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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de comparación y comparación del limite

Por Miguel Ángel Rodríguez García

2 respuestas

Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia para las series, el criterio de la divergencia y el criterio de acotación, en esta sección veremos otros dos criterios de convergencia para las series que son los criterios de comparación y el criterio del límite.

Criterio de comparación

Teorema. (Criterio de comparación)

Sea $\left \{ a_{n} \right \}$ y $\left \{ b_{n} \right \}$ tal que $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ $\forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$ y supón que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge, entonces $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge.

Mientras que si $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge, entonces $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ diverge.

Demostración:

Sea $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ y supón que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge.

Sea $\left \{ S_{n} \right \}$ la sucesión de sumas parciales de $\left \{ b_{n} \right \}$, y sea $\left \{ t_{n} \right \}$ las sumas parciales de $\left \{ a_{n} \right \}$.

Por demostrar que $\left \{ t_{n} \right \}$ esta acotada.

Observemos que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge, entonces $\left \{ S_{n} \right \}$ esta acotada por el criterio de acotación, por lo que, $\exists \space M \space \epsilon \space \mathbb{R}$ tal que $|S_{n}| \space \leq M \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$.

Pero $a_{i}\leq b_{i} \space \forall \space i \space\epsilon \space \mathbb{N}$.

$$\Rightarrow a_{1}+a_{2}+….+a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+….+b_{m}$$

$$\Rightarrow t_{n} \leq S_{n}\leq M$$

$$\Rightarrow t_{n}\leq M \space \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N} $$

Por lo cual $t_{n}$ está acotado, nuevamente, por el criterio de acotación como $t_{n}$ está acotado, entonces $a_{n}$ también lo está.

$\therefore \left \{ t_{n} \right \}$ esta acotado $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge.

Ahora la demostración de sí $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge entonces $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ diverge, lo podemos demostrar por contradicción:

Por hipótesis $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge, pero supongamos que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge, entonces por lo que acabamos de ver, $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge, lo cual con lleva a una contradicción, ya que $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge.

$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ diverge.

$\square$

Los que nos dice este teorema es que podemos acotar una serie $ \left \{ a_{n} \right \} $ por otra serie $\left \{ b_{n} \right \}$ y conocer su convergencia o divergencia, para posteriormente, saber la convergencia o divergencia de la serie $ \left \{ a_{n} \right \} $.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n}$$

Sabemos que para $n >2: \space \space \sqrt[n]{n}<\sqrt{n} \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$

Pero sabemos que $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}$ diverge, por el criterio de comparación, entonces se tiene que $\sqrt[n]{n}$ diverge.

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n} \space \space diverge$$

Ahora veamos el criterio de comparación del límite.

Criterio de comparación del límite

Teorema. (Comparación del límite)

Sea $a_{n}>0$ y $b_{n}>0$ tal que:

$$\lim_{n\to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=C>0.$$

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge $\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ converge.

En otras palabras:

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ diverge $\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ diverge.

Demostración:

$\Leftarrow \lrcorner$

Supón que $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ converge, tratemos de acotar $a_{n}$ por algo convergente.

Tomemos $\varepsilon = C$.

Como $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=C$, por definición del limite se tiene que:

$\exists \space k \space\epsilon \space \mathbb{N}$ tal que si $n\geq k$ entonces:

$$\bigg{|}\frac{a_{n}}{b_{n}}-C \bigg{|}<\epsilon =C$$

$$\Rightarrow -C<\frac{a_{n}}{b_{n}}-C<C$$

$$\Rightarrow 0<\frac{a_{n}}{b_{n}} < 2C$$

$$\Rightarrow a_{n}<2 \space C \space b_{n}$$

Pero por hipótesis tenemos que:

$\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}2b_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}2Cb_{n}$ converge.

ya que, por la propiedades de las series:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}2Cb_{n}=2C\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \space \space y \space \space \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \space \space converge $$

$$\therefore \space Por \space el \space criterio \space de \space comparación \space \space \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \space \space converge.$$

Ahora demostremos el de ida:

