \int_{C_{R}} \frac{1}{(z^{2} + 1) (z^{2} + 9)} d z | & \leq \int_{C_{R}} \frac{1}{| (z^{2} + 1) (z^{2} + 9) |} | d z | \\ \leq \frac{1}{(R^{2} - 1) (R^{2} - 9)} \int_{C_{R}} | d z | \\ = \frac{1}{(R^{2} - 1) (R^{2} - 9)} ℓ (C_{R}) \\ = \frac{π R}{(R^{2} - 1) (R^{2} - 9)}, \end{aligned}$ de donde:
$lim_{R \to \infty} | \int_{C_{R}} \frac{1}{(z^{2} + 1) (z^{2} + 9)} d z | \leq lim_{R \to \infty} \frac{π R}{(R^{2} - 1) (R^{2} - 9)} = 0.$

Por lo tanto:
$P.V. \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 9)} d t = lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{R} \frac{1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 9)} d t = \frac{π}{12} .$

Tarea moral

Evalúa la siguientes integrales, donde la circunferencia $C (z_{0}, R)$ está orientada positivamente.
a) $\int_{C (0, 3)} \frac{d z}{z^{4} + z^{3} - 2 z^{2}}$ .
b) $\int_{C (0, 1)} \frac{z^{2} + 3 z - 1}{z (z^{2} - 3)} d z$ .
c) $\int_{C (0, 3)} \frac{z^{2} + 1}{(z - 1)^{2}} d z$ .
d) $\int_{C (0, 1 / 10)} \frac{d z}{z^{5} - 1}$ .
Muestra que:
$\int_{0}^{2 π} \frac{d t}{1 + \cos^{3} (t)} = π .$
Determina el residuo de la función $f (z) = \frac{π \cot (π z)}{z^{2}}$ en $z_{0} = 0$ .
En cada caso determina el residuo de cada función en todas sus singularidades aisladas.
a) $f (z) = \frac{1 + z}{z}$ .
b) $f (z) = \csc (π z) \frac{z + 1}{z - 1}$ .
c) $f (z) = \frac{1 + z}{z^{2} + 2 z + 2}$ .
d) $f (z) = \frac{sen (z^{2})}{z^{2} (z^{2} + 1)}$ .
Verifica que:
$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos (2 t) d t}{5 - 4 \cos (t)} = \frac{π}{6} .$
Prueba que $Res (f + g, z_{0}) = Res (f, z_{0}) + Res (g, z_{0})$ .
Prueba que si $f$ tiene un polo simple en $z_{0}$ y $g$ es analítica en $z_{0}$ , entonces:
$Res (f (z) g (z), z_{0}) = g (z_{0}) Res (f (z), z_{0}) .$
Muestra que:
$P.V. \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 4)} d t = \frac{π}{6} .$

Más adelante…

Esta entrada es la última de estas notas. En ella hemos definido lo que es un residuo de una función analítica y establecimos algunos resultados que nos permiten su cálculo. En particular abordamos el Teorema del Residuo y vimos algunas aplicaciones de este resultado para evaluar integrales reales.

Como es bien sabido, la teoría de la Variable Compleja es muy extensa, por lo que existen muchas otras aplicaciones de la misma, que resultan muy útiles para resolver problemas relacionados con Ecuaciones Diferenciales, Transformadas de Laplace, Transformadas de Fourier, entre otros tantos. Sin embargo, debido a lo extenso de dichos temas, tales aplicaciones se escapan del objetivo de estas notas, pero pueden consultarse sobre ellas en la bibliografía de estas notas.

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Variable Compleja I: Clasificación de ceros y singularidades de una función analítica

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

La entrada anterior vimos que una función analítica puede ser representada mediante una expansión en serie de Taylor o en serie de Laurent, dependiendo de la función y su dominio de analicidad. En esta entrada veremos que este hecho es de suma importancia ya que nos permite clasificar a los ceros y a las singularidades de una función analítica, en particular nos centraremos en las singulares aisladas que como veremos pueden clasificarse completamente en tres tipos: singularidades removibles, polos y singularidades esenciales.

Recordemos que un polinomio complejo $p (z)$ es una función entera. Más aún, sabemos que una raíz de $p$ es un número $z_{0} \in C$ tal que $p (z_{0}) = 0$ . En este punto nos interesa generalizar esta idea para cualquier función analítica en algún dominio del plano complejo.

Definición 43.1. (Cero de una función analítica.)
Sean $D \subset C$ un dominio y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Un cero de $f$ es un punto $z_{0} \in D$ tal que $f (z_{0}) = 0$ .

Definición 43.2. (Cero de orden $m$ y cero aislado de una función analítica.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función analítica en $D$ y $m \in N^{+}$ . Un punto $z_{0} \in D$ es un cero de orden $m$ o un cero de multiplicidad $m$ de $f$ si existe una función analítica $g : B (z_{0}, R) \subset D \to C$ , con $R > 0$ , tal $g (z_{0}) \neq 0$ y:
$f (z) = (z - z_{0})^{m} g (z), \forall z \in B (z_{0}, R) .$

Si $m = 1$ , se dice que $z_{0}$ es un cero simple de $f$ . Más aún, el cero $z_{0} \in D$ se dice que es aislado si existe un disco abierto de $z_{0}$ en $D$ tal que $z_{0}$ es el único cero de $f$ en dicho disco.

Observación 43.1.
De acuerdo con el teorema de Taylor, para $B (z_{0}, R) \subset D$ tenemos que:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}, \forall z \in B (z_{0}, R),$ donde $c_{n} = \frac{f^{(n)} (z_{0})}{n!}$ .

Es claro que al considerar la expansión en serie de Taylor de la función analítica $f$ , alrededor de $z_{0} \in D$ , el punto $z_{0}$ es un cero de $f$ . Entonces $c_{0} = f (z_{0}) = 0$ . Sin embargo, pueden suceder dos casos.

Todos los otros coeficientes $c_{n}$ de la serie también son cero. En tal caso $f (z) = 0$ para todo $z \in B (z_{0}, R)$ .
Existe $m \geq 1$ tal que:
$c_{0} = c_{1} = \dots = c_{m - 1} = 0 y c_{m} \neq 0,$ es decir:
$f (z_{0}) = f^{'} (z_{0}) = \dots = f^{(m - 1)} (z_{0}) = 0 y f^{(m)} (z_{0}) \neq 0.$ En tal caso, para todo $z \in B (z_{0}, R)$ tenemos que:
$\begin{aligned} f (z) & = \sum_{n = m}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n + m} (z - z_{0})^{n + m} \\ = (z - z_{0})^{m} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n + m} (z - z_{0})^{n} \\ = (z - z_{0})^{m} g (z), \end{aligned}$ donde $g (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n + m} (z - z_{0})^{n}$ , con $c_{n + m} = \frac{f^{(n + m)} (z_{0})}{(n + m)!}$ , es una función analítica en $B (z_{0}, R)$ , corolario 39.1, tal que $g (z_{0}) = c_{m} \neq 0$ .

Como $g$ es continua en $z_{0}$ , para $ε = | c_{m} | / 2 > 0$ existe $r > 0$ tal que si $z \in B (z_{0}, r)$ , entonces:
$| g (z) - c_{m} | = | g (z) - g (z_{0}) | < \frac{| c_{m} |}{2} .$ Por lo que si $g (z) = 0$ para $z \in B (z_{0}, r)$ tenemos que:
$| 0 - c_{m} | = | c_{m} | < \frac{| c_{m} |}{2},$ lo cual claramente es una contradicción, por lo que existe $r > 0$ tal que $g (z) \neq 0$ para todo $z \in B (z_{0}, r) \subset D$ .

Proposición 43.1.
Sean $D \subset C$ un dominio, $f : D \to C$ una función analítica en $D$ y $z_{0} \in D$ tal que $f (z_{0}) = 0$ . Entonces se cumple una de las siguientes condiciones.

$f (z) = 0$ en algún disco abierto de $z_{0}$ contenido en $D$ .
$z_{0}$ es un cero aislado de $f$ .

Más aún, si se cumple la condición (2) entonces existen $m \in N^{+}$ , $r > 0$ y una función analítica:
$g : B (z_{0}, r) \to C,$ tal que $g (z) \neq 0$ para todo $z \in B (z_{0}, r)$ y:
$f (z) = (z - z_{0})^{m} g (z), \forall z \in B (z_{0}, r) .$

En consecuencia, $z_{0}$ es un cero de orden $m$ y se cumple que:
$f (z_{0}) = f^{'} (z_{0}) = \dots = f^{(m - 1)} (z_{0}) = 0 y f^{(m)} (z_{0}) \neq 0.$

Demostración. Se sigue de la observación 43.1.

Ejemplo 43.1.
Determinemos el orden $m \geq 1$ del cero $z_{0} = 0$ de la función $f (z) = sen (z)$ .

Solución. Es claro que $0$ es un cero de $f$ . Sabemos que el orden de dicho cero está dado por la primera derivada distinta de $0$ en $z_{0} = 0$ . En este caso tenemos que $f^{'} (z) = \cos (z)$ y $f^{'} (z_{0}) = f^{'} (0) = \cos (0) = 1 \neq 0$ , por lo que $z_{0} = 0$ es un cero simple de $f$ .

Por el ejemplo 42.5 tenemos que:
$f (z) = sen (z) = z g (z),$ donde:
$g (z) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n}}{(2 n + 1)!},$ la cual es una función entera, corolario 39.1, tal que $g (0) = 1 \neq 0$ y para $z \neq 0$ tenemos que $g (z) = \frac{sen (z)}{z}$ la cual es también una función entera, por lo que existe $r > 0$ tal que $g (z) \neq 0$ para todo $z \in B (0, r)$ , es decir, $z_{0} = 0$ es un cero aislado.

Ejemplo 43.2.
Encontremos la multiplicidad del cero $z_{0} = 0$ de la función $f (z) = e^{z} - z - 1$ .

Solución. Claramente $z_{0} = 0$ es un cero de $f$ . Dado que:
$\begin{aligned} f^{'} (z) & = e^{z} - 1 ⟹ f^{'} (0) = 0, \\ f^{(2)} (z) & = e^{z} ⟹ f^{'} (0) = 1 \neq 0, \end{aligned}$ tenemos que $z_{0} = 0$ es un cero de multiplicidad $2$ de $f$ .

Por la definición 16.3, sabemos que para un dominio $D \subset C$ y una función $f : D \to C$ , se dice que $z_{0} \in D$ es una singularidad de $f$ si la función $f$ no es analítica en $z_{0}$ , pero es analítica en algún punto de cada disco abierto $B (z_{0}, R)$ contenido en $D$ . Por ejemplo para las funciones $(e^{z} - 1) z^{- 1}$ , $z^{- 4}$ y $e^{1 / z}$ es claro que $z_{0} = 0$ es una singularidad ya que en dicho punto cada función no está definida y por tanto no es analítica, pero cada función es analítica para todo $z \neq 0$ . Una pregunta interesante que podemos plantearnos es ¿existe alguna diferencia entre la singularidad $z_{0} = 0$ de dichas funciones? Veamos que dicha singularidad es de distinta naturaleza para cada función.

Definición 43.3. (Singularidad aislada: removible, polo y esencial.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $z_{0} \in D$ y $f : D \to C$ una función. Si $f$ no es analítica en $z_{0}$ , pero existe $R > 0$ tal que el disco abierto perforado $B^{*} (z_{0}, R)$ está contenido en $D$ y $f$ es analítica en $B^{*} (z_{0}, R)$ , entonces se dice que $z_{0}$ es una singularidad aislada de $f$ . Si $z_{0}$ es una singularidad aislada de $f$ , entonces se tienen los siguientes tipos de singularidades aisladas.

Si existe una función $g : B (z_{0}, R) \to C$ analítica en $B (z_{0}, R)$ , tal que $f = g$ en $B^{*} (z_{0}, R) = A (z_{0}, 0, R)$ , entonces $z_{0}$ es llamada una singularidad removible de $f$ .
Si $lim_{z \to z_{0}} | f (z) | = \infty$ , entonces $z_{0}$ es llamado un polo de $f$ .
Si $z_{0}$ no es removible ni un polo, entonces se dice que $z_{0}$ es una singularidad esencial de $f$ .

Ejemplo 43.3.
Consideremos a la función $f : C ∖ {0} \to C$ dada por:
$f (z) = \frac{e^{z} - 1}{z} .$

Veamos que $z_{0} = 0$ es una sigularidad removible de $f$ .

Solución. Claramente $f$ es analítica en $C ∖ {0}$ , por lo que $z_{0} = 0$ es una singularidad aislada de $f$ . Sabemos que:
$e^{z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}, \forall z \in C,$ por lo que:
$e^{z} - 1 = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}, \forall z \in C .$

Entonces, definimos a la función $g : C \to C$ como:
$g (z) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{(n + 1)!},$ la cual es entera, corolario 39.1, ya que la serie que la define converge para todo $z \in C$ .

Para $z \neq 0$ tenemos que:
$f (z) = \frac{e^{z} - 1}{z} = \frac{1}{z} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n - 1}}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{(n + 1)!} = g (z),$ por lo que $z_{0} = 0$ es una singularidad removible de $f$ .

Ejemplo 43.4.
Definimos a la función $f : C ∖ {0} \to C$ como:
$f (z) := \frac{1}{z^{4}} .$

Veamos que $z_{0} = 0$ es un polo de $f$ .

Solución. Como $f$ es una función racional, entonces es analítica en $C ∖ {0}$ , por lo que $z_{0} = 0$ es una singularidad aislada de $f$ .

Dado que:
$lim_{z \to 0} | f (z) | = lim_{z \to 0} | \frac{1}{z^{4}} | = \infty,$ entonces $z_{0} = 0$ es un polo de $f$ .

Ejemplo 43.5.
Consideremos a la función $f : C ∖ {0} \to C$ dada por:
$f (z) = e^{1 / z} .$

Veamos que $z_{0} = 0$ es una sigularidad esencial de $f$ .

Solución. Es claro que $f$ es analítica en $C ∖ {0}$ , ya que en $0$ la función no es continua, por lo que $z_{0} = 0$ es una singularidad aislada de $f$ .

Para verificar el resultado, basta probar que $z_{0} = 0$ no es una singularidad removible ni tampoco un polo.

Sea $z = x \in R$ . Notemos que:
$lim_{z \to 0^{+}} | f (z) | = lim_{x \to 0^{+}} | e^{1 / x} | = lim_{x \to 0^{+}} e^{1 / x} = \infty,$ por lo que $z_{0} = 0$ no puede ser una singularidad removible de $f$ .

Por otra parte, para $z = x \in R$ , tenemos que:
$lim_{z \to 0^{-}} | f (z) | = lim_{x \to 0^{-}} | e^{1 / x} | = lim_{x \to 0^{-}} e^{1 / x} = 0,$ por lo que $z_{0} = 0$ no puede ser un polo de $f$ .

Por lo tanto, $z_{0} = 0$ es una singularidad esencial de $f$ .

Observación 43.2.
De acuerdo con la definición 43.3, es claro que las funciones con singularidades aisladas tienen una expansión en serie de Laurent, ya que el disco abierto perforado $B^{*} (z_{0}, R)$ , con $R > 0$ , es igual al anillo abierto $= A (z_{0}, 0, R)$ , por lo que podemos caracterizar a los tres tipos de singularidades aisladas definidos previamente, mediante una serie de Laurent.

Por el teorema de Laurent, tenemos que una función $f : A (z_{0}, 0, R) \to C$ , con $R > 0$ , analítica en el anillo abierto $A (z_{0}, 0, R)$ se puede represantar como:
$f (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c_{- n}}{{(z - z_{0})}^{n}} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}, \forall z \in A (z_{0}, 0, R) .$

Entonces, tenemos los siguientes casos:

$c_{- n} = 0$ , para todo $n \in N^{+}$ .

En tal caso tenemos que:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}, 0 < | z - z_{0} | < R .$ Si definimos a la función $g : B (z_{0}, R) \to C$ como:
$g (z) := \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n},$ por el corolario 39.1 tenemos que $g$ es analítica en el disco abierto $B (z_{0}, R)$ y para todo $z \in A (z_{0}, 0, R)$ se cumple que $f = g$ , por lo que en este caso se tiene que $z_{0}$ es una singularidad removible.
Si existe $m \in N^{+}$ tal que $c_{- m} \neq 0$ y $c_{- n} = 0$ para todo $n > m$ .

En tal caso, para $0 < | z - z_{0} | < R$ tenemos que:
$\begin{aligned} f (z) & = \frac{c_{- m}}{(z - z_{0})^{m}} + \dots + \frac{c_{- 1}}{z - z_{0}} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n} \\ = \frac{1}{(z - z_{0})^{m}} [c_{- m} + \dots + c_{- 1} (z - z_{0})^{m - 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n + m}] \\ = \frac{h (z)}{(z - z_{0})^{m}}, \end{aligned}$ donde $h (z) := c_{- m} + \dots + c_{- 1} (z - z_{0})^{m - 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n + m}$ es una función analítica, corolario 39.1, en $B^{*} (z_{0}, R)$ , tal que $c_{- m} = h (z_{0}) \neq 0$ .

Entonces:
$lim_{z \to z_{0}} | f (z) | = lim_{z \to z_{0}} | \frac{h (z)}{(z - z_{0})^{m}} | = lim_{z \to z_{0}} \frac{| h (z) |}{| z - z_{0} |^{m}} = \infty,$ es decir, en este caso $z_{0}$ es un polo. En particular se dice que $z_{0}$ es un polo de orden $m \geq 1$ , lo cual justificaremos más adelante.
Si un número infinito de coeficientes de la parte principal de la serie de Laurent cumplen que $c_{- n} \neq 0$ , entonces $z_{0}$ no es una singularidad removible ni un polo, es decir, en tal caso $z_{0}$ es una singularidad esencial.

Podemos caracterizar a las singularidades removibles como sigue.

Proposición 43.2.
Si $f$ es una función analítica en un disco abierto perforado $B^{*} (z_{0}, R)$ , con $R > 0$ , entonces las siguientes condiciones son equivalentes.

$z_{0}$ es una singularidad removible de $f$ .
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}$ para $0 < | z - z_{0} | < R$ .
$lim_{z \to z_{0}} f (z)$ existe y es finito.
$lim_{z \to z_{0}} | f (z) |$ existe y es finito.
Existen $M > 0$ y $r > 0$ tales que $| f (z) | < M$ para todo $z \in B^{*} (z_{0}, r)$ .
$lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z) = 0$ .

Demostración. Dadas las hipótesis tenemos que $(1) \Rightarrow (2)$ se sigue de la observación 43.2(1).

