$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción:

En esta ocasión nos vamos a fijar en colecciones de conjuntos que están contenidos unos en otros. Vamos a suponer que es una cantidad numerable de conjuntos. El primer conjunto contiene al segundo, que a su vez contiene a un tercero y así, sucesivamente.

Ahora pensemos en la intersección de todos esos conjuntos. Intuitivamente podemos visualizar que se tratará de un conjunto muy pequeño, que estará contenido en todos los demás.

Aquí tenemos un ejemplo de una sucesión de conjuntos donde los últimos términos corresponden al mismo conjunto. La intersección de todos los conjuntos es, evidentemente, ese último conjunto

Observemos la sucesión de intervalos $[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]_{n \in \mathbb{N}}.$

Nota que todos tienen como elemento al cero. Además es el único elemento que pertenece a la intersección de todos los intervalos, pues si suponemos que hay otro más, dado que $\frac{1}{n} \to 0$ es posible encontrar un intervalo suficientemente pequeño, que deje fuera este elemento.

Ahora consideremos el subespacio $\mathbb{Q}$ con la métrica usual. En esta ocasión los intervalos serán $(\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}), \, n \in \mathbb{N}.$ Queda como ejercicio al lector demostrar que la intersección de estos conjuntos es vacía en $\mathbb{Q}.$

Entonces, ¿bajo qué condiciones podremos asegurar que la intersección no es vacía pese a que los conjuntos se hagan «cada vez más pequeños» y estén contenidos unos en otros? Veamos la siguiente definición:

Definición. Bolas encajadas. Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de bolas cerradas en $X.$ Si para toda $ n \in \mathbb{N}$ se cumple que $\overline{B}(x_{n+1},\varepsilon_{n+1}) \subset \overline{B}(x_{n},\varepsilon_{n})$ diremos que la sucesión $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ es de bolas encajadas.

Proposición. Principio de bolas encajadas. $(X,d)$ es un espacio métrico completo si y solo si para cualquier sucesión de bolas cerradas encajadas $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ cuyos radios tienden a cero, es decir $\varepsilon_n \to 0,$ se cumple que la intersección de todas las bolas cerradas es no vacía. Además $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n) = \{x\}$ para algún $x \in X.$

Demostración:
Supongamos que $(X,d)$ es completo. Sea $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de bolas encajadas cuyos radios tienden a cero. Vamos a probar primero que la sucesión de los centros de las bolas cerradas $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es de Cauchy. Sea $\varepsilon > 0,$ como $\varepsilon_n \to 0,$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $ \, n \geq N, \, \varepsilon_n < \frac{\varepsilon}{2}.$ Como la sucesión es de bolas encajadas, tenemos que para cada $ \, l,m \geq N, \, \overline{B}(x_l,\varepsilon_l) \subset \overline{B}(x_N,\varepsilon_N)$ y $\overline{B}(x_m,\varepsilon_m) \subset \overline{B}(x_N,\varepsilon_N)$ entonces $d(x_l,x_m) \leq d(x_l,x_N) + d(x_N,x_m) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$ Por lo tanto $(x_n)$ es de Cauchy. Como $X$ es completo, se sigue que $x_n \to x$ para algún $x \in X.$

Vamos a demostrar que $x \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n).$ Sea $n \in \mathbb{N}.$ Como las bolas son encajadas, tenemos que para toda $ k \geq n, \, \overline{B}(x_k,\varepsilon_k) \subset \overline{B}(x_n,\varepsilon_n)$ en consecuencia para toda $ k \geq n,$ el término de la sucesión $x_k$ es elemento de $\overline{B}(x_n,\varepsilon_n),$ que es un conjunto cerrado. Ya que la subsucesión formada por estos últimos términos converge en $x$ se sigue de lo que vimos en Convergencia que $x \in \overline{B}(x_n,\varepsilon_n).$ Como esto ocurre para cada $ n \in \mathbb{N},$ concluimos que $x \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n).$

Para el regreso buscamos demostrar que $(X,d)$ es completo. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de Cauchy.

Así, la sucesión $(\overline{B}(x_{N_n},\frac{1}{2^{n-1}}))_{n \in \mathbb{N}} \,$ es de bolas encajadas y sus radios tienden a cero. Por hipótesis sabemos que la intersección de estos conjuntos es $\{x\},$ para algún $x \in X.$ Es sencillo probar que la sucesión de centros $(x_{N_n})_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge en $x$ (se dejará como ejercicio). Entonces tenemos una subsucesión de la sucesión de Cauchy $(x_n)$ que es convergente y, como vimos en entrada anterior, esto demuestra que $(x_n) \to x$ por lo que $X$ es completo.

