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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la integral

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia para las series, el criterio de la raíz y el criterio de la razón. En esta sección veremos el criterio de la integral enunciado el siguiente teorema.

Criterio de la integral

Teo: (Criterio de la integral)

Sea $f$ una función continua, positiva y decreciente en $[1, \infty)$ y sea $\left \{ a_{n} \right \}$ una sucesión tal que $a_{n} = f(n)$ entonces:

$$\sum_{n=\infty}^{\infty}a_{n} \space converge \space \Leftrightarrow \int_{1}^{\infty}f(x)dx \space converge$$

Demostración:

Figura 1: Función decreciente en el intervalo $[1,\infty]$ (curva azul), área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n}$ con altura $f(n)$ (figura de la izquierda), área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n+1}$ con altura $f(n+1)$ (figura de la derecha).

$\Rightarrow \lrcorner$

Supongamos que $\sum_{i=1}^{n}a_{n}$ converge.

De la figura $(1)$ vemos que el área del rectángulo con altura $f(n)$ (figura de la izquierda) es mayor que el área bajo la curva entre $n$ y $n+1$, en donde se interpretan a estos rectángulos como el área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n}$.

Matemáticamente, podemos interpretar lo anterior como:

$$\Rightarrow a_{n} \geq\int_{n}^{n+1}f(x)dx$$

Si hacemos lo anterior para $n$ rectángulos, se tiene que:

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_{i} \geq \sum_{i=1}^{n}\int_{n}^{n+1}f(x)$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_{i} \geq \int_{1}^{2}f(x)d+\int_{2}^{3}f(x)+…+\int_{n}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_{i}\geq \int_{1}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n}a_{i}\geq \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{\infty}a_{n}\geq \int_{1}^{\infty} f(x)dx$$

Como $\sum_{i=1}^{\infty}a_{n}$ converge, por el criterio de comparación:

$$\Rightarrow \int_{1}^{\infty} f(x)dx \space \space converge$$

$\Leftarrow \lrcorner$

Supongamos que $ \int_{1}^{\infty}f(x)dx \space converge $.

De la figura $(1)$ vemos que el área del rectángulo con altura $f(n+1)$ (figura de la derecha) es menor que el área bajo la curva entre $n$ y $n+1$, vemos en este caso que la sucesión correspondiente es $a_{n+1}$.

$$\Rightarrow a_{n+1}\leq \int_{n}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1}a_{i}\leq \int_{1}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{3}f(x)+…+\int_{n}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1}a_{i}\leq \int_{1}^{n+1}f(x)dx$$

$$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}\leq \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{n+1}f(x)dx$$ $$\Rightarrow \sum_{i=1}^{\infty}a_{n}\leq \int_{1}^{\infty}f(x)dx$$

Como $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ converge, por el criterio de comparación

$$ \Rightarrow \sum_{i=1}^{\infty}a_{n} \space \space converge$$

$\square$

Veamos unos ejemplos:

Ejemplos

Diga si las siguientes series convergen o divergen.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

Tomemos $f(x)=\frac{1}{x}$, sabemos que la función es continua en el intervalo $[1, \infty)$ y es decreciente, además de que sabemos que es continua, por lo que podemos utilizar el criterio de la integral como sigue:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\lim_{x \to \infty}\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt=\lim_{x \to \infty}\left [ ln(t) \right ]\bigg|_{1}^{x}=\lim_{x \to \infty}(ln(x)-ln(1))=\lim_{n \to \infty}ln(x)=\infty$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx \space diverge$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \space diverge$$

  • $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}$$

Tomamos $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$

Claramente, $f$ es continua en $\mathbb{R} \Rightarrow f$ es continua en $[1, \infty)$, vemos que:

$$x^{2}+1>0 \space \forall \space x \space \epsilon \space \mathbb{R} \space y \space x>0 \Rightarrow x \space \epsilon \space [1,\infty)$$

$$\therefore \frac{x}{x^{2}+1}>0$$

Veamos si $f(x)$ es decreciente, para ello derivamos:

$$f'(x)=\frac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}$$

Vemos que $(x^{2}+1)^{2}>0$ y si $x \space \epsilon \space [1,\infty)$, entonces $x^{2}+1>0$, pero tenemos un signo negativo en $f'(x)$:

$\therefore f$ es decreciente en $[1,\infty)$.