$\Rightarrow \lrcorner$

Supón que $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge, consideremos $\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{C}$, como:

$$C>0 \Rightarrow \frac{1}{C}>0$$

Tomemos $\epsilon =\frac{1}{C}$. Por definición del límite $\exists \space N \space \epsilon \space \mathbb{N}$ tal que:

$$\forall \space n \geq N \Rightarrow \bigg{|}\frac{b_{n}}{a_{n}}-\frac{1}{C}\bigg{|}< \epsilon =\frac{1}{C}$$

$$\Rightarrow -\frac{1}{C}<\frac{b_{n}}{a_{n}}-\frac{1}{C}<\frac{1}{C}$$

$$\Rightarrow 0<\frac{b_{n}}{a_{n}}< \frac{2}{C}$$

$\Rightarrow b_{n}<\frac{2}{C}a_{n}$ por lo que acotamos $b_{n}$, así:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}2a_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{C}a_{n}$ converge.

$$\therefore \space Por \space el \space criterio \space de \space comparación \space \space \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \space \space converge.$$

La demostración para el caso cuando divergen es muy similar a la demostración anterior, solo cambiamos la desigualdad en la definición del límite y aplicamos nuevamente el criterio de comparación.

$\square$

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a\sqrt{n}+b}$$

Donde $a$ y $b$ son constantes y $ a\neq 0 $.

Sea $\left \{ b_{n} \right \}=\frac{1}{a\sqrt{n}+b}$, tomemos a la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}=\frac{1}{\sqrt{n}}$ entonces tomando el límite tenemos que:

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{a\sqrt{n}+b}}=\lim_{n \to \infty}\frac{a\sqrt{n}+b}{\sqrt{n}} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}(a+\frac{b}{\sqrt{n}})= a$$

Con $a\neq 0$

Pero como $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge, por el criterio de comparación del límite:

$$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a\sqrt{n}+b} \space diverge $$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ln(n)}{n}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}-1}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{5n-1}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^{2}+3n}{\sqrt{5+n^{5}}}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}-1}$$

Más adelante…

En esta sección vimos dos criterios más de convergencia, el criterio de comparación, el cual se acota una sucesión con otra sucesión para estudiar si diverge o no converge la sucesión que está acotando, lo cual nos dice la convergencia o divergencia de la sucesión que está acotada; y el criterio de comparación del límite que nos dice que si la división entre dos sucesiones positivas, da como resultado una constante entonces las sucesiones convergen o divergen. En la siguiente sección veremos el criterio de la raíz y el criterio de la razón.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterios de convergencia para las integrales impropias.

Por Miguel Ángel Rodríguez García

2 respuestas

Introducción

En las secciones anteriores vimos las integrales impropias de primer, segundo tipo y tercer tipo, aprendiendo como dar solución a cada una de ella. En esta sección veremos distintos criterios para estudiar la convergencia o divergencia de las integrales impropias. Comencemos enunciando algunos teoremas de convergencia importantes para estas integrales.

Criterios de convergencia

Comencemos con el siguiente teorema.

Teorema: La integral $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ converge $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon \space >0 \space \space \exists \space r$ tal que si $x, \space x^{‘} > r$ entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

Demostración:

Sea $\epsilon > 0, \space \int_{a}^{\infty}f(x)dx$ converge:

$$\Leftrightarrow \int_{a}^{\infty}f(x)dx=L \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty}\int_{a}^{x}f(t)dt=L$$

$$\Leftrightarrow \exists \space r \space tal \space que \space si \space x, \space x^{‘} > r$$

Por definición de limite:

$$\Rightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \space \space y \space \space \bigg| \int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \ \space \space y \space \space \bigg|L-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

Ya que $|r|<c$ si y sólo si $-c<r<c$, entonces:

$$\Leftrightarrow -\frac{\epsilon }{2}<\int_{a}^{x}f(t)dt-L <\frac{\epsilon }{2} \ \space \space y \space \space -\frac{\epsilon }{2}<L-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt<\frac{\epsilon }{2}$$

$$\Leftrightarrow -\epsilon<\int_{a}^{x}f(t)dt-\int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow -\epsilon<\int_{x}^{x^{‘}}f(t)dt<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{x}^{x^{‘}}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\Leftrightarrow \bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\therefore \int_{1}^{\infty}f(x)dx \space \space converge $$

$\square$

Lema: Sea una función $f(x)$ continua en $[a,b)$ entonces la integral impropia $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon \space >0 \space \space \exists \space \delta >0 \space \space tal \space que \space si \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$ entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

Demostración:

$\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente:

$$\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=L \Leftrightarrow \lim_{x \to b^{-}} \int_{a}^{b}f(x)dx=L$$

$$\exists \space \delta >0 \space tal \space que \space si \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$$

$$\Rightarrow \bigg| \int_{a}^{x}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2} \space \space y \space \space \bigg| \int_{a}^{x^{‘}}f(t)dt-L \bigg|<\frac{\epsilon }{2}$$

Hacemos el mismo procedimiento como la demostración del teorema anterior, por lo que:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon \space \space converge$$

$\square$

Lema: Sea $f$ continua en $[a, b]$ entonces la integral impropia $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente $\Leftrightarrow \exists \space \delta >0 \space tal \space que \space si \space 0<b-x<\delta \space y \space 0<b-x^{‘}<\delta$, entonces:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

La demostración se dejará como ejercicio moral, ya que la demostración es muy similar a la demostración del lema anterior.

Teorema: Sea $f$ una función continua en $[a, b)$ y acotada en $[a, b]$ entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente.

Demostración:

Sea $\epsilon>0$, como $f$ está acotada en $[a, b]$ entonces:

$$\exists \space M \space tal \space que \space |f(x)|\leq M \space \forall \space x \space \epsilon \space [a,b]$$

Tomamos $\delta =\frac{\epsilon }{M}$.

Sea $x, x^{‘}$ tal que si $0<b-x<\delta$ y $0<b-x^{‘}<\delta$, entonces por propiedades de la integral: [Hipervinculo: Calculo II-Propiedad de valor absoluto de la integral menor o igual que la integral del valor absoluto de una funcion]:

$$\bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg| \leq \int_{x^{‘}}^{x}|f(t)|dt \leq \int_{x^{‘}}^{x}Mdt=M|x-x^{‘}<\delta M$$

$$\Rightarrow \bigg| \int_{x^{‘}}^{x}f(t)dt \bigg|<\epsilon$$

$$\forall \space x, x^{‘} \space tal \space que \space \space 0<b-x<\delta \space \space y \space \space 0<b-x^{‘}<\delta$$

Por el lema anterior:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx \space \space converge$$

$\square$

Teorema: Sea $f$ una función continua en $(a, b]$ y acotada en $[a, b]$ entonces $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es convergente.

La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es muy similar a la demostración del teorema anterior.

Teorema: (Criterio de comparación)

Sean $f$ y $g$ dos funciones continuas en $[a, \infty)$ tal que si $0 \leq f(x) \leq g(x) \space \forall \space x \space \epsilon [a, \infty)$, Entonces:

Si $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$ converge entonces $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ converge.

Mientras que si $\int_{a}^{\infty}f(x)dx$ diverge, entonces $\int_{a}^{\infty}g(x)dx$ diverge.

La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es usar las definiciones de límite.

Una aplicación de las integrales impropias en el área de la física, es calcular la velocidad de escape de la superficie de la Tierra. Sabemos que la fuerza gravitacional está dada como:

$$F=G\frac{mM}{r^{2}}$$

Donde $G=6.67\cdot 10^{-11}\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}$ es la constante gravitacional y $M$ la masa de la tierra. Así integramos desde un punto $R$ de la Tierra a la fuerza de gravedad, entonces:

$$\int_{a}^{b} Fdx=\int_{R}^{\infty}G\frac{mM}{r^{2}}dr=GmM\int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}dr=-GmM\left [ \frac{1}{r} \right ]_{R}^{r \to \infty}=G\frac{mM}{R}$$

En ese te caso $R$ es el radio de la Tierra, cuyo valor es $R=6.37\cdot 10^{6}m$, $M=5.98\cdot 10^{24}kg$ es la masa de la Tierra, por lo que:

$$G\frac{mM}{R} \approx m \cdot 6.26 \cdot 10^{7}\frac{Nm}{kg}$$

Para calcular la velocidad de escape, igualamos la fuerza de gravedad con la energía cinética:

$$\frac{1}{2}mv^{2}=G\frac{mM}{R} \Rightarrow$$

$$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}} \approx 11,91 \frac{m}{s}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra el primer lema de esta sección.
  2. Demuestra el segundo lema de esta sección.
  3. Demuestra el teorema del criterio de la comparación.

Utiliza el criterio de la comparación para determinar la convergencia de las siguientes integrales:

  1. $$\int_{1}^{\infty}\frac{1+e^{-x}}{x}dx$$
  2. $$\int_{1}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos algunos teoremas y lemas para la determinación de la convergencia de las integrales impropias, por lo que son útiles en algunos casos para el mismo objetivo. Este tema es el último de esta unidad 5, por lo que comenzaremos a estudiar la unidad 6, en el cual se verán algunas aplicaciones de las integrales.

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