$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Probablemente estés familiarizado con las funciones continuas de los cursos de cálculo (puedes recordar sus propiedades en funciones de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ en la sección Operaciones, Gráficas, Límites y Continuidad). Esta noción se retoma para funciones entre espacios métricos. Diremos que una función entre espacios métricos $X$ y $Y,$ $f:X \to Y$ es continua en un punto $x_0$ de $X$ si para puntos que están «junto a» $x_0$ en $X$, los puntos correspondientes bajo la función $f$ también están junto a $f(x_0).$ Este tipo de funciones nos permite identificar propiedades entre los espacios métricos que relaciona. En esta entrada comenzaremos a explorar algunos resultados. Comencemos con la definición:

Definición. Función continua. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos. Diremos que una función $\phi: X \to Y$ es continua en el punto $x_0 \in X$ si para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x \in X$ si $d_X(x,x_0) < \delta$ entonces $d_Y(\phi(x), \phi(x_0))<\varepsilon.$ Si $\phi:X \to Y$ es continua en cada punto de $A \subset X$, diremos que $\phi$ es continua en $A.$

Si comparas esta definición con la de la entrada anterior, Límite de una función, estarás de acuerdo en que una funcíon $\phi: X \to Y$ es continua en $x_0 \in X$ si
$$\underset{x \to x_0}{lim} \,\phi (x) \,=\phi(x_0).$$

Esta definición se puede expresar en términos de bolas abiertas como sigue: La función $\phi: X \to Y$ es continua en $x_0 \in X$ si para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que $\phi(B_X(x_0,\delta)) \subset B_Y(\phi(x_0),\varepsilon).$ Observa que en la definición de continuidad, a diferencia de la de límite, no se excluye al punto de continuidad $x_0.$

Ejemplos

La función constante
Para cualesquiera dos espacios métricos $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ la función constante $\phi :X \to Y$ tal que para todo $x \in X, \, \phi (x) = c,$ con $c \in Y$, es continua en cualquier punto de $X.$

Demostración:
Sea $\varepsilon >0$ y $\delta =1$ (cualquier valor para delta funciona). Sea $x_0 \in X.$ Entonces si $d_X(x_0,x)<1$ se cumple que $d_Y (\phi(x_0),\phi(x))=d_Y (c,c)=0< \varepsilon.$ Por lo tanto, $f$ es continua en $X.$

Cualquier función que tenga como dominio al espacio discreto es continua.

Demostración:
Considera $(X,d_{disc})$ (el espacio donde un conjunto $X$ tiene a la métrica discreta). Sean $(Y,d_Y)$ espacio métrico y $\phi :X \to Y.$ Sea $\varepsilon > 0$ y sea $x_0 \in X.$ Entonces, si $\delta = 1$ (cualquier delta mayor que cero pero menor igual que $1$ funciona) tenemos:
Si $x \in X$ cumple que $d_{disc}(x_0,x)< \delta$ entonces $x_0 = x\, $ así $\, d_Y(\phi (x_0),\phi(x))=d_Y(\phi(x_0),\phi(x_0))=0< \varepsilon.$ Por lo tanto, $\phi$ es continua en el espacio discreto $X.$

La siguiente proposición expresa la continuidad en términos de sucesiones.
Proposición. La función $\phi: X \to Y$ es continua en $x_0 \in X$ si y solo si para toda sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ que converge en $X$ se cumple que:
$$\underset{n \to \infty}{lim} \, \phi(x_n) \, =\,\phi(\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n).$$ La demostración se deja como ejercicio. Te sugerimos comparar esta proposición con la que concluye el límite de una función a partir de sucesiones vista en Límite de una función.

Las siguientes son propiedades de las funciones continuas:

Proposición. Sean $\phi, \psi: A \subset X \to \mathbb{C}$ funciones continuas en $x_0 \in X$, entonces:

a) $\phi(x) \pm \psi(x)$ es continua en $x_0.$
b) $\phi(x) \psi(x)$ es continua en $x_0.$
c) $\phi(x) / \psi(x)$ es continua en $x_0$ cuando $\psi(x_0) \neq 0$

La demostración se deja como ejercicio.

Proposición. Sean $\phi,\psi : A \subset X \to \mathbb{R}^n$ dos funciones continuas en $x_0 \in X$, entonces:
a)$(\phi \pm \psi)(x)$ es continua en $x_0.$
b)$(\phi \cdot \psi)(x)$ es continua en $x_0.$
c) $\lambda \phi (x)$ con $\lambda \in \mathbb{R}$ es continua en $x_0.$

La demostración se deja como ejercicio.

Antes de continuar, veamos con detenimiento la siguiente:
Definición. Imagen inversa. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos y $f:X \to Y$ una función entre ellos. Si $\, U \subset Y,$ diremos que la imagen inversa del subconjunto $U$, es el conjunto de todos los elementos de $X$ que bajo la función $f$ están en $U.$ Se denota como $f^{-1}(U).$ Formalmente tenemos:
$$f^{-1}(U):= \{x \in X : f(x) \in U\}$$

Nota: Ten cuidado de no confundir el concepto de imagen inversa $f^{-1}(U)$ (que es una forma de definir conjuntos en $X$ a partir de un conjunto en $Y$) con el concepto de la función inversa de $f$ que, aunque también se denota como $f^{-1},$ hace referencia a una función que se evalúa en puntos de $Y$ y solo existe cuando $f$ es biyectiva.

Ahora consideremos un conjunto $U_1 \subset X.$ La función $f$ define en $Y$ el conjunto $f(U_1).$ Si renombramos a este conjunto como $\, U_2 \,$ y buscamos identificar ahora la imagen inversa de este nuevo conjunto, ¿regresaremos al mismo conjunto $\, U_1$ del cual partimos? Observa que, dependiendo la naturaleza de la función, es posible que la imagen inversa nos arroje un conjunto más grande que el $\, U_1 \,$ inicial, sin embargo $\, U_1 \,$ estará contenido.