Por lo que podemos utilizar el criterio de la integral como sigue:

$$\Rightarrow \int_{1}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+1}dx=\lim_{n \to \infty}\int_{1}^{t}\frac{t}{t^{2}+1}dt=\lim_{n \to \infty}\left [ \frac{1}{2}ln(t^{2}+1) \right ]\bigg|_{1}^{x}=\lim_{n \to \infty}[\frac{1}{2}ln(x^{2}+1)-\frac{1}{2}ln(2)]=\infty$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1} \space diverge \space a \space \infty$$

  • $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}$$

Sea $f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$ Claramente $f$ es continua, positiva y decreciente en $[1, \infty)$, por lo que podemos aplicar el teorema:

$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1}dx=\lim_{n \to \infty}\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}+1}dt=\lim_{n \to \infty}\left [ \arctan(t) \right ]\bigg{|}_{1}^{x}=\lim_{n \to \infty}(\arctan(x)-\arctan(1))=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1} \space converge$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1} \space converge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\sum_{n=1}^{\infty} \arctan(n)$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ln(n)}{n}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$$

Más adelante…

En esta sección vimos el criterio de la integral en el cual se toma como función $f(x)$ a la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}$ de la serie, esta función tiene que ser continua, decreciente y positiva en el intervalo $[1,\infty)$ para utilizar este criterio de la integral y observar la convergencia o divergencia de la serie, en la siguiente sección veremos otras series especiales llamadas p-series.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la razón y el criterio de la raíz

Por Miguel Ángel Rodríguez García

3 respuestas

Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia: el criterio de comparación y el criterio de comparación del límite, en esta sección veremos el criterio de la prueba del cociente o de la razón, y el criterio de la raíz, comencemos enunciando el teorema del criterio de la razón.

Criterio de la razón

Teorema. (Prueba de la razón o del cociente)

Sea $\left \{a_{n} \right \}$ una sucesión positiva y supón que:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r$$

Entonces $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge si $r<1$, diverge si $r>1$ y si $r=1$ no es concluyente.

Demostración:

Observemos que:

$$a_{n}>0 \space \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N} \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>0 \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r \geq 0$$

Para demostrar este teorema, dividamos por los casos siguientes:

  • Caso $1)$: Si $0\leq r < 1$, entonces:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r$$

Podemos escoger un número $S$ tal que $r < S < 1 \space \Rightarrow \exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$

Tal que:

$$\forall \space n \space \geq k \space \Rightarrow \bigg{|}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigg{|}<S \space \Rightarrow a_{n+1} <S a_{n}$$

En particular:

$$a_{k+1}<S a_{k} \space \space y \space \space a_{k+2}<S a_{k+1}<S(S a_{k})=S^{2} a_{k}$$

Por tanto:

$$a_{k+2}<S^{2} a_{k} \Rightarrow a_{k+3}<S a_{k+2 }<S^{3} a_{k}$$

Continuando de esta manera hasta $n$, se tiene que:

$$a_{n}=a_{k+m}<S^{m} a_{k}$$

Por otro lado, como $S<1$, entonces la siguiente serie:

$$\sum_{m=1}^{\infty}S^{m} \space \space con \space m \geq 1$$

Es una serie geométrica, por tanto:

$\Rightarrow \sum_{m=1}^{\infty}S^{m}$ converge $\Rightarrow \sum_{m=1}^{\infty}S^{m}a_{k}$ converge

$\Rightarrow \sum_{m=1}^{\infty}a_{k+m}$ converge.

Por el criterio de comparación, así $\sum_{n=k+1}^{\infty}a_{n}$ converge,

$$\therefore \sum_{n}^{\infty}a_{n} \space converge$$

  • Caso $2)$: Si $r>1$

Vemos que:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r$$

Podemos escoger un número $S$ tal que $r >S > 1 \space \Rightarrow \exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$

Tal que:

$$\forall n\geq k \space \space \bigg{|} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigg{|}>S \Rightarrow \forall \space n \geq k \space \Rightarrow a_{n+1}>S a_{n}$$

Se tiene que para:

$$a_{k+1}>S a_{k}$$

$$a_{k+2}>S a_{k+1}>S(S a_{k})=S^{2} a_{k}$$

$$a_{k+3}>S a_{k+2}>S(S^{2} a_{k})=S^{3} a_{k}$$

Continuando de esta manera, $\forall \space n\geq k$, entonces:

$$a_{k+n}>S^{n} a_{k}$$

$\sum_{n=1}^{\infty}S^{n}$ es una serie geométrica con $|S|>1$

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}S^{n}$ diverge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}S^{n}a_{k}$ diverge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_{k+n}$ diverge

$\Rightarrow \sum_{n=k+1}^{\infty}a_{n}$ diverge

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \space diverge$$

$\square$

  • Caso $3)$: Para este caso solo hay que dar un ejemplo, veamos:

Tomemos siguientes las series:

$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \space \space y \space \space \sum_{i=1}^{\infty}1$$

Es fácil ver que la segunda serie diverge cuando $n \to \infty$, para la primera serie, tenemos que:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n^2})^2}=1$$

Lo cual sabemos que esta serie converge.