Notemos que para asegurar la contención de un conjunto en otro, necesitamos obtener información acerca de las distancias entre sus elementos. Esto motiva una definición para conjuntos más generales que una bola cerrada:

Cuando el conjunto $\{d(x_1,x_2) \, | \, x_1,x_2 \in A \}$ no es acotado, diremos que el diámetro es $\infty.$

Proposición. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $(X,d)$ y para cada $N \in \mathbb{N}, \, X_N:=\{x_k \, | \, k\geq N\}$ el conjunto de los términos de la sucesión que van a partir de $x_N.$ Entonces $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy si y solo si
$$\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0$$

Demostración:
Supón que $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy en $X$ y sea $\varepsilon>0.$ Entonces existe $K \in \mathbb{N}$ tal que para toda $ \, l,m \geq K, \, d(x_l,x_m)<\varepsilon.$ En consecuencia $diam\,(X_K) \leq \varepsilon.$ Como para todo $L \geq K, \, (X_L) \subset (X_K)$ se sigue que para todo $L \geq K, \, diam(X_L) \leq diam(X_K) \leq \varepsilon.$ Por lo tanto $\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0$

Ahora supongamos que $\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0.$ Buscamos demostrar que $(x_n)$ es de Cauchy. Sea $\varepsilon >0$, como los diámetros tienden a cero, existe $K \in \mathbb{N}$ tal que en particular $(X_K)$ satisface que $diam \, (X_K) < \varepsilon.$ Entonces para toda $ \, l,m \geq K, \, d(x_l,x_m) < \varepsilon$ lo cual demuestra que $(x_n)$ es de Cauchy.

Terminemos con la siguiente:

Proposición. Sean $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ una sucesión de subconjuntos cerrados de un espacio métrico completo $(X,d)$ tales que para todo $n \in \mathbb{N}, \, A_{n+1} \subset A_{n}$ y además $\underset{n \to \infty}{lim} \, diam(A_n) \to 0.$ Entonces $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n=\{x\}$ para algún $x \in X.$

Demostración:
Para cada $n \in \mathbb{N}$ elegimos $x_n \in A_n.$ Entonces para cada $N \in \mathbb{N}$ el conjunto $X_N$ definido en la proposición anterior está contenido en $A_N$, pues los conjuntos están anidados. En consecuencia, $diam(X_N) \leq diam(A_n) \to 0.$ La proposición anterior nos permite concluir que $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy. Como $X$ es completo, se sigue que $(x_n) \to x$ para algún $x \in X.$ Dejamos como ejercicio demostrar que $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n=\{x\}.$

¿Recuerdas la distancia de Hausdorff vista en La métrica de Hausdorff? Nota que si $A$ y $B$ son subconjuntos de $X$ entonces $d_H(A,B)\leq diam(A \cup B).$ En esa misma entrada vimos que conjuntos anidados convergen a la intersección de todos ellos, y que este conjunto está formado por los puntos de convergencia de sucesiones que tienen elementos en los conjuntos anidados. En entradas futuras veremos que los espacios compactos son cerrados. ¿Cómo justificarías las proposiciones vistas en esta entrada a partir de los resultados presentados en la métrica de Hausdorff?

Más adelante…

Veremos los conceptos de conjunto denso y conjunto nunca denso. Descubriremos un resultado que ha sido muy importante en el estudio de los espacios métricos completos: El teorema de Baire.

Tarea moral

1. Sea $\mathbb{Q}$ el subespacio de $\mathbb{R}$ con la métrica usual. Demuestra que la intersección de los intervalos $[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}], \, n \in \mathbb{N}$ es vacía en $\mathbb{Q}.$
2. Demuestra que si $x$ está en la intersección de bolas encajadas $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n)$ entonces es único.
3. Demuestra que la sucesión de centros $(x_{N_n})_{n \in \mathbb{N}} \,$ de la proposición converge en $x.$
4. Sea $A \subset X.$ Demuestra que $diam(A)=diam(\overline{A}).$
5. Con respecto a la última proposición, demuestra que $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n=\{x\}.$
6. Da un ejemplo de un espacio métrico completo y de una sucesión de bolas cerradas en este espacio, encajadas unas en otras que tenga intersección vacía.

Bibliografía

• Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. (2a ed.). Moscú: Editorial MIR, 1975. Págs: 74 y 75.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Guía de notación para Análisis Matemático I
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En la entrada anterior vimos que no es suficiente que una sucesión sea de Cauchy para asegurar que sea convergente. Hay espacios donde sí lo es y serán llamados «completos». Contar con esta propiedad nos permite solo tener que justificar que una sucesión satisface la condición de Cauchy para concluir convergencia. Comencemos con la definición:

Definición. Espacio métrico completo y espacio de Banach: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que $X$ es un espacio métrico completo si toda sucesión de Cauchy $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente en $X.$
A un espacio normado que es completo con la métrica inducida por su norma le llamaremos espacio de Banach.

Ejemplos:

1. El espacio métrico euclidiano $\mathbb{R}^n$ es completo. La demostración la vimos en la sección anterior. (Sucesiones de Cauchy).
2. Sea $X$ un conjunto no vacío con la métrica discreta. Entonces $X$ es completo. La demostración se propondrá como ejercicio.
3. $\mathbb{R}^n$ con la métrica $d_\infty(x,y):=max \{ |x_1-y_1|,…,|x_n-y_n| \}$ donde $x=(x_1,…,x_n)$ y $y=(y_1,…,y_n)$ es completo.