$(2) \Rightarrow (3)$ es una consecuencia de la continuidad de una serie de potencias, proposición 30.1.

$(3) \Rightarrow (4)$ se sigue de la continuidad de la función $g (z) = | z |$ .

$(4) \Rightarrow (5)$ es una consecuencia de la definición de límite.

$(5) \Rightarrow (6)$ se sigue del teorema de comparación, proposición 14.4.

$(6) \Rightarrow (1)$ Supongamos que $lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z) = 0$ . Definimos a la función $g : B (z_{0}, R) \to C$ como:
$g (z) := {\begin{array}{lcc} (z - z_{0})^{2} f (z) & si & z \neq z_{0}, \\ 0 & si & z = z_{0} . \end{array}$

Claramente $g$ es analítica en $B^{*} (z_{0}, R)$ . Tenemos que:
$g^{'} (z_{0}) = lim_{z \to z_{0}} \frac{g (z) - g (z_{0})}{z - z_{0}} = lim_{z \to z_{0}} \frac{(z - z_{0})^{2} f (z)}{z - z_{0}} = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z) = 0,$ por lo que $g$ es analítica en $B (z_{0}, R)$ . Por el teorema de Taylor tenemos que:
$g (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}, \forall z \in B (z_{0}, R) .$

Notemos que $c_{0} = g (z_{0}) = 0$ y $c_{1} = g^{'} (z_{0}) = 0$ , por lo que:
$g (z) = \sum_{n = 2}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n} = (z - z_{0})^{2} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n + 2} {(z - z_{0})}^{n} .$

De donde:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n + 2} {(z - z_{0})}^{n}, \forall z \in B^{*} (z_{0}, R) .$

Entonces $f = g$ en $B^{*} (z_{0}, R)$ , por lo que $z_{0}$ es una singularidad removible de $f$ .

Corolario 43.1.
Si cualquier coeficiente $c_{- n} \neq 0$ , con $n \in N^{+}$ , entonces $f$ no es acotada en ningún disco abierto con centro en $z_{0}$ .

Demostración. Como existe $k \in N^{+}$ tal que $c_{- k} \neq 0$ , entonces $z_{0}$ no es una singularidad removible de $f$ , lo cual implica que $f$ no sea acotada en ningún disco abierto.

Ejemplo 43.6.
Veamos que las siguientes funciones tienen una singularidad removible en los puntos dados.
a) $f (z) = \frac{sen (z)}{z}$ en $z_{0} = 0$ .
b) $f (z) = \frac{e^{z - 1} - 1}{z - 1}$ en $z_{0} = 1$ .

Solución.

a) Tenemos que:
$lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z) = lim_{z \to 0} (z - 0) \frac{sen (z)}{z} = lim_{z \to 0} sen (z) = 0,$ por lo que $f$ tiene una singularidad removible en $z_{0} = 0$ .

b) Notemos que:
$lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z) = lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{e^{z - 1} - 1}{z - 1} = lim_{z \to 0} e^{z - 1} - 1 = 0.$

Entonces en $z_{0} = 1$ la función $f$ tiene una singularidad removible.

Procedemos a caracterizar a un polo de una función analítica $f$ .

Proposición 43.3.
Sea $f$ una función analítica en un disco abierto perforado $B^{*} (z_{0}, R)$ . Entonces $z_{0}$ es un polo de $f$ si y solo si $z_{0}$ no es una singularidad removible y existe $m \in N^{+}$ tal que $lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m + 1} f (z) = 0$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, es claro que $z_{0}$ es una singularidad aislada de $f$ en $B^{*} (z_{0}, R)$ .

$\Rightarrow)$ Supongamos que $z_{0}$ es un polo de $f$ . Dado que $lim_{z \to z_{0}} | f (z) | = \infty$ , entonces, proposición 43.2(4), $z_{0}$ no es una singularidad removible de $f$ . Más aún, podemos encontrar $r > 0$ tal que $f (z) \neq 0$ para todo $z \in B^{*} (z_{0}, r)$ . Por lo tanto, la función $1 / f$ es analítica en $B^{*} (z_{0}, r)$ y se cumple que:
$lim_{z \to z_{0}} \frac{1}{f (z)} = 0 ⟹ lim_{z \to z_{0}} \frac{z - z_{0}}{f (z)} = 0,$ por lo que, proposición 43.2(6), $1 / f$ tiene una singularidad removible en $z_{0}$ . Entonces, la función:
$g : B (z_{0}, r) \to C,$ dada por:
$\begin{matrix} (43.1) & g (z) := {\begin{array}{lcc} \frac{1}{f (z)} & si & 0 < | z - z_{0} | < r, \\ 0 & si & z = z_{0}, \end{array} \end{matrix}$ es analítica en $B (z_{0}, r)$ .

Por la proposición 43.1(2) existen $m \in N^{+}$ y $h : B (z_{0}, r) \to C$ analítica tales que $g (z) = (z - z_{0})^{m} h (z)$ y $h (z) \neq 0$ para todo $z \in B (z_{0}, r)$ . Entonces:
$lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m + 1} f (z) = lim_{z \to z_{0}} \frac{(z - z_{0})^{m + 1}}{g (z)} = lim_{z \to z_{0}} \frac{z - z_{0}}{h (z)} = 0.$

$(\Leftarrow$ Supongamos que $z_{0}$ no es una singularidad removible de $f$ y que $lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m + 1} f (z) = 0$ para algún $m \in N^{+}$ . Elegimos al menor número natural $m$ con esta propiedad. Sea $h (z) := (z - z_{0})^{m} f (z)$ , entonces $lim_{z \to z_{0}} h (z) = 0$ , por lo que, proposición 43.2(6), $z_{0}$ es una singularidad removible de $h$ . Por lo tanto, existe $g : B (z_{0}, R) \to C$ analítica tal que $h = g$ en $B^{*} (z_{0}, R)$ . Notemos que si $m = 0$ , entonces $z_{0}$ es una singularidad removible de $f$ , lo cual no es posible, entonces $m \geq 1$ . Dado que elegimos a $m$ como el menor natural que cumple la hipótesis y $m - 1 \geq 0$ es menor que $m$ , entonces:
$0 \neq lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{(m - 1) + 1} f (z) = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m} f (z) = lim_{z \to z_{0}} h (z) = lim_{z \to z_{0}} g (z) = g (z_{0}) .$

Por lo tanto, $g$ es una función analítica en $B (z_{0}, R)$ tal que $g (z_{0}) \neq 0$ , $m \leq 1$ y:
$f (z) = \frac{g (z)}{(z - z_{0})^{m}}, \forall z \in B^{*} (z_{0}, R) .$

Entonces:
$lim_{z \to z_{0}} | f (z) | = lim_{z \to z_{0}} | \frac{h (z)}{(z - z_{0})^{m}} | = lim_{z \to z_{0}} | \frac{g (z)}{(z - z_{0})^{m}} | = | g (z_{0}) | lim_{z \to z_{0}} \frac{1}{| z - z_{0} |^{m}} = \infty,$ es decir, $z_{0}$ es un polo de $f$ .

Corolario 43.2.
Sea $f$ una función analítica en un disco abierto perforado $B^{*} (z_{0}, R)$ . Entonces $z_{0}$ es un polo de $f$ si y solo si existen $r > 0$ , $m \in N^{+}$ y $g : B (z_{0}, r) \to C$ analítica tal que $g (z_{0}) \neq 0$ y:
$f (z) = \frac{g (z)}{(z - z_{0})^{m}}, \forall z \in B^{*} (z_{0}, r) .$

Si $z_{0}$ es un polo de $f$ , entonces $m$ es único.

Demostración. Dadas las hipótesis, solo basta probar la unicidad de $m$ . Supongamos que existen $m_{1}, m_{2} \in N^{+}$ y $g_{1}, g_{2} : B (z_{0}, R) \to C$ analíticas tales que $g_{i} (z_{0}) \neq 0$ , para $i = 1, 2$ y se cumple que:
$f (z) = \frac{g_{1} (z)}{(z - z_{0})^{m_{1}}} = \frac{g_{2} (z)}{(z - z_{0})^{m_{2}}}, \forall z \in B^{*} (z_{0}, r) .$

Sin pérdida de generalidad supongamos que $m_{2} > m_{1}$ . Entonces:
$g_{2} (z) = g_{1} (z) (z - z_{0})^{m_{2} - m_{1}} .$

Notemos que si $z = z_{0}$ , entonces $g_{2} (z_{0}) = 0$ , lo cual es una contradicción, por lo que $m$ es único.

Definición 43.4. (Orden o multiplicidad de un polo.)
Sea $z_{0}$ un polo de una función analítica $f$ en $B^{*} (z_{0}, R)$ . Se define al orden del polo de $f$ en $z_{0}$ como el entero positivo $m$ del corolario 43.1.

Considerando lo anterior, podemos establecer una caracterización más completa de los polos de una función analítica.

Proposición 43.3.
Si $f$ es una función analítica en un disco abierto perforado $B^{*} (z_{0}, R)$ , con $R > 0$ , y $m \in N^{+}$ , entonces las siguientes condiciones son equivalentes.

$z_{0}$ es un polo de $f$ de orden $m \geq 1$ .
Existen $r > 0$ y $g : B (z_{0}, r) \to C$ analítica tal que $g (z_{0}) \neq 0$ y:
$f (z) = \frac{g (z)}{(z - z_{0})^{m}}, \forall z \in B^{*} (z_{0}, r) .$
$lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m} f (z)$ existe y es distinto de $0$ .
Existen $M > 0$ y $ρ > 0$ tales que $| (z - z_{0})^{m} f (z) | < M$ para todo $z \in B^{*} (z_{0}, ρ)$ .
$lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m + 1} f (z) = 0$ .
En la expansión en serie de Laurent de $f$ se tiene que $c_{- n} = 0$ para todo $n > m$ , es decir:
$f (z) = \frac{c_{- m}}{(z - z_{0})^{m}} + \dots + \frac{c_{- 1}}{z - z_{0}} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}, 0 < | z - z_{0} | < R .$

Demostración. Dadas las hipótesis tenemos que $(1) \Rightarrow (2)$ se sigue de la definición 43.4 y el corolario 43.2.

$(2) \Rightarrow (3)$ si suponemos válida (2), entonces $g (z) = (z - z_{0})^{m} f (z)$ , en $B^{*} (z_{0}, r)$ . Como $g$ es analítica en $B (z_{0}, r)$ y $g (z_{0}) \neq 0$ , entonces:
$0 \neq g (z_{0}) = lim_{z \to z_{0}} g (z) = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m} f (z) .$

$(3) \Rightarrow (4)$ es una consecuencia de la definición de límite.

$(4) \Rightarrow (5)$ se sigue del teorema de comparación, proposición 14.4.

$(5) \Rightarrow (6)$ si suponemos que $lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m + 1} f (z) = 0$ , entonces de la proposición 43.2(6) se sigue que la función $h (z) := (z - z_{0})^{m} f (z)$ , para $z \in B^{*} (z_{0}, R)$ , tiene una singularidad removible en $z_{0}$ , por lo que:
$(z - z_{0})^{m} f (z) = h (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}, 0 < | z - z_{0} | < R,$ de donde, para $0 < | z - z_{0} | < R$ , se tiene que:
$\begin{aligned} f (z) & = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n - m} \\ = \frac{c_{0}}{(z - z_{0})^{m}} + \dots + \frac{c_{m - 1}}{z - z_{0}} + \sum_{n = m}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n} \\ = \frac{c_{0}}{(z - z_{0})^{m}} + \dots + \frac{c_{m - 1}}{z - z_{0}} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n + m} {(z - z_{0})}^{n} . \end{aligned}$

Entonces de la unicidad de la expansión en serie de Laurent de $f$ en $B^{*} (z_{0}, R)$ , concluimos que $c_{- n} = 0$ para todo $n > m$ .

$(6) \Rightarrow (1)$ se sigue de la observación 43.2(2).

Ejemplo 43.7.
Determinemos el orden del polo $z_{0} = 0$ de la función $f$ dada.
a) $f (z) = sen (z) z^{- 3}$ .
b) $f (z) = (z sen (z))^{- 1}$ .

Solución.
a) El orden del polo $z_{0} = 0$ es $2$ ya que para $z \neq 0$ se tiene que:
$f (z) = \frac{sen (z)}{z^{3}} = \frac{1}{z^{3}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n - 2}}{(2 n + 1)!} = \frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{3!} + \frac{z^{2}}{5!} - \dots,$ y la menor potencia de $z$ con coeficiente distinto de $0$ es $- 2$ .

b) Tenemos que:
$lim_{z \to z_{0}} z^{2} f (z) = lim_{z \to z_{0}} z^{2} \frac{1}{z sen (z)} = lim_{z \to z_{0}} \frac{z}{sen (z)} = 1 \neq 0,$ por lo que el orden del polo $z_{0} = 0$ de $f$ es $2$ .

Finalmente, como es de imaginarse, las singularidades aisladas más complicadas de caracterizar son las esenciales. Como muestra de esta complejidad mencionaremos los siguientes resultados.

Teorema 43.1. (Teorema de Casorati-Weierstrass.)
Sea $f$ una función analítica en el disco abierto perforado $B^{*} (z_{0}, R)$ , con $z_{0} \in C$ fijo y $R > 0$ . Entonces, $z_{0}$ es una singularidad esencial de $f$ si y solo si se cumplen las siguientes dos condiciones.

Existe una sucesión de números complejos ${z_{n}}_{n \geq 1}$ en $B^{*} (z_{0}, R)$ tal que $lim_{n \to \infty} z_{n} = z_{0}$ y $lim_{n \to \infty} | f (z_{n}) | = \infty$ .
Para cualquier $w \in C$ , existe una sucesión de números complejos ${z_{n}}_{n \geq 1}$ en $B^{*} (z_{0}, R)$ , la cual depende de $w$ , tal que $lim_{n \to \infty} z_{n} = z_{0}$ y $lim_{n \to \infty} f (z_{n}) = w$ .

Se puede consultar una prueba de este resultado en Complex Analysis with Applications de Nakhlé H. Asmar y Loukas Grafakos.

Corolario 43.3. (Casorati-Weierstrass.)
Sea $z_{0}$ una singularidad esencial de $f$ y sea $E_{r}$ el conjunto de valores que toma $f$ en el disco abierto perforado $B^{*} (z_{0}, r)$ , con $r > 0$ . Entonces ${\overset{―}{E}}_{r} = C$ , es decir, $E_{r}$ es denso en $C$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, basta probar que para cualquier $w \in C$ y todo $ε > 0$ existe $z \in B^{*} (z_{0}, r)$ tal que $| f (z) - w | < ε$ .

Procedemos por contradicción. Supongamos que existen $w \in C$ y $ε > 0$ tales que para todo $z \in B^{*} (z_{0}, r)$ se cumple que:
$| f (z) - w | \geq ε .$

Definimos a la función $g : B^{*} (z_{0}, r) \to C$ como:
$g (z) := \frac{1}{f (z) - w} .$

Notemos que:
$| g (z) | = | \frac{1}{f (z) - w} | \leq \frac{1}{ε}, \forall z \in B^{*} (z_{0}, r),$ es decir, $g$ es acotada en $B^{*} (z_{0}, r)$ . De la proposición 43.2(5) se sigue que $g$ tiene una singularidad removible en $z_{0}$ , por lo que:
$0 = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) g (z) = lim_{z \to z_{0}} \frac{z - z_{0}}{f (z) - w} = 0.$

Entonces:
$lim_{z \to z_{0}} | \frac{f (z) - w}{z - z_{0}} | = \infty,$ es decir, la función $h (z) := \frac{f (z) - w}{z - z_{0}}$ tiene un polo en $z_{0}$ . Por la proposición 43.3 tenemos que $z_{0}$ no es una singularidad removible de $h$ y existe $m \in N^{+}$ tal que:
$0 = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m + 1} h (z) = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m + 1} \frac{f (z) - w}{z - z_{0}} = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m} [f (z) - w],$ de donde:
$lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0})^{m + 1} [f (z) - w] = 0.$ Por lo tanto, la función $f (z) - w$ tiene una singularidad removible en $z_{0}$ o un polo en $z_{0}$ , lo cual implica que lo mismo se cumple para $f (z)$ , lo cual contradice la hipótesis.

El teorema 43.1 tiene la siguiente generalización, el cual es un resultado más fuerte. Se puede consultar una prueba del mismo en Function of One Complex Variable de John B. Conway.

Teorema 43.2 (Teorema grande de Picard.)
Si $f$ es una función analítica en el disco abierto perforado $B^{*} (z_{0}, R)$ , con $R > 0$ , y $z_{0}$ es una singularidad esencial de $f$ , entonces $f$ toma en $B^{*} (z_{0}, R)$ cualquier valor complejo finito, a excepción, posiblemente, de uno.

Podemos extender las definiciones de cero y singularidades para punto al infinito. Si $f$ es analítica en una vecindad de $\infty$ , definición 14.3, es decir, $f$ es analítica para todo $| z | > R$ , entonces $f (1 / z)$ es analítica en el anillo $A (0, 0, 1 / R)$ , por lo que $0$ es una singularidad aislada de dicha función.

Definición 43.5. (Singularidades aisladas en $\infty$ .)
Sea $f$ una función analítica para todo $| z | > R$ . Entonces $f$ tiene:

una singularidad removible en $\infty$ si $f (1 / z)$ tiene una singularidad removible en $0$ ;
un polo de orden $m$ si $f (1 / z)$ tiene un polo de orden $m$ en $0$ ;
una singularidad esencial en $\infty$ si $f (1 / z)$ tiene singularidad esencial en $0$ .

Cuando $f$ tiene una singularidad removible en $\infty$ , entonces el $lim_{z \to \infty} f (z)$ existe. Mientras que si el $lim_{z \to \infty} f (z) = 0$ , decimos que $f$ tiene un {\bf cero} en $\infty$ .