Por lo que para $r=1$ no hay conclusión de la convergencia de la serie.

$\square$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$$

Usamos el criterio de la razón, tomamos el límite de la sucesión como:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{(n+1)!}=\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{(n+1)n!}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1}=0<1$$

Por tanto, por el criterio de la razón:

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} \space converge$$

Ahora veamos el criterio de la raíz.

Criterio de la raíz

Teorema. (Criterio de la raíz)

Sea $\left \{ a_{n}\right \}$ una sucesión con $a_{n}\geq 0 \space \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$ tal que:

$$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=L$$

Entonces $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge si $L<1$ y diverge si $L>1$.

Demostración:

Divimos esta demostración por casos:

  • $1): L<1$

Supongamos que $L<1$, observamos que $L \geq0$, tomamos $r$ tal que $L<r<1$, por definición del limite:

$$\exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$$

Tal que:

$$\forall \space n\geq k \Rightarrow \space \sqrt[n]{a_{n}}<r$$

$$\Rightarrow a_{n}<r^{n}$$

Pero:

$\sum_{n=k}^{\infty }r^{n}$ converge ya que $r<1$ y es una serie geométrica, por el criterio de comparación.

$$\Rightarrow \sum_{n=k}^{\infty }a_{n} \space converge$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} \space converge$$

  • $2): L>1$

Ahora, supongamos que $L>1$, toma $r$ tal que $1<r<L$, por definición del límite:

$$\exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$$

Tal que:

$$\forall \space n\geq k \Rightarrow \space \sqrt[n]{a_{n}}>r$$

$$\Rightarrow a_{n}>r^{n}$$

Pero $1<r$, por consiguiente por el criterio de las series geométricas:

$$\Rightarrow \sum_{n=k}^{\infty }r^{n} \space diverge \space \Rightarrow \sum_{n=r}^{\infty }a_{n} \space diverge$$

Por el criterio de comparación:

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} \space diverge$$

$\square$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}}$$

Apliquemos el criterio de la raíz, tomamos el límite de la sucesión como:

$$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}}}=\lim_{n \to \infty }\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}}=\frac{1}{e}<1$$

Por tanto, por el criterio de la raíz:

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}} \space converge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9^{n}}{2^{n+1}n}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{10}})^{n}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!n!}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{1}{1+n} \right )^{n}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n+3}{3n+2} \right )^{n}$$

Más adelante…

En esta sección vimos otros dos criterios más de convergencia que son el criterio de la razón en el cual el valor del límite de la división entre la sucesión $a_{n+1}$ y $a_{n}$ nos dice si la serie es convergente o divergente, y el criterio de la raíz que dependiente del valor se toma del límite de la raíz n-esima de la sucesión nos dice si la sucesión es convergente o divergente. En la siguiente sección veremos otro criterio de convergencia, que es el criterio de la integral.

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Por Miguel Ángel Rodríguez García

2 respuestas

Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia para las series, el criterio de la divergencia y el criterio de acotación, en esta sección veremos otros dos criterios de convergencia para las series que son los criterios de comparación y el criterio del límite.

Criterio de comparación

Teorema. (Criterio de comparación)

Sea $\left \{ a_{n} \right \}$ y $\left \{ b_{n} \right \}$ tal que $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ $\forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$ y supón que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge, entonces $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge.

Mientras que si $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge, entonces $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ diverge.

Demostración:

Sea $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ y supón que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge.

Sea $\left \{ S_{n} \right \}$ la sucesión de sumas parciales de $\left \{ b_{n} \right \}$, y sea $\left \{ t_{n} \right \}$ las sumas parciales de $\left \{ a_{n} \right \}$.

Por demostrar que $\left \{ t_{n} \right \}$ esta acotada.

Observemos que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge, entonces $\left \{ S_{n} \right \}$ esta acotada por el criterio de acotación, por lo que, $\exists \space M \space \epsilon \space \mathbb{R}$ tal que $|S_{n}| \space \leq M \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$.