Demostración:
Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de Cauchy en $\mathbb{R}^n.$ En la sección anterior vimos que $(x_n)$ converge en la métrica euclidiana $d_2.$ Sea $x$ el punto de convergencia. En la entrada Más conceptos de continuidad vimos que $d_\infty$ y $d_2$ son métricas equivalentes, entonces para todo $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ y $c \geq 0$ tales que para todo $n \geq N$:
$d_\infty(x_n,x)\leq c\,d_{2}(x_n,x) < c \frac{\varepsilon}{c}=\varepsilon$
Por lo tanto $x_n \to x$ en $(\mathbb{R}^n, d_\infty),$ lo cual demuestra que es un espacio métrico completo.

En general, la completitud no es una propiedad invariante bajo homeomorfismos. Esto es, un espacio completo puede ser homeomorfo a otro que no lo sea.

Ejemplo: El espacio euclidiano $\mathbb{R}$ es homeomorfo al subespacio $(-1,1).$

Por otro lado, la completitud sí se conserva bajo equivalencias. (Concepto visto en Más conceptos de continuidad):

Proposición. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos con $\phi: X \to Y$ una equivalencia entre ellos. Entonces $X$ es completo si y solo si $Y$ lo es.

Demostración:
Supongamos que $X$ es completo. Buscamos demostrar que $Y$ también lo es. Sea $(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de Cauchy en $Y.$ Como $\phi$ es equivalencia entonces $\phi^{-1}$ es lipschitz continua. Considera la sucesión $\phi^{-1}(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ en $X.$ Dadas las hipótesis, para toda $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ y $c \geq 0$ tales que si $n,m \geq N$ entonces:
$d_X(\phi^{-1}(y_n),\phi^{-1}(y_m))\leq c\, d_Y(y_n,y_m) < c \, \frac{\varepsilon}{c} = \varepsilon$ lo cual prueba que la sucesión $\phi^{-1}(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es de Cauchy en $X$, espacio que es completo, en consecuencia $\phi^{-1}(y_n) \to x$ en $X$ para algún $x \in X.$

Finalizamos aplicando $\phi$ a la última sucesión. En la entrada de Funciones continuas en espacios métricos vimos que podemos concluir que $\phi(\phi^{-1}(y_n)) \to \phi(x)$ en $Y.$ Por lo tanto $(y_n)$ es una sucesión convergente lo cual demuestra que $Y$ es un espacio métrico completo.
El regreso es análogo y se propondrá como ejercicio al final de esta sección.

La completitud no siempre se hereda a los subespacios de un espacio métrico completo. La siguiente proposición nos muestra las condiciones requeridas para que esto ocurra:

Proposición. Sea $(X,d)$ un espacio métrico completo y $A \subset X.$ Entonces el subespacio $(A,d)$ es completo si solo si $A$ es cerrado en $X.$

Demostración:

Ahora partamos de suponer que $A \subset X$ es cerrado. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de Cauchy en $A.$ Como $X$ es completo, se sigue que $x_n \to x$ en $X$ para algún $x \in X.$ Por el mismo resultado de la entrada de Convergencia concluimos que $x \in A.$ por lo tanto $x_n \to x$ en $A$ lo cual demuestra que $A$ es completo.

En la sección de la compacidad en espacios normados veremos que todo espacio normado de dimensión finita es de Banach. Es natural preguntarse qué ocurre con los de dimensión infinita. Como ejemplo tenemos al espacio de los polinomios $\mathcal{P}[0,1].$ Visto como subespacio del espacio de funciones continuas $C^0[0,1]$ es de dimensión infinita pero no es cerrado. La proposición anterior nos permite concluir que $\mathcal{P}[0,1]$ no es completo. La demostración del ejemplo se puede consultar en las notas de Luis O. Manuel. El documento se encuentra en este enlace.

Más adelante…

Buscaremos aplicar estos resultados en conjuntos anidados, unos dentro de otros. Partir de una sucesión de Cauchy nos permitirá asegurar la existencia de un punto de convergencia, cuando estemos en un espacio completo. Conoceremos condiciones en las que dicho punto existe y pertenece a la intersección de los conjuntos anidados.

Tarea moral

1. Demuestra que si $X$ es un conjunto no vacío con la métrica discreta entonces $X$ es completo.
2. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos con $\phi: X \to Y$ una equivalencia entre ellos. Prueba que si $Y$ es completo entonces $X$ lo es.
3. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión creciente y acotada en $\mathbb{R}.$ Concluye que $(x_n)$ es convergente en $\mathbb{R}$ demostrando que es de Cauchy.