Ejemplo 43.8.
La función $f (z) = \frac{z}{z^{2} + 1}$ tiene un cero en $\infty$ , ya que:
$lim_{z \to \infty} f (z) = lim_{z \to \infty} \frac{z}{z^{2} + 1} = lim_{z \to \infty} \frac{\frac{1}{z}}{1 + \frac{1}{z^{2}}} = 0.$

Mientras que la función $f (z) = \frac{z^{2}}{z^{2} + 1}$ tiene una singularidad removible en $\infty$ , ya que:
$lim_{z \to 0} (z - 0) f (\frac{1}{z}) = lim_{z \to 0} z \frac{\frac{1}{z^{2}}}{\frac{1}{z^{2}} + 1} = lim_{z \to 0} \frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z^{2}} + 1} = 0.$

Notemos que:
$lim_{z \to 0} f (\frac{1}{z}) = lim_{z \to 0} \frac{\frac{1}{z^{2}}}{\frac{1}{z^{2}} + 1} = lim_{z \to 0} \frac{1}{1 + z^{2}} = 1,$

por lo que, proposición 14.5(2), se tiene que:
$lim_{z \to \infty} f (z) = 1.$

Por otra parte, la función $f (z) = z^{5}$ tiene un polo de orden $5$ en $\infty$ ya que:
$lim_{z \to 0} (z - 0)^{5} f (\frac{1}{z}) = lim_{z \to 0} z^{5} (\frac{1}{z^{5}}) = lim_{z \to 0} 1 = 1 \neq 0.$

Por último, se deja como ejercicio al lector verificar que la función $f (z) = z e^{- z}$ tiene una singularidad esencial en $\infty$ .

Definición 43.6. (Función meroforma.)
Sean $D \subset C$ un dominio y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Se dice que $f$ es meromorfa si y solo si sus únicas singularidades aisladas son removibles o polos.

Ejemplo 43.9.
La función $f (z) = \frac{1}{z}$ es analítica en $C ∖ {0}$ y $0$ es un polo de $f$ , por lo que $f$ es meromorfa.

Por otra parte, la función $f (z) = \frac{1}{sen (z)}$ es analítica en $C ∖ {n π : n \in Z}$ y para cada $n \in Z$ el punto $n π$ es un polo de $f$ , entonces $f$ es meromorfa.

Tarea moral

Determina los ceros aislados de cada función y en cada caso obtén el orden de cada cero.
a) $f (z) = (1 - z^{2}) sen (z)$ .
b) $f (z) = z^{3} (e^{z} - 1)$ .
c) $f (z) = \frac{z (z - 1)^{2}}{z^{2} + 2 z - 1}$ .
d) $f (z) = senh (z)$ .
Obtén el orden del cero $z_{0} = 0$ de cada una de las siguientes funciones.
a) $f (z) = z Log (1 + z)$ .
b) $f (z) = \tan (z)$ .
c) $f (z) = 1 - \frac{z^{2}}{2} - \cos (z)$ .
d) $f (z) = z - sen (z)$ .
Clasifica las singularidades aisladas de cada una de las siguientes funciones. No consideres el caso en $\infty$ .
a) $f (z) = \frac{1 - z^{2}}{sen (z)} + \frac{z - 1}{z + 1}$ .
b) $f (z) = \frac{z}{e^{z} - 1}$ .
c) $f (z) = \frac{z sen (z)}{\cos (z) - 1}$ .
d) $f (z) = z sen (\frac{1}{z})$ .
Determina si las siguientes funciones tienen una singularidad removible en $\infty$ y algún cero en $\infty$ .
a) $f (z) = \frac{1}{z + 1}$ .
b) $f (z) = \frac{z}{e^{z} - 1}$ .
c) $f (z) = e^{z} - \cos (\frac{1}{z})$ .
d) $f (z) = \frac{z^{2} - 1}{z^{2} + 2 z + 3 i}$ .
Muestra que:
a) si $f$ tiene un cero de orden $m \geq 1$ en $z_{0}$ y $g$ tiene un cero de orden $k \geq 1$ en $z_{0}$ , entonces $f g$ tiene un cero de orden $m + k$ en $z_{0}$ ;
b) si $f$ tiene un polo de orden $m \geq 1$ en $z_{0}$ y $g$ tiene un cero de orden $k \geq 1$ en $z_{0}$ , entonces $f g$ tiene un polo de orden $m - k$ en $z_{0}$ , si $m > k$ , un cero de orden $k - m$ si $k > m$ y una singularidad removible en $z_{0}$ si $m = k$ ;
c) si $f$ tiene una singularidad removible en $z_{0}$ y $g$ es una función analítica en $z_{0}$ , entonces $f g$ tiene una singularidad removible en $z_{0}$ .
Prueba que una función $f$ tiene un polo de orden $m \geq 1$ en $z_{0}$ si y solo si la función $1 / f$ tiene una singularidad removible en $z_{0}$ .
Muestra que si una función $f$ tiene un cero de orden $m \geq 1$ en $z_{0}$ , entonces la función $1 / f$ tiene un polo de orden $m \geq 1$ en $z_{0}$ .
Prueba que si una función $f$ tiene un polo de orden $m \geq 1$ en $z_{0}$ y se define a $1 / f (z_{0}) = 0$ , entonces la función $1 / f$ tiene un cero de orden $m \geq 1$ en $z_{0}$ .

Más adelante…

En esta entrada hemos establecido una clasificación de los ceros y las singularidades de una función analítica. Probamos algunos resultados que nos permiten caracterizar a dichos puntos y en particular identificarlos. Como vimos, estos puntos son de interés pues nos permiten comprender mejor el comportamiento de las funciones analíticas.

La siguiente entrada es la última de este curso. En ella abordaremos el Teorema del Residuo y veremos que la clasificación de las distintas singularidades de una función analítica nos facilitará el cálculo de residuos.

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Variable Compleja I: Series de Taylor y series de Laurent

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

En la entrada anterior cerramos la cuarta unidad del curso y vimos algunos técnicas para construir funciones analíticas. Por otra parte, en la entrada 39 de la unidad anterior vimos algunos resultados que establecen la relación que existe entre las sucesiones y series de funciones convergentes y la integración compleja, los cuales nos serán de mucha utilidad en esta entrada.

Considerando los resultados de la tercera unidad y el teorema 39.1 vimos que toda serie de potencias define a una función analítica en su disco de convergencia, corolario 39.1. En esta entrada demostraremos un recíproco de este resultado, conocido como el teorema de Taylor de una función analítica, es decir, veremos que cada función analítica en un dominio puede expandirse en series de potencias sobre cada punto del dominio. Más aún, veremos que en una región anular es posible expandir a una función analítica, en dicho dominio, en una serie doblemente infinita llamada serie de Laurent.

Definición 42.1. (Serie de Taylor.)
Sean $D \subset C$ y $f : D \to C$ una función. Si $f$ es analítica en $z_{0} \in D$ , entonces la serie:
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n} = f (z_{0}) + f^{'} (z_{0}) (z - z_{0}) + \frac{f^{(2)} (z_{0})}{2!} (z - z_{0})^{2} + \frac{f^{(3)} (z_{0})}{3!} (z - z_{0})^{3} + \dots,$ es llamada la serie de Taylor de $f$ alrededor de $z_{0}$ . Si $z_{0} = 0$ , entonces la serie es llamada la serie de Maclaurin de $f$ .

Observación 42.1.
Claramente una serie de Taylor es una serie de potencias centrada en $z_{0}$ cuyos coeficientes $c_{n}$ , para toda $n \geq 1$ , son las derivadas de la función $f$ .

Teorema 42.1. (Teorema de Taylor.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $z_{0} \in D$ , $f : D \to C$ una función analítica en $D$ y $B (z_{0}, R)$ un disco abierto contenido en $D$ . Entonces $f$ tiene una expansión en serie de Taylor alrededor de $z_{0}$ , es decir:
$f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n}, \forall z \in B (z_{0}, R) .$

En particular, dicha convergencia de la serie de Taylor a la función $f (z)$ es única y se mantiene si $B (z_{0}, R)$ es el mayor disco abierto contenido en $D$ . Más aún, la convergencia es uniforme en todo subdisco cerrado $\overset{―}{B} (z_{0}, r)$ , con $0 < r < R$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, basta probar que la serie de Taylor converge a la función $f (z)$ para todo $z \in B (z_{0}, R)$ , pues la unicidad se sigue del corolario 30.2 y la convergencia uniforme de la proposición 29.2.

Sea $z \in B (z_{0}, R)$ . Definimos a $ρ := | z - z_{0} |$ , entonces $0 \leq ρ < R$ . Tomamos a $r$ tal que $0 \leq ρ < r < R$ y consideremos a la circunferencia $C (z_{0}, r)$ con centro en $z_{0}$ y radio $r$ , orientada positivamente, figura 147.

Como $f$ es analítica en $D$ y por construcción $C (z_{0}, r)$ está completamente contenido en $D$ , por la fórmula integral de Cauchy, proposición 36.3, tenemos que:
$f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ, \forall z \in B (z_{0}, r) .$

Figura 147: Circunferencia $C (z_{0}, r)$ orientada positivamente contenida en el disco abierto $B (z_{0}, R)$ .

Dado que $ρ = | z - z_{0} | < | ζ - z_{0} | = r$ , tenemos que:
$| \frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}} | < 1,$ por lo que la siguiente serie geométrica es convergente:
$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}})}^{n} = \frac{1}{1 - \frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}}} .$

Entonces, para $| z - z_{0} | < | ζ - z_{0} |$ se cumple que:
$\begin{aligned} \frac{1}{ζ - z} & = \frac{1}{(ζ - z_{0}) - (z - z_{0})} \\ = (\frac{1}{ζ - z_{0}}) \frac{1}{1 - \frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}}} \\ = (\frac{1}{ζ - z_{0}}) \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}})}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z - z_{0})^{n}}{{(ζ - z_{0})}^{n + 1}} . \end{aligned}$

Es claro que $f$ es una función continua y acotada en $C (z_{0}, r)$ , por lo que existe $M > 0$ tal que $| f (ζ) | \leq M$ para todo $ζ \in C (z_{0}, r)$ . Entonces:
$| \frac{(z - z_{0})^{n}}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} f (ζ) | \leq M \frac{ρ^{n}}{r^{n + 1}} = \frac{M}{r} {(\frac{ρ}{r})}^{n} := M_{n},$ para todo $ζ \in C (z_{0}, r)$ .

Como $ρ < r$ , tenemos que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} M_{n}$ converge para todo $n \in N$ , entonces, del criterio $M$ de Weierstrass, proposición 28.3, se sigue que la serie:
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z - z_{0})^{n}}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} f (ζ) = \frac{f (ζ)}{ζ - z},$ converge uniformemente para todo $ζ \in C (z_{0}, r)$ .

Entonces, por el teorema de Weierstrass sobre integración término a término de una serie de funciones uniformemente convergente, proposición 39.1, y la fórmula integral de Cauchy para derivadas, proposición 36.5, tenemos que:
$\begin{aligned} f (z) & = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z - z_{0})^{n}}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} f (ζ) d ζ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (z - z_{0})^{n} \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (z - z_{0})^{n} \frac{f^{(n)} (z_{0})}{n!} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n} . \end{aligned}$

Dado que $C (z_{0}, r)$ y $C (z_{0}, R)$ son dos contornos cerrados homotópicos en $D$ , del teorema integral de Cauchy, versión homotópica (teorema 38.3), se tiene que:
$\int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ = \int_{C (z_{0}, R)} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ,$ de donde se sigue el resultado.

Observación 42.2.
De acuerdo con la proposición 30.2 y el corolario 30.1, es claro que la serie de Taylor de $f$ , alrededor de un punto $z_{0}$ , puede ser diferenciada término a término dentro de su disco de convergencia, es decir:
$f^{(n)} (z) = \sum_{k = n}^{\infty} \frac{f^{(k)} (z_{0})}{(k - n)!} (z - z_{0})^{k - n}, \forall z \in B (z_{0}, R) .$

Ejemplo 42.1.
Determinemos a la función analítica $f$ tal que satisface la ecuación diferencial:
$\begin{matrix} (42.1) & \frac{d f (z)}{d z} = 3 i f (z) \end{matrix}$ en el disco abierto $B (0, r)$ , para algún $r > 0$ y cumple que $f (0) = 1$ .

Solución. Dado que $f$ es analítica en $z = 0$ , entonces $f$ tine expansión en serie de Maclaurin. De acuerdo con (42.1) y $f (0) = 1$ tenemos que:
$\begin{aligned} f^{'} (0) & = 3 i (1) = 3 i, \\ f^{(2)} (0) & = 3 i f^{'} (0) = (3 i)^{2}, \\ f^{(3)} (0) & = 3 i f^{(2)} (0) = (3 i)^{3}, \end{aligned}$ en general:
$f^{(n)} (0) = 3 i f^{(n - 1)} (0) = (3 i)^{2} f^{(n - 2)} (0) = \dots = (3 i)^{n} .$

Por lo tanto, podemos escribir la solución de la ecuación diferencial como:
$f (z) = 1 + 3 i z + \frac{(3 i)^{2} z^{2}}{2!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(3 i z)^{n}}{n!} .$

Sabemos que:
$e^{w} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{w^{n}}{n!},$ por lo que:
$f (z) = e^{i 3 z},$ es la función analítica buscada.

Ejemplo 42.2.
Determinemos la exapansión en serie de Taylor de la función $Log (1 + z)$ alrededor de $z_{0} = 0$ y obtengamos la región de convergencia de la serie resultante.

Solución. Sea $f (z) = Log (1 + z)$ . Por el ejercicio 10 de la entrada 21 sabemos que $f$ es analítica en $C ∖ (- \infty, - 1]$ .

Tenemos que $f^{(0)} (z) = f (z)$ y:
$f^{'} (z) = \frac{1}{1 + z}, f^{(2)} (z) = - \frac{1}{(1 + z)^{2}}, f^{(3)} (z) = \frac{2!}{(1 + z)^{3}}, f^{(4)} (z) = - \frac{3!}{(1 + z)^{4}},$ en general:
$f^{(n)} (z) = \frac{(- 1)^{n - 1} (n - 1)!}{(1 + z)^{n}}, n \geq 1.$

Entonces, del teorema de Taylor, para $z_{0} = 0$ tenemos que:
$\begin{aligned} f (z) = Log (1 + z) & = Log (1 + 0) + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} (z - 0)^{n} \\ = 0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} (n - 1)!}{(1 + 0)^{n} n!} z^{n} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n} z^{n} . \end{aligned}$

Sea:
$c_{n} = \frac{(- 1)^{n - 1}}{n} z^{n},$ entonces, del criterio del cociente tenemos que:
$lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} | = lim_{n \to \infty} | - \frac{n z}{(n + 1)} | = | z | < 1,$ es decir, la serie que define a $f$ converge para $| z | < 1$ . No es difícil verificar que la serie anterior también converge para los $z \in C$ tales que $| z | = 1$ y $z \neq - 1$ , por lo que se deja como ejercicio al lector.

Ejemplo 42.3.
Encontremos la expansión en serie de Taylor de la función $f (z) = (1 - z)^{- 1}$ alrededor del punto $z_{0} = i$ y determinemos su radio de convergencia.

Solución. Primeramente, es claro que la función racional $f$ es analítica en $D = C ∖ {1}$ . De acuerdo con el teorema de Taylor, la expansión en serie de potencias de $f$ es válida en el mayor disco abierto, contenido en $D$ , donde $f$ es analítica, por lo que, podemos determinar el radio de convergencia del desarrollo en serie de Taylor de $f$ considerando la distancia que hay de $z_{0} = i$ a la singularidad $z = 1$ , es decir:
$R = | i - 1 | = \sqrt{2} .$

Por otra parte, notemos que para $z \in B (i, \sqrt{2})$ se cumple que $| z - i | < \sqrt{2} = | 1 - i |$ , entonces:
$| \frac{z - i}{1 - i} | < 1$ por lo que:
$\begin{aligned} f (z) & = \frac{1}{1 - z} \\ = \frac{1}{1 - i - (z - i)} \\ = (\frac{1}{1 - i}) \frac{1}{1 - \frac{z - i}{1 - i}} \\ = (\frac{1}{1 - i}) \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{z - i}{1 - i})}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z - i)^{n}}{{(1 - i)}^{n + 1}} . \end{aligned}$

Ejemplo 42.4.
Dado que las funciones complejas $f (z) = e^{z}$ , $g (z) = \cos (z)$ y $h (z) = sen (z)$ son enteras, entonces tienen una expansión como serie de Maclaurin, la cual converge para todo $z \in C$ , es decir, $R = \infty$ para las tres funciones.

Es claro que:
$f^{(n)} (z) = f (z), ⟹ f^{(n)} (0) = e^{0} = 1.$

Mientras que:
$\begin{aligned} g (z) & = \cos (z), ⟹ g (0) = \cos (1) = 1, \\ g^{'} (z) & = - sen (z), ⟹ g^{'} (0) = - sen (0) = 0, \\ g^{(2)} (z) & = - \cos (z), ⟹ g^{(2)} (0) = - \cos (0) = 1, \\ g^{(3)} (z) & = sen (z), ⟹ g^{(3)} (0) = sen (0) = 0, \\ g^{(4)} (z) & = \cos (z), ⟹ g^{(4)} (0) = \cos (0) = 1. \end{aligned}$

Entonces, para todo $z \in C$ se cumple que:
$e^{z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} (z - 0)^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} .$
$\begin{aligned} \cos (z) & = g (0) + \frac{g^{'} (0)}{1!} (z - 0) + \frac{g^{(2)} (0)}{2!} (z - 0)^{2} + \frac{g^{(3)} (0)}{3!} (z - 0)^{3} + \frac{g^{(4)} (0)}{4!} (z - 0)^{4} + \dots \\ = 1 - \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n}}{(2 n)!} . \end{aligned}$

Dado que $g^{'} (z) = - sen (z) = - h (z)$ , entonces, por la proposición 30.2, tenemos que:
$\begin{aligned} sen (z) & = - g^{'} (z) \\ = - \frac{d}{d z} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n}}{(2 n)!} \\ = - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} 2 n z^{2 n - 1}}{(2 n)!} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1} z^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} . \end{aligned}$

Proposición 42.1.
Sean $D \subset C$ un dominio, $z_{0} \in D$ y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Sea $g : D \to C$ dada por:
$g (z) = {\begin{array}{lcc} \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}} & si & z \neq z_{0}, \\ f^{'} (z_{0}) & si & z = z_{0} . \end{array}$ Entonces $g$ es analítica en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, es claro que $g$ es analítica en $D ∖ {z_{0}}$ . Veamos que $g$ es analítica en $z_{0}$ . Como $D$ es abierto, entonces existe $R > 0$ tal que $B (z_{0}, R) \subset D$ . Por el teorema de Taylor, sabemos que en el disco abierto $B (z_{0}, R)$ la función $f$ tiene una expansión en serie de Taylor alrededor de $z_{0}$ , es decir:
$f (z) = f (z_{0}) + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{f^{(n)} (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n}, \forall z \in B (z_{0}, R) .$

Por lo que, para todo $z \in B (z_{0}, R)$ se cumple que:
$\begin{aligned} f (z) - f (z_{0}) & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{f^{(n)} (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n} \\ = (z - z_{0}) \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{f^{(n)} (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n - 1} \\ = (z - z_{0}) g (z), \end{aligned}$ de donde:
$g (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{f^{(n)} (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n - 1}, \forall z \in B (z_{0}, R) .$

Entonces, del corolario 39.1 se sigue que $g$ es analítica en $B (z_{0}, R)$ y por tanto analítica en $z_{0}$ , además $g$ es la función dada en (42.1).

