Coordinadora en la OMM. Fiel creyente de que las matemáticas, al igual que el arte, son un camino de curiosidad, disciplina y pasión. Busco compartir ideas a través de un lenguaje visual y cercano.
El propósito de esta entrada será conocer criterios para determinar cuándo el límite de una sucesión de funciones es una función continua. (El concepto de función continua se vio en la entrada Funciones continuas en espacios métricos).
Nuestra intuición podría proponer que esto ocurre cuando todas las funciones de la sucesión son también continuas. No obstante, esto no basta cuando el límite de convergencia es puntual. Como ejemplo tomemos la sucesión de funciones continuas dada por:
$(x^n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ donde para cada $n \in \mathbb{N}, \, x^n:[0,1] \to \mathbb{R}$
Gráficas de las funciones de la sucesión $(x^n)_{n \in \mathbb{N}}.$
Queda como ejercicio al lector demostrar que $(x^n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge puntualmente a la función:
¿Qué ocurre en los casos donde el límite es uniforme? A continuación mostraremos que bajo esa situación, la función a la que la sucesión converge sí es continua. Pero antes hagamos una aclaración sobre la notación a usar:
En la entrada anterior (Convergencia puntual y convergencia uniforme) las funciones suelen definirse como funciones de $A$ en $X$ $(f:A \to X),$ donde $A$ se considera como un conjunto cualquiera (que no necesariamente es un espacio métrico y por tanto la distancia de los puntos en el dominio no es relevante), y $X$ es un espacio métrico con distancia indicada como $d.$
Ahora pasamos a tratar con funciones continuas, donde sí comparamos distancias entre puntos del dominio (la famosa distancia menor que $\delta$) y distancias en puntos del contradominio (la famosa distancia menor que $\varepsilon$). Así, las funciones de esta entrada están definidas entre dos espacios métricos $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y).$ Nota la importancia de señalar si la distancia a considerar es en $X$ o en $Y.$
Proposición. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ con $f_n: X \to Y, \, n \in \mathbb{N} \, $ es una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a $f:X \to Y$ en $X$ entonces $f$ es continua.
Demostración: Sea $\varepsilon > 0$ y $x_0 \in X.$ Buscamos probar que $f$ es continua en $x_0.$ Como $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge uniformemente en $f$ entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $k \geq N$ y para todo $x \in X, \, d_Y(f_k(x),f(x)) < \frac{\varepsilon}{3}.$
Por otro lado, como $f_N$ es continua, existe $\delta > 0$ tal que si $d_X(x,x_0)< \delta$ entonces $d_Y(f_N(x),f_N(x_0)) < \frac{\varepsilon}{3}.$
En consecuencia, si $d_X(x,x_0)< \delta$ se sigue que
Lo cual demuestra que el límite uniforme de una sucesión de funciones continuas, es una función continua.
Es importante notar que esto no significa que toda sucesión de funciones continuas que converge a una función continua, lo hace de manera uniforme. Puede hacerlo solo de forma puntual. Veamos un ejemplo.
Gráfica de las funciones de la sucesión.
La sucesión de funciones continuas $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ donde para cada $n \in \mathbb{N}, \, f_n:[0,1] \to \mathbb{R}$ se define como $f_n(x)= n^2x(1-x)^n,$ converge de forma puntual a la función $f(x)=0.$ Queda como ejercicio probar que la convergencia solo es puntual y no uniforme.
Ahora pensemos en funciones continuas y acotadas a través de la siguiente definición. (El concepto de función acotada se vio en Espacios de funciones).
Definición. El espacio métrico $\mathcal{C}_b^0(X,Y).$ Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. El espacio de funciones continuas y acotadas de $X$ a $Y$ se define como: $$\mathcal{C}_b^0(X,Y):= \{f:X \to Y: f \text{ es continua y acotada} \}$$ y la métrica está dada por: $$d_\infty(f,g):= \underset {x \in X}{sup} \, \, d_Y(f(x),g(x))$$
Donde $f,g \in \mathcal{C}_b^0(X,Y).$
Este espacio es cerrado en el espacio de funciones acotadas, de acuerdo con la siguiente:
Proposición. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Entonces $\mathcal{C}_b ^0(X,Y)$ es un subespacio cerrado de $\mathcal{B}(X,Y).$ (El espacio de funciones acotadas).
Demostración: Buscamos probar que $\mathcal{C}_b ^0(X,Y)$ es igual a su cerradura. Sea $f \in \overline{\mathcal{C}_b ^0(X,Y)}.$ En la última proposición de la entrada Convergencia vimos que esto significa que existe una sucesión de funciones $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ en $\mathcal{C}_b ^0(X,Y)$ que convergen a $f$ en $\mathcal{B}(X,Y).$ En la entrada anterior vimos que esto implica que $f$ es límite uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}. \, $ La proposición anterior nos permite concluir que $f$ es continua, es decir $f \in \mathcal{C}_b ^0(X,Y),$ probando así que $\mathcal{C}_b ^0(X,Y)$ es cerrado en $\mathcal{B}(X,Y).$
Ahora veamos la siguiente:
Proposición. Sea $Y$ un espacio métrico completo. Se cumple que:
Si $A$ es un conjunto entonces $\mathcal{B}(A,Y)$ es completo.