Bibliografía

• Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Págs: 78 y 79.
• Jost, J., Postmodern Analysis (3rd ed.). New York: Springer-Verlag, 2005. Págs: 46-50.
• Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. (2a ed.). Moscú: Editorial MIR, 1975. Págs: 71-74.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Guía de notación para Análisis Matemático I
• Enlace a entrada anterior.
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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En otros cursos, donde el conjunto de los números reales es el protagonista, se suele hablar de una propiedad: El conjunto $\mathbb{R}$ es completo. Esto puede concluirse a partir de 3 situaciones que son válidas en $\mathbb{R}:$

1. El axioma del supremo o de completitud.
2. La intersección de intervalos cerrados encajados cuya longitud tiende a cero es no vacía.
3. Las sucesiones de Cauchy son convergentes en $\mathbb{R}.$

En las siguientes entradas veremos cómo las propiedades $2$ y $3$ son generalizadas a los espacios métricos. La primera no es posible, por ejemplo, en conjuntos métricos que no están ordenados. Pero tampoco basta que un conjunto tenga un orden en sus elementos para que todos sus subconjuntos acotados tengan un supremo en el conjunto. Este es el caso de algunos conjuntos acotados en el subespacio $\mathbb{Q}$ que tendrán supremo en $\mathbb{R}$ pero no en $\mathbb{Q}.$ ¿Puedes dar un ejemplo?

Recordemos que en la entrada de Convergencia vista anteriormente, hablamos de sucesiones $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ que se aproximan a un punto $x$ en un espacio métrico $(X,d).$ Según la definición, $x_n \to x$ significa que dado $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ que cumple para cada $n \geq N, \, d(x_n,x)< \varepsilon.$ Esta definición compara la distancia entre cada punto de la sucesión con un punto fijo $x.$ Sin embargo, ¿qué podemos decir de la distancia entre cualesquiera dos puntos de la sucesión?

Sea $\varepsilon>0.$ En una sucesión convergente $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ ocurrirá que para algún $N \in \mathbb{N}$ si $n \geq N$ entonces $d(x_n,x)< \frac{\varepsilon}{2}.$

Podemos ver que mientras más se aproximan los puntos de la sucesión al punto de convergencia $x$, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más entre ellos también.

Más aún, la desigualdad del triángulo garantiza que si $n,m \geq N$ entonces:
$$d(x_n,x_m) \leq d(x_n,x) + d(x,x_m) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$$ como lo expresa la siguiente imagen:

Esto indica que es posible identificar un término de la sucesión, a partir del cual las distancias entre cualesquiera dos de ellos será arbitrariamente pequeña. Aunque ya vimos que esto pasa en sucesiones convergentes también puede ocurrir en algunas que no lo son. Cuando las sucesiones tienen esta característica son denominadas como sigue:

Definición. Sucesión de Cauchy. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de un espacio métrico $(X,d).$ Decimos que es una sucesión de Cauchy si satisface la condición de Cauchy que es que:
para todo $ \, \varepsilon>0,$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $ \, n,m \geq N$ ocurre que $d(x_n,x_m)< \varepsilon.$

Proposición. Si una sucesión es de Cauchy entonces es acotada.

Demostración:
Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de Cauchy. Entonces para $\varepsilon=1$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $ \, n,m \geq N$ se cumple que $d(x_n,x_m)<1$ Entonces, para todo $ \, m \geq N, d(x_N,x_m)< 1.$ Si definimos las distancias faltantes en los términos de la sucesión, es decir, las distancias $d_i:= d(x_N,x_i) \, $ con $ \, i=1,…,N-1$ y elegimos $M > max \{ d_1,…,d_{N-1},1 \} , $ se concluye que existe una bola abierta que tiene todos los términos de la sucesión, la bola $B(x_N,M).$

A pesar de que una sucesión convergente es de Cauchy, no toda sucesión de Cauchy es convergente.

Ejemplo: La sucesión $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}} \,$ en el subespacio euclidiano $(0,1]$ es de Cauchy, pero no es convergente en $(0,1].$ La demostración se deja como ejercicio.

No obstante tenemos el siguiente resultado:

Proposición. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de Cauchy en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$, entonces la sucesión también es convergente.

Demostración:
Si el conjunto de términos de la sucesión dado por $\{ x_n \} :=\{x_n:n \in \mathbb{N}\} \,$ es finito entonces es convergente. (Ejercicio de la tarea moral de la entrada de Convergencia). Pero si es infinito entonces, al ser también acotado (por la proposición anterior) se sigue que el conjunto de los términos de la sucesión tiene un punto de acumulación $x \in \mathbb{R}^n.$ Esto es resultado del teorema de Bolzano-Weierstrass, que se ve en los cursos de cálculo y dice que todo conjunto infinito acotado en $\mathbb{R}^n$ tiene un punto de acumulación. (La demostración puede consultarse en el libro «Análisis Matemático, Introducción Moderna al Cálculo Superior» de Tom. M. Apóstol. Para una referencia formal y pública, consultar Universidad de Alicante. (s.f.). El espacio euclídeo real n-dimensional [Material de curso]. RUA – Repositorio Institucional de la Universidad de Alicante).

Sea $\varepsilon >0.$ Como $(x_n)$ es de Cauchy entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $ \, n,m \geq N$ ocurre que $d(x_n,x_m)<\frac{\varepsilon}{2}.$

Finalizamos esta sección con la siguiente:

Proposición. Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de Cauchy en $X.$ Entonces $(x_n)$ es convergente si y solo si tiene una subsucesión convergente.

Demostración: Queda como ejercicio.