Ejemplo 42.5.
Veamos que la función:
$g (z) = {\begin{array}{lcc} \frac{sen (z)}{z} & si & z \neq 0, \\ 1 & si & z = 0, \end{array}$ es entera.

Solución. Del ejemplo 42.4 tenemos que:
$sen (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = z \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n}}{(2 n + 1)!} = z h (z),$ donde:
$h (z) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} z^{2 n}}{(2 n + 1)!},$ es una función entera, corolario 39.1, ya que la serie que la define converge para todo $z \in C$ . Notemos que para $z \neq 0$ se cumple que:
$h (z) = \frac{sen (z)}{z},$ mientras que $h (0) = 1 = {sen}^{'} (0)$ , por lo que $h (z) = g (z)$ para todo $z \in C$ , es decir, $g$ es entera.

Definición 42.2. (Serie de Laurent.)
Sea ${c_{n}}_{n \in Z} \subset C$ una suecesión de números complejos doblemente infinita y $z_{0} \in C$ fijo. Una serie de números complejos doblemente infinita:
$\sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n},$ es llamada una serie de Laurent centrada en $z_{0}$ .

De acuerdo con el Lema 27.1, sabemos que la convergencia de una serie de Laurent está garantizada por la convergencia de las series:
$\sum_{n = 1}^{\infty} c_{- n} {(z - z_{0})}^{- n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c_{- n}}{{(z - z_{0})}^{n}}, \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n},$ las cuales son llamadas, respectivamente, la parte singular o principal y la parte regular o analítica, de la serie de Laurent.

En tal caso se cumple que:
$\sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c_{- n}}{{(z - z_{0})}^{n}} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n} .$

Dado que:
$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n} = c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n},$ en ocasiones resulta conveniente expresar a una serie de Laurent como:
$\sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n} = \sum_{n = - \infty}^{- 1} c_{n} {(z - z_{0})}^{n} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n} .$

Observación 42.3.
Notemos que haciendo $ζ := (z - z_{0})^{- 1}$ en la parte singular de una serie de Laurent, obtenemos la serie de potencias:
$\sum_{n = 1}^{\infty} c_{- n} ζ^{- n},$ para la cual existe $0 \leq R_{1} \leq \infty$ , proposición 29.2, tal que la serie converge absolutamente si:
$| ζ | < R_{1} ⟺ R_{1} < | z - z_{0} | .$

Más aún, la convergencia es absoluta y uniforme en el complemento de todo disco abierto $B (z_{0}, r_{1})$ , con $r_{1} > R_{1}$ , es decir, en:
$C ∖ B (z_{0}, r_{1}) = {z \in C : r_{1} \leq | z - z_{0} |} .$

Por otra parte, para la parte regular de una serie de Laurent:
$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n},$ tenemos que existe $0 \leq R_{2} \leq \infty$ , proposición 29.2, tal que la serie de potencias converge absolutamente si $| z - z_{0} | < R_{2}$ , mientras que la convergencia es absoluta y uniforme en todo subdisco cerrado $\overset{―}{B} (z_{0}, r_{2})$ , con $r_{2} < R_{2}$ .

En resumen, para una serie de Laurent, su parte singular converge absolutamente en el complemento del disco cerrado $\overset{―}{B} (z_{0}, R_{1})$ , es decir, en:
$C ∖ \overset{―}{B} (z_{0}, R_{1}) = {z \in C : R_{1} < | z - z_{0} |},$ mientras que la parte regular converge absolutamente en el disco abierto $B (z_{0}, R_{2})$ , por lo que, si $R_{1} < R_{2}$ , entonces la serie de Laurent converge absolutamente en:
$D := {z \in C : R_{1} < | z - z_{0} | < R_{2}},$ y en $D$ define una función analítica, corolario 39.1.

Motivados en lo anterior tenemos la siguiente:

Definición 42.2. (Región anular o anillo.)
Sean $z_{0} \in C$ fijo y $0 \leq R_{1} < R_{2} \leq \infty$ . Se define a la región anular o anillo abierto centrado en $z_{0}$ y de radios $R_{1}$ y $R_{2}$ como:
$A (z_{0}, R_{1}, R_{2}) = {z \in C : R_{1} < | z - z_{0} | < R_{2}} .$

Mientras que, se define al anillo cerrado con centro en $z_{0}$ y de radios $R_{1}$ y $R_{2}$ como:
$\overset{―}{A} (z_{0}, R_{1}, R_{2}) = {z \in C : R_{1} \leq | z - z_{0} | \leq R_{2}} .$

Figura 148: Regiones anulares $A (z_{0}, R_{1}, R_{2})$ y $\overset{―}{A} (z_{0}, R_{1}, R_{2})$ , respectivamente, en el plano complejo $C$ .

Observación 42.4.
Debe ser claro que si $R_{2} = \infty$ , entonces estaremos pensando en las regiones del plano complejo:
$\begin{aligned} A (z_{0}, R_{1}, \infty) & := {z \in C : R_{1} < | z - z_{0} | < \infty}, \\ \overset{―}{A} (z_{0}, R_{1}, \infty) & := {z \in C : R_{1} \leq | z - z_{0} | < \infty} . \end{aligned}$

También es posible considerar a los anillos degenerados correspondientes con los complementos de los discos $\overset{―}{B} (z_{0}, R_{1})$ y $B (z_{0}, R_{1})$ , respectivamente, es decir, las regiones del plano complejo:
$\begin{aligned} C ∖ \overset{―}{B} (z_{0}, R_{1}) & = {z \in C : R_{1} < | z - z_{0} |}, \\ C ∖ B (z_{0}, R_{1}) & = {z \in C : R_{1} \leq | z - z_{0} |} . \end{aligned}$

Ejemplo 42.6.
Sea $0 < R \leq \infty$ . Consideremos a la función $f (z) = \frac{1}{z^{3}} e^{z}$ . Es claro que la función $f$ no es analítica en $B (0, R)$ , ya que en $z = 0$ la función no es continua. Sin embargo, la función $f$ es analítica en el anillo abierto:
$B^{*} (0, R) = {z \in C : 0 < | z | < R} = A (0, 0, R) .$

De lo anterior se sigue que la función $f$ no tiene un desarrollo como serie de Maclauren. Notemos que para $z \neq 0$ , al considerar el desarrollo en serie de Maclauren de la función $g (z) = e^{z}$ , podemos dividir a cada término de dicha serie por $z^{3}$ y así obtener el siguiente desarrollo en serie de potencias de $f$ :
$\begin{aligned} f (z) & = \frac{1}{z^{3}} e^{z} \\ = \frac{1}{z^{3}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} \\ = \frac{1}{z^{3}} + \frac{1}{z^{2}} + \frac{1}{2! z} + \frac{1}{3!} + \frac{z}{4!} + \frac{z^{2}}{5!} + \frac{z^{3}}{6!} + \dots, \end{aligned}$ el cual es válido para toda $z \in B^{*} (0, R)$ .

El desarrollo obtenido antes corresponde con la serie de Laurent de la función $f$ en el anillo $A (0, 0, R)$ , con $0 < R \leq \infty$ .

Proposición 42.1.
Sean $A (z_{0}, R_{1}, R_{2}) \subset C$ un anillo abierto y $\sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}$ una serie de Laurent. Si la serie de Laurent converge en el anillo $A (z_{0}, R_{1}, R_{2})$ , entonces la serie converge uniformemente en todo subanillo cerrado $\overset{―}{A} (z_{0}, r_{1}, r_{2})$ , donde $R_{1} < r_{1} < r_{2} < R_{2}$ .

Demostración. Se sigue de la observación 42.3 y la proposición 29.2, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Observación 42.5.
Notemos que para $R_{1} < r < R_{2}$ , la circunferencia $γ_{r} (t) = z_{0} + r e^{i t}$ , $t \in [0, 2 π]$ , orientada positivamente, está completamente contenida en el anillo $A (z_{0}, R_{1}, R_{2}) \subset C$ , entonces, para todo $z \in γ_{r} ([0, 2 π])$ la serie de Laurent $\sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}$ converge uniformemente a una función $f (z)$ analítica en $A (z_{0}, R_{1}, R_{2})$ , por lo que, proposición 39.1, podemos integrar término a término a la serie de Laurent a lo largo de $γ_{r}$ , es decir:
$\begin{aligned} \int_{γ_{r}} f (z) d z & = \int_{γ_{r}} \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n} d z \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} \int_{γ_{r}} {(z - z_{0})}^{n} d z \\ = 2 π i c_{- 1}, \end{aligned}$ donde la última igualdad se sigue del ejemplo 34.2, ya que:
$\int_{γ_{r}} {(z - z_{0})}^{n} d z = {\begin{array}{lcc} 0 & si & n \neq - 1, \\ 2 π i & si & n = - 1. \end{array}$

Entonces:
$a_{- 1} = \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} f (z) d z .$

Procediendo de manera análoga para la función $(z - z_{0})^{k - 1} f (z)$ , con $k \in Z$ , en lugar de $f (z)$ , tenemos que:
$a_{k} = \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{k + 1}} d z .$

Por lo tanto, los coeficientes $c_{n}$ de una serie de Laurent están unívocamente determinados por la función $f (z)$ definida por dicha serie.

Proposición 42.2. (Teorema de Cacuhy para circunferencias concéntricas.)
Sean $z_{0} \in C$ fijo, $0 \leq R_{1} < R_{2} \leq \infty$ , $D := A (z_{0}, R_{1}, R_{2}) \subset C$ un anillo abierto y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Para cada $R_{1} < r < R_{2}$ sea $γ_{r}$ la circunferencia con centro en $z_{0}$ y radio $r$ , orientada positivamente. Entonces:
$\int_{γ_{r}} f (z) d z,$ es independiente de $r$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sean $r_{1}$ y $r_{2}$ tales que $R_{1} < r_{i} < R_{2}$ , para $i = 1, 2$ . Dado que $γ_{r_{1}}$ y $γ_{r_{2}}$ son dos contornos cerrados homotópicos en $D$ , entonces del teorema de Cauchy, teorema 38.3, se sigue que:
$\int_{γ_{r_{1}}} f (z) d z = \int_{γ_{r_{2}}} f (z) d z .$

Proposición 42.3. (Fórmula integral de Cacuhy para anillos.)
Sean $z_{0} \in C$ fijo, $0 \leq R_{1} < R_{2} \leq \infty$ , $D := A (z_{0}, R_{1}, R_{2}) \subset C$ un anillo abierto y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Para cada $R_{1} < r < R_{2}$ sea $γ_{r}$ la circunferencia con centro en $z_{0}$ y radio $r$ , orientada positivamente, es decir, $γ_{r} (t) = z_{0} + r e^{i t}$ , para $t \in [0, 2 π]$ . Si $R_{1} < r_{1} < | z - z_{0} | < r_{2} < R_{2}$ , entonces:
$f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r_{2}}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r_{1}}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ .$

Demostración. Dadas las hipótesis, fijemos a $z \in D$ tal que $R_{1} < r_{1} < | z - z_{0} | < r_{2} < R_{2}$ . Definimos a la función $g : D \to C$ como:
$g (ζ) = {\begin{array}{lcc} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} & si & ζ \neq z, \\ f^{'} (z) & si & ζ = z . \end{array}$

De la proposición 42.1 se sigue que $g$ es analítica en $D$ y por la proposición 42.2 se tiene que:
$\int_{γ_{r_{1}}} g (ζ) d ζ = \int_{γ_{r_{2}}} g (ζ) d ζ .$

Como lo anterior se cumple para todo $ζ \in γ_{r_{j}} ([0, 2 π])$ , con $j = 1, 2$ , entonces $ζ \neq z$ , por lo que:
$\int_{γ_{r_{1}}} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} d ζ = \int_{γ_{r_{1}}} g (ζ) d ζ = \int_{γ_{r_{2}}} g (ζ) d ζ = \int_{γ_{r_{2}}} \frac{f (ζ) - f (z)}{ζ - z} d ζ .$

Entonces:
$\int_{γ_{r_{1}}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - f (z) \int_{γ_{r_{1}}} \frac{1}{ζ - z} d ζ = \int_{γ_{r_{2}}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - f (z) \int_{γ_{r_{2}}} \frac{1}{ζ - z} d ζ,$

de donde, considerando la definición 36.1, se sigue que:
$\begin{aligned} \int_{γ_{r_{2}}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - \int_{γ_{r_{1}}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ & = f (z) [\int_{γ_{r_{2}}} \frac{1}{ζ - z} d ζ - \int_{γ_{r_{1}}} \frac{1}{ζ - z} d ζ] \\ = f (z) 2 π i [n (γ_{r_{2}}, z) - n (γ_{r_{1}}, z)] \\ = f (z) 2 π i [1 - 0] \\ = f (z) 2 π i, \end{aligned}$ ya que $z$ está fuera de la circunferencia $γ_{r_{1}}$ y dentro de la circunferencia $γ_{r_{2}}$ .

Por lo tanto:
$\begin{aligned} f (z) & = \frac{1}{2 π i} [\int_{γ_{r_{2}}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - \int_{γ_{r_{1}}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ] \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r_{2}}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r_{1}}} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ . \end{aligned}$

Teorema 42.2. (Teorema de Laurent.)
Sean $z_{0} \in C$ fijo, $0 \leq R_{1} < R_{2} \leq \infty$ , $D := A (z_{0}, R_{1}, R_{2}) \subset C$ un anillo abierto y $f : D \to C$ una función analítica en $D$ . Entonces $f$ tiene una única expansión en serie de Laurent en $D$ , es decir:
$f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}, \forall z \in D,$ la cual converge absolutamente en el anillo $D$ y uniformemente en todo subanillo cerrado $\overset{―}{A} (z_{0}, r_{1}, r_{2})$ , con $R_{1} < r_{1}$ y $r_{2} < R_{2}$ . Más aún:
$c_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (ζ)}{(ζ - z)^{n + 1}} d ζ, \forall n \in Z,$ donde $C (z_{0}, r)$ es la circunferencia con centro en $z_{0}$ y radio $r$ , orientada positivamente, con $R_{1} < r < R_{2}$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, veamos que la serie de Laurent $\sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n}$ converge absolutamente en un subanillo cerrado $\overset{―}{A} (z_{0}, ρ_{1}, ρ_{2})$ , con $R_{1} < ρ_{1}$ y $ρ_{2} < R_{2}$ , la convergencia uniforme se sigue de la proposición 42.1.

Sean $ρ_{1}$ y $ρ_{2}$ fijos, tales que $R_{1} < ρ_{1}$ y $ρ_{2} < R_{2}$ . Fijamos a $r_{1}$ y $r_{2}$ tales que:
$R_{1} < r_{1} < ρ_{1} \leq | z - z_{0} | \leq ρ_{2} < r_{2} < R_{2}$

Por la proposición 42.3, para todo $z \in \overset{―}{A} (z_{0}, ρ_{1}, ρ_{2})$ se cumple que:
$f (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{2})} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{1})} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ,$ donde $C (z_{0}, r_{j})$ es la circunferencia con centro en $z_{0}$ y radio $r_{j}$ , orientada positivamente, con $R_{1} < r_{j} < R_{2}$ , para $j = 1, 2$ .

Para $ζ \in C (z_{0}, r_{2})$ y $z \in \overset{―}{A} (z_{0}, ρ_{1}, ρ_{2})$ tenemos que:
$\frac{| z - z_{0} |}{| ζ - z_{0} |} \leq \frac{ρ_{2}}{r_{2}} < 1,$ entonces, como en la prueba del teorema de Taylor, tenemos que la siguiente serie geométrica es convergente:
$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}})}^{n} = \frac{1}{1 - \frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}}} .$

Por lo que, para $ζ \in C (z_{0}, r_{2})$ y $z \in \overset{―}{A} (z_{0}, ρ_{1}, ρ_{2})$ , se cumple que:
$\begin{aligned} \frac{1}{ζ - z} & = \frac{1}{(ζ - z_{0}) - (z - z_{0})} \\ = (\frac{1}{ζ - z_{0}}) \frac{1}{1 - \frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}}} \\ = (\frac{1}{ζ - z_{0}}) \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{z - z_{0}}{ζ - z_{0}})}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z - z_{0})^{n}}{{(ζ - z_{0})}^{n + 1}} . \end{aligned}$

Dado que $f$ es una función continua y acotada en $C (z_{0}, r_{2})$ , entonces existe $M_{2} > 0$ tal que $| f (ζ) | \leq M_{2}$ para todo $ζ \in C (z_{0}, r_{2})$ . Así:
$| \frac{(z - z_{0})^{n}}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} f (ζ) | \leq M_{2} \frac{ρ_{2}^{n}}{r_{2}^{n + 1}} = \frac{M_{2}}{r_{2}} {(\frac{ρ_{2}}{r_{2}})}^{n} := M_{n}^{(2)},$ para todo $ζ \in C (z_{0}, r_{2})$ y todo $z \in \overset{―}{A} (z_{0}, ρ_{1}, ρ_{2})$ .

Como $ρ_{2} < r_{2}$ , tenemos que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} M_{n}^{(2)}$ converge para todo $n \in N$ , por lo que, del criterio $M$ de Weierstrass, proposición 28.3, se sigue que la serie:
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z - z_{0})^{n}}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} f (ζ) = \frac{f (ζ)}{ζ - z},$ converge uniformemente para todo $ζ \in C (z_{0}, r_{2})$ .