Si $X$ un espacio métrico entonces $\mathcal{C}^0_b(X,Y)$ es completo.
El conjunto $\mathcal{B}(A,Y)$ es completo.
El conjunto $\mathcal{C}^0_b(X,Y)$ es completo.
Demostración: Para probar que $\mathcal{B}(A,Y)$ es completo toma $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de Cauchy en $\mathcal{B}(A,Y).$ Veamos que es convergente. Sea $\varepsilon >0.$ Por definición, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cualesquiera $ \, l,m \geq N, \, d_\infty(f_l,f_m) < \varepsilon.$ Así, para cada $a \in A$ se cumple que $d_Y(f_l(a),f_m(a)) \leq d_\infty(f_l,f_m) < \varepsilon$ de modo que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es uniformemente de Cauchy. De acuerdo con el Criterio de convergencia uniforme de Cauchy visto en la entrada anterior esto significa que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge uniformemente en $A$ y por tanto converge en el espacio métrico de funciones $\mathcal{B}(A,Y).$
Para probar que $\mathcal{C}^0_b(X,Y)$ es completo partimos de la proposición anterior donde concluimos que es subespacio cerrado de $\mathcal{B}(A,Y)$ que ya sabemos es completo. A partir de una proposición vista en Espacios métricos completos se sigue que $\mathcal{C}^0_b(X,Y)$ es completo.
Si $Y$ es un espacio de Banach entonces está provisto de una norma $\norm{\cdot}$ que induce una métrica bajo la cual $Y$ es completo.
Al final se te pedirá probar que el conjunto $\mathcal{B}(A,Y)$ es un espacio vectorial normado con $\norm{f}_\infty := \underset {a \in A}{sup} \, \norm{f(a)}$
En esta situación, las proposiciones se plantean de la siguiente manera:
Si $A$ es un conjunto entonces $\mathcal{B}(A,Y)$ es de Banach.
Si $X$ un espacio métrico entonces $\mathcal{C}^0_b(X,Y)$ es de Banach.
Unos resultados que requieren el concepto de compacidad
En entradas posteriores hablaremos del concepto de espacios métricos compactos. En la sección Funciones en espacios métricos compactos verás que toda función continua en un compacto es acotada. Ese resultado en suma con la proposición anterior, permite concluir que si $A$ es compacto y $X$ es completo entonces $\mathcal{C}^0(A,X):=\{\phi:A \to X \, | \, \phi \text{ es continua } \}$ es un espacio completo.
Ahora presentamos condiciones que aseguran la convergencia uniforme de una sucesión de funciones continuas en un espacio compacto a partir de la monotonía. Es decir:
Proposición. Sea $A$ un espacio métrico compacto, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de funciones continuas con $f_n:A \to \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ tal que $(f_n)$ converge puntualmente a una función continua $f.$ Si para cada $x \in A$ y $n \in \mathbb{N} \, f_n(x) \geq f_{n+1}(x),$ entonces $(f_n)$ converge a $f$ uniformemente en $A.$
Continuaremos analizando resultados de convergencia uniforme, ahora en funciones diferenciables. ¿Será diferenciable también la función límite? ¿Será convergente también la sucesión de derivadas? ¿Coincide el límite de derivadas con la derivada de la función límite?
Tarea moral
Demuestra que $(x^n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ con $x^n:[0,1] \to \mathbb{R}$ converge puntualmente a la función: \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si $0 \leq x < 1$} \\ 1 & \text{si $x = 1$} \end{cases} \end{equation*} Pero $f$ no es una función continua en $[0,1].$
Demuestra que la sucesión de funciones continuas $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ donde para cada $n \in \mathbb{N}, \, f_n:[0,1] \to \mathbb{R}$ se define como $f_n(x)= n^2x(1-x)^n,$ converge de forma puntual a la función $f(x)=0$ pero el límite no es uniforme.
Sea $A$ un conjunto, y $(Y, \norm{\cdot})$ un espacio normado. Prueba que $\mathcal{B}(A,Y)$ es un espacio vectorial con las operaciones $(f+g)(x):= f(x) + g(x)$ $(\lambda f)(x):= \lambda f(x)$ Y que $\norm{f}_\infty := \underset {a \in A}{sup} \, \norm{f(a)}$ es una norma en $\mathcal{B}(A,Y).$
En esta entrada conoceremos más propiedades de los espacios métricos compactos. Veremos qué ocurre cuando les es aplicada una función continua. Esto nos relacionará dos espacios métricos entre sí a través de los subconjuntos. Podremos concluir información acerca de la imagen de una función cuando ciertas condiciones se cumplen. Comencemos con la siguiente:
Proposición. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Si $\phi:X \to Y$ es una función continua y $A \subset X$ es compacto, entonces la imagen de $A$ bajo $\phi$, es decir, $\phi(A),$ es un conjunto compacto en $(Y,d_Y).$
La imagen continua de un compacto es compacta.