Más adelante…

Ya que conocemos el concepto de las sucesiones de Cauchy procederemos a explorar espacios donde este tipo de sucesiones sí es convergente. Esto motiva la definición de espacio métrico completo que conoceremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

1. Demuestra que la sucesión $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}} \,$ en el subespacio euclidiano $(0,1]$ es de Cauchy, pero no es convergente en $(0,1].$
2. En la demostración de la proposición anterior, prueba que que existe un término de la sucesión $(x_n)$ de $\mathbb{R}^n$, digamos $x_k$ tal que $x_k \in B(x,\frac{\varepsilon}{2})$ con $k \geq N.$
3. Demuestra que si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión de Cauchy en un espacio $X$, entonces $(x_n)$ es convergente si y solo si tiene una subsucesión convergente.
4. Sea $X = [1,\infty)$ y sea $d(x,y):=|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|.$ Demuestra que $d$ es una métrica en $X.$
5. Para cada $n \in \mathbb{N}$ definimos $x_n:=n+1.$ Prueba que la sucesión $(x_n)$ es de Cauchy en el espacio métrico del ejercicio anterior.

Bibliografía

• Apostol, T., Análisis Matemático (2a ed.). México: Editorial Reverté, 1996. Págs: 88 y 89.
• Bartle, R.G., The Elements of Real Analysis. New York: J. Wiley, 1964. Págs: 115-119.
• Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Págs: 75-77.
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw–Hill, 1953. Pág: 52.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Guía de notación para Análisis Matemático I
• Enlace a entrada anterior.
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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

El contenido de esta sección corresponde al artículo

Barrera, W, et.al, Abstraction and Application de la Universidad Autónoma de Yucatán, De la Geometría Riemanniana a los Espacios de Alexandrov I. Estructuras por Caminos y Métricas Inducidas: UADY, Mérida, 2015, págs 18-41.

Introducción

En las ideas más abstractas de espacios métricos, se relacionan dos puntos con un número mayor o igual que cero en los reales. Si bien, este número representa la distancia entre dos puntos, puede que en principio no esté muy claro cómo se originó esa distancia, o bien, qué camino se recorrió para llegar de un punto al otro y entonces sí, justificar de alguna forma, qué tan cerca o lejos están los puntos entre sí.
No obstante, hemos visto ejemplos de espacios métricos en los que sí fue un desplazamiento lo que inspiró la métrica definida, (como en la métrica del taxista, la del ascensor o la de las piezas de ajedrez). En esta sección observaremos que es posible definir una métrica en un conjunto a partir de la existencia de caminos que «conecten» a sus puntos. Comenzamos presentando una definición más general que la de los abiertos generados por una métrica:

Definición. Topología. Sea $X$ un conjunto, diremos que $\tau$ es una topología de $X$ si es una familia de subconjuntos de $X$ (que llamaremos abiertos) que satisface lo siguiente:
1) Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos.
2) La unión arbitraria de conjuntos abiertos $\underset{\alpha \in \mathbb{A}} {\cup} \, U_{\alpha}$ es un conjunto abierto.
3) La intersección finita de conjuntos abiertos $\underset{1\leq i \leq n}{\cap}U_i$ es un conjunto abierto.
Al conjunto $(X,\tau)$ lo llamaremos espacio topológico.
Ya que los abiertos de un espacio métrico satisfacen las condiciones anteriores, (lo probamos en Nociones topológicas básicas en espacios métricos), sabemos que un espacio métrico es también un espacio topológico.

Definición. Camino. Un camino en un espacio topológico $(X, \tau)$ es una función continua $\gamma: I \to X$ donde $I:=[a,b] \subset \mathbb{R}.$

Definición. Estructura por caminos. Sea $(X, \tau)$ un espacio topológico. Una estructura por caminos $(\mathcal{C},L)$ en $X$ es una clase $\mathcal{C}$ de caminos en $X$, que llamaremos admisibles. Se les asocia una función $L: \mathcal{C} \to [0, \infty]$ que llamaremos longitud de caminos.

La clase $\mathcal{C}$ satisface las siguientes condiciones:

Mientras que la función $L$ cumple que:

$inf \{L(\gamma) \,| \, \gamma:[a,b] \to X, \, \gamma(a)=x, \, \gamma(b) \in X \setminus U_x\} >0$

Ahora definamos una distancia en el conjunto $X$ a partir de una estructura por caminos $(\mathcal{C},L).$ Para cualesquiera dos puntos $x,y \in X$ consideremos la longitud de todos los caminos que conectan a $x$ con $y.$ El ínfimo de esas longitudes será la distancia entre ambos puntos, es decir:
$$d_L(x,y):=inf\{L(\gamma) \, | \, \gamma:[a,b] \to X, \gamma \in \mathcal{C}, \gamma (a)=x , \gamma (b) =y \}.$$
Si no existe un camino que conecte a $x$ con $y$ se define $d_L(x,y) := \infty.$

Entonces $(X,d_L)$ es un espacio métrico, siendo $d_L$ la métrica inducida por la estructura por caminos $(\mathcal{C},L).$

Definición. Espacio métrico de caminos. Un espacio métrico cuya métrica puede ser obtenida como la función distancia de una estructura por caminos es llamado espacio métrico de caminos. La distancia asociada recibe el nombre de métrica intrínseca.