Entonces, por el teorema de Weierstrass sobre integración término a término de una serie de funciones uniformemente convergente, proposición 39.1, y la fórmula integral de Cauchy para derivadas, proposición 36.5, tenemos que:
$\begin{aligned} \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{2})} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ & = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{2})} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z - z_{0})^{n}}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} f (ζ) d ζ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (z - z_{0})^{n} \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{2})} \frac{f (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}, \end{aligned}$ donde:
$c_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{2})} \frac{f (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ .$

Análogamente, para $ζ \in C (z_{0}, r_{1})$ y $z \in \overset{―}{A} (z_{0}, ρ_{1}, ρ_{2})$ tenemos que:
$\frac{| ζ - z_{0} |}{| z - z_{0} |} \leq \frac{r_{1}}{ρ_{1}} < 1,$ entonces, la siguiente serie geométrica es convergente:
$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{ζ - z_{0}}{z - z_{0}})}^{n} = \frac{1}{1 - \frac{ζ - z_{0}}{z - z_{0}}} .$

Por lo que, para $ζ \in C (z_{0}, r_{1})$ y $z \in \overset{―}{A} (z_{0}, ρ_{1}, ρ_{2})$ , se cumple que:
$\begin{aligned} \frac{1}{ζ - z} & = \frac{1}{(ζ - z_{0}) - (z - z_{0})} \\ = (- \frac{1}{z - z_{0}}) \frac{1}{1 - \frac{ζ - z_{0}}{z - z_{0}}} \\ = (- \frac{1}{z - z_{0}}) \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{ζ - z_{0}}{z - z_{0}})}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{- (ζ - z_{0})^{n}}{{(z - z_{0})}^{n + 1}} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{- (ζ - z_{0})^{n - 1}}{{(z - z_{0})}^{n}} \end{aligned}$

Como $f$ es una función continua y acotada en $C (z_{0}, r_{1})$ , entonces existe $M_{1} > 0$ tal que $| f (ζ) | \leq M_{1}$ para todo $ζ \in C (z_{0}, r_{1})$ . Por lo que:
$| \frac{- (ζ - z_{0})^{n - 1}}{{(z - z_{0})}^{n}} f (ζ) | \leq M_{1} \frac{r_{1}^{n - 1}}{ρ_{1}^{n}} = \frac{M_{1}}{r_{1}} {(\frac{r_{1}}{ρ_{1}})}^{n} := M_{n}^{(1)},$ para todo $ζ \in C (z_{0}, r_{1})$ y todo $z \in \overset{―}{A} (z_{0}, ρ_{1}, ρ_{2})$ .

Como $r_{1} < ρ_{1}$ , tenemos que la serie $\sum_{n = 0}^{\infty} M_{n}^{(1)}$ converge para todo $n \in N$ , por lo que, del criterio $M$ de Weierstrass, se tiene que la serie:
$- \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(ζ - z_{0})^{n - 1}}{{(z - z_{0})}^{n}} f (ζ) = \frac{f (ζ)}{ζ - z},$ converge uniformemente para todo $ζ \in C (z_{0}, r_{1})$ .

Entonces, por la proposición 39.1 y la fórmula integral de Cauchy para derivadas, proposición 36.5, tenemos que:
$\begin{aligned} - \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{1})} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ & = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{1})} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(ζ - z_{0})^{n - 1}}{{(z - z_{0})}^{n}} f (ζ) d ζ \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{{(z - z_{0})}^{n}} \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{1})} (ζ - z_{0})^{n - 1} f (ζ) d ζ \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{{(z - z_{0})}^{n}} \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{1})} \frac{f (ζ)}{(ζ - z_{0})^{1 - n}} d ζ \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c_{- n}}{{(z - z_{0})}^{n}}, \end{aligned}$ donde:
$c_{- n} = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{1})} \frac{f (ζ)}{(ζ - z_{0})^{1 - n}} d ζ,$ o equivalentemente:
$- \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{1})} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ = \sum_{n = - \infty}^{- 1} c_{n} {(z - z_{0})}^{n},$ donde:
$c_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{1})} \frac{f (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ .$

Dado que para $r \in (R_{1}, R_{2})$ se cumple que $C (z_{0}, r_{1})$ , $C (z_{0}, r_{2})$ y $C (z_{0}, r)$ son tres contornos cerrados homótopicos en $D$ , del teorema integral de Cauchy, versión homotópica (teorema 38.3), se tiene que:
$\int_{C (z_{0}, r)} \frac{f (ζ)}{(ζ - z_{0})^{1 + n}} d ζ = \int_{C (z_{0}, r_{1})} \frac{f (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ = \int_{C (z_{0}, r_{2})} \frac{f (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ,$ por lo que:
$\begin{aligned} f (z) & = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{2})} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ - \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{1})} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n} + \sum_{n = - \infty}^{- 1} c_{n} {(z - z_{0})}^{n} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} (z - z_{0})^{n}, \end{aligned}$ donde:
$c_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r_{1})} \frac{f (ζ)}{(ζ - z_{0})^{n + 1}} d ζ, \forall n \in Z .$

Por último, para verificar la unicidad de la expansión de $f$ en serie de Laurent, supongamos que en $D$ se cumple que $f$ tiene dos expansiones en serie de Laurent, es decir:
$f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} b_{n} (z - z_{0})^{n} .$

Tenemos que ambas series convergen uniformemente en todo subanillo cerrado de $D$ , entonces, para $k \in Z$ arbitrario:
$\frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n - k - 1} d z = \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} \sum_{n = - \infty}^{\infty} b_{n} (z - z_{0})^{n - k - 1} d z,$ donde $C (z_{0}, r)$ es una circunferencia contenida en cualquier subanillo cerrado de $D$ , entonces, por la convergencia uniforme de ambas series, se sigue de la proposición 39.1 que:
$\sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} a_{n} (z - z_{0})^{n - k - 1} d z = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π i} \int_{C (z_{0}, r)} b_{n} (z - z_{0})^{n - k - 1} d z .$

Por el ejemplo 34.2 tenemos que:
$\int_{C (z_{0}, r)} a_{n} (z - z_{0})^{n - k - 1} d z = \int_{C (z_{0}, r)} b_{n} (z - z_{0})^{n - k - 1} d z = {\begin{array}{lcc} 0 & si & n \neq k, \\ 2 π i & si & n = k, \end{array}$ de donde:
$a_{k} 2 π i = b_{k} 2 π i ⟺ a_{k} = b_{k}, \forall k \in Z .$

Observación 42.6.
Dado que la convergencia de la serie de Laurent:
$f (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c_{- n}}{{(z - z_{0})}^{n}} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - z_{0})}^{n},$ en un anillo abierto $A (z_{0}, R_{1}, R_{2})$ , es uniforme en todo subanillo cerrado en $A (z_{0}, R_{1}, R_{2})$ y para cada $n \in Z$ , la función $c_{n} (z - z_{0})^{n}$ es analítica en dicho anillo abierto, entonces, teoremas de Weierstrass, podemos integrar y derivar a una serie de Laurent término a término.

Por lo que:
$f^{'} (z) = - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n c_{- n}}{{(z - z_{0})}^{n + 1}} + \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} {(z - z_{0})}^{n - 1} d z .$

En general, podemos continuar derivando a la función $f$ término a término para obtener a cualquier derivada de orden superior.

Por otra parte, para todo contorno $γ$ en el anillo $A (z_{0}, R_{1}, R_{2})$ tenemos que:
$\int_{γ} f (z) d z = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{- n} \int_{γ} \frac{1}{{(z - z_{0})}^{n}} d z + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} \int_{γ} {(z - z_{0})}^{n} .$

Ejemplo 42.7.
Determinemos la expansión en serie de Laurent de la función:
$f (z) = \frac{1}{z^{2} - 3 z + 2},$ en los anillos abiertos $A (0, 1, 2)$ y $A (- i, \sqrt{2}, \sqrt{5})$ .

Solución. Aplicando fracciones parciales, podemos reescribir la función $f (z)$ como:
$f (z) = \frac{1}{z^{2} - 3 z + 2} = \frac{1}{(1 - z) (2 - z)} = \frac{1}{1 - z} - \frac{1}{2 - z},$ de donde es claro que $f$ es analítica en $D := C ∖ {1, 2}$ y en particular en los anillos abiertos $A (0, 1, 2)$ y $A (- i, \sqrt{2}, \sqrt{5})$ contenidos en $D$ .

Para $z \in A (0, 1, 2)$ tenemos que $1 < | z | < 2$ , por lo que:
$\frac{1}{| z |} < 1 y \frac{| z |}{2} < 1.$

Entonces, considerando la serie geométrica tenemos que:
$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{z})}^{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} y \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{z}{2})}^{n} = \frac{1}{1 - \frac{z}{2}} .$

Por lo que:
$\begin{aligned} \frac{1}{1 - z} & = (- \frac{1}{z}) \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} \\ = (- \frac{1}{z}) \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{z})}^{n} \\ = - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{z^{n + 1}} \\ = - \sum_{n = - \infty}^{- 1} z^{n} . \end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{1}{2 - z} & = (\frac{1}{2}) \frac{1}{1 - \frac{z}{2}} \\ = \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{z}{2})}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{2^{n + 1}} . \end{aligned}$

Entonces, para todo $z \in A (0, 1, 2)$ tenemos que:
$f (z) = - \sum_{n = - \infty}^{- 1} z^{n} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{2^{n + 1}} = \dots - \frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{z} - \frac{1}{2} - \frac{z}{4} - \frac{z^{2}}{8} - \dots .$

Análogamente, para $z \in A (- i, \sqrt{2}, \sqrt{5})$ tenemos que $\sqrt{2} < | z + i | < \sqrt{5}$ , de donde:
$\frac{\sqrt{2}}{| z + i |} = \frac{| 1 + i |}{| z + i |} < 1 y \frac{| z + i |}{\sqrt{5}} = \frac{| z + i |}{| 2 + i |} < 1.$

Por lo que:
$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1 + i}{z + i})}^{n} = \frac{1}{1 - \frac{1 + i}{z + i}} y \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{z + i}{2 + i})}^{n} = \frac{1}{1 - \frac{z + i}{2 + i}} .$

Entonces:
$\begin{aligned} \frac{1}{1 - z} & = \frac{1}{(1 + i) - (z + i)} \\ = (- \frac{1}{z + i}) \frac{1}{1 - \frac{1 + i}{z + i}} \\ = (- \frac{1}{z + i}) \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1 + i}{z + i})}^{n} \\ = (- \frac{1}{z + i}) \sum_{n = - \infty}^{0} {(\frac{z + i}{1 + i})}^{n} \\ = - \sum_{n = - \infty}^{0} \frac{{(z + i)}^{n - 1}}{(1 + i)^{n}} \\ = - \sum_{n = - \infty}^{- 1} \frac{{(z + i)}^{n}}{(1 + i)^{n + 1}} . \end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{1}{2 - z} & = \frac{1}{(2 + i) - (z + i)} \\ = (\frac{1}{2 + i}) \frac{1}{1 - \frac{z + i}{2 + i}} \\ = \frac{1}{2 + i} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{z + i}{2 + i})}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(z + i)}^{n}}{(2 + i)^{n + 1}} . \end{aligned}$

Por lo tanto, para todo $z \in A (- i, \sqrt{2}, \sqrt{5})$ tenemos que:
$f (z) = - \sum_{n = - \infty}^{- 1} \frac{{(z + i)}^{n}}{(1 + i)^{n + 1}} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(z + i)}^{n}}{(2 + i)^{n + 1}} .$

Ejemplo 42.8.
Determinemos la expansión en serie de Laurent de la función $f (z) = e^{1 / z}$ , en el anillo $A (0, 0, \infty)$ .

Solución. Sabemos que $f$ es una función analítica en $D := C ∖ {0}$ , por lo que en particular es analítica en $A (0, 0, \infty) \subset D$ . Considerando la serie de Maclaurin de la exponencial compleja, ejemplo 42.4, tenemos que:
$e^{z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}, \forall z \in C .$

Para $z \in A (0, 0, \infty)$ tenemos que $0 < | z | < \infty$ , por lo que $z \neq 0$ , entonces:
$e^{1 / z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(1 / z)^{n}}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{z^{n} n!} .$

Ejemplo 42.9.
Determinemos la serie de Laurent de la función $f (z) = (1 - z)^{- 3}$ , en el anillo $A (0, 1, \infty)$ .

Solución. Sabemos que $f$ es una función analítica en $D := C ∖ {1}$ , en particular es analítica en el anillo abierto $A (0, 1, \infty) \subset D$ . Considerando el ejemplo 42.7, para $z \in A (0, 1, \infty)$ tenemos que $| z |^{- 1} < 1$ , por lo que:
$\begin{aligned} \frac{1}{1 - z} & = (- \frac{1}{z}) \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} \\ = (- \frac{1}{z}) \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{z})}^{n} \\ = - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{z^{n}} . \end{aligned}$

Diferenciando dos veces de ambos lados de la igualdad, tenemos que:
$\frac{d}{z} \frac{1}{1 - z} = \frac{1}{(1 - z)^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{z^{n + 1}} = \frac{d}{d z} (- \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{z^{n}}),$
$\frac{d}{z} \frac{1}{(1 - z)^{2}} = \frac{2}{(1 - z)^{3}} = - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n (n + 1)}{z^{n + 2}} = \frac{d}{d z} (\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{z^{n + 1}}),$ de donde:
$f (z) = \frac{1}{(1 - z)^{3}} = - \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n (n + 1)}{z^{n + 2}},$ para todo $z \in A (0, 1, \infty)$ .

Ejemplo 42.10.
Sea $γ$ la circunferencia unitaria orientada positivamente. Evaluemos la integral:
$\int_{γ} \frac{e^{1 / z}}{z} d z .$

Solución. Sea $f (z) = e^{1 / z} z^{- 1}$ . Es claro que $f$ es una función analítica en $D := C ∖ {0}$ y $γ$ está completamente contenido en $D$ , entonces $f$ es continua en el contorno $γ$ , por lo que la integral existe. Sin embargo, no podemos utilizar el teorema integral de Cauchy para evaluar la integral ya que la singularidad $z_{0} = 0$ está dentro de la circunferencia unitaria dada por $γ$ .

Consideremos al anillo abierto $A (0, 0, \infty) \subset D$ . Por el ejemplo 42.8, sabemos que para todo $z \in A (0, 0, \infty)$ se cumple que:
$e^{1 / z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(1 / z)^{n}}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{z^{n} n!} .$

Por lo que, para todo $z \in A (0, 0, \infty)$ tenemos que:
$f (z) = \frac{e^{1 / z}}{z} = \frac{1}{z} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{z^{n} n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{z^{n + 1} n!} .$

Del ejemplo 34.1 sabemos que:
$\int_{γ} \frac{1}{z^{n + 1}} d z = {\begin{array}{lcc} 0 & si & n \neq 0, \\ 2 π i & si & n = 0. \end{array}$

Entonces, como $γ$ es un contorno en el anillo abierto $A (0, 0, \infty)$ , tenemos que:
$\begin{aligned} \int_{γ} \frac{e^{1 / z}}{z} d z & = \int_{γ} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{z^{n + 1} n!} d z \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{γ} \frac{1}{z^{n + 1}} d z \\ = \frac{1}{0!} 2 π i \\ = 2 π i . \end{aligned}$

Tarea moral

Sean $z_{1}, z_{2} \in C$ tales que $z_{1} \neq z_{2}$ y $0 < | z_{1} | \leq | z_{2} |$ . Muestra que para $| z | < | z_{1} |$ , se cumple que:
$\frac{1}{(z_{1} - z) (z_{2} - z)} = \frac{1}{(z_{1} - z_{2})} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z_{1}^{n + 1} - z_{2}^{n + 1})}{(z_{1} z_{2})^{n + 1}} z^{n} .$
Determina la expansión en serie de Taylor de las siguientes funciones alrededor del punto dado.
a) $f (z) = \frac{4}{z^{2} + 2 z}$ , alrededor de $z_{0} = 1$ .
b) $f (z) = \frac{2}{1 - z^{2}}$ , alrededor de $z_{0} = i$ .
c) $f (z) = \frac{2 i}{3 - i z}$ , alrededor de $z_{0} = - 1$ .
d) $f (z) = z e^{3 z^{2}}$ , alrededor de $z_{0} = 0$ .
Muestra que las siguientes funciones son analíticas en $z_{0} = 0$ . Determina su desarrollo en serie de Maclaurin y su radio de convergencia.
a) $f (z) = {\begin{array}{lcc} \frac{\cos (z) - 1}{z} & si & z \neq 0, \\ 0 & si & z = 0. \end{array}$
b) $f (z) = {\begin{array}{lcc} \frac{e^{z} - 1}{z} & si & z \neq 0, \\ 1 & si & z = 0. \end{array}$
Determina la expansión en serie de Laurent de las siguientes funciones en los anillos abiertos dados.
a) $f (z) = z + \frac{1}{z}$ , en $A (1, 1, \infty)$ .
b) $f (z) = \frac{1}{(3 z - 1) (2 z + 1)}$ , en $A (0, 1 / 3, 1 / 2)$ .
c) $f (z) = \frac{1}{1 - z^{2}}$ , en $A (2, 1, 3)$ .
d) $f (z) = z + \frac{1}{z}$ , en $A (1, 1, \infty)$ .
Evalúa las siguientes integrales utilizando una serie de Laurent apropiada en cada caso. Todas las circunferencias están orientadas positivamente.
a) $\int_{C (0, 1)} sen (\frac{1}{z}) d z$ .
b) $\int_{C (0, 4)} Log (1 + \frac{1}{z}) d z$ .
c) $\int_{C (0, 1)} \frac{\cos (\frac{1}{z^{2}})}{z} d z$ .
d) $\int_{C (0, 1)} e^{z^{2} + \frac{1}{z}} d z$ .
Muestra que:
$\cosh (z + \frac{1}{z}) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} z^{n},$ donde:
$c_{n} = \int_{0}^{2 π} \cos (n t) \cosh (2 \cos (t)) d t .$ Hint: Integra a lo largo de la circunferencia unitaria $C (0, 1)$ .

Más adelante…

En esta entrada hemos probado dos resultados que son de suma importancia en la teoría de la Variable Compleja y que nos permiten caracterizar aún más a las funciones analíticas. Dichos resultados son el teorema de Taylor y el teorema de Laurent, y ambos nos permiten dar un recíproco a los resultados de la tercera unidad, en la cual vimos que una serie de potencias define a una función analítica en su disco de convergencia, mientras que con los resultados de esta entrada establecimos que toda función analítica en un dominio puede representarse a través de un desarrollo en series de potencias, ya sea en una expansión en serie de Taylor o en una expansión en serie de Laurent, dependiendo de la función analítica en cuestión.

La siguiente entrada corresponde con la última de estas notas, en ella daremos una clasificación de las singularidades de una función analítica y veremos uno de los resultados más importantes del curso, el cual engloba la mayoría de resultados establecidos hasta ahora y que nos es de mucha utilidad en la práctica al evaluar integrales, es decir, el teorema del residuo.

Entradas relacionadas

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Variable Compleja I: Técnicas para construir funciones analíticas

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

En esta entrada daremos algunas técnicas para construir una función analítica determinando la función armónica conjugada de una función real armónica. Como veremos, dichos métodos se sustentan en los resultados de la entrada anterior sobre funciones conjugadas armónicas y en la existencia de la primitiva o antiderivada de una función analítica en un dominio.

El primer método que veremos es el de Milne-Thomson, el cual requiere de una función armónica, correspondiente con la parte real o la parte imaginaria de una función compleja, para construir una función analítica $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ , al determinar su conjugada armónica.