Demostración: Sea $\mathcal{C}= \{A_i \, | \, i \in \mathcal{I}\}$ una cubierta abierta de $\phi (A).$ Como $\phi$ es continua entonces la imagen inversa de $A_i,$ es decir, el conjunto $\phi ^{-1}(A_i), i \in \mathcal{I}$ es un conjunto abierto en $X.$ No es difícil probar que $\{\phi ^{-1}(A_i) \, | \, i \in \mathcal{I}\}$ es una cubierta abierta de $A.$ (Ejercicio).
La imagen inversa define una cubierta abierta en $X.$
Como $A$ es compacto, entonces existe una subcubierta finita $\{\phi ^{-1}(A_{i_1}),\phi ^{-1}(A_{i_2}),…,\phi ^{-1}(A_{i_m}) \}$ con $m \in \mathbb{N}$ tal que $A \subset \underset{1\leq j \leq m}{\bigcup}\phi ^{-1}(A_{i_j}).$ Esto significa que $\{A_{i_1},A_{i_2},…,A_{i_m}\}$ es una subcubierta en $Y$ de $\mathcal{C}$ para $\phi (A).$ (¿Por qué?) Por lo tanto $\phi (A)$ es compacto.
Los conjuntos correspondientes en $X$ definen una cubierta finita en $Y.$
Ejemplos
La función valor absoluto en un intervalo cerrado
Considera $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana y la función $f:[-1,1] \to \mathbb{R}$ donde $f(x)= |x|.$ Entonces $f$ es una función continua y $f([-1,1]) = [0,1]$ es compacto en $\mathbb{R}.$
$f$ manda el compacto $[-1,1]$ al compacto $[0,1].$
La función $sen(4x)$
Considera $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana y la función $f:[0, \pi ] \to \mathbb{R}$ donde $f(x)= sen(4x).$ Entonces $f$ es una función continua y $f([0, \pi]) = [-1,1]$ es compacto en $\mathbb{R}.$
$f$ manda el compacto $[0, \pi]$ al compacto $[-1,1].$
La función $e^x$
Considera $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana y la función $f:[0, 2 ] \to \mathbb{R}$ donde $f(x)= e^x .$ Entonces $f$ es una función continua y $f([0, 2]) = [1,e^2]$ es compacto en $\mathbb{R}.$
$f$ manda el compacto $[0, 2]$ al compacto $[1,e^2].$
Es resultado conocido que si $\phi: [0,1] \to \mathbb{R}$ es una función continua, entonces $\phi([0,1])= [a,b]$ donde $a = \underset{0 \leq x \leq 1}{min} \, f(x) \, $ y $ \, b = \underset{0 \leq x \leq 1}{max} \, f(x).$ (Ver Teorema del máximo-mínimo). En efecto $[a,b]$ es un intervalo cerrado en $\mathbb{R}$ y por tanto es compacto.
Una función continua envía intervalos en intervalos.
Bajo la misma idea podemos considerar a la función $\psi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ dada por $\psi(t)=(t,\phi(t)).$ Entonces, la curva de esta función es un conjunto compacto en $\mathbb{R}^2$
La curva $\psi([a,b])$ es un compacto en $\mathbb{R}^2.$
En la entrada anterior vimos que un conjunto compacto es cerrado y acotado. Podemos concluir el siguiente:
Corolario. Sea $A$ compacto. Entonces una función continua $\phi:A \subset X \to Y$ es acotada, pues la imagen bajo $\phi$ en el compacto es compacta y, por lo tanto, acotada. También podemos concluir que $\phi(A)$ es cerrada.
Una función continua $\phi$ de dominio compacto es acotada.
Este resultado nos permite delimitar una función en el espacio euclidiano de $\mathbb{R}$ con dos puntos importantes en el contradominio de la función: el máximo y el mínimo.
Probablemente este resultado te sea familiar de los cursos de cálculo:
Proposición. Sea $f:A\subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una función continua con $A$ cerrado y acotado (y por tanto compacto en $\mathbb{R}^n$). Entonces $f \,$ alcanza su mínimo y máximo en $A.$
La función alcanza su máximo y su mínimo en el conjunto $A.$
En otros espacios métricos puede generalizarse como sigue:
Proposición. Sea $f:A \to \mathbb{R}$ una función continua con $A$ espacio métrico compacto y $\mathbb{R}$ con la métrica usual. Entonces $f$ alcanza su mínimo y máximo en $A$, es decir, existen puntos $x_1$ y $x_2$ en $A$ tales que para toda $x \in A$ se cumple que: $$f(x_1) \leq x \leq f(x_2)$$
Demostración: Si $A$ es compacto, la proposición anterior nos muestra que $f(A)$ es cerrado y acotado. Sea $m_0= \underset{x \in A}{inf} \, \, f(x).$ Entonces $m_0 \in \overline{f(A)}$ y como $f(A)$ es cerrado, se concluye que $m_0 \in f(A)$, de modo que existe $x_1 \in A$ tal que $f(x_1)=m_0 \, $ por lo tanto $f$ alcanza su mínimo en $A.$
La demostración de que $f$ alcanza su máximo es análoga y se deja como ejercicio.