Ejemplos

En el conjunto $\mathbb{R}^2$ considera los caminos que unen a cualesquiera dos puntos $x,y \in \mathbb{R}^2$ a través de la concatenación de segmentos que son paralelos a los ejes coordenados. Como ejemplo presentamos la siguiente imagen:

Eso significa que la distancia $d_L(x,y)$ corresponderá al ínfimo de las longitudes de estos caminos. En este caso, el valor del ínfimo coincide con la longitud de los caminos que son de este estilo:

En la entrada Otros ejemplos de espacios métricos vimos que esta métrica es conocida como métrica del taxista.

No todos los espacios métricos de caminos tendrán siempre un camino cuya longitud coincida con la distancia de los puntos que une. Por ejemplo, considera el espacio $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ Si los caminos que conectan a los puntos $(-1,0)$ y $(1,0)$ están dados por la unión de los segmentos $\overline{(-1,0),(0,b)}$ y $\overline{(0,b),(1,0)}$ como muestra la siguiente imagen:

Es posible probar que el ínfimo de estas longitudes es $2$, sin embargo, no existe un camino que tenga a $2$ como longitud. La justificación de esta conclusión se deja como ejercicio al final de esta sección.

Definición. Estructura por caminos completa. Cuando para cualesquiera puntos $x,y \in X$ sí existe un camino admisible cuya longitud coincide con $d_L(x,y)$ diremos que tenemos una estructura por caminos completa. La métrica que induce recibe el nombre de métrica estrictamente intrínseca.

Un subespacio que es posible deducir de un espacio métrico de caminos es uno restringido a los caminos en un conjunto. Lo expresamos en la siguiente:

Definición. Estructura restringida. Sea $(\mathcal{C},L)$ una estructura por caminos de $X,$ entonces induce una estructura por caminos $(\mathcal{C}|_A,L|_A)$ en un conjunto $A \subset X$ donde $\mathcal{C}|_A$ consiste de todos los caminos de $\mathcal{C}$ cuya imagen está totalmente contenida en $A$ y la función $L|_A$ es la restricción de de $L$ en $\mathcal{C}|_A.$

Es posible que en la estructura restringida las distancias entre dos puntos no se preserven.

Ejemplo
La distancia usual $\mathbb{R}^3$ puede verse como un espacio métrico de caminos donde la distancia entre dos puntos $p$ y $q$ está dada por la longitud del segmento que los une.

Más adelante…

Conoceremos sucesiones cuyos elementos se van aproximando de manera arbitraria pero que no necesariamente convergen. Veremos bajo qué condiciones sí se puede asegurar la convergencia. Esto incentivará un nuevo concepto, el de los espacios métricos completos.

Tarea moral

1. En el espacio $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ del ejemplo anterior, donde los caminos que conectan a los puntos $(-1,0)$ y $(1,0)$ están dados por la unión de los segmentos $\overline{(-1,0),(0,b)}$ y $\overline{(0,b),(1,0)}.$ Prueba que el ínfimo de las longitudes de estos caminos es $2$ y que no existe un camino que cuya longitud sea $2.$
2. Demuestra que las piezas de ajedrez vista en la entrada Otros ejemplos de espacios métricos inducen una métrica de caminos.
3. ¿Es la métrica del ascensor, vista en Otros ejemplos de espacios métricos, una métrica de caminos?

Bibliografía

• Barrera, W., Montes de Oca, L., Navarro, M., & Solís, D., Abstraction and Application de la Universidad Autónoma de Yucatán, De la Geometría Riemanniana a los Espacios de Alexandrov I. Estructuras por Caminos y Métricas Inducidas: UADY, Mérida, 2015. Págs: 18-41.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Guía de notación para Análisis Matemático I
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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

Las funciones continuas resultan muy útiles al relacionar espacios métricos. Propiedades identificadas en el dominio pueden conservarse también en el contradominio y viceversa.

En esta sección presentaremos definiciones más específicas para funciones continuas que reúnen ciertas características. Si una función es aplicada a dos puntos, ¿qué ocurre con la distancia en los puntos del espacio en el que caen? Ya sabemos que podemos hacer la distancia muy cercana si se toma como referencia un punto donde la función es continua pero, ¿habrá casos donde existan funciones que restrinjan la distancia de un modo más general, para todos los puntos? Comencemos con la siguiente:

Definición. Homeomorfismo. Sea $\phi: X \to Y$ una función continua. Si además $\phi$ es biyectiva y su inversa $\phi^{-1}: Y \to X$ es continua, diremos que $\phi$ es un homeomorfismo. Dos espacios métricos $X$ y $Y$ son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos.

Dos espacios homeomorfos tienen, en principio, la misma cardinalidad. Como existe una función continua y de inversa continua, puntos que están cerca en un espacio métrico se conservarán cerca en el otro. Podemos pensar que los espacios homeomorfos tienen la misma forma, en el sentido de que es posible modificar continuamente uno para convertirlo en el otro.

Ejemplos:

Una circunferencia y el perímetro de un rectángulo son homeomorfos. Nota que cada radial -rayo que parte del centro del círculo- conecta un único punto de la circunferencia con un único punto de la frontera del rectángulo, definiendo así una proyección, que es una función continua y es también un homeomorfismo entre estos espacios.