Método de Milne-Thomson.
Sea $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ una función compleja definida en algún dominio $D \subset C$ .

Para $z = x + i y \in D$ sabemos que:
$x = \frac{z + \overset{―}{z}}{2}, y = \frac{z - \overset{―}{z}}{2 i},$ entonces:
$f (z) = u (\frac{z + \overset{―}{z}}{2}, \frac{z - \overset{―}{z}}{2 i}) + i v (\frac{z + \overset{―}{z}}{2}, \frac{z - \overset{―}{z}}{2 i}) .$

Si consideramos a $z$ y $\overset{―}{z}$ como dos variables independientes, entonces para $z = \overset{―}{z}$ , tenemos que:
$\begin{matrix} (41.1) & f (z) = u (z, 0) + i v (z, 0) . \end{matrix}$

Notemos que la condición $z = \overset{―}{z}$ es equivalente a que $y = 0$ , proposición 2.2(5), es decir que $z = x$ sea una variable real, en tal caso tendríamos que:
$\begin{matrix} (41.2) & f (x + i y) = f (x) = u (x, 0) + i v (x, 0) . \end{matrix}$

De (41) y (41.2) es claro que al imponer la condición $y = 0$ en $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ obtenemos una función que solo depende de $x$ . Por lo que, al sustuir $x$ por $z$ en la expresión resultante obtendremos una función en términos de la variable $z$ .

Como nuestro objetivo es construir una función $f$ que sea analítica en $D$ , entonces requerimos, teorema 18.1, que las funciones reales $u (x, y)$ y $v (x, y)$ sean de clase $C^{1} (D)$ y satisfagan las ecuaciones de C-R en $D$ . Bajo dichas condiciones sabemos que se cumple que:
$\begin{aligned} f^{'} (z) & = \frac{\partial u}{\partial x} (x, y) - i \frac{\partial u}{\partial y} (x, y) \\ (41.3) & = \frac{\partial v}{\partial y} (x, y) + i \frac{\partial v}{\partial x} (x, y), \forall z = x + i y \in D . \end{aligned}$

Supongamos que conocemos a una de las dos funciones reales $u (x, y)$ ó $v (x, y)$ , correspondientes con las componentes de real e imaginaria, respectivamente, de $f$ , y que dicha función es armónica en $D$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que conocemos a la función $u (x, y)$ , el procedimiento sería completamente análogo para $v$ .

Dado que $u (x, y)$ es una función armónica en $D$ , en particular es de clase $C^{1} (D)$ , por lo que, considerando (41.3) definimos:
$\frac{\partial u}{\partial x} (x, y) := φ_{1} (x, y), \frac{\partial u}{\partial y} (x, y) := φ_{2} (x, y), z = x + i y \in D .$

Entonces, como la derivada de $f$ determina una nueva función analítica en $D$ , proposición 36.4, de (41.1) se sigue que:
$\begin{aligned} f^{'} (z) & = \frac{\partial u}{\partial x} (x, y) - i \frac{\partial u}{\partial y} (x, y) \\ = φ_{1} (x, y) - i φ_{2} (x, y) \\ = φ_{1} (z, 0) - i φ_{2} (z, 0) . \end{aligned}$

Integrando en ambos lados de esta última igualdad tenemos que:
$\begin{aligned} f (z) & = \int [φ_{1} (z, 0) - i φ_{2} (z, 0)] d z + c \\ = \int φ_{1} (z, 0) d z - i \int φ_{2} (z, 0) d z + c . \end{aligned}$

Análogamente, si conocemos a $v$ tenemos que:
$\begin{aligned} f (z) & = \int [ϕ_{1} (z, 0) - i ϕ_{2} (z, 0)] d z + c \\ = \int ϕ_{1} (z, 0) d z - i \int ϕ_{2} (z, 0) d z + c, \end{aligned}$ donde $ϕ_{1} (z, 0) = v_{y} (x, y)$ y $ϕ_{2} (z, 0) = v_{x} (x, y)$ .

En ambos casos, $c \in C$ es una constante y consideraremos a $z$ como una variable de integración real, por lo que integramos con los métodos usuales.

Observación 41.1.
Debe ser claro que en el desarrollo de este método hemos usado fuertemente el hecho de que toda función analítica $f$ en un dominio $D \subset C$ tiene una primitiva, proposición 35.2, es decir, una función analítica $F (z)$ en $D$ tal que $F^{'} (z) = f (z)$ para todo $z \in D$ , lo cual justifica que es posible integrar a $f^{'}$ .

Procedemos a mostrar el uso de este primer método con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 41.1.
Sea $u : C \to R$ la función real dada por $u (x, y) = e^{- x} [(x^{2} - y^{2}) \cos (y) + 2 x y sen (y)]$ . Determinemos a la función entera $f$ cuya parte real es la función $u$ .

Solución. Primeramente, notemos que la función real $u (x, y)$ es de clase $C^{\infty} (C)$ , por lo que en particular es de clase $C^{2} (C)$ . Procedemos a verificar que $u$ es una función armónica.

Después de un poco de cuentas, para todo $z = x + i y \in C$ tenemos que:
$\begin{array}{r} \frac{\partial u}{\partial x} = e^{- x} [2 x \cos (y) + 2 y sen (y) - (x^{2} - y^{2}) \cos (y) - 2 x y sen (y)], \\ \frac{\partial u}{\partial y} = e^{- x} [- 2 y \cos (y) - (x^{2} - y^{2}) sen (y) + 2 x y \cos (y) + 2 x sen (y)], \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = e^{- x} [(x^{2} - 4 x - y^{2} + 2) \cos (y) + 2 y (x - 2) sen (y)], \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = - e^{- x} [(x^{2} - 4 x - y^{2} + 2) \cos (y) + 2 y (x - 2) sen (y)] . \end{array}$

De donde:
$\nabla^{2} u = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0,$ por lo que $u$ es armónica en $C$ .

Para todo $z = x + i y \in C$ definimos:
$\frac{\partial u}{\partial x} (x, y) := φ_{1} (x, y), \frac{\partial u}{\partial y} (x, y) := φ_{2} (x, y) .$

De acuerdo con el método de Milne-Thomson, si $x = z$ y $y = 0$ , tenemos que:
$φ_{1} (z, 0) = 2 z e^{- z} - z^{2} e^{- z} = e^{- z} (2 z - z^{2}),$
$φ_{2} (z, 0) = 0.$

Por lo que:
$f^{'} (z) = φ_{1} (z, 0) - i φ_{2} (z, 0) = e^{- z} (2 z - z^{2}) .$

Entonces, integrando por partes, tenemos que:
$\begin{aligned} f (z) & = \int e^{- z} (2 z - z^{2}) d z + c \\ = 2 \int z e^{- z} d z - \int z^{2} e^{- z} d z + c \\ = 2 \int z e^{- z} d z - [- z^{2} e^{- z} - \int - z e^{- z} d z] + c \\ = 2 \int z e^{- z} d z + z^{2} e^{- z} - \int z e^{- z} d z + c \\ = z^{2} e^{- z} + c . \end{aligned}$

De donde obtenemos a la función entera $f$ , tal que $Re f = u$ :
$\begin{aligned} f (z) & = z^{2} e^{- z} + c \\ = (x + i y)^{2} e^{- (x + i y)} + c \\ = e^{- x} [(x^{2} - y^{2}) \cos (y) + 2 x y sen (y)] + i e^{- x} [2 x y \cos (y) - (x^{2} - y^{2}) sen (y)] + c, \end{aligned}$ para toda $z = x + i y \in C$ , con $c \in C$ constante.

Recordemos el siguiente resultado de nuestros cursos de Ecuaciones Diferenciales.

Definición 41.1. (Diferencial de una función real de dos variables.)
Sean $D \subset R^{2}$ un dominio y $f : D \to R$ una función de clase $C^{1} (D)$ . Se define a la diferencial de $f$ como:
$d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y .$

Definición 41.2. (Ecuación diferencial exacta.)
Sean $D \subset R^{2}$ un dominio y $M, N : D \to R$ dos funciones continuas en $D$ . La expresión diferencial:
$M (x, y) d x + N (x, y) d y,$ es una diferencial exacta en $D$ si ésta corresponde a la diferencial de alguna función $f : D \to R$ . Una ecuación diferencial de primer orden de la forma:
$M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0,$ es una ecuación exacta si existe una función $f : D \to R$ tal que en el dominio $D$ cumple:
$\frac{\partial f (x, y)}{\partial x} = M (x, y), \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} = N (x, y) .$

Teorema 41.1. (Criterio para una diferencial exacta.)
Sean $D \subset R^{2}$ un dominio y $M, N : D \to R$ dos funciones continuas en $D$ de clase $C^{1} (D)$ . Entonces, una condición necesaria y suficiente para que la ecuación $M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0$ sea diferencial exacta en $D$ , es que se cumpla:
$\frac{\partial M (x, y)}{\partial y} = \frac{\partial N (x, y)}{\partial x} .$

Método utilizando ecuaciones diferenciales exactas.
Supongamos que $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es una función analítica en algún dominio $D \subset C$ y que conocemos a alguna de las dos funciones reales $u$ o $v$ , entonces podemos determinar explícitamente a $f$ . Sin pérdida de generalidad supongamos que conocemos a $u$ , procedemos a obtener a $v$ .

Consideremos a la diferencial:
$d v = \frac{\partial v}{\partial x} d x + \frac{\partial v}{\partial y} d y,$

Como $f$ es analítica en $D$ , entonces satisface las ecuaciones de C-R en $D$ , es decir:
$\begin{matrix} (41.4) & d v = \frac{\partial v}{\partial x} d x + \frac{\partial v}{\partial y} d y = - \frac{\partial u}{\partial y} d x + \frac{\partial u}{\partial x} d y . \end{matrix}$

Haciendo $M (x, y) := - u_{y} (x, y)$ y $N (x, y) := u_{x} (x, y)$ , tenemos:
$d v (x, y) = M (x, y) d x + N (x, y) d y .$

Dado que $f = u + i v$ es analítica en $D$ , entonces $u$ y $v$ son armónicas en $D$ , por lo que existen:
$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}, \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}},$ y $u$ satisface la ecuación de Laplace, es decir:
$\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0,$ de donde:
$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},$ es decir, (41.4) es una ecuación diferencial exacta, por lo que podemos resolverla para obtener a $v$ .

Procedemos a mostrar el uso de este segundo método con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 41.2.
Determinemos a la función entera $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ , cuya parte real es la función:
$u (x, y) = e^{x} [x \cos (y) - y sen (y)] .$

Solución. Tenemos que:
$\begin{aligned} d v & = \frac{\partial v}{\partial x} d x + \frac{\partial v}{\partial y} d y \\ = - \frac{\partial u}{\partial y} d x + \frac{\partial u}{\partial x} d y \\ (41.5) & = e^{x} [x sen (y) + sen (y) + y \cos (y)] d x + e^{x} [x \cos (y) - y sen (y) + \cos (y)] d y, \end{aligned}$ es una ecuación diferencial exacta, por lo que:
$\frac{\partial v (x, y)}{\partial x} = e^{x} [x sen (y) + sen (y) + y \cos (y)] .$

Integrando respecto a $x$ la igualdad anterior tenemos que:
$\begin{aligned} v (x, y) & = \int e^{x} [x sen (y) + sen (y) + y \cos (y)] d x + g (y) \\ = sen (y) \int e^{x} x d x + sen (y) \int e^{x} d x + y \cos (y) \int e^{x} d x + g (y) \\ = e^{x} (x - 1) sen (y) + e^{x} sen (y) + e^{x} y \cos (y) + g (y) \\ = x e^{x} sen (y) + e^{x} y \cos (y) + g (y) . \end{aligned}$

Derivando respecto a $y$ la igualdad anterior y considerando (41.5) tenemos que:
$\begin{aligned} \frac{\partial v (x, y)}{\partial y} & = x e^{x} \cos (y) + e^{x} [\cos (y) - y sen (y)] + g^{'} (y) \\ = e^{x} [x \cos (y) + \cos (y) - y sen (y)] + g^{'} (y) \\ = e^{x} [x \cos (y) - y sen (y) + \cos (y)], \end{aligned}$ de donde $g^{'} (y) = 0$ , por lo que $g (y) = c$ , con $c \in R$ .

Entonces:
$v (x, y) = e^{x} [x sen (y) + y \cos (y)] + c,$ con $c$ una constante real.

Por lo tanto, para todo $z \in C$ tenemos que:
$\begin{aligned} f (z) & = u (x, y) + i v (x, y) \\ = e^{x} [x \cos (y) - y sen (y)] + i e^{x} [x sen (y) + y \cos (y)] + i c \\ = x e^{x} [\cos (y) + i sen (y)] + i y e^{x} [\cos (y) + i sen (y)] + i c \\ = x e^{x} e^{i y} + i y e^{i y} + i c \\ = e^{x + i y} (x + i y) + i c \\ = z e^{z} + a, \end{aligned}$ donde $a = i c \in C$ es una constante.

Cerramos está entrada con un último método para construir funciones analíticas sin utilizar integrales.

Proposición 41.1.
Sea $U \subset C$ un conjunto abierto, tal que $0 \in U$ , y $f : U \to C$ una función analítica en $U$ . Si $Re f (z) := u (x, y)$ es una función armónica en $U$ , entonces:
$f (z) = 2 u (\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}) + c,$ con $c$ una constante. De de hecho $c = - \overset{―}{f (0)}$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que:
$u (x, y) = Re f (z) = \frac{f (z) + \overset{―}{f (z)}}{2} .$

De acuerdo con los resultados de la entrada 19, sabemos que al ser $f$ analítica en $U$ , entonces se cumple que:
$\frac{\partial \overset{―}{f (z)}}{\partial z} = 0,$ por lo que podemos considerar a la función $\overset{―}{f (z)}$ como una función de $\overset{―}{z}$ y denotamos esto como $\overset{―}{f (z)} = \overset{―}{f} (\overset{―}{z})$ . Entonces, para $z = x + i y \in U$ tenemos que:
$u (\frac{z + \overset{―}{z}}{2}, \frac{z - \overset{―}{z}}{2 i}) = u (x, y) = \frac{f (z) + \overset{―}{f} (\overset{―}{z})}{2},$ lo cual se cumple para todo $z$ y todo $\overset{―}{z}$ , por lo que podemos considerar a estas variables como independientes. Si $\overset{―}{z} = 0$ , entonces:
$u (\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}) = \frac{f (z) + \overset{―}{f} (0)}{2} = \frac{f (z) + \overset{―}{f (0)}}{2},$ es decir:
$f (z) = 2 u (\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}) - \overset{―}{f (0)} .$

Notemos que:
$u (0, 0) = \frac{f (0) + \overset{―}{f} (\overset{―}{0})}{2} = Re f (0),$ de donde:
$\overset{―}{f (0)} = Re f (0) - i Im f (0) = u (0, 0) - i b,$ con $b := Im f (0) \in R$ .

Entonces:
$f (z) = 2 u (\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}) - u (0, 0) + i b .$

Observación 41.2.
Si $0 \notin U$ , se puede utilizar el mismo método sustituyendo a $\overset{―}{z}$ por otro valor.

Procedemos a mostrar el uso de este tercer método con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 41.3.
Construyamos la función entera $f (z)$ tal que $Re f (z) = y^{3} - 3 x^{2} y$ .

Solución. Sea $u (x, y) = y^{3} - 3 x^{2} y$ . No es difícil verificar que $u$ es armónica en $C$ , por lo que se deja como ejercicio al lector.

Entonces:
$\begin{aligned} u (\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}) & = u (\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}) \\ = {(\frac{z}{2 i})}^{3} - 3 {(\frac{z}{2})}^{2} (\frac{z}{2 i}) \\ = \frac{z^{3}}{8} i + \frac{3 z^{3}}{8} i \\ = \frac{z^{3}}{2} i . \end{aligned}$

Por otra parte $u (0, 0) = 0$ , entonces:
$f (z) = 2 u (\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}) - u (0, 0) + b i = i (z^{3} + b),$ con $b \in R$ .

Tarea moral

Determina la función analítica $f (z)$ tal que $Re f (z) = u (x, y)$ , donde:
a) $u (x, y) = x^{3} - 3 x y^{2} + 3 x + 1$ .
b) $u (x, y) = sen (x) \cosh (y)$ .
Sea $u (x, y) = x^{3} - 3 x y^{2}$ . Muestra que $u$ es armónica en $C$ y determina la función analítica $f (z)$ tal que $Re f (z) = u (x, y)$ .
Prueba que la función $u (x, y) = x^{3} - 3 x y^{2} + 3 x^{2} - 3 y^{2} + 1$ satisface la ecuación de Laplace. Encuentra su función armónica conjugada $v$ y determina la función analítica $f = u + i v$ .
Muestra que la función $u (x, y) = \frac{\ln (x^{2} + y^{2})}{2}$ es armónica. Encuentra su función armónica conjugada $v$ y determina la función analítica $f = u + i v$ .
Si $u (x, y)$ y $v (x, y)$ son dos funciones reales que satisfacen la ecuación de Laplace, muestra que $U (x, y) + i V (x, y)$ es una función analítica, donde:
$U (x, y) = \frac{\partial u (x, y)}{\partial y} - \frac{\partial u (x, y)}{\partial x}, V (x, y) = \frac{\partial v (x, y)}{\partial x} + \frac{\partial v (x, y)}{\partial y} .$

Más adelante…

Con esta entrada concluimos la cuarta unidad del curso. En la siguiente entrada iniciaremos la quinta y última unidad del curso correspondiente con algunas de las aplicaciones más importantes de los resultados vistos a lo largo del curso, en particular veremos las series de Taylor, las series de Laurent y el Teorema del Residuo, mediante los cuales, principalmente, nos será posible evaluar integrales reales de manera sencilla.

Entradas relacionadas

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Entrada anterior del curso: Funciones conjugadas armónicas y funciones conformes.
Siguiente entrada del curso: Series de Taylor y series de Laurent.

Variable Compleja I: Funciones conjugadas armónicas y funciones conformes

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

En la segunda unidad estudiamos a las funciones complejas en general y definimos a algunas de las funciones complejas más elementales. Es importante recordar que a través de las componentes real e imaginaria, es decir, las funciones reales $u (x, y)$ y $v (x, y)$ de una función compleja $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ , vimos que es posible caracterizar la analicidad de $f$ considerando a las ecuaciones de C-R. Por otra parte, en la entrada 36, de esta unidad, vimos que una función analítica en un dominio $D \subset C$ tiene derivadas de todos los órdenes.