Esto ocurre porque es posible que haya puntos en $\, U_2 \,$ que son igualmente asignados por la función $f$ para puntos fuera de $\, U_1.$

¿Bajo qué condiciones no pasaría esto?

Ahora que estamos más preparados para no caer en la «trampa» de las imágenes inversas, terminemos esta sección con las siguientes propiedades de las funciones continuas:

Proposición. Sean $X$ y $Y$ espacios métricos y $\phi:X \to Y$ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) $\phi: X \to Y$ es continua.
b) Para todo subconjunto abierto $U \subset Y$, $\phi^{-1}(U)$ es un conjunto abierto en $X.$
c) Para todo subconjunto cerrado $V \subset Y$, $\phi^{-1}(V)$ es un conjunto cerrado en $X.$

Demostración:
Para probar a) $\Rightarrow$ b) considera $U \subset Y$ abierto y $\, x \in \phi^{-1}(U).$ Entonces existe $\varepsilon >0$ tal que $B_Y(\phi(x), \varepsilon) \subset U$, pues $U$ es abierto. Como $\phi$ es continua en $x$, entonces existe $\, \delta >0$ tal que $\phi (B_X(x, \delta)) \subset B_Y(\phi(x), \varepsilon) \subset U.$ Por lo tanto $B_X(x, \delta)) \subset \phi^{-1}(U) \,$ lo que demuestra que $\phi^{-1}(U)$ es un conjunto abierto en $X.$

Para probar b) $\Rightarrow$ c) considera $V \subset Y$ cerrado. Entonces $Y \setminus V$ es abierto en $Y.$ Así $\phi ^{-1}(Y \setminus V)$ es abierto en $X$ de modo que $X \setminus \phi ^{-1}(Y \setminus V)$ es cerrado en $X.$
Nota que $\phi^{-1}(V)=X \setminus \phi ^{-1}(Y \setminus V)$ pues $x \in \phi^{-1}(V) \,$ $\Leftrightarrow$ $\phi(x) \in V$ $\Leftrightarrow$ $\phi(x) \notin (Y \setminus V)$ $\Leftrightarrow$ $x \notin \phi ^{-1}(Y \setminus V)$ $\Leftrightarrow$ $x \in X \setminus \phi ^{-1}(Y \setminus V).$ Por lo tanto $\phi^{-1}(V)$ es cerrado en $X.$

Para probar c) $\Rightarrow$ a) considera $x \in X.$ Sea $\varepsilon>0$ entonces la bola $B_Y(\phi(x),\varepsilon)$ es abierto por lo tanto su complemento $Y \setminus B_Y(\phi(x),\varepsilon)$ es cerrado. Por hipótesis, la imagen inversa dada por $\phi^{-1}(B_Y(\phi(x),\varepsilon))$ es un conjunto cerrado en $X.$ En consecuencia el complemento de $\phi^{-1}(B_Y(\phi(x),\varepsilon))$ es un conjunto abierto en $X$ que tiene a $x$ como elemento. Llamemos $U$ a este conjunto.

Como $U$ es abierto, existe $\delta>0$ tal que $B_X(x,\delta) \subset U.$ Por lo tanto la imagen $f(B_X(x,\delta)) \subset B_Y(\phi(x),\varepsilon)$ lo que prueba que la función $\phi$ es continua en $x.$ Como $x$ fue arbitrario, se concluye que $\phi$ es continua en el espacio $X.$

Más adelante…

Veremos cómo la existencia de funciones continuas entre dos espacios muestra propiedades que se conservan en ambos. Ya no hablaremos solo de la cercanía a los puntos, sino que haremos esa distancia más específica y comparable a la registrada en el espacio del dominio. Conoceremos así a los espacios isomorfos y homeomorfos.

Tarea moral

1. Demuestra que la función $\phi: X \to Y$ es continua en $x_0 \in X$ si y solo si para toda sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que converge en $X$ se cumple que:
   $$\underset{n \to \infty}{lim} \, f(x_n) \, =\,f(\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n).$$
2. Demuestra que si $\phi, \psi: A \subset X \to \mathbb{C}$ son funciones continuas en $x_0 \in X$, entonces:
   a) $\phi(x) \pm \psi(x)$ es continua en $x_0.$
   b) $\phi(x) \psi(x)$ es continua en $x_0.$
   c) $\phi(x) / \psi(x)$ es continua en $x_0$ cuando $\psi(x_0) \neq 0$
3. Demuestra que si $\phi,\psi : A \subset X \to \mathbb{R}^n$ son dos funciones continuas en $x_0 \in X$, entonces:
   a)$(\phi \pm \psi)(x)$ es continua en $x_0.$
   b)$(\phi \cdot \psi)(x)$ es continua en $x_0.$
   c) $\lambda \phi (x)$ con $\lambda \in \mathbb{R}$ es continua en $x_0.$
4. Usa la última proposición de esta sección para probar que cualquier función que tenga como dominio al espacio discreto es continua.
5. ¿Es posible concluir que cualquier función que tenga como contradominio al espacio discreto es continua?