Una taza de café y una dona son homeomorfos en $\mathbb{R}^3.$ La siguiente imagen nos muestra la transformación de un espacio al otro a través de la aplicación de homeomorfismos.

Proposición. Sean $(X,d_X), (Y,d_Y), (Z,d_Z)$ espacios métricos con $\phi: X \to Y$ y $\, \psi: Y \to Z$ funciones entre ellos. Las siguientes son propiedades de la composición de funciones:
a) Si $\phi$ y $\psi$ son continuas, entonces la composición $\psi \circ \phi: X \to Z$ es una función continua.

b) Si $\phi$ es un homeomorfismo, entonces $\psi$ es continua si y solo si la composición $\psi \circ \phi$ es continua.

c) Si $\psi$ es un homeomorfismo, entonces $\phi$ es continua si y solo si la composición $\psi \circ \phi$ es continua.

Demostración:
La prueba de a) se dejará como ejercicio al final de esta sección. Por lo pronto ya lo asumiremos válido.
Para probar b) nota que si $\phi$ es homeomorfismo entonces es continua y su función inversa $\phi^{-1}$ también lo es. A partir de a) concluimos que $\psi \circ \phi$ es continua si y solo si $(\psi \circ \phi)\circ\phi^{-1}= \psi$ es continua.
Para probar c) nota que si $\psi$ es homeomorfismo entonces es continua y su función inversa $\psi^{-1}$ también lo es. A partir de a) concluimos que $\psi \circ \phi$ es continua si y solo si $\psi^{-1}\circ(\psi \circ \phi)= \phi$ es continua.

Definición. Isometría. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos. Decimos que $\phi: X \to Y$ es una isometría si preserva distancias entre espacios, es decir, para toda $x,y \in X:$
$$d_X(x,y) = d_Y(\phi(x), \phi(y))$$

¿Puede una isometría ser un homeomorfismo? En principio sería necesario que sea biyectiva.

Proposición. Una isometría es una función inyectiva.
Demostración:
Sea $\phi: X \to Y$ una isometría y $x,y \in X$ tales que $\phi(x) = \phi(y)$ entonces $d_Y(\phi(x),\phi(y)) = 0.$ Como $\phi$ es isometría, $d_X(x,y) = d_Y(\phi(x),\phi(y)) = 0$ por lo tanto $x = y.$
Se deja como ejercicio argumentar que si una isometría es suprayectiva, entonces es un homeomorfismo. Particularmente, en este caso diremos que los espacios son isométricos.

En la siguiente función las distancias en el espacio del contradominio estarán limitadas por las distancias del espacio del dominio y una constante $c \in \mathbb{R}:$

Definición. Función Lipschitz continua. Sea $\phi: X \to Y.$ Si existe $c\in \mathbb{R}$ tal que para todo $x,y \in X, \,$ $d_Y(\phi(x), \phi(y)) \leq c \, d_X(x,y)$ diremos que $\phi$ es Lipschitz continua y que $c$ es constante de Lipschitz para $\phi.$

Nota que, a causa de la desigualdad, la constante de Lipschitz $c$ satisface $c \geq 0.$

Proposición. Si la función $\phi$ es Lipschitz continua, entonces es continua.

Demostración:
Sea $\phi :X \to Y$ Lipschitz continua con constante de Lipschitz $c$, $x_0 \in X$ y $\varepsilon >0.$ Si $\delta = \frac{\varepsilon}{c}$ entonces si $x$ es tal que $d_X(x,x_0) < \frac{\varepsilon}{c}$ se sigue que $d_Y(\phi(x_0), \phi(x)) \leq c \, d_X(x,x_0) < c \frac{\varepsilon}{c} = \varepsilon .$

El recíproco no es cierto. Se deja como ejercicio.

Definición. Equivalencia. Diremos que $\phi: X \to Y$ es una equivalencia si es Lipschitz continua y biyectiva y su inversa $\phi^{-1}:Y \to X$ también es Lipschitz continua.

Definición. Métricas equivalentes. Sean $d_1$ y $d_2$ dos métricas en el espacio métrico $X.$ Diremos que $d_1$ y $d_2$ son equivalentes si la función identidad $I:(X,d_1) \to (X,d_2)$ es una equivalencia.

Asímismo, dos normas son equivalentes si las métricas inducidas por ellas son equivalentes. Podemos concluir también que si dos métricas son equivalentes, entonces ambas métricas generan los mismos conjuntos abiertos en el conjunto $X$, esto es, $A$ es abierto en $(X,d_1)$ si y solo si $A$ es abierto en $(X,d_2).$ ¿Por qué?