En esta entrada veremos que las propiedades de diferenciabilidad de las componentes real e imaginaria de una función compleja, nos permitirán caracterizar aún más a las funciones analíticas, en particular nos centraremos en las funciones complejas dadas por un par de funciones reales $u (x, y)$ y $v (x, y)$ de clase $C^{2}$ , es decir, tales que todas sus segundas derivadas parciales existen y son continuas, definición 17.2, las cuales resultarán ser analíticas. Por lo que, a través de este tipo de funciones reales nos será posible construir funciones analíticas y estudiar algunas de sus propiedades geométricas.

Es importante enfatizar en el hecho de que una función analítica en un dominio es de clase $C^{\infty}$ , corolario 36.3, por lo que sus componentes real e imaginaria son también de clase $C^{\infty}$ en el dominio de definición de $f$ .

Definición 40.1. (Funciones conjugadas.)
Sean $D \subset C$ un dominio y $f : D \to C$ una función. Si $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es analítica en $D$ se dice que las funciones reales $u (x, y)$ y $v (x, y)$ son funciones conjugadas.

Proposición 40.1.
Sea $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ una función analítica en un dominio $D \subset C$ . Entonces las funciones reales $u (x, y)$ y $v (x, y)$ satisfacen la ecuación de Laplace, es decir:
$\nabla^{2} u = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0.$
$\nabla^{2} v = \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}} = 0.$

Demostración. Supongamos que $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es una función analítica en algún dominio $D \subset C$ . Por el corolario 17.1 sabemos que las funciones reales $u (x, y)$ y $v (x, y)$ satisfacen las ecuaciones de C-R en todo punto del dominio $D$ , es decir:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}, \forall z = x + i y \in D .$

Dado que $f$ es analítica en $D$ , entonces por el corolario 36.3 tenemos que existen las derivadas de todos los órdenes de $f$ en $D$ y por tanto las funciones reales $u (x, y)$ y $v (x, y)$ son de clase $C^{k} (D)$ , en particular son de clase $C^{2} (D)$ , por lo que existen y son continuas todas las derivadas parciales de segundo orden de dichas funciones. Entonces, por el teorema 38.1 tenemos que para $z = x + i y \in D$ se cumple:
$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} v}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y} = - \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}},$ de donde:
$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0.$

Análogamente, para $z = x + i y \in D$ tenemos que:
$\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x} = - \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}},$ de donde:
$\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}} = 0.$

Definición 40.2. (Funciones armónicas.)
Sean $U \subset R^{2}$ un conjunto abierto y $u : U \to R$ una función de clase $C^{2} (U)$ . Se dice que $u (x, y)$ es armónica si para todo $(x, y) \in U$ se cumple la ecuación de Laplace:
$\begin{matrix} (40.1) & \nabla^{2} u = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0. \end{matrix}$

En particular, si $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es analítica en un dominio $D \subset C$ , entonces, por la proposición 40.1, tenemos que $u (x, y)$ y $v (x, y)$ son armónicas en $D$ . En tal caso, las funciones $u$ y $v$ son llamadas funciones armónicas conjugadas.

Proposición 40.2.
Si las funciones armónicas conjugadas $u (x, y)$ y $v (x, y)$ satisfacen las ecuaciones de C-R, entonces la función $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es una función analítica.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Definición 40.3.
Si $u (x, y)$ y $v (x, y)$ son dos funciones armónicas en algún dominio $D \subset C$ y dichas funciones reales satisfacen las ecuaciones de C-R en $D$ , es decir, la función $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es analítica $D$ , entonces se dice que $v$ es una función armónica conjugada de $u$ .

Corolario 40.1.
Una función $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es analítica en un dominio $D$ si y solo si $v (x, y)$ es una función armónica conjugada de $u (x, y)$ .

Demostración. Se sigue de las proposiciones 40.1 y 40.2, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

Teorema 40.1.
Sea $D \subset C$ un dominio. Entonces cada función real $u : D \to R$ , que es armónica en $D$ , tiene una armónica conjugada en $D$ si y solo si $D$ es simplemente conexo.

Demostración. Sea $D \subset C$ un dominio.

$(⟸$ Supongamos que $D$ es simplemente conexo. Procedemos a construir una función armónica conjugada de $u$ , la cual por hipótesis es armónica en $D$ .

Sea $g : D \to C$ dada por:
$g (z) = \frac{\partial u (x, y)}{\partial x} - i \frac{\partial u (x, y)}{\partial y} := U (x, y) + i V (x, y) .$

Como $u$ es armónica, entonces es de clase $C^{2} (D)$ , en particular es de clase $C^{1} (D)$ , por lo que existen las primeras derivadas parciales de $u$ y son continuas, es decir, $g$ está bien definida. Más aún, por hipótesis $u$ satisface la ecuación de Laplace (40.1) en $D$ , es decir:
$\nabla^{2} u = \frac{\partial^{2} u (x, y)}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u (x, y)}{\partial y^{2}} = 0,$ de donde:
$\begin{aligned} \frac{\partial U (x, y)}{\partial x} & = \frac{\partial}{\partial x} [\frac{\partial u (x, y)}{\partial x}] \\ = \frac{\partial^{2} u (x, y)}{\partial x^{2}} \\ = - \frac{\partial^{2} u (x, y)}{\partial y^{2}} \\ (40.2) & = \frac{\partial}{\partial y} [- \frac{\partial u (x, y)}{\partial y}] = \frac{\partial V (x, y)}{\partial y}, \end{aligned}$ para todo $z = x + i y \in D$ .

Por otra parte, como $u$ es de clase $C^{2} (D)$ , por el teorema 38.1 se cumple que:
$\begin{aligned} \frac{\partial U (x, y)}{\partial y} & = \frac{\partial}{\partial y} [\frac{\partial u (x, y)}{\partial x}] \\ = \frac{\partial^{2} u (x, y)}{\partial y \partial x} \\ = \frac{\partial^{2} u (x, y)}{\partial x \partial y} \\ = \frac{\partial}{\partial x} [\frac{\partial u (x, y)}{\partial y}] \\ (40.3) & = - \frac{\partial}{\partial x} [- \frac{\partial u (x, y)}{\partial y}] = - \frac{\partial V (x, y)}{\partial x}, \end{aligned}$ para todo $z = x + i y \in D$ .

Entonces, de (40.2) y (40.3) se sigue que $U$ y $V$ son funciones de clase $C^{1} (D)$ que satisfacen las ecuaciones de C-R en $D$ , por lo que, teorema 18.1, $g$ es una función analítica en $D$ .

Como $D$ es un dominio simplemente conexo y $g$ una función analítica en $D$ , del corolario 38.4 tenemos que existe una función $F : D \to C$ analítica en $D$ , tal que $F^{'} (z) = g (z)$ para todo $z \in D$ .

Sea $F (z) = \tilde{u} (x, y) + i v (x, y)$ . Del teorema 17.1 se sigue que $F$ satisface las ecuaciones de C-R en $D$ , por lo que:
$\begin{aligned} F^{'} (z) & = \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} - i \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} \\ = \frac{\partial u}{\partial x} - i \frac{\partial u}{\partial y} = g (z), \end{aligned}$ para todo $z = x + i y \in D$ .

Entonces:
$\begin{aligned} 0 & = \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial x} - i [\frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y}] \\ = \frac{\partial}{\partial x} [\tilde{u} - u] - i \frac{\partial}{\partial y} [\tilde{u} - u], \end{aligned}$ es decir:
$\frac{\partial}{\partial x} [\tilde{u} - u] = \frac{\partial}{\partial y} [\tilde{u} - u] = 0,$ para todo $z = x + i y \in D$ .

Por lo que, de la proposición 19.2 se sigue que $\tilde{u} - u = c$ , para algún $c \in R$ .

Entonces la función $f (z) = F (z) - c = u (x, y) + i v (x, y)$ es una función analítica en $D$ , tal que $Re (z) = u (x, y)$ , es decir, $v$ es una función armónica conjugada de $u$ en $D$ .

$⟹)$ Supongamos que toda función armónica $u : D \to R$ tiene una armónica conjugada en $D$ . Veamos que $D$ es simplemente conexo. De acuerdo con el teorema 38.5, basta probar que todo contorno cerrado en $D$ es homólogo a $0$ en $D$ , es decir, que $n (γ, z_{0}) = 0$ para todo $z_{0} \in C ∖ D$ .

Sea $γ$ un contorno cerrado en $D$ y $z_{0} \in C ∖ D$ fijo. Definimos a la función real $u : C ∖ {z_{0}} \to R$ como:
$u (z) := Log | z - z_{0} | .$

No es difícil verificar que $u$ es armónica en $C ∖ {z_{0}}$ y por tanto en $D$ , por lo que se deja como ejercicio al lector. Por hipótesis existe una función armónica conjugada de $u$ , digamos $v$ , en $D$ . Entonces, corolario 40.1, $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es una función analítica en $D$ .

Definimos a la función $h : D \to C$ como:
$h (z) := (z - z_{0}) e^{- f (z)},$ la cual también es analítica en $D$ . Por las proposiciones 20.2(4) y 21.1(5) se cumple que:
$| h (z) | = | z - z_{0} | e^{- u (z)} = | z - z_{0} | e^{- Log | z - z_{0} |} = \frac{| z - z_{0} |}{| z - z_{0} |} = 1,$ para todo $z \in D$ .

Por lo que, de la proposición 19.3(2) concluimos que $h$ es una función constante en $D$ , entonces:
$0 = h^{'} (z) = e^{- f (z)} - (z - z_{0}) e^{- f (z)} f^{'} (z),$ es decir:
$f^{'} (z) = \frac{1}{z - z_{0}},$ para todo $z \in D$ .

Claramente $f$ es una primitiva de $f^{'}$ en $D$ , por lo que del TFC para integrales de contorno, proposición 35.1 y la definición 36.1, al ser $γ$ cerrado, se tiene que:
$0 = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} f^{'} (z) d z = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{z - z_{0}} d z = n (γ, z_{0}),$ es decir, $γ$ es homólogo a $0$ en $D$ .

Dado que $z_{0} \in C ∖ D$ y el contorno cerrado $γ$ , en $D$ , son arbitrarios, entonces el resultado de sigue del teorema 38.5.

Observación 40.1.
El resultado anterior implica que cada función armónica en el plano complejo es la parte real de una función entera. En particular, el teorema anterior garantiza que una función armónica $u$ definida en un disco abierto siempre tiene una función armónica conjugada en dicho disco.

Corolario 40.2.
Sean $U \subset C$ un conjunto abierto y $u : U \to R$ una función armónica, entonces $u$ tiene una función armónica conjugada en cada disco abierto contenido en $U$ . En particular $u$ es de clase $C^{\infty} (U)$ .

Demostración. La primera parte es consecuencia inmediata del teorema 40.1.

Verifiquemos la última parte. Dado que cada función armónica $u : U \to R$ tiene una función armónica conjugada en cada disco abierto, digamos $v$ , entonces $f = u + i v$ es una función analítica en cada disco abierto en $U$ , por lo que es analítica en $U$ . Entonces, del corolario 36.3, se tiene que $f$ es de clase $C^{\infty} (U)$ , por lo tanto $u$ es de clase $C^{\infty} (U)$ .

Observación 40.2.
De los corolarios 37.5 y 40.2 se sigue que para un conjunto abierto $U \subset C$ , en el cual está definida una función armónica $u$ , dicha función tiene una función armónica conjugada $v$ en cada disco abierto $B (z_{0}, r) \subset U$ y que $f = u + i v$ es una función analítica en $B (z_{0}, r)$ , por lo que $u$ y $v$ tienen la propiedad del valor medio en $U$ , es decir:
$u (z_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} u (z_{0} + e^{i t}) d t,$
$v (z_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} v (z_{0} + e^{i t}) d t,$ para cada $z_{0} \in U$ .

Teorema 40.2. (Principio del módulo máximo para funciones armónicas.)
Sea $u$ una función armónica en un dominio $D \subset C$ . Si existe un punto $z_{0} \in D$ tal que $u (z) \leq u (z_{0})$ para todo $z \in D$ , entonces $u$ es una función constante en $D$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $z_{0} \in D$ . Como $D$ es abierto entonces existe $r > 0$ tal que $B (z_{0}, r) \subset D$ . Por el corolario 40.2 tenemos que existe una función armónica conjugada de $u$ en $B (z_{0}, r)$ , digamos $v$ , entonces $f = u + i v$ es analítica en $B (z_{0}, r)$ , por lo que del corolario 37.2, aplicado al disco $B (z_{0}, r)$ , se tiene que $u$ y $v$ son funciones constantes en $B (z_{0}, r)$ . Procediendo como en la prueba del teorema 37.4, podemos aplicar el argumento anterior a cada punto del conjunto:
$U = {z \in D : u (z) = u (z_{0})},$ por lo que $U$ es abierto. Es claro que $U$ es no vacío y se deja como ejercicio al lector verificar que $U$ es cerrado, y como $D$ es un conjunto conexo, entonces $D = U$ , por lo que $u$ es constante en $D$ .

Corolario 40.3.
Sean $D \subset C$ un dominio acotado con frontera $\partial D$ y $u : \overset{―}{D} \to R$ una función real continua. Si $u$ es armónica en $D$ , entonces $u (z)$ alcanza su máximo en algún punto de la frontera de $D$ .

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

Observación 40.3.
Al igual que con el principio del módulo máximo para funciones analíticas, existen diversas formulaciones del principio del módulo máximo para funciones armónicas.

Ejemplo 40.1.
Veamos que la función $u (x, y) = e^{x} \cos (y)$ es armónica en $C$ . Determinemos a su función armónica conjugada $v (x, y)$ y luego a la función entera $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ .

Solución. Primeramente procedemos a verificar que la función $u (x, y) = e^{x} \cos (y)$ es armónica en $C$ .

Es claro que dicha función real es de clase $C^{\infty} (C)$ . Tenemos que:
$\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x} \cos (y), \frac{\partial u}{\partial y} = - e^{x} sen (y),$ para todo $z = x + i y \in C$ , por lo que:
$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = e^{x} \cos (y), \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = - e^{x} \cos (y),$ entonces:
$\begin{aligned} \nabla^{2} u & = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \\ = e^{x} \cos (y) - e^{x} \cos (y) \\ = 0. \end{aligned}$

Por lo tanto, $u (x, y) = e^{x} \cos (y)$ es una función armónica.

Procedemos ahora a determinar a su función armónica conjugada $v (x, y)$ , para ello hacemos uso de las ecuaciones de C-R. Sabemos que:
$\frac{\partial v}{\partial x} = - \frac{\partial u}{\partial y} = e^{x} sen (y) .$

Integrando respecto a $x$ la igualdad anterior, tenemos que:
$\begin{aligned} v (x, y) & = \int e^{x} sen (y) d x \\ = e^{x} sen (y) + f (y) . \end{aligned}$

Derivando respecto a $y$ tenemos que:
$\frac{\partial v}{\partial y} = e^{x} \cos (y) + f^{'} (y) .$

Por otra parte, considerando las ecuaciones de C-R sabemos que:
$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = e^{x} \cos (y),$ por lo que, igualando estas dos últimas ecuaciones tenemos que:
$e^{x} \cos (y) + f^{'} (y) = e^{x} \cos (y) ⟺ f^{'} (y) = 0,$ por lo que $f (y) = c \in R$ . Entonces:
$v (x, y) = e^{x} sen (y) + c .$

Es claro que dicha función también es armónica. Por construcción es claro que las funciones $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de C-R, por lo que, considerando la proposición 40.2 concluimos que la función:
$\begin{aligned} f (z) & = u (x, y) + i v (x, y) \\ = e^{x} \cos (y) + i e^{x} sen (y) + i c \\ = e^{x + i y} + a, \end{aligned}$ con $a = i c \in C$ una constante, es una función analítica.

Ejemplo 40.2.
Dado que la función $f (z) = \frac{2 i}{z^{2}}$ es analítica en $C ∖ {0}$ y como:
$\frac{2 i}{z^{2}} = \frac{2 i}{z^{2}} \frac{{\overset{―}{z}}^{2}}{{\overset{―}{z}}^{2}} = \frac{2 i {\overset{―}{z}}^{2}}{{(z \overset{―}{z})}^{2}} = \frac{2 i {\overset{―}{z}}^{2}}{| z |^{4}} = \frac{4 x y + i 2 (x^{2} - y^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{2}},$ entonces las funciones:
$u (x, y) = \frac{4 x y}{(x^{2} + y^{2})^{2}} y v (x, y) = \frac{i 2 (x^{2} - y^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{2}},$ son armónicas conjugadas en cualquier dominio del plano complejo $C$ que no contenga al origen.

Ejemplo 40.3.
Sean $z = x + i y \in C$ y $u (z) = 3 x y^{2} - x^{3}$ . Veamos que $u$ es una función armónica en $C$ y determinemos a su armónica conjugada $v$ en $C$ , tal que $v (0, 0) = 1$ .

Solución. Claramente la función real $u$ es de clase $C^{\infty} (C)$ . Tenemos que:
$\begin{aligned} \nabla^{2} u (z) & = \frac{\partial^{2} u (x, y)}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u (x, y)}{\partial y^{2}} \\ = - 6 x + 6 x \\ = 0, \end{aligned}$ por lo que $u$ es armónica en $C$ .

Del teorema 40.1 se sigue que existe una función armónica conjugada $v$ , de $u$ , en $D$ . Más aún, la condición $v (0, 0) = 1$ garantiza que $v$ es única.

De las ecuaciones de C-R se sigue que:
$\frac{\partial v (x, y)}{\partial x} = - \frac{\partial u (x, y)}{\partial y} = - 6 x y y \frac{\partial v (x, y)}{\partial y} = \frac{\partial u (x, y)}{\partial x} = 3 y^{2} - 3 x^{2} .$

Integrando respecto a $x$ la primera igualdad tenemos que:
$v (x, y) = \int - 6 x y d x = - 3 x^{2} y + φ (y),$ por lo que:
$\frac{\partial v (x, y)}{\partial y} = - 3 x^{2} y + φ^{'} (y) = 3 y^{2} - 3 x^{2} .$

Entonces:
$φ^{'} (y) = 3 y^{2},$ de donde:
$φ (y) = y^{3} + c,$ con $c \in R$ constante.

Por lo tanto $v (x, y) = - 3 x^{2} y + y^{3} + c$ , pero como $v (0, 0) = 1$ , se tiene que $c = 1$ , entonces:
$v (x, y) = - 3 x^{2} y + y^{3} + 1.$

Notemos que $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es el polinomio complejo $f (z) = - z^{3} + i$ .