Pero $a_{i}\leq b_{i} \space \forall \space i \space\epsilon \space \mathbb{N}$.

$$\Rightarrow a_{1}+a_{2}+….+a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+….+b_{m}$$

$$\Rightarrow t_{n} \leq S_{n}\leq M$$

$$\Rightarrow t_{n}\leq M \space \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N} $$

Por lo cual $t_{n}$ está acotado, nuevamente, por el criterio de acotación como $t_{n}$ está acotado, entonces $a_{n}$ también lo está.

$\therefore \left \{ t_{n} \right \}$ esta acotado $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge.

Ahora la demostración de sí $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge entonces $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ diverge, lo podemos demostrar por contradicción:

Por hipótesis $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge, pero supongamos que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge, entonces por lo que acabamos de ver, $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge, lo cual con lleva a una contradicción, ya que $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge.

$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ diverge.

$\square$

Los que nos dice este teorema es que podemos acotar una serie $ \left \{ a_{n} \right \} $ por otra serie $\left \{ b_{n} \right \}$ y conocer su convergencia o divergencia, para posteriormente, saber la convergencia o divergencia de la serie $ \left \{ a_{n} \right \} $.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n}$$

Sabemos que para $n >2: \space \space \sqrt[n]{n}<\sqrt{n} \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$

Pero sabemos que $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}$ diverge, por el criterio de comparación, entonces se tiene que $\sqrt[n]{n}$ diverge.

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n} \space \space diverge$$

Ahora veamos el criterio de comparación del límite.

Criterio de comparación del límite

Teorema. (Comparación del límite)

Sea $a_{n}>0$ y $b_{n}>0$ tal que:

$$\lim_{n\to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=C>0.$$

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge $\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ converge.

En otras palabras:

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ diverge $\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ diverge.

Demostración:

$\Leftarrow \lrcorner$

Supón que $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ converge, tratemos de acotar $a_{n}$ por algo convergente.

Tomemos $\varepsilon = C$.

Como $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=C$, por definición del limite se tiene que:

$\exists \space k \space\epsilon \space \mathbb{N}$ tal que si $n\geq k$ entonces:

$$\bigg{|}\frac{a_{n}}{b_{n}}-C \bigg{|}<\epsilon =C$$

$$\Rightarrow -C<\frac{a_{n}}{b_{n}}-C<C$$

$$\Rightarrow 0<\frac{a_{n}}{b_{n}} < 2C$$

$$\Rightarrow a_{n}<2 \space C \space b_{n}$$

Pero por hipótesis tenemos que:

$\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}2b_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}2Cb_{n}$ converge.

ya que, por la propiedades de las series:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}2Cb_{n}=2C\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \space \space y \space \space \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \space \space converge $$

$$\therefore \space Por \space el \space criterio \space de \space comparación \space \space \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \space \space converge.$$

Ahora demostremos el de ida:

$\Rightarrow \lrcorner$

Supón que $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge, consideremos $\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{C}$, como:

$$C>0 \Rightarrow \frac{1}{C}>0$$

Tomemos $\epsilon =\frac{1}{C}$. Por definición del límite $\exists \space N \space \epsilon \space \mathbb{N}$ tal que:

$$\forall \space n \geq N \Rightarrow \bigg{|}\frac{b_{n}}{a_{n}}-\frac{1}{C}\bigg{|}< \epsilon =\frac{1}{C}$$

$$\Rightarrow -\frac{1}{C}<\frac{b_{n}}{a_{n}}-\frac{1}{C}<\frac{1}{C}$$

$$\Rightarrow 0<\frac{b_{n}}{a_{n}}< \frac{2}{C}$$

$\Rightarrow b_{n}<\frac{2}{C}a_{n}$ por lo que acotamos $b_{n}$, así:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}2a_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{C}a_{n}$ converge.

$$\therefore \space Por \space el \space criterio \space de \space comparación \space \space \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \space \space converge.$$

La demostración para el caso cuando divergen es muy similar a la demostración anterior, solo cambiamos la desigualdad en la definición del límite y aplicamos nuevamente el criterio de comparación.

$\square$

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a\sqrt{n}+b}$$

Donde $a$ y $b$ son constantes y $ a\neq 0 $.