Proposición. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos con $X$ compacto y $\phi:X \to Y$ inyectiva y continua. Entonces existe la función inversa $\phi^{-1}$ en $\phi(X)$ y es continua en $\phi(X).$
Si $A$ es un cerrado en $X$ entonces $\phi(A)$ es cerrado en $Y.$
Demostración: Para demostrar que $\phi^{-1}:\phi(X) \to X$ es una función continua, basta probar que la imagen inversa de esta función aplicada en conjuntos cerrados en $X$, es un conjunto cerrado en $Y.$ Si $A$ es cerrado en $X$ entonces la imagen inversa respecto a la función $\phi^{-1}$ está dada por $\phi(A).$ Como $A$ es cerrado en un compacto entonces es compacto, de modo que $\phi(A)$ también es compacto y, por lo tanto, es cerrado en $Y.$ Esto prueba que $\phi^{-1}$ es continua.
Finalizaremos esta entrada presentando un resultado que se deduce del anterior. La solución se propone como ejercicio al lector:
Proposición. Si $\phi:X \to Y$ es una función biyectiva y continua entre espacios métricos compactos, entonces es un homeomorfismo.
$\phi$ es un homeomorfismo.
Más adelante…
Continuaremos visualizando aplicaciones de funciones continuas sobre conjuntos compactos, pero esta vez bajo una nueva definición: la continuidad uniforme.
Tarea moral
Como parte de la prueba de la primera proposición, muestra que en efecto $\{\phi ^{-1}(A_i) \, | \, i \in \mathcal{I}\}$ es una cubierta abierta de $A.$
Argumenta la parte de la demostración de la primera proposición, en la que se afirma que si $A \subset \underset{1\leq j \leq m}{\bigcup}\phi ^{-1}(A_{i_j}),$ entonces $\{A_{i_1},A_{i_2},…,A_{i_m}\}$ es una subcubierta en $Y$ de $\mathcal{C}$ para $\phi (A).$
Prueba que si $f:A \to \mathbb{R}$ es una función continua con $A$ espacio métrico compacto y $\mathbb{R}$ con la métrica usual, entonces $f$ alcanza su máximo en $A.$
Prueba que si $X$ y $Y$ son homeomorfos, entonces $X$ es compacto si y solo si $Y$ es compacto.
Demuestra que si $\phi:X \to Y$ es una función biyectiva y continua entre espacios métricos compactos, entonces es un homeomorfismo.
En entradas anteriores trabajamos ideas de convergencia de sucesiones. En ellas se observa una secuencia de puntos de un espacio métrico y se analiza si se pueden acercar mucho entre ellos o si se acercan a algún otro punto. En esta entrada, y otras correspondientes a la sección, observaremos sucesiones originadas por puntos obtenidos al evaluar funciones. Al comparar distancias entre puntos de la imagen de esas funciones podemos pensar ahora en cercanía de funciones, más aún, en si se aproximan a alguna función específica. ¡Comenzamos!
Sea $A$ un conjunto y $(X,d)$ un espacio métrico. Para cada $n \in \mathbb{N}$ considera una función $f_n:A \to X.$ Esto define una sucesión de funciones $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}.$
Representación de una sucesión de funciones.
A partir de un punto $a \in A$ (fijo) podemos definir otra sucesión con los valores que cada una de las funciones anteriores asignan a ese punto. Es decir, con los términos $f_1(a), f_2(a), f_3(a), …$ definimos la sucesión $(f_n(a))_{n \in \mathbb{N}}.$
Representación de una sucesión $(f_n(a))_{n \in \mathbb{N}}.$
Es natural preguntarse si esa sucesión de puntos es convergente. Gráficamente podemos observar que esto depende de cómo están definidas las funciones y también del valor $a$ elegido en el dominio $A.$ Por ejemplo, en el siguiente dibujo, la sucesión generada con las funciones evaluadas en $a_1$ es convergente, pues los puntos se van aproximando al eje horizontal. Por otro lado, la generada a partir del punto $a_2$ no lo es; sus puntos tienden a infinito.
Sucesiones $(f_n(a_1))_{n \in \mathbb{N}} \,$ y $(f_n(a_2))_{n \in \mathbb{N}}.$
Para formalizar estas ideas, al final de esta sección se te pedirá demostrar que la sucesión de funciones del ejemplo anterior evaluadas en $a_1$ (un punto menor que cero), es convergente. ¿Cuál es el límite? Por el contrario, para un punto mayor que cero la sucesión tiende a infinito. ¿Qué pasa al evaluar las funciones en cero?