Ejemplos

En el conjunto $\mathbb{R}^n$ considera los puntos $x,y \in \mathbb R^n$, con $x=(x_{1},…,x_{n})$ y $y=(y_{1},…,y_{n}).$ Las siguientes métricas son equivalentes:

a) $d_{2}(x,y) = \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2}$
b) $d_{\infty}(x,y) = max \{|x_{1}-y_{1}|,…,|x_{n}-y_{n}|\}$
c) $d_{1}(x,y) = |x_{1}-y_{1}|+…+|x_{n}-y_{n}|$

Demostración:
Demostremos que $d_{2}$ y $d_{\infty}$ son métricas equivalentes.

\begin{align*}
(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2 &\leq n^2(max \{|x_{1}-y_{1}|,…,|x_{n}-y_{n}|\})^2\\
\sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2} &\leq n \, max \{|x_{1}-y_{1}|,…,|x_{n}-y_{n}|\}\\
d_{2}(x,y) &\leq n \, d_{\infty}(x,y)
\end{align*}

Por otro lado

\begin{align*}
(max \{|x_{1}-y_{1}|,…,|x_{n}-y_{n}|\})^2 &\leq (x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2\\
max \{|x_{1}-y_{1}|,…,|x_{n}-y_{n}|\} &\leq \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2}\\
d_{\infty}(x,y) &\leq d_{2}(x,y)
\end{align*}

Por lo tanto $d_{2}$ y $d_{\infty}$ son métricas equivalentes.

Ahora demostraremos que las métricas $d_{1}$ y $d_{\infty}$ son equivalentes.

\begin{align*}
d_1(x,y) &= |x_{1}-y_{1}|+…+|x_{n}-y_{n}| \\
&\leq n \, max \{|x_{1}-y_{1}|,…,|x_{n}-y_{n}|\}\\
&= n \, d_{\infty}
\end{align*}

Por otro lado

\begin{align*}
d_{\infty} &= max \{|x_{1}-y_{1}|,…,|x_{n}-y_{n}|\}\\
&\leq |x_{1}-y_{1}|+…+|x_{n}-y_{n}| \\
&= d_{1}(x,y)
\end{align*}

Por lo tanto las métricas $d_{1}$ y $d_{\infty}$ son equivalentes. Queda como ejercicio al lector demostrar que las métricas $d_1$ y $d_2$ son equivalentes. Nota que es posible concluirlo a partir de las equivalencias demostradas y la composición de funciones.

Para finalizar esta sección, presentamos dos normas no equivalentes:
Considera el espacio de funciones continuas $C^0[0,1]$, (que van del intervalo $[0,1] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R})$ con las normas:
\begin{align*}
\norm{f}_1&:= \int_{0}^{1} |f(x)| \,dx, \\
\norm{f}_\infty&:= \underset{0 \leq x \leq 1}{max} \,|f(x)|.
\end{align*}

Veremos que no existe una función Lipschitz continua $\phi:(C^0[0,1],\norm{f}_1) \to (C^0[0,1],\norm{f}_\infty).$

Para cada $n \in \mathbb{N}$ considera la función $f_n(x) \in C^0[0,1]$ que a cada $x \in [0,1]$ asigna el punto $f_n(x) = x^{n-1}.$ La distancia que hay entre estas funciones y la función constante $0$ está dada por:
\begin{align*}
\norm{f_n}_1&:= \int_{0}^{1} |f_n| \,dx = \frac{1}{n}, \\
\norm{f_n}_\infty&:= \underset{0 \leq x \leq 1}{max} \, |f_n(x)| \, = 1
\end{align*}
No existe $c \geq 0$ que satisfaga que para toda $n \in \mathbb{N}, \, \norm{f_n}_\infty \leq c\norm{f_n}_1$ pues no es cierto que $1\leq c \left( \frac{1}{n} \right)$ para toda $n, \,$ pues de ser así, tendríamos $n \leq c,$ lo cual es una contradicción, pues el conjunto $\mathbb{N}$ no es acotado. Por lo tanto no existe una función Lipschitz continua $\phi:(C^0[0,1],\norm{f}_1) \to (C^0[0,1],\norm{f}_\infty)$ y en conclusión, estas normas no son equivalentes.

Más adelante…

Veremos que es posible definir un espacio métrico a partir de una familia de caminos que conecte puntos y de la longitud que estos caminos tienen. Observaremos la posibilidad de que varios caminos distintos conecten a los mismos dos puntos y si es posible rescatar alguna aproximación en funciones no continuas a través de un nuevo concepto: la semicontinuidad.

Tarea moral

1. Demuestra que si $\phi$ y $\psi$ son continuas, entonces la composición $\psi \circ \phi: X \to Z$ es una función continua.
2. Sea $\phi$ una isometría tal que es suprayectiva. Prueba que es también un homeomorfismo.
3. Da un ejemplo de una función continua que no sea Lipschitz continua.
4. Demuestra que una isometría es una equivalencia.
5. Demuestra que las métricas $d_1(x,y) := |x_{1}-y_{1}|+…+|x_{n}-y_{n}|$ y $d_{2}(x,y) := \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+…+(x_{n}-y_{n})^2}$ son equivalentes.

Bibliografía

• Apostol, T., Análisis Matemático (2a ed.). México: Editorial Reverté, 1996. Pág: 102.
• Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Págs: 33-35.
• Kolmogorov, A.N., Fomin, S.V., Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. (2a ed.). Moscú: Editorial MIR, 1975. Págs: 59-60.

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