Sea $\left \{ b_{n} \right \}=\frac{1}{a\sqrt{n}+b}$, tomemos a la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}=\frac{1}{\sqrt{n}}$ entonces tomando el límite tenemos que:

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{a\sqrt{n}+b}}=\lim_{n \to \infty}\frac{a\sqrt{n}+b}{\sqrt{n}} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}(a+\frac{b}{\sqrt{n}})= a$$

Con $a\neq 0$

Pero como $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge, por el criterio de comparación del límite:

$$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a\sqrt{n}+b} \space diverge $$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ln(n)}{n}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}-1}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{5n-1}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^{2}+3n}{\sqrt{5+n^{5}}}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}-1}$$

Más adelante…

En esta sección vimos dos criterios más de convergencia, el criterio de comparación, el cual se acota una sucesión con otra sucesión para estudiar si diverge o no converge la sucesión que está acotando, lo cual nos dice la convergencia o divergencia de la sucesión que está acotada; y el criterio de comparación del límite que nos dice que si la división entre dos sucesiones positivas, da como resultado una constante entonces las sucesiones convergen o divergen. En la siguiente sección veremos el criterio de la raíz y el criterio de la razón.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la divergencia y de acotación

Por Miguel Ángel Rodríguez García

3 respuestas

En la sección anterior vimos unas series especiales llamadas series geométricas, donde, dependiendo del valor de $r$ la serie converge o diverge, además, vimos algunas propiedades de las series, lo cual usaremos en adelante. En esta sección veremos algunos teoremas sobre los criterios de divergencia o convergencia de series. Comencemos con anunciando el teorema del criterio de Cauchy.

Criterios de convergencia

Teorema. (Criterio de Cauchy)

La sucesión $\left \{a_{n} \right \}$ es sumable (convergente) si y solo si $\forall \space m, \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$

$$\lim_{m, n \to \infty}(a_{m+1}+a_{m+2}+….+a_{n})=0$$

Para $n>m \geq N$

Demostración:

Utilizando el criterio de Cauchy para sucesiones, como $\left \{a_{n} \right \}$ es sumable $\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} S_{n}$ converge $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon >0, \space \exists \space N \space \epsilon \space \mathbb{N}$ tal que si $m, \space n \geq N \Rightarrow |S_{n}-S_{m}|<\varepsilon$

$$\Leftrightarrow |(a_{1}+a_{2}+….+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{m})|<\varepsilon$$

Como $n>m$, entonces:

$$ =|(a_{1}+a_{2}+….+a_{m}+a_{m+1}+….+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{m})|\Leftrightarrow |a_{m+1}+….+a_{n}|<\varepsilon$$

$\forall \space n>m$

En particular:

$$\Leftrightarrow |a_{m+1}+….+a_{n}-0|<\varepsilon \Leftrightarrow \lim_{m, n \to \infty}(a_{m+1}+….+a_{n})=0$$

Por tanto, la serie $a_{n}$ es convergente.

$\square$

Teorema. Si la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente, entonces $\lim_{n \to \infty}a_{n}=0$.

Demostración:

Puesto que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente, la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}$ es convergente $\Rightarrow \lim_{n \to \infty}S_{n}$ converge a un numero $L$.

$$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}S_{n+1}=L$$

Pero: $$\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\lim_{n \to \infty}\left [ (a_{1}+a_{2}+….+a_{n+1})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{n}) \right ]=\lim_{n \to \infty}(S_{n+1}-S_{n})$$

$$\lim_{n \to \infty}(S_{n+1})-\lim_{n \to \infty}(S_{n})=L-L=0$$

$$\therefore \lim_{n \to \infty}a_{n+1}=0$$

Como $a_{n+1}$ converge, entonces también lo hace $a_{n}$.

$$\therefore \lim_{n \to \infty}a_{n} =0$$

$\square$

Nota: En general, el inverso de este teorema no es valido, si $lim_{n \to \infty}a_{n}=0$ no se puede concluir que $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente.

Criterio de la divergencia

Teorema. (La prueba o criterio de la divergencia):

Si $\lim_{n \to \infty}a_{n}$ no existe o si $\lim_{n \to \infty}a_{n}\neq 0$ entonces la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ diverge.

La demostración se infiere del teorema anterior porque si la serie no es divergente, entonces es convergente y, por tanto, $\lim_{n \to \infty}a_{n}= 0$.