Pero en un conjunto donde todos los puntos $a$ forman sucesiones convergentes $(f_n(a))_{n \in \mathbb{N}},$ podemos pensar en cada límite de esas sucesiones como el valor que otra función $f$ asigna en cada punto $a.$ Eso inspira la siguiente:
Para $a \in (-\infty, 0]$ la sucesión $(f_n(a))_{n \in \mathbb{N}} \, \to f(a).$
Definición. Convergencia puntual. Si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión de funciones donde para cada $n \in \mathbb{N}$ se tiene $f_n: A \to X,$ decimos que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge puntualmente en $A$ a una función $f:A \to X$ si para cada punto $a \in A$ se cumple que $\underset {n \to \infty}{lim} \, f_n(a) = f(a).$
Aunque la sucesión de funciones del ejemplo anterior no converge puntualmente en $\mathbb{R},$ sí lo hace en el intervalo $(- \infty , 0].$ Converge puntualmente a la función dada por:
La sucesión de funciones converge puntualmente a la función $f.$
La función $f$ recibe el nombre de límite puntual de la sucesión de funciones $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}.$
De acuerdo con la definición de convergencia puntual, para cada $\varepsilon >0$ y cada $a \in A$ se requiere de la existencia de un número $N_a \in \mathbb{N}$ tal que para todo $ \, n\geq N_a, \, d(f_n(a),f(a)) < \varepsilon.$
Es importante notar que, incluso cuando todas las sucesiones $(f_n(a))_{n \in \mathbb{N}} \,$ son convergentes, posiblemente el natural $N_a \,$ que satisface la definición de convergencia será diferente al variar el punto $a$ en el dominio, de ahí que lo indiquemos con un subíndice.
Tomemos nuevamente el ejemplo anterior en el intervalo $(- \infty, 0]$ donde la sucesión de funciones converge puntualmente. Partiendo de un $\varepsilon_0 >0$ fijo, observemos las siguientes sucesiones, en distintos valores del intervalo.
Puntos de las sucesiones dentro del radio $\varepsilon_0.$
Mientras que para el punto $a_1$ la sucesión se acerca al punto de convergencia $f(a_1) = 0$ en distancias menores que $\varepsilon _0$ a partir del punto evaluado en $f_2,$ para el punto $a_2$ no se acerca lo suficiente sino hasta $f_3.$ Por otra parte, los puntos de las funciones evaluadas en $a_3$ del dibujo, no se acercan en menos que $\varepsilon _0$ a su respectivo punto de convergencia sino hasta a partir de $f_k.$ Entonces, los naturales que satisfacen la condición pueden proponerse como: $$N_{a_1} = 2; \, N_{a_2}=3; \, N_{a_3} = k.$$ ¿Es posible reasignar un mismo natural a los puntos $a_1, \, a_2, \, a_3$ y satisfacer también la definición de convergencia? ¿Será posible hacerlo en todos los puntos de $(- \infty ,0].$
Cuando para todo $\varepsilon>0$ sí sea posible asegurar la existencia de un mismo valor natural $N$ que afirme la convergencia de todas las sucesiones $(f_n(a))_{a \in A} \,$ hablaremos de que la sucesión de funciones converge uniformemente:
Definición. Convergencia uniforme. Considera una sucesión de funciones $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ donde para cada $n \in \mathbb{N}, \, f_n:A \to X \, $ con $A$ un conjunto y $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge uniformemente a una función $f:A \to X$ si para toda $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $n \geq N$ y para toda $a \in A$ se cumple que $d(f_n(a),f(a))< \varepsilon.$
En este caso nos referiremos a $f$ como el límite uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}.$
Ejemplo: Consideremos la misma sucesión de funciones $(n^x)_{n \in \mathbb{N}} \,$ pero ahora con dominio $(- \infty, a]$ con $a < 0.$
Sea $\varepsilon >0.$ Toma el $N_a \in \mathbb{N}$ que satisface que para todo $ n\geq N_a, \, d(f_n(a),0) < \varepsilon$ el cual existe, pues $f_n(a) \to 0.$ Nota que este mismo natural funciona para probar la convergencia de la sucesión de puntos de funciones evaluadas en cualquier otro punto de $(- \infty,a].$ La demostración de este hecho quedará como ejercicio.
A partir de la función morada, todas las siguientes están dentro de la región de $\varepsilon$ en el dominio.
Nota que si una sucesión $(f_n)$ converge uniformemente a $f$ entonces también converge puntualmente a $f.$ Por el contrario, podemos tener sucesiones que convergen puntualmente pero no uniformemente:
Ejemplo: Aunque la sucesión $(n^x)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge puntualmente en $(- \infty , 0]$ no converge uniformemente en el mismo dominio. Sea $\varepsilon = \frac{1}{2}$ y $k \in \mathbb{N}.$ Como la imagen de $k^x$ es $(0,1]$ entonces existe $a_0 \in (- \infty , 0)$ (donde $(n^{a_0})_{n \in \mathbb{N}} \to 0$) tal que $k^{a_0}> \varepsilon .$ Por lo tanto, el límite no es uniforme.