Observación 40.4.
Si $v (x, y)$ es una función armónica de $u (x, y)$ en algún dominio $D \subset C$ , en general no se cumple que $u (x, y)$ sea una función armónica de $v (x, y)$ en dicho dominio.

Ejemplo 40.4.
Consideremos a la función $f (z) = z^{2}$ , para $z = x + i y \in C$ tenemos que sus componentes real e imginaria son, respectivamente:
$u (x, y) = x^{2} - y^{2} y v (x, y) = 2 x y .$

Dado que $f (z)$ es una función entera, es claro que $v (x, y)$ es una función armónica de $u (x, y)$ , sin embargo veamos que $u (x, y)$ no es una función armónica de $v (x, y)$ .

Solución. Consideremos a la función:
$g (z) = 2 x y + i (x^{2} - y^{2}) := U (x, y) + i V (x, y) .$

Mediante las ecuaciones de C-R tenemos que:
$\frac{\partial U}{\partial x} = 2 y \neq - 2 y = \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial y} = 2 x \neq - 2 x = \frac{\partial V}{\partial x},$ para todo $z = x + i y \neq 0$ .

Por lo tanto, $g$ solo es diferenciable en el origen, pero no es analítica en ningún punto, de donde concluimos que $u (x, y)$ no es una función armónica de $v (x, y)$ .

Ejemplo 40.5.
Sea $D \subset C$ un dominio acotado con frontera $\partial D$ . Si $u, v : \overset{―}{D} \to R$ son dos funciones armónicas en $D$ y continuas en $\overset{―}{D}$ , tales que $u = v$ en $\partial D$ , veamos que $u = v$ en $D$ .

Solución. Definimos a la función $g : \overset{―}{D} \to R$ como:
$g (z) = u (z) - v (z) .$

Por construcción $g$ es una función continua en $\overset{―}{D}$ y armónica en $D$ , tal que $g (z) = 0$ para todo $z \in \partial D$ . Por el corolario 40.3, $g$ alcanza su máximo en algún valor de $\partial D$ , por lo que $g (z) \leq 0$ para todo $z \in D$ . Análogamente, para la función $- g (z)$ se tiene que $g (z) \geq 0$ para todo $z \in D$ , por lo que $u (z) = v (z)$ para todo $z \in D$ .

Definición 40.4. (Sistema de curvas ortogonales.)
Sean $c_{1}, c_{2} \in R$ dos constantes. Dos familias de curvas:
$\begin{matrix} (40.4) & u (x, y) = c_{1}, v (x, y) = c_{2}, \end{matrix}$ en el plano cartesiano, se dice que forman un sistema de curvas ortogonales si en los puntos de intersección, entre cada curva de cada familia, dichas curvas forman ángulos rectos.

La definición anterior nos permite caracterizar a las funciones analíticas en algún dominio $D$ . Supongamos que $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es una función analítica en $D$ , entonces la parte real y la parte imaginaria de la función $f (z)$ nos permiten definir un sistema de curvas ortogonales considerando a las curvas de nivel dadas por las ecuaciones (40.4). De forma más precisa, en un punto de intersección $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ tal que $f^{'} (z_{0}) \neq 0$ , la recta tangente a la curva de nivel $u (x_{0}, y_{0}) = c_{1}$ , digamos $L_{1}$ , y la recta tangente a la curva de nivel $v (x_{0}, y_{0}) = c_{2}$ , digamos $L_{2}$ , son perpendiculares.

Notemos que si derivamos a $u (x, y) = c_{1}$ y a $v (x, y) = c_{2}$ con respecto a $x$ , considerando la regla de la cadena, tenemos que:
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{d y}{d x} = 0 y \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \frac{d y}{d x} = 0,$ de donde obtenemos las pendientes de las rectas tangentes a cada curva, digamos:
$m_{1} = \frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial u}{\partial y}} y m_{2} = \frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{\partial v}{\partial x}}{\frac{\partial v}{\partial y}} .$

Recordemos que dos rectas, en este caso $L_{1}$ y $L_{2}$ , son perpendiculares si $m_{1} m_{2} = - 1$ , es decir:
$(- \frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial u}{\partial y}}) (- \frac{\frac{\partial v}{\partial x}}{\frac{\partial v}{\partial y}}) = - 1,$ o equivalentemente si:
$\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = 0.$

La cual es la condición que deben satisfacer dos familias de curvas que se intersecan ortogonalmente. Considerando lo anterior es fácil probar el siguiente resultado:

Proposición 40.3.
Si $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es una función analítica, entonces las familias de curvas dadas por $u (x, y) = c_{1}$ y $v (x, y) = c_{2}$ forman un sistema ortogonal.

Demostración. Dadas las hipótesis, como $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es una función analítica, entonces las funciones $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de C-R, es decir:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} y \frac{\partial v}{\partial x} = - \frac{\partial u}{\partial y} .$

Multiplicando estas ecuaciones tenemos:
$\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = - \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \frac{\partial u}{\partial y},$ de donde:
$\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = 0,$ la cual es la condición de ortogonalidad para una familia de curvas $u (x, y) = c_{1}$ y $v (x, y) = c_{2}$ que se intersecan.

Ejemplo 40.6.
Consideremos a la función compleja $f (z) = z^{2}$ . Si $z = x + i y$ , entonces $f (z) = x^{2} - y^{2} + i 2 x y$ , por lo que:
$u (x, y) = x^{2} - y^{2} y v (x, y) = 2 x y .$

Para esta función las familias de curvas de nivel dadas por:
$x^{2} - y^{2} = c_{1} y 2 x y = c_{2},$ son dos familias de hipérbolas, figura 146(a). Dado que la función $f (z) = z^{2}$ es entera, entonces por la proposición 40.3 sabemos que dichas familias de curvas forman un sistema ortogonal.

Considerando al punto $z_{0} = 1 + 2 i$ tenemos que:
$\begin{array}{r} 1^{2} - 2^{2} = - 3 = c_{1}, \\ 2 (1) (2) = 4 = c_{2}, \end{array}$ cuyas curvas correspondientes son $x^{2} - y^{2} = - 3$ y $2 x y = 4$ , figura 146(b). Gráficamente podemos observar que dichas curvas son ortogonales en el punto $z_{0} = 1 + 2 i$ y por simetría de la curva es claro que también son ortogonales en el punto $z_{0} = - 1 - 2 i$ .

Figura 146: Gráficas de un sistema de curvas ortogonales en el plano complejo.

La imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es hiperbolasOrtogonal2.png — (a) Familia de curvas ortogonales dadas por las hipérbolas $x^{2} - y^{2} = c_{1}$ y $2 x y = c_{2}$ .

(a) Familia de curvas ortogonales dadas por las hipérbolas $x^{2} - y^{2} = c_{1}$ y $2 x y = c_{2}$ .

En este punto es conveniente dar una interpretación geométrica de la propiedad de conformidad de una función analítica $f : D \to C$ , con $D \subset C$ un dominio. Si $z_{0} \in D$ y $f^{'} (z_{0}) \neq 0$ , entonces por la proposición 18.1 podemos escribir a $f$ como:
$f (z) = f (z_{0}) + f^{'} (z_{0}) (z - z_{0}) + ε (z) (z - z_{0}),$ donde $ε (z) \to 0$ si $z \to z_{0}$ .

Si $z \in B (z_{0}, r)$ , para algún $r > 0$ , entonces la transformación $f (z)$ tiene como mejor aproximación lineal a la transformación:
$\begin{matrix} (40.4) & T (z) = A + B (z - z_{0}), \end{matrix}$ donde $A = f (z_{0})$ y $B = f^{'} (z_{0})$ .

Dado que $ε (z) \to 0$ si $z \to z_{0}$ , entonces para los puntos en $B (z_{0}, r)$ el comportamiento de la transformación $f (z)$ es similar al de la transformación $T (z)$ .

Recordemos, proposición 12.1, que podemos expresar a $f$ como $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ , donde $Re f (z) = u (x, y)$ e $Im f (z) = v (x, y)$ son dos funciones reales. Por lo que, podemos considerar a $f$ como una función de un abierto $U \subset R^{2}$ en $R^{2}$ .

De acuerdo con nuestros cursos de Cálculo, sabemos que para una función $f : U \subset R^{2} \to R^{2}$ , con $U$ un abierto, el comportamiento de la derivada de $f$ está descrito por su matriz Jacobiana:
$J_{f} = (\begin{matrix} u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \end{matrix}),$ la cual está evaluada en cada punto $z_{0} = (x_{0}, y_{0}) \in U$ .

Más aún, sabemos que la matriz Jacobiana representa a una transformación lineal que es la mejor aproximación de $f (z) - f (z_{0})$ en el punto $z_{0}$ .

De acuerdo con los resultados de la entrada 18, sabemos que para una función analítica $f$ , definida en un abierto $U \subset C$ , su matriz Jacobiana en un punto $z_{0} \in U$ es de la forma:
$J_{f (z_{0})} = (\begin{matrix} u_{x} (z_{0}) & u_{y} (z_{0}) \\ v_{x} (z_{0}) & v_{y} (z_{0}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} u_{x} (z_{0}) & - v_{x} (z_{0}) \\ v_{x} (z_{0}) & u_{x} (z_{0}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}),$ donde $a, b \in R$ son constantes.

Notemos que la última matriz podría ser la matriz cero o, en caso contrario, podría ser una matriz que puede escribirse como el producto de dos matrices, es decir:
$(\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sqrt{a^{2} + b^{2}} & 0 \\ 0 & \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{matrix}) (\begin{matrix} \cos (θ) & - sen (θ) \\ sen (θ) & \cos (θ) \end{matrix}),$ para algún $θ \in R$ . Notemos que podemos elegir a $θ$ tal que:
$\begin{array}{r} \cos (θ) = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}, \\ sen (θ) = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}, \end{array}$ desde que:
${(\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})}^{2} + {(\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})}^{2} = 1.$

Entonces, las ecuaciones de C-R implican que la matriz Jacobiana (real) de $f$ sea de la forma:
$(\begin{matrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix}) (\begin{matrix} \cos (θ) & - sen (θ) \\ sen (θ) & \cos (θ) \end{matrix}),$ para algún $λ \in R$ , con $λ > 0$ , y algún $θ \in R$ .

Por nuestros cursos de Geometría, sabemos que estas dos matrices tienen una interpretación geométrica clara.

Primeramente, la matriz:
$(\begin{matrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix}),$ describe la multiplicación de todos los vectores en $R^{2}$ por el escalar $λ$ , es decir una homotecia por un factor $λ$ .

Por otra parte, la matriz:
$(\begin{matrix} \cos (θ) & - sen (θ) \\ sen (θ) & \cos (θ) \end{matrix}),$ describe una rotación, alrededor del origen, de un ángulo $θ$ .

Entonces, en conjunto el producto de ambas matrices, es decir:
$(\begin{matrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix}) (\begin{matrix} \cos (θ) & - sen (θ) \\ sen (θ) & \cos (θ) \end{matrix}),$ describe en $R^{2}$ la misma operación que la multiplicación en $C$ por un número complejo $λ e^{i θ}$ , como vimos en la entrada 24.

En particular notemos que para la matriz Jacobiana de una función analítica $f$ , en cualquier punto $z \in U$ , se tiene que:
$λ = \sqrt{u_{x} (z)^{2} + v_{x} (z)^{2}} = | f^{'} (z) | .$

Por lo tanto, el efecto de la transformación afín lineal $T$ , dada en (40.4), es una rotación en el plano en un ángulo $θ = \arg (f^{'} (z_{0}))$ , seguida de una homotecia por un factor $λ = | f^{'} (z_{0}) |$ , seguida de una traslación por un vector $A - B z_{0}$ . Por la proposición 25.2 sabemos que la transformación $T$ preserva los ángulos en $z_{0}$ .

Entonces, motivados en lo anterior, nuestro objetivo es probar que la función analítica $f$ también preserva ángulos en $z_{0}$ .

Definición 40.5. (Ángulo entre curvas.)
Sean $α : I_{1} \subset R \to C$ y $β : I_{2} \subset R \to C$ dos curvas suaves tales que $α (t_{0}) = β (u_{0}) = z_{0}$ , con $t_{0} \in I_{1}$ y $u_{0} \in I_{2}$ . Si $α^{'} (t_{0}) \neq 0$ y $β^{'} (u_{0}) \neq 0$ , se define el ángulo formado por $α$ y $β$ en $z_{0}$ como el ángulo entre sus vectores tangentes.

De acuerdo con el lema 25.1 tenemos que dicho ángulo está dado por:
$\arg (\frac{α^{'} (t_{0})}{β^{'} (u_{0})}) .$

Definición 40.6. (Función conforme.)
Sean $D \subset C$ un dominio, $z_{0} \in D$ y $f : D \to C$ una función. Se dice que $f$ es conforme en $z_{0}$ si para todo par de curvas $α$ y $β$ que se intersecan en $z_{0}$ y que en dicho punto forman un ángulo $θ \in (- θ, θ]$ , se tiene que las curvas $f \circ α$ y $f \circ β$ forman el mismo ángulo $θ$ en el punto $f (z_{0})$ .

Proposición 40.4.
Sean $D \subset C$ un dominio y $f : D \subset C \to C$ una función analítica en $z_{0} \in D$ . Si $f^{'} (z_{0}) \neq 0$ , entonces $f$ es conforme en $z_{0}$ .

Demostración. Dadas las hipótesis, sin pérdida de generalidad, sean $γ, β : [a, b] \subset R \to C$ , $a < b$ dos curvas suaves tales que $γ (t_{0}) = β (t_{0}) = z_{0}$ , para algún $t_{0} \in [a, b]$ y $γ^{'} (t_{0}) \neq 0$ , $β^{'} (t_{0}) \neq 0$ .

Notemos que $f \circ γ, f \circ β : [a, b] \to C$ son dos curvas en $C$ . Por la regla de la cadena, proposición 32.2, tenemos que:
$\begin{aligned} (f \circ γ)^{'} (t_{0}) & = f^{'} (γ (t_{0})) γ^{'} (t_{0}) = f^{'} (z_{0}) γ^{'} (t_{0}) \neq 0, \\ (f \circ β)^{'} (t_{0}) & = f^{'} (β (t_{0})) β^{'} (t_{0}) = f^{'} (z_{0}) β^{'} (t_{0}) \neq 0, \end{aligned}$ por lo que podemos medir el ángulo entre dichas curvas en $z_{0}$ .

Tenemos que:
$\begin{aligned} \arg (\frac{(f \circ γ)^{'} (t_{0})}{(f \circ β)^{'} (t_{0})}) & = \arg (\frac{f^{'} (z_{0}) γ^{'} (t_{0})}{f^{'} (z_{0}) β^{'} (t_{0})}) \\ = \arg (f^{'} (z_{0}) γ^{'} (t_{0})) - \arg (f^{'} (z_{0}) β^{'} (t_{0})) \\ = \arg (f^{'} (z_{0})) + \arg (γ^{'} (t_{0})) - \arg (f^{'} (z_{0})) - \arg (β^{'} (t_{0})) \\ = \arg (γ^{'} (t_{0})) - \arg (β^{'} (t_{0})) \\ = \arg (\frac{γ^{'} (t_{0})}{β^{'} (t_{0})}) \end{aligned}$

Ejemplo 40.7.
De acuerdo con la proposición 40.4, como $f (z) = e^{z}$ es una función entera y $f^{'} (z) = e^{z} \neq 0$ para todo $z \in C$ , entonces $f$ es una función conforme en todo $C$ .

Por otra parte, $g (z) = z^{2} - z + 1$ también es una función entera, pero $g^{'} (1 / 2) = 0$ , por lo que $g$ es conforme en $C ∖ {1 / 2}$ .

Tarea moral

Sean $z = x + i y \neq 0$ , $u (x, y) = x^{2} - y^{2}$ y $v (x, y) = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ . Muestra que $u$ y $v$ satisfacen la ecuación de Laplace (33.1), pero que la función $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ no es analítica.
Hint: Considera la proposición 40.2.
Determina una función analítica $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ y su dominio de analicidad, para:
a) $u (x, y) = \frac{sen (2 x)}{\cosh (2 y) + \cos (2 x)}$ .
b) $u (x, y) = x^{2} + y^{2} - 5 x + y + 2$ .
c) $v (x, y) = e^{x} sen (x)$ .
d) $v (x, y) = sen (x) \cosh (y)$ .
Sean $a, b \in R$ y $U \subset C$ un conjunto abierto. Supón que $u (x, y)$ y $v (x, y)$ son dos funciones reales armónicas en $U$ . Prueba que $a u (x, y) + b v (x, y)$ también es una función armónica en $U$ .
Muestra que las siguientes funciones reales $u (x, y)$ son armónicas en el dominio $D$ dado. Determina la función armónica conjungada de $u$ en $D$ , es decir, una función real $v (x, y)$ y verifica que la función $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ es analítica en $D$ .
a) $u (x, y) = x y$ , en $D = C$ .
b) $u (x, y) = e^{y} \cos (x)$ , en $D = C$ .
c) $u (x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ , en $D = {z \in C : Im (z) > 0}$ .
d) $u (x, y) = \ln (x^{2} + y^{2})$ , en $D = C ∖ (- \infty, 0]$ .
Sea $f (z)$ una función conforme en un dominio $D$ tal que $f^{'} (z) \neq 0$ para todo $z \in D$ . Prueba que $f$ es analítica en $D$ .
Prueba que la transformación $T (z) = a z + b$ es conforme en infinito si $a \neq 0$ .
Supón que $u (x, y)$ es una función real armónica. Muestra que:
$\frac{\partial^{2} u}{\partial z \partial \overset{―}{z}} = 0.$
Considera a la función $f (z) = sen (z)$ . Muestra que $Re f (z) = c_{1}$ y $Im f (z) = c_{2}$ , con $c_{1}, c_{2} \in R$ constantes, forman una familia de curvas ortogonales.
Hint: Utiliza la proposición 22.1(10) y muestra que $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ , con $m_{i} = \frac{d y}{d x}$ , $i = 1, 2$ .
Demuestra la proposición 40.2.

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado de manera general el concepto de funcion armónica y de función conforme, así como algunas de sus propiedades más importantes. Vimos que las funciones armónicas nos permiten construir funciones analíticas, mientras que las funciones conformes nos dicen mucho sobre la geometría de las funciones analíticas. Las funciones armónicas son soluciones de muchos problemas físicos. Algunas de sus aplicaciones se da en modelos de dos dimensiones para el flujo de calor, electrostática y fluidos.

La siguiente entrada corresponde con la última de esta cuarta unidad, en ella abordaremos algunas técnicas para construir funciones analíticas.

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