$\square$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{4n+1}$$

Tomando el límite, obtenemos lo siguiente:

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{4+\frac{1}{n}}=\frac{1}{4}\neq 0$$

Por el criterio de la divergencia:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4n+1} \space diverge$$

  • $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2n!+1}$$

Tomamos el límite y multiplicamos por el factor $\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{n!}}$, por lo que se tiene que:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{2n!+1}=\lim_{n \to \infty } \frac{\frac{n!}{n!}}{2\frac{n!}{n!}+\frac{1}{n!}}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2+\frac{1}{n!}}=\frac{1}{2}\neq 0$$

$$\therefore \sum_{i=1}^{\infty}\frac{n!}{2n!+1} \space diverge$$

Existe otro criterio de convergencia llamado el criterio de acotación

Series con términos no negativos

Teorema. (Criterio de acotación)

Una sucesión no negativa $\left \{ a_{n} \right \}$ es sumable, $\Leftrightarrow$ sus sumas parciales $\left \{S_{n} \right \}$ está acotada.

Demostración:

$\Rightarrow \lrcorner $

Si $\left \{ a_{n} \right \}$ es sumable $\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty } S_{n}=L$ converge por el teorema visto anteriormente.

Habiamos visto en cálculo 1 que si, converge $S_{n}$ $\Rightarrow S_{n}$ esta acotada.

$\Leftarrow \lrcorner$

Supongamos que $\left \{ S_{n} \right \}$ está acotado, observemos que:

$$S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1} \geq S_{n}$$

Ya que:

$$a_{n+1}\geq 0$$

$$\Rightarrow S_{n} \leq S_{n+1} \space\forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$$

$\therefore S_{n}$ es creciente y además, está acotado por hipótesis, por cálculo I, si una sucesión es creciente y acotada, entonces se tiene que:

$\Rightarrow \left \{ S_{n} \right \}$ es convergente $\Rightarrow \left \{ a_{n} \right \}$ es sumable.

$\square$

Teorema. Sea $k \space \epsilon \space \mathbb{N}$ fijo. La serie$\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}$ converge$\space \Leftrightarrow\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}$ converge.

Demostración:

Como la serie converge por hipótesis, entonces:

$$\sum_{n=k}^{\infty }a_{n} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty }(a_{k}+a_{k+1}+…+a_{n}) \Leftrightarrow$$

$$a_{0}+a_{1}+…+a_{k-1}+\lim_{k \to \infty }(a_{k}+a_{k+1}+…+a_{n}) \Leftrightarrow$$

$$\lim_{n \to \infty }(a_{0}+a_{1}+…+a_{k}+a_{k+1}+…a_{n}) \space \space converge$$

$$\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty }a_{n} \space \space converge$$

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

  1. $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$$
  2. $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{5n^{2}+4}$$
  3. $$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{-n}{2n+5}$$
  4. $$\sum_{n=0}^{\infty}e^{-2n}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}ln\left ( \frac{1}{n} \right )$$

Más adelante…

En esta sección vimos dos teoremas importantes de criterios de convergencia, el criterio de la divergencia, en el cual nos dice que si el límite de la sucesión es diferente de cero o no existe, entonces la serie diverge, y el criterio de acotación que nos dice la reciprocidad entre una sucesión convergente y la acotación de sus sumas parciales. En la siguiente sección veremos otros dos criterios de acotación, el criterio de comparación y comparación del límite.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Series Geométricas

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos la definición de sumas parciales y series infinitas, también vimos en que caso se dice que una serie converge o diverge, en esta sección veremos unas series especiales llamadas series geométricas, además, veremos algunas propiedades importantes de las series.

Series geométricas

Las series geométricas son series de la forma:

$$\sum_{n=0}^{\infty }cr^{n}=cr^{0}+cr^{1}+cr^{2}+….+cr^{n}+….$$

Donde $c$ es una constante.

Veamos el teorema siguiente que nos dice en que casos las series geométricas convergen o divergen.

Teorema. Sea $r \space \epsilon \space \mathbb{R}$ entonces la serie:

$$\sum_{n=0}^{\infty }cr^{n}$$

Diverge si $|r|\geq 1$ y converge al valor $\frac{1}{1-r}$ si $|r|<1$.

Demostración: Para demostrar este teorema supongamos que $c=1$, dividamos la demostración por los casos siguientes:

  • Caso $1)$: Si $r=1$.