Siempre hay una sucesión cuyo término en posición $\geq k \in \mathbb{N}$ queda fuera del radio $\varepsilon.$
Esta no es la primera vez que hablamos de identificar distancias entre una función y otra. En la entrada Espacios de funciones definimos el espacio $\mathcal{B}(A,X)$ cuyos elementos son funciones acotadas de un conjunto $A$ en un espacio $X$ y la métrica está dada por: $$d_\infty(f,g):= \underset{a \in A}{sup \,} \, d(f(a),g(a)), \, f,g \in \mathcal{B}(A,X)$$
Representación distancia entre funciones acotadas.
La convergencia uniforme de una sucesión de funciones acotadas es equivalente a la convergencia como elementos del espacio métrico de funciones $\mathcal{B}(A,X),$ es decir:
Proposición. Sea $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $\mathcal{B}(A,X).$ Entonces, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge uniformemente a $f: A \to X$ en $A$ si y solo si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge a $f$ en $\mathcal{B}(A,X).$
Demostración (ida): Sea $\varepsilon >0.$ Como $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge uniformemente a $f: A \to X$ en $A,$ existe $N \in \mathbb{N} \,$ tal que para cada $k \geq N$ se cumple que para cada $a \in A, \, d(f_k(a),f(a)) < \frac{\varepsilon}{2} .$
1. $f$ está en el espacio $\mathcal{B}(A,X):$ Como $f_N$ es acotada, existen $x_0 \in X$ y $M \in \mathbb{R}$ tales que para toda $a \in A,$ $d(f_N(a),x_0) \leq M$ En consecuencia $d(f(a),x_0) \leq d(f(a),f_N(a))+d(f_N(a),x_0) < \frac{\varepsilon}{2} + M < \varepsilon + M$ Y como esto es posible para todo $ \varepsilon >0$ concluimos que $f$ es acotada.
2.$(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \to f$ en $\mathcal{B}(A,X):$ Teniendo a $\varepsilon$ como cota superior del conjunto $\{ d(f_k(a),f(a)) : a \in A \}$ se sigue que $d_\infty(f_k,f)= \underset{a \in A}{sup \,} \, d(f_k(a),f(a)) \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon ,$ lo cual demuestra que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge a $f$ en $\mathcal{B}(A,X).$
El regreso es análogo y se propone como ejercicio.
Definición. Sucesión uniformemente de Cauchy. Sea $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de funciones con $f_n:A \to X, \, n \in \mathbb{N}.$ Decimos que $(f_n)$ es uniformemente de Cauchy en $A,$ si para todo $\, \varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $\, l,m \geq N$ y para todo $ \, a \in A,$ $$d(f_l(a),f_m(a))< \varepsilon .$$
Nota que en la definición solo se menciona que las funciones de la sucesión se vuelven arbitrariamente cercanas dos a dos (en cualquier punto del dominio), a partir de alguna función.
La siguiente imagen muestra una sucesión uniformemente de Cauchy.
$f_k:[0,2] \to \mathbb{R}, \, f_k=\frac{x}{kx+1}, \, k \in \mathbb{N}.$
¿Cuándo podremos decir que una sucesión de funciones con esta propiedad converge de manera uniforme?
Para finalizar, veamos el siguiente resultado en espacios donde toda sucesión de Cauchy es convergente.
Teorema. Criterio de convergencia uniforme de Cauchy. Sea $(X,d)$ un espacio métrico completo. Una sucesión de funciones $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ con $f_n:A \to X, \, n \in \mathbb{N}$ converge uniformemente en $A$ si y solo si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es uniformemente de Cauchy en $A.$
Demostración: Partamos de suponer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge uniformemente en $A$ a alguna función $f:A \to X.$ Sea $\varepsilon >0.$ Existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cada $l, m \geq N$ se cumple que para cada $a \in A$: $$d(f_l(a),f_m(a)) \leq d(f_l(a),f_N(a))+d(f_N(a),f_m(a)) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$ Por lo tanto $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es uniformemente de Cauchy en $A.$
Ahora supón que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es uniformemente de Cauchy en $A.$ Sea $\varepsilon>0.$ Existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para cada $l, m \geq N$ se cumple que para cada $a \in A, \, d(f_l(a),f_m(a))< \varepsilon.$ Esto significa que la sucesión $(f_n(a))_{n \in \mathbb{N}} \,$ (formada por los puntos de las funciones evaluadas en un $a \in A$ fijo) es de Cauchy. Como $X$ es completo, se sigue que $(f_n(a))_{n \in \mathbb{N}} \to L_a$ para algún $L_a \in X.$ Sea $f:A \to X$ tal que para cada $a \in A, \, f(a) = L_a.$ Queda como ejercicio al lector demostrar que $f$ es el límite uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}.$
Más adelante…
Observaremos sucesiones de funciones continuas que convergen. ¿Será continua la función límite? ¿Dependerá de si la convergencia es puntual o uniforme?