Bibliografía

• Apostol, T., Análisis Matemático (2a ed.). México: Editorial Reverté, 1996. Págs: 95-100.
• Bartle, R.G., The Elements of Real Analysis. New York: J. Wiley, 1964. Págs: 146-152.
• Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Págs: 32, 42 y 45-46.
• Jost, J., Postmodern Analysis (3rd ed.). New York: Springer-Verlag, 2005. Págs: 79-87.
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw–Hill, 1953. Págs: 85-88.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Guía de notación para Análisis Matemático I
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Es momento de interactuar entre dos espacios métricos, $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$, cada uno con su respectivo conjunto de puntos y métrica definida en ellos. Podemos relacionar puntos del espacio métrico $X$ con puntos en el espacio métrico $Y.$ Será natural preguntarse qué ocurre con las distancias en el nuevo espacio métrico, en comparación con el de origen. Considera la siguiente:

Definición. Imagen de un conjunto. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Si $A \subset X$ y $f: X \to Y$ es una función, entonces $f \,$ define un conjunto en $Y$ dado por $f(A):=\{f(x)|x\in A\}$, que llamaremos la imagen de $A$ bajo $f \,$ y es la colección de elementos que se le asignan a cada elemento de $A.$

Ahora preguntamos: ¿bajo qué circunstancias una función envía puntos de $A \subset X$ a puntos en $Y$ que se aproximan a algún punto $L \in Y$?

Si $x_0$ es un punto de acumulación en $A$, por definición, todas sus bolas abiertas tienen elementos en $A$ distintos de $x_0.$ Podemos así, identificar puntos cercanos a $x_0$, según la distancia $d_X$, que bajo la función $f$ sean enviados a puntos en $Y$ que estén cerca de un punto $L$, según la distancia $d_Y.$
Como los puntos cerca de $L$ en $(Y,d_Y)$ son los que están en la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $L,$ se busca conseguir que los puntos cerca de $x_0$ caigan justamente en $B_Y(L,\varepsilon).$ (El subíndice $Y$ en $B_Y$ nos recuerda en qué espacio métrico es considerada la bola abierta. Recuerda que pueden ser diferentes, según la métrica a la que se refiera).

De manera formal tenemos la siguiente:

Definición. Límite de una función. Sea $f: X \to Y$ una función entre espacios métricos y $x_0$ un punto de acumulación de $A.$ Decimos que el límite de $f$, cuando $x$ tiende al punto $x_0$ es $L \in Y$, si ocurre que para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $x\neq x_0, \text{ si } d_X(x,x_0)< \delta$ entonces $\, d_Y(f(x),L)<\varepsilon.$ Se denota como:
$$\underset{x \to x_0}{lim} \,f(x) \,:=L$$
Se dice entonces que $f(x) \to L$ cuando $x \to x_0.$

Esta definición se puede expresar en términos de bolas abiertas como sigue: $\, \underset{x \to x_0}{lim} \,f(x) \,=L \,$ si para todo $\varepsilon >0$ existe $\delta > 0$ tal que $f(B_X(x_0,\delta) \setminus \{x_0\}) \subset B_Y(L,\varepsilon).$

Veamos un resultado que nos permite concluir límites a partir de sucesiones.

Proposición. Considera $A \subset X$ y $x_0 \in A$ un punto de acumulación en $A.$ Entonces $$\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \,=L$$ si y solo si para toda sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A \setminus \{x_0\}$ tal que $x_n \to x_0$ ocurre que $$\underset{n \to \infty}{lim} \, f(x_n) \,=L.$$
Demostración:
Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $A \setminus \{x_0\}$ que converge a $x_0 \,$ y sea $\varepsilon >0.$ Como $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \,=L$ entonces existe $\delta>0$ tal que para todo $x\neq x_0, \text{ si } d_X(x,x_0)< \delta \,$ entonces $\, d_Y(f(x),L)<\varepsilon.$

Como $(x_n) \to x_0$, entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $ \, n\geq N, \, d_X(x_n,x_0)< \delta$, así para todo $ \, n \geq N, \, d_Y(f(x_n),L) < \varepsilon$ por lo tanto $f(x_n) \to L\, $ en $\, Y.$

Las siguientes proposiciones son propiedades de límites de funciones en los espacios métricos mencionados:

Proposición. Sea $z \in \mathbb{C}$ con $z = a+bi$ donde $a,b \in \mathbb{R}.$ La métrica usual en los complejos es la inducida por la norma:
$$\norm{z}:= \sqrt{a^2+b^2}.$$
Sean $f:A \to \mathbb{C}$ y $g:A \to \mathbb{C}.$ Si se definen
Si se definen la suma de funciones como
$$(f+g)(x):=f(x)+g(x)$$
y el producto de funciones como
$$(f g)(x):=f(x)g(x)$$
entonces, si $x_0 \,$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x \to x_0}{lim}\, f(x) \,=L_1 \,$ y $\, \underset{x \to x_0}{lim}\, g(x) \,=L_2$, se tiene que:

a) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \pm g(x) \,=L_1 \pm L_2.$
b) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x)g(x) \,=L_1 L_2.$
c) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) / g(x) \,=L_1 / L_2$ cuando $L_2 \neq 0.$

La demostración se deja como ejercicio.

Proposición. Sean $f,g: A \subset X \to \mathbb{R}^n\, $ Si se definen la suma de funciones como
$$(f+g)(x):=f(x)+g(x)$$
y el producto punto (o producto escalar) como
$$(f \cdot g)(x):=f(x) \cdot g(x)$$
entonces, si $x_0 \,$ es un punto de acumulación en $A$ y $\underset{x \to x_0}{lim}\, f(x) \,=L_1 \,$ y $\, \underset{x \to x_0}{lim} \,g(x) \,=L_2$, se tiene que:

a) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \pm g(x) \,=L_1 \pm L_2.$
b) $\underset{x \to x_0}{lim} \, f(x) \cdot g(x) \,=L_1 \cdot L_2.$
c) $\underset{x \to x_0}{lim} \, \lambda f(x) \,= \lambda L_1 \,$con $\,\lambda \in \mathbb{R}.$

La demostración se deja como ejercicio.

Más adelante…

Nota que no hemos evaluado la función en $x_0,$ la definición no necesita siquiera que la función esté definida ahí. La próxima vez veremos el caso en que la función sí está definida en $x_0 \in A \subset X$ y más aún, tiene como límite al punto $f(x_0).$ Hablaremos así de funciones continuas en un punto $x_0$ y observaremos el efecto que estas funciones producen en subconjuntos abiertos y cerrados de un espacio métrico.

Tarea moral

1. Demuestra las dos proposiciones anteriores.

Bibliografía

• Apostol, T., Análisis Matemático (2a ed.). México: Editorial Reverté, 1996. Págs: 90-94.
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw–Hill, 1953. Págs: 83-85.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Guía de notación para Análisis Matemático I
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En esta entrada vamos a ver una forma de definir distancias (sí, de nuevo) pero ahora no directamente entre los elementos de un conjunto, sino entre los subconjuntos de un espacio métrico. Entonces, los subconjuntos pasarán a ser vistos como elementos de un nuevo espacio con cierta métrica. Al final haremos sucesiones de conjuntos. Descubriremos bajo qué condiciones estas sucesiones de conjuntos convergen. Será emocionante descubrir que dos conjuntos están cerca uno de otro, cuando son muy parecidos entre sí (en forma y tamaño).

El contenido a exponer se basa predominantemente en el libro «A course in Metric Geometry», escrito por Dmitri Burago, Yuri Burago y Sergei Ivanov (páginas 252 y 253). Omitiremos las demostraciones de las proposiciones, pues no son parte de los objetivos del curso. El lector puede consultarlas en el libro mencionado si así lo desea.

Visualiza la unión de todas las bolas de radio $\varepsilon.$ Definimos el conjunto $U_\varepsilon(A) := \underset{x\in A}{\cup}B(x,\varepsilon).$ Nota que este conjunto contiene al conjunto $A.$

Asímismo, todos los elementos de $U_\varepsilon(A)$ distan en menos que $\varepsilon$ a algún elemento de $A$, pues están en una de las bolas de radio $\varepsilon.$

Pensemos ahora en los conjuntos definidos de esta forma en $A$ pero buscando que también contengan a un conjunto $B \subset X$

Se puede dar el caso en que aunque $U_\varepsilon(A)$ contiene a $A,$ no contiene al conjunto $B.$

Identificando valores para $\varepsilon >0$ suficientemente grandes, se logra la contención deseada:

Podemos identificar al ínfimo de los $\varepsilon$´s $>0$ y encontrar así un conjunto $U_{\varepsilon´´}(A)$ más ajustado pero que sigue conteniendo a ambos conjuntos.

Análogamente, vamos a identificar los conjuntos $U_\varepsilon(B)$ que también contienen a $A.$

Se puede dar el caso en que aunque $U_\varepsilon(B)$ contiene a $B,$ no contiene al conjunto $A.$

Identificando valores para $\varepsilon >0$ suficientemente grandes, se logra la contención deseada:

Podemos identificar al ínfimo de los $\varepsilon$´s $>0$ y encontrar así un conjunto $U_{\varepsilon´´}(B)$ más ajustado pero que sigue conteniendo a ambos conjuntos.

Si seleccionamos al ínfimo de los $\varepsilon$’s tales que ambos conjuntos quedan contenidos de la forma $A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A).$ Podemos definir la distancia de Hausdorff entre $A$ y $B$ como ese ínfimo. Formalmente:
$$d_H(A,B) := inf \{\varepsilon>0 \, | \, A \subset U_\varepsilon(B) \, \text{ y }\, B \subset U_\varepsilon(A) \}$$

Sean $A\subset X, \,$ $B\subset X$ y $\varepsilon >0.$ Si definimos $\text{dist}(a,B) := \underset{b \in B}{inf} \, d(a,b)$ para cada $a \in A$ y análogamente $\text{dist}(b,A) := \underset{a \in A}{inf} \, d(a,b)$ para $b \in B$ entonces las siguientes son propiedades de la distancia de Hausdorff.

a) $d_H(A,B) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,B),\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,A)\}.$

b) $d_H(A,B) \leq \varepsilon$ si y solo si para todo $a \in A,$ $\text{dist}(a,B) \leq \varepsilon$ y para todo $b \in B, \, \text{dist}(b,A) \leq \varepsilon.$ Esto puede no ocurrir si cambiamos «$\leq$» por «$<$».

Anteriormente hemos hablado de la definición de una función acotada (Espacios de funciones) y de una sucesión acotada (Convergencia), veamos esta definición de un modo más general:

Proposición. Si $(X,d)$ es un espacio métrico, entonces $d_H$ define una métrica en el conjunto de conjuntos cerrados y acotados $\mathcal{M}(X):=\{F \subset X: F \text{ es cerrado y acotado}\}.$ (En el libro de Burago la métrica puede tomar el valor infinito, en ese sentido $d_H \,$ también sería una métrica en el conjunto de los subconjuntos cerrados de $X$, incluyendo los no acotados).

Eso significa que $A,B \in \mathcal{M}(X)$ cumplen:

1) $d_H(A,B)=0$ si y solo si los conjuntos son iguales. En este caso tendremos que para todo $\varepsilon>0$ $A \subset U_\varepsilon(B)$ y $B \subset U_\varepsilon(A).$ Además $U_\varepsilon(B)=U_\varepsilon(A).$

2) La propiedad de simetría en espacios métricos dice que $d_H(A,B) = d_H(B,A)$

3) Se cumple la desigualdad del triángulo entre conjuntos: $$d_H(A,B) \leq d_H(A,C) + d_H(C,B).$$
Para fines ilustrativos de esta propiedad recordemos que:
$d_H(A,B) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,B),\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,A)\}.$
$d_H(A,C) = max\{\underset{a \in A}{sup} \, \text{dist}(a,C),\underset{c \in C}{sup} \, \text{dist}(c,A)\}.$
$d_H(B,C) = max\{\underset{b \in B}{sup} \, \text{dist}(b,C),\underset{c \in C}{sup} \, \text{dist}(c,B)\}.$
La imagen siguiente representa esas distancias.