Vemos que:

$$\sum_{n=0}^{\infty } 1(r)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty } 1$$

Entonces:

$$S_{0}=1,$$

$$S_{1}=2,$$

$$….,$$

$$S_{n}=n+1$$

Tomando el límite:

$$\lim_{n \to \infty} S_{n}=\lim_{n \to \infty}n+1\rightarrow \infty$$

Ya que sabemos que:

$$\lim_{n \to \infty} n \to \infty$$

Por tanto, la serie diverge si $r=1$.

$$\therefore \sum_{n=0}^{\infty }1^{n} \rightarrow \infty$$

  • Caso $2)$: Si $r=-1$.

Entonces tenemos que la serie es:

$$\sum_{n=0}^{\infty }r^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$$

Ya habíamos visto en un ejemplo de la entrada de series y series infinitas que: $$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$$

Es una serie oscilante. Por tanto:

$$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }S_{n} \space \space \space \nexists \lim$$.

Es decir, el límite no existe y, por tanto, diverge.

  • Caso $3)$: Si $r\neq 1$ y $r\neq -1$.

Entonces tenemos que:

$$\sum_{n=0}^{\infty }r^{n}=1+r+r^{2}+….+r^{n}+…$$

Las sumas parciales los calculamos como:

$$S_{n}=1+r+r^{2}+….+r^{n}$$

$$\Rightarrow r\space S_{n}=r+r^{2}+….+r^{n+1}$$

$$\Rightarrow S_{n}-rS_{n}=1-r^{n+1}$$

$$\Rightarrow S_{n}(1-r)=1-r^{n+1}$$

$$\Rightarrow S_{n}=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$

$$\therefore \sum_{n=0}^{\infty }r^{n}=\lim_{n \to \infty}S_{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1-r^{n+1}}{1-r}=\frac{1}{1-r}\lim_{n \to \infty}(1-r^{n+1}) \tag{1}$$

Para resolver este límite, nuevamente veamos que pasa en cada uno de los siguientes casos:

  • Caso cuando $|r|> 1$:

$$\Rightarrow r>1 \space \space ó \space \space r<-1$$

Si $r>1$:

$$\lim_{n \to \infty} r^{n+1} \to \infty$$

Si $r<-1$:

$$\lim_{n \to \infty}r^{n+1} \space \space \space \nexists$$

$$\therefore \frac{1}{1-r}\lim_{n \to \infty}(1-r^{n+1}) \to \infty$$

Es decir, la serie diverge si $|r|>1$.

  • Caso cuando $|r|<1$:

$$\Rightarrow -1<r<1$$

$$ \Rightarrow \lim_{n \to \infty}r^{n+1}=0$$

Entonces, de la relación $(1)$ se tiene que:

$$\Rightarrow \frac{1}{1-r}\lim_{n \to \infty}(1-r^{n+1})= \frac{1}{1-r} \cdot (1) =\frac{1}{1-r}$$

$$\therefore \sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}$$

Es decir, la serie converge si $|r|<1$.

$$ \therefore \sum_{n=0}^{\infty }r^{n}= \frac{1}{1-r} $$

Converge si $|r|<1$ y diverge si $|r|\geq 1$.

$\square$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

Diga si las siguientes series convergen o divergen.

  • $$\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{1}{2} \right )^{n}$$

Vemos que es una serie geométrica, en este caso $r=\frac{1}{2}$, por lo que, por el teorema anterior, tenemos que:

$$\frac{1}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$

  • $$\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}$$

Vemos que $|2|>1$, por el teorema anterior, la serie diverge.

Ahora veamos algunas propiedades de las series que nos serán de utilidad en el resto del curso.

Teorema. Sea $\left \{ a_{n} \right \}$ y $\left \{ b_{n} \right \}$ sucesiones tales que si $\sum_{n=k}^{\infty} a_{n} $ converge y $\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$ converge, entonces:

$1)$ $$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

$2)$ $$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}-b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}-\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$$

$3)$ $$\sum_{n=k}^{\infty} Ca_{n}=C \sum_{n=k}^{\infty}a_{n} \space \space \forall \space C\space \epsilon \space \mathbb{R}$$

Demostración:

Sea $\left \{ S_{n} \right \}$, $\left \{ t_{n} \right \}$, $\left \{ w_{n} \right \}$ las sucesiones de las sumas parciales de $a_{n}$, $b_{n}$ y $a_{n}+b_{n}$ respectivamente, por hipótesis $a_{n}$ y $b_{n}$ convergen, por lo que:

$$\sum_{n=k}^{\infty} \left \{ a_{n} \right \} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} S_{n} \space \space converge$$

$$\sum_{n=k}^{\infty} \left \{ b_{n} \right \} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} t_{n} \space \space converge$$