Tarea moral
Para cada $n \in \mathbb{N}$ considera la función $n^x: \mathbb{R} \to \mathbb{R}.$ Donde tanto en el dominio como en el contradominio, $\mathbb{R}$ tiene la métrica euclidiana. Sea $a \in \mathbb{R}.$ Demuestra que: a) Si $a<0$ entonces $(n^a)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es convergente. ¿Cuál es el límite? b) Si $a >0$ entonces $(n^a)_{n \in \mathbb{N}} \,$ tiende a infinito. c) ¿Qué ocurre con la sucesión cuando $a=0?$
Consideremos la misma sucesión de funciones $(n^x)_{n \in \mathbb{N}} \,$ pero ahora con dominio $(- \infty, a]$ con $a < 0.$ Sea $\varepsilon >0.$ Toma el $N_a \in \mathbb{N}$ que satisface que para todo $ n\geq N_a, \, d(f_n(a),0) < \varepsilon$ el cual existe, pues $f_n(a) \to 0.$ Demuestra que para todo $a^*<a$ también se cumple que para todo $ n\geq N_a, \, d(f_n(a^*),0) < \varepsilon$ y por tanto la convergencia en $(- \infty,a]$ es uniforme.
Demuestra el regreso de la siguiente proposición: Sea $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $\mathcal{B}(A,X).$ Entonces, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge uniformemente a $f: A \to X$ en $A$ si y solo si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge a $f$ en $\mathcal{B}(A,X).$
En la demostración del criterio de convergencia uniforme de Cauchy, demuestra que $f$ como fue definida, es el límite uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}.$
Supón que para cada $x \in A$ se cumple que $\underset{n \in \mathbb{N}}{lim} \, f_n(x) =f(x).$ Si definimos $M_n$ como $M_n=\underset{n \in \mathbb{N}}{sup} \, \, d(f_n(x),f(x))$ entonces $f_n \to f$ de manera uniforme si y solo si $M_n \to 0$ en $\mathbb{R}.$
Hasta este punto, ya hemos visto varias propiedades que las funciones continuas tienen entre espacios métricos. De acuerdo a la definición, la continuidad en un punto se da cuando los puntos cercanos a él, son enviados a puntos cercanos en el otro espacio métrico.
Representación del comportamiento de una función continua.
Dado $\varepsilon >0$, incluso cuando la función $\phi :X \to Y$ es continua en todos los puntos $x_0$ de $X$, el valor de una $\delta_{x_0}$ que cumple que $\phi (B_X(x_0,\delta_{x_0})) \subset B_Y(\phi(x_0), \varepsilon)$ podría ser diferente para cada punto.
Por ejemplo, sabemos que la función identidad $I:[0,1] \to [0,1]$ es continua en $[0,1].$ Si suponemos $\varepsilon = \frac{1}{3}$ podemos hablar más explícitamente de la continuidad en los puntos $\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{3}$ asignando $\delta_1 = \frac{1}{3}$ y $\delta_2 = \frac{1}{6}$, respectivamente.
El área delimitada por los cuadrados es el espacio donde está la gráfica de la función. No rebasa el radio $\varepsilon,$ pues es continua.
Podemos comprobar que ambas deltas satisfacen la definición de continuidad y sin embargo son diferentes. No obstante, eligiendo $\delta$ como la mínima entre las dos, podemos argumentar también la continuidad en ambos puntos con la misma $\delta.$
El cuadrado verde se hace más pequeño al elegir $\delta$ pero la gráfica cerca del punto sigue quedando dentro de los límites de radio $\varepsilon.$
En general, en una cantidad finita de puntos donde la función es continua, también es posible elegir el valor de $\delta$ mínimo y este funciona para demostrar la continuidad en cada punto, pero si la continuidad es en un conjunto infinito no siempre existe una delta general .
En los ejemplos de continuidad que hemos visto, fijamos un punto en el espacio del dominio $X$ y observamos un conjunto en torno a él (la bola de radio $\delta$).
Representación del espacio donde está una función continua en un punto para un valor $\delta’$ que funciona para $\varepsilon’.$
¿Qué pasa si nos fijamos en bolas de radio $\delta$ de manera arbitraria en el dominio? ¿Serán enviados a puntos cercanos en el espacio métrico $Y$?
De acuerdo con el dibujo, este valor de $\delta$ no funciona en la segunda región, pues hay puntos de la curva que quedan fuera del cuadrado rosa.
Esta discusión incentiva la siguiente:
Definición. Función uniformemente continua. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos. Decimos que una función $\phi :X \to Y$ es uniformemente continua en $X$ si dada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que para cualesquiera $x_1, x_2 \, \in \, X$, si satisfacen que $d_X(x_1,x_2)< \delta$, entonces $d_Y(\phi(x_1), \phi(x_2)) < \varepsilon.$
Representación del comportamiento de una función uniformemente continua.
Al final de esta sección se propone demostrar que toda función uniformemente continua es continua. No obstante, hay funciones continuas que no son uniformemente continuas.
Ejemplo: La función $f:(0,\infty) \to \mathbb{R}, \, f(x)= \frac{1}{x}$ es continua en $(0,\infty)$ pero no es uniformemente continua, pues si consideramos $\varepsilon=1$ y cualquier $\delta>0$ todos los pares de puntos en el intervalo $(0,\delta)$ tienen distancia menor que $\delta.$ Sea $x_2 \in (0,\delta).$ Como $f$ es decreciente y tiende a $\infty$ en cero por la derecha entonces existe $x_1 < x_2$ tal que $f(x_1)>1+f(x_2)$ por lo tanto, aunque $|x_2-x_1|< \delta$ se tiene que $|f(x_2)-f(x_1)|>1= \varepsilon$ y en consecuencia, la función no es uniformemente continua.
$f$ no es uniformemente continua.
Pero hay una propiedad que hace equivalentes ambos tipos de funciones:
Proposición. Sea $A$ un espacio métrico compacto. Si $\phi : A \to Y$ es una función continua, entonces $\phi$ es uniformemente continua.
Demostración: Supón por el contrario que $\phi:A \to Y$ no es uniformemente continua. Entonces existe $\varepsilon >0$ tal que para todo $\, \delta>0$ existen $a_1,a_2$ con distancia menor que $\delta$ pero cuya distancia correspondiente en $Y$ para $\phi(a_1)$ y $\phi(a_2)$ no es menor que $\varepsilon,$ esto es, $d_Y(\phi(a_1),\phi(a_2)) \geq \varepsilon.$
Particularmente, para cada $n \in \mathbb{N}$ existen $x_n,x’_n \in A$ tales que $d_A(x_n,x’_n)<\frac{1}{n}$ y $d_Y(\phi(x_n),\phi(x’_n)) \geq \varepsilon.$
Entonces la sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ que está en $A$ compacto, tiene una subsucesión $(x_{k_j})$ que converge en algún $x \in A.$ (Resultado visto en Compacidad en espacios métricos). La sucesión correspondiente $(x’_{k_j})$ también converge en $x,$ pues:
Entonces, como $\phi$ es continua se cumple que $\phi(x_{k_j}) \to \phi(x)$ y $\phi(x’_{k_j}) \to \phi(x)$ de modo que existe $J \in \mathbb{N}$ tal que.
Pero esto es una contradicción, pues al principio se seleccionaron términos que satisfacen que $d_Y(\phi(x_{k_j}),\phi(x’_{k_j})) \geq \varepsilon.$ Por lo tanto la función sí es uniformemente continua.
Más adelante…
Ya que conocemos algunos resultados de la compacidad en los conjuntos, mostraremos una herramienta para identificarla en espacios de funciones: el teorema de Arzelá-Azcoli. En la siguiente sección veremos las definiciones que nos llevarán a ella.
Tarea moral
Demuestra que toda función uniformemente continua es continua.
¿Es cierto que toda función Lipschitz continua es uniformemente continua?
¿Es cierto que toda función uniformemente continua es Lipschitz continua?
En esta sección mostraremos los fundamentos de uno de los términos más importantes de las matemáticas. Una descripción histórica la presenta Yanina del Carmen Rodríguez Reyes, en la tesis «Desarrollo histórico-pedagógico del concepto de compacidad» en la Universidad de Panamá, República de Panamá 2018.
«La compacidad surgió de uno de los periodos más productivos de la actividad matemática. En la segunda mitad del siglo XIX en Europa las matemáticas avanzadas comenzaron a tomar la forma que conocemos actualmente. Muchos matemáticos, incluyendo Weierstrass, Hausdorff y Dedekind estaban preocupados por los fundamentos de las matemáticas y comenzaron a hacer muchas rigurosidades de las ideas que durante siglos habían sido dadas por sentado. Mientras que algunos de los trabajos del siglo XIX se pueden remontar a las preocupaciones matemáticas de los antiguos griegos, el nivel de rigor y la abstracción refleja una revolución en el pensamiento matemático. Fréchet fue influenciado por muchos contemporáneos y predecesores pero parece que merece el crédito como el padre de la compacidad. Fue Fréchet quien dio el nombre al concepto en un documento que conduce a su tesis doctoral de 1906. Fréchet también define por primera vez espacios métricos aunque no usando ese término y de hecho incursiona en el análisis funcional proporcionando así un contexto para el cual la importancia de la compacidad se hizo indiscutible”. (Rodríguez, 2018).
Conjuntos compactos