A continuación, visualizaremos ejemplos de sucesiones en el espacio métrico de Hausdorff. Entonces los elementos de las sucesiones serán conjuntos cerrados y acotados.
Si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión de conjuntos de un espacio métrico y $A_n \to A$ en la métrica de Hausdorff, entonces $d_H(A_n,A) \to 0$ en $\mathbb{R}.$ Eso significa que los conjuntos indicados por la sucesión no solo se van a acercar (en posición, si podemos pensarlo así) al conjunto $A$, sino que se van a ver como éste (pues cuando $d_H =0$ los conjuntos son iguales).

La sucesión presentada muestra estrellas de la misma forma y tamaño pero distinta posición en $\mathbb{R}^2$ cada vez más grandes pero proporcionales entre sí. Para cada $n \in \mathbb{N}$ la estrella $A_n$ tiene su centro en el punto $(\frac{1}{n},0).$ Entonces la sucesión $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ converge a la estrella con centro en $(0,0).$

La sucesión de huellas de perrito muestra manchas cada vez más pequeñas que convergen a las manchas verdes.

Tenemos una sucesión de «conos» $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ definida como sigue: para cada $n \in \mathbb{N}$ el cono $A_n$ tiene su centro en $(0,\frac{-3}{n},0)$, altura $\frac{2}{n}$ y radio $1.$ Entonces los conos ven disminuída su altura hasta llegar a $0$ mientras que el centro se desplaza al origen. Finalmente convergen al círculo unitario en el plano horizontal.

Formalmente, tenemos los siguientes:

Ejemplos de sucesiones de conjuntos en espacios euclidianos que convergen a un conjunto $A$ en el espacio de Hausdorff.

Para cada $n \in \mathbb{N}$ considera en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^2$ el conjunto $A_n := \overline{B}(0,1+\frac{1}{n}).$ Entonces $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ es una sucesión en el espacio de Hausdorff que converge al conjunto $A:=\overline{B}(0,1).$

Como sugerencia, puedes demostrar que la medida del apotema vista como $\, cos \alpha \,$ tiende a $1$ en $\mathbb{R}.$

La siguiente sucesión muestra cilindros en $\mathbb{R}^3.$

Ahora presentaremos algunas condiciones que garantizan la convergencia en sucesiones de conjuntos. En la última se menciona la noción de compacidad, concepto del que se hablará más adelante, a partir de la entrada Compacidad en espacios métricos. Por el momento podemos imaginar el resultado en espacios euclidianos, donde los compactos son los conjuntos cerrados y acotados.

Proposición. Sea $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $\mathcal{M}(X)$ tal que $A_n \to A$ en $\mathcal{M}(X).$ Entonces:

a) $A$ es el conjunto de límites de todas las sucesiones convergentes $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$ tales que para toda $n \in \mathbb{N}, \, a_n \in A_n.$

b) El conjunto al que converge la sucesión está dado por: $A = \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} (\overline{\underset{m \geq n}{\cup} A_m}).$

Esto significa que en cada iteración, vamos a considerar la cerradura de la unión de todos los conjuntos, exceptuando los de las primeras posiciones (según la iteración en la que vayamos). Esto define nuevos conjuntos, cuya intersección es el conjunto al que la sucesión converge.

La intersección de todos los conjuntos de este estilo es el conjunto al que la sucesión converge:

Proposición. Sea $(X,d)$ un espacio métrico compacto y $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de subespacios compactos en él, entonces:
a) Si $A_{n+1} \subset A_n$, entonces $A_n \to \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n$ en $\mathcal{M}(X).$

b) Si para todo $n \in \mathbb{N}, \, A_n \subset A_{n+1}$, entonces $A_n \to \overline{\underset{n \in \mathbb{N}}{\cup}A_n}$ en $\mathcal{M}(X).$

Más adelante…

Ya que hemos estudiado algunas propiedades en un espacio métrico, comenzaremos a relacionar un espacio con otros a través de funciones. Veremos bajo qué circunstancias es posible hablar de “cercanía” en puntos del contradominio cuando se parte de puntos cercanos en el espacio métrico del dominio.

Tarea moral

1. Describe las características de las sucesión definida como:
   $A_1=[0,1]$
   $A_2=[0,1] \setminus (\frac{1}{3},\frac{2}{3})=[0,\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},1],$
   $A_3=[0,\frac{1}{3}] \setminus (\frac{1}{9},\frac{2}{9}) \cup [\frac{2}{3},1]\setminus (\frac{7}{9},\frac{8}{9})=[0,\frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9},\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3},\frac{7}{9}] \cup[\frac{8}{9},1]$
   Y así, recursivamente, se va quitando la tercera parte central, de cada intervalo que quedaba. La intersección de estos conjuntos es conocido como el conjunto de Cantor. ¿Bajo qué resultados mencionados en esta entrada podemos concluir la convergencia de la sucesión?
2. El copo de nieve de Koch es la curva a la que converge una sucesión definida como sigue:
   $A_1$ es un triángulo equilátero.
   $A_2$ sustituye la tercera parte central de cada lado por dos aristas de la misma medida.
   $A_3$ Hace lo mismo. Se repite el proceso recursivamente
   ¿Qué puedes decir del área encerrada por las curvas a medida que la sucesión aumenta? ¿Hay condiciones suficientes para concluir la convergencia de estos conjuntos?
3. Demuestra la convergencia en el espacio de Hausdorff de la sucesión de polígonos circunscritos descrita anteriormente.
4. Demuestra la convergencia en el espacio de Hausdorff de la sucesión de cilindros expresada anteriormente.

Bibliografía

• Burago, D., Burago, Y., Ivanov, S., A course in Metric Geometry. Graduate Studies in Mathematics, 33. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2001. Págs: 252 y 253.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Guía de notación para Análisis Matemático I
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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Ante el modelado de situaciones, resulta útil identificar qué tan lejos está un objeto de convertirse en otro. Si se identifica una secuencia o patrón entre una situación y la siguiente, posiblemente se pueda comprobar que, tras varios cambios, nos aproximaremos a algún resultado específico. El Análisis Matemático ofrece herramientas que formalizan este estudio. En la sección que a continuación presentamos trabajaremos más con la noción de cercanía a través de distancias que van tendiendo a cero. Esta vez lo haremos con una sucesión que toma elementos del espacio métrico. Se verá bajo qué condiciones estos puntos se acercan cada vez más a cierto punto en el espacio métrico. Comencemos con la siguiente:

Definición. Sucesión. Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que una función $(x_n): \mathbb{N} \to X$ es una sucesión en $X$.

Podemos pensar entonces que una sucesión elige, para cada número natural $n$, un elemento $x_n$ del conjunto $X$ (que es como vamos a denotar el valor de la sucesión en el término $n).$ La sucesión es comúnmente denotada como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ o simplemente como $(x_n).$

¿Bajo qué condiciones podemos decir que la sucesión se aproxima cada vez más a cierto punto $x$ en $(X,d)$? Para que esto ocurra se espera que, siempre que se fije una distancia $\varepsilon >0$ como referencia, se pueda asegurar que los últimos elementos de la sucesión, tengan una distancia al punto $x$ menor que $\varepsilon$, es decir, que exista un número natural $N \,$ de modo que todos los puntos asignados por la sucesión a partir de la posición $N$, estén “dentro” de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $x$, el punto de convergencia. De manera formal, tenemos la:

Definición. Sucesión convergente. Vamos a decir que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $(X,d)$ si existe $x \in X$ tal que para todo $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$ ocurre que $d(x_n,x)<\varepsilon$.

Si es así, diremos que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge a $x$ y se indicará en la notación como:
$$x_n \to x$$
o como:
$$\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n =x$$
Nota: $x_n \to x \text{ en } X \iff d(x_n,x) \to 0 \text{ en } \mathbb{R}$.
Si la sucesión no es convergente decimos que es divergente.

Ahora veamos que una sucesión no puede converger a dos puntos diferentes:

Proposición. Si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión convergente en $X$ entonces el límite $\underset{n \to \infty}{lim} \, x_n \,$ es único.
Demostración:
Supongamos que $x_n \to x_a \,$ y $\, x_n \to x_b \,$ en $X$. Sea $\varepsilon>0$. Siguiendo la definición de convergencia se tiene que para todo $\frac{\varepsilon}{2} >0$ existen números naturales $N_a\, $ y $\, N_b\, $ tales que para todo $n\geq N_a, \, d(x_n,x_a)< \frac{\varepsilon}{2}$ y para todo $n\geq N_b, \, d(x_n,x_b)< \frac{\varepsilon}{2}$. Si elegimos $N = max\{N_a,N_b\}$ las dos condiciones anteriores se satisfacen. Entonces, para toda $n\geq N$,
$0 \leq d(x_a,x_b) \leq d(x_a,x_n)+d(x_n,x_b) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}= \varepsilon$
Nota entonces que para todo $ \, \varepsilon >0,$ la distancia entre $x_a$ y $x_b$ queda acotada por $0 \leq d(x_a,x_b) < \varepsilon.$
En conclusión, $d(x_a,x_b)=0$, por lo tanto los puntos de convergencia son iguales.

Es importante mencionar que la convergencia de una sucesión depende tanto de la métrica como del conjunto a considerar. Una sucesión puede ser convergente en un espacio métrico pero no serlo en otro. Por ejemplo, la sucesión que a cada natural $n$ le asigna el número $\frac{1}{n}$ cumple que $(\frac{1}{n}) \to 0$ en $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana, pero en el subespacio euclidiano $(0,1]$ no es convergente, pues $0$ no está en el subespacio.

Definición. Subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}.$ Una subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una composición de la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ con una función estrictamente creciente, $k:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$.
Esto significa que una subsucesión tomará elementos en $X$ de la sucesión, en el mismo orden en que aparecen, aunque es posible que vaya descartando algunos.

Hay una relación entre el límite de una sucesión y los de sus subsucesiones:

Proposición. Una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$ si y solo si toda subsucesión $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $x$ en $X$.

Demostración:
Sea $(x_{k(n)})_{n \in \mathbb{N}} \,$ una subsucesión de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Como $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x) < \varepsilon$. Ya que $k: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ es estrictamente creciente, tenemos que para todo $j \geq N, \, k(j) \geq k(N) \geq N$. Así, $d(x_{k(j)},x)< \varepsilon$, lo cual demuestra que $(x_{k(n)}) \to x$. El regreso es trivial, pues es posible definir una subsucesión como la sucesión misma.

Definición. Sucesión acotada. Diremos que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ en $X$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x \in X$ tales que para todo $ \, n \in \mathbb{N}$ ocurre que $d(x,x_n) \leq M$.
Esto significa que una sucesión es acotada si todos los puntos $x_n,$ con $n \in \mathbb{N}$ están en una bola abierta con centro en algún punto $x$ del espacio métrico.

¿Es posible concluir que una sucesión es convergente si sabemos que se trata de una sucesión acotada? Al final se te propondrá dar un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente.
En contraparte, tenemos la siguiente:

Proposición. Toda sucesión convergente es acotada.

Demostración:
Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión que converge a $x$ en $X$. Buscamos «encerrar» todos los puntos de la sucesión en una bola abierta. Si suponemos $\varepsilon = 1$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N, \, d(x_n,x)<1$. Hasta aquí ya logramos «encerrar» todos los puntos de la sucesión a partir de $x_N$.

Para encerrar los elementos que van antes en la sucesión, considera las distancias entre $x$ y cada uno de esos puntos como $d_i := d(x_i,x), \, i=1,…,N-1$.

Si hacemos $M = max\{d_1,…,d_{N-1},1\}, \,$ se consigue que para todo $n \in \mathbb{N}, \, d(x_n,x)<M$ con lo cual se demuestra que la sucesión es acotada.

Los últimos resultados que expondremos en esta entrada son muy importantes, en el sentido en que suele acudirse a ellos para otras demostraciones. Te sugerimos tenerlos presentes.

Proposición. Si $x_n \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\} \,$ (el conjunto de elementos de la sucesión).
Según la definición, basta con demostrar que toda bola abierta de radio $\varepsilon >0$ con centro en $x$ interseca al conjunto $\{x_n\}$. La demostración se deja como ejercicio.

Proposición. Sea $A \subset X$ y $x \in X$. Entonces $x \in \overline{A}$ si y solo si existe una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ en $A$ tal que $x_n \to x$ en $X$.

Demostración:
El regreso se concluye a partir de la proposición anterior.
Si $x \in \overline{A}$ entonces todas las bolas abiertas con centro en $x$ intersecan al conjunto $A$. Así, para cada $n \in \mathbb{N}$, podemos elegir un punto $x_n \in B(x, \frac{1}{n}) \cap A$. Como $d(x,x_n)< \frac{1}{n} \to 0$ en $\mathbb{R}$, se concluye que $x_n \to x$ en $X$.

Más adelante…

Tendremos un acercamiento a un espacio métrico cuyos elementos son los subconjuntos cerrados de otro espacio métrico. Al definir la distancia entre estos subconjuntos cerrados veremos que, si una sucesión de ellos converge, entonces lo hace en un subconjunto cerrado. Ya que eso significa que la distancia tiende a cero, y la distancia entre dos elementos es cero cuando son iguales, podemos esperar que los subconjuntos de la sucesión se parecerán cada vez más, al subconjunto al cual convergen.

Tarea moral

1. Prueba que si $(x_n) \to x$ en $X$ entonces $x$ es un punto de contacto del conjunto $\{x_n \,|n \in \mathbb{N}\}$.
2. Demuestra que una sucesión constante converge.
3. ¿Puede una sucesión ser convergente en el espacio discreto? ¿Bajo qué condiciones?
4. Da un ejemplo de una sucesión en $\mathbb{Q}$ que converge en $\mathbb{R}$ pero no en $\mathbb{Q}$.
5. Sea $A \subset X$. Demuestra que $x$ es un punto interior de $A$ si y solo si para toda $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que converge a $x$ en $X$, existe $N>0$ tal que para todo $ \, n \geq N, x_n \in A$.
6. Demuestra que $x \in X$ es un punto frontera de $A \subset X$ si y solo si existen sucesiones $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $A$ y $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X\setminus A$ que convergen a $x$.
7. Demuestra que si la imagen de una sucesión es finita entonces la sucesión es convergente.
8. Da un ejemplo de una sucesión acotada que no sea convergente.

Bibliografía

• Apostol, T., Análisis Matemático (2a ed.). México: Editorial Reverté, 1996. Págs: 85-88.
• Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Págs: 43-45.
• Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. (2a ed.). Moscú: Editorial MIR, 1975. Págs: 62,63.
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw–Hill, 1953. Págs: 47-52.

Enlaces

• Análisis Matemático.
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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En las entradas anteriores hablamos de métricas definidas en distintos conjuntos. Trabajamos a partir de las distancias entre elementos representados como puntos. La mayoría de estos ejemplos fueron sobre el conjunto $\mathbb{R}^n$ pero, ¿será posible considerar como elementos objetos, aparentemente más complejos? Observemos ahora conjuntos de funciones y veamos si es posible definir una métrica entre ellas.

Considera el conjunto $\mathcal{C}^0[a,b]$, que es el conjunto de funciones continuas que van del intervalo $[a,b] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Sean $f,g \in \mathcal{C}^0[a,b]$. La suma de funciones y el producto de una función por un escalar para $\lambda \in \mathbb{R}$ están definidos como:

\begin{align*}
(f+g)(x)&:= f(x)+g(x)\\
(\lambda f)(x)&:= \lambda f(x)
\end{align*}

Estas operaciones nos permiten considerar $\mathcal{C}^0[a,b]$ como un espacio vectorial. Las normas comúnmente usadas en este espacio son:

$$\norm{f}_p:= \left(\int_{a}^{b} |f(x)|^p \,dx \right)^{1/p} , \text{si } p \in [1,\infty),$$

$$\norm{f}_\infty:= \underset{a \leq x \leq b}{max}\, |f(x)|$$

En la sección de Espacios normados pudimos observar que una norma induce una métrica en un espacio vectorial. Es importante observar que la distancia entre funciones puede ser diferente según la métrica que se considere. Como ejemplo, para cada $k \in \mathbb{N}, \,$ consideremos las funciones en $\mathcal{C}^0[0,1]$ definidas como:

\begin{align*}
f_k(x) &:= \left\{ \begin{array}{lcc}
1-kx & si & 0\leq x \leq \frac{1}{k}\\
0 & si & \frac{1}{k} \leq x \leq 1
\end{array}
\right.\\
g(x)&:= 0, \forall x \in [0,1]
\end{align*}

A continuación visualizamos el comportamiento de $f_k(x)$ para $k=1,2,3.$

Mientras que la función $g$ permanece sobre el eje horizontal.

Si calculamos la distancia entre $f_k(x)$ y $g(x)$ inducida por la norma $||\cdot||_\infty$, podemos ver que $\forall \, k \geq 1$

\begin{align*}
||f_k(x)-g(x)||_\infty &= \underset{0\leq x \leq 1}{max} \, |f_k(x)-g(x)|\\
&= \underset{0\leq x \leq \frac{1}{k}}{max} \, |1-kx-0| \\
&= \underset{0\leq x \leq \frac{1}{k}}{max} \, |1-kx|\\
&= 1
\end{align*}

Pero si consideramos $||\cdot||_p$ para $p=1$
\begin{align*}
\norm{f_k(x)-g(x)}_1&=\norm{f_k(x)-0}_1\\
&=\norm{f_k(x)}_1\\
&= \int_{0}^{1} |f(x)| \,dx\\
&= \int_{0}^{1/k}1-kx\\
&=\dfrac{1}{2k}
\end{align*}

De modo que cuando $k \to \infty, \norm{f_k(x)-g(x)}_1 \to 0$

Esto muestra que la distancia entre dos funciones puede variar, considerablemente, al variar también la métrica usada.

Comentarios antes de la proposición

Nota que en el ejemplo anterior las funciones son acotadas, como lo son en general las funciones de $\mathcal{C}^0[a,b]$, pues son continuas en un intervalo cerrado en $\mathbb{R}$. ¿Qué pasa si alguna de las funciones no es acotada?

¿Qué pasa si $f \text{ y }g$ son acotadas pero no necesariamente son continuas?
Sean $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ y $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ tales que para todo $ \, x\in [a,b], |f(x)|\leq M_f \text{ y } |g(x)| \leq M_g$ para $M_f, M_g \in \mathbb{R}$ Entonces:
\begin{align*}
|f(x)-g(x)|&=|f(x)+(-g(x))|\\
&\leq|f(x)|+|g(x)|\\
&\leq M_f + M_g
\end{align*}

Se concluye que el conjunto $\{|f(x)-g(x)|: x \in [a,b]|\}$ es acotado y por tanto aquí sí podemos hablar del supremo.

Recordemos que en la entrada Espacios métricos mostramos esta distancia para el conjunto $\mathcal{B}(A,\mathbb{R})$ (el conjunto de funciones acotadas con dominio $A$ y contradominio $\mathbb{R}.$ Puedes verificar que $f$ y $g$ satisfacen ser acotadas bajo la definición en esa sección.

Podemos pensar que, para generalizar esta distancia entre funciones cuyo contradominio sea cualquier espacio métrico, basta con que esa distancia esté acotada. Veamos lo siguiente:

Definición. Función acotada. Sea $S$ un conjunto no vacío y $X=(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que una función $f:S \to X$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x_0 \in X$ tales que para todo $ \, y \in S$ ocurre que $d(f(y),x_0) \leq M$. El conjunto de funciones acotadas de $S$ en $X$ se denota como:
$$\mathcal{B}(S,X):= \{ f:S \to X:f \text{ es acotada}\}$$.

2) \begin{align*}
d_\infty (f,g)&=\underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))\\
&=\underset{z\in S}{sup}\,d(g(z),f(z)) \\
&=d_\infty(g,f).\\
\text{Por lo tanto: } d_\infty(f,g)&=d_\infty(g,f)
\end{align*}

3) \begin{align*}
d_\infty(f,g)&=\underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))\\
&\leq \underset{z\in S}{sup}\,\{d(f(z),h(z))+d(h(z),g(z))\}\\
&\leq \underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),h(z)) + \underset{z\in S}{sup}\,d(h(z),g(z))\\
&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g)\\
\text{Por lo tanto: }d_\infty(f,g)&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g).
\end{align*}

Ejemplos de espacios de funciones

Veamos ejemplos de espacios de funciones y analicemos la cercanía entre ellas. Recordemos que esto lo hacemos a través de las bolas abiertas con centro en un elemento del espacio métrico. En este caso, el centro es una función.

De manera general si consideramos como centro una función $f$ la bola de radio $1$ está dada por $\{h: |h(x)-f(x)|<1,x \in [0,1]\}$. Entonces, una gráfica $h$ que esté en $B(f,1)$ debe satisfacer que para todo $ x \in [0,1], -1<h(x)-f(x)<1$ es decir para todo $ x \in [0,1], f(x)-1<h(x)<f(x)+1$.

Funciones continuas del intervalo $[0,1]$ en $\mathbb{R}^2$
Consideremos a $\mathbb{R}^2$ con la métrica euclidiana y al conjunto
$$\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}^2) := \{f:[0,1] \to \mathbb{R}^2 \, | \, f \text{ es continua}\}.$$
Una función en este conjunto se representa como una curva continua en $\mathbb{R}^2$

Entonces, una función $h$ que esté en la bola abierta con centro en $f=0$ y radio $1$ debe satisfacer $\{ h: \norm{h(x)-0}<1,x \in [0,1]\}$. Por tal motivo, su representación debe estar dentro de la bola de radio $1$ con centro en $0$.

Concluimos que $B(f=0,1)=\{ h: \norm{h(x)}<1, x \in [0,1], \}$. Dicho conjunto puede representarse de esta forma:

Si buscamos funciones que estén en la bola con centro en la función $0$ y radio $1$, demuestra que las figuras que representan la imagen de estas funciones estarán dentro del círculo unitario.

Más adelante…

Aprenderemos cómo identificar objetos que se aproximan entre sí y las condiciones que debe haber para que esto ocurra. Conoceremos el concepto de sucesión convergente en espacios métricos y descubriremos más particularidades que en el espacio euclidiano no ocurren pero en otros espacios sí.

Tarea moral

1. Describe una representación de la bola abierta en el espacio $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}^2)$ con un centro en una función distinta a la función cero.
2. Describe una representación de la bola abierta con centro en una función arbitraria en el espacio de funciones $\mathcal{C}^0([0,1]^2, \mathbb{R}).$
3. En el espacio de funciones $\mathcal{C}^0([0,1]^2, \mathbb{R}^2)$ buscamos funciones que estén en la bola con centro en la función $0$ y radio $1$. Demuestra que las figuras que representan la imagen de estas funciones estarán dentro del círculo unitario.

Bibliografía

• Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Págs: 17-22.

Enlaces

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