Demostremos la primera propiedad $1)$.

$$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

Por hipótesis tenemos que:

$$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\lim_{n \to \infty}w_{n}=\lim_{n \to \infty}(a_{k}+b_{k}+a_{k+1}+b_{k+1}+…..+a_{n}+b_{n})$$

$$=\lim_{n \to \infty} [(a_{k}+a_{k+1}+….+a_{n})+(b_{k}+b_{k+1}+….+b_{n})]=\lim_{n \to \infty} (S_{n}+t_{n})$$

$$=\lim_{n \to \infty}S_{n}+\lim_{n \to \infty}t_{n}=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

$$\therefore \sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

$\square$

Demostremos la propiedad $3)$.

$$ \sum_{n=k}^{\infty} Ca_{n}=C \sum_{n=k}^{\infty}a_{n} $$

Sea $\left \{ Y_{n} \right \}$ la sucesión de sumas parciales de $Ca_{n}$

$$\Rightarrow \sum_{n=k}^{\infty}C a_{n}=\lim_{n \to \infty} Y_{n}=\lim_{n \to \infty} [Ca_{k}+Ca_{k+1}+….+Ca_{n}]$$

$$=\lim_{n \to \infty}C(a_{k}+a_{k+1}+….+a_{n})=\lim_{n \to \infty} C S_{n}$$

Y como $S_{n}$ converge, entonces por propiedad de los límites tenemos que:

$$C\lim_{n \to \infty}S_{n}=C\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}$$

$$\therefore \sum_{n=k}^{\infty} Ca_{n}=C \sum_{n=k}^{\infty}a_{n}$$

Para la propiedad $2)$ se puede demostrar utilizando las propiedades $1)$ y $3)$, dejándose como ejercicio moral.

Observación: Si $\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}$ y $\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$ no convergen, entonces no siempre se cumple que:

$$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$$

Veamos un ejemplo:

  • $$\sum_{n=0}^{\infty} 7\left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}$$

Utilizamos la propiedad $3$, se obtiene que:

$$\sum_{n=0}^{\infty} 7\left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}=7\sum_{n=0}^{\infty} \left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}$$

Vemos que es una serie geométrica, entonces sea $r=-\frac{3}{4}$, por el teorema de la serie geométrica tenemos:

$$7 \sum_{n=0}^{\infty}\left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}=7\frac{1}{1+\frac{3}{4}}=7(\frac{4}{7})=4$$

Series geométricas que no empiezan en $n=0$

Ahora veamos las series geométricas donde la serie no comienza en $n=0$, veamos el teorema siguiente que nos dice en que caso estas series convergen o divergen.

Teorema. Sea $\sum_{n=m}^{\infty}r^{n}$ con $m \neq 0$ entonces: $$\sum_{n=m}^{\infty}r^{n}=\frac{r^{m}}{1-r}$$

Si $|r|<1$

Demostración:

La demostración a este teorema es muy similar a la demostración del primer teorema que vimos en esta sección, por lo que solo veremos el caso cuando $|r|<1$, entonces:

$$\sum_{n=m}^{\infty}r^{n}=\lim_{n \to \infty}\sum_{n=m}^{n}r^{n}=\lim_{n \to \infty}(r^{m}+r^{m+1}+….+r^{m+n})=\lim_{n \to \infty}r^{m}(1+r+…..+r^{n})=r^{m}\frac{1}{1-r}$$

$$\therefore \sum_{n=m}^{\infty}r^{n}=\frac{r^{m}}{1-r}$$

Es decir, la serie converge si $|r|<1$

$\square$

Veamos un ejemplo:

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$$

Vemos que es una serie geométrica que no empieza con $n=0$, por lo que $r=\frac{1}{2}<1$ entonces por el teorema anterior obtenemos:

$$\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{(\frac{1}{2})^{4}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que: $$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}-b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}-\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$$.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

  1. $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2+3^{n}}{5^{n}}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty}2^{2n}3^{1-n}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{n}}{(-9)^{n-1}}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

Más adelante…

En esta sección vimos las series geométricas para el caso cuando $n=0$ y $n \neq 0$, así como los casos en donde estas series convergen y divergen. También vimos algunas propiedades importantes de las series que nos serán útiles en el estudio de estas. Veremos en las siguientes secciones criterios de convergencia y divergencia de las series, en la siguiente entrada comenzaremos a estudiar el criterio de la divergencia y de acotación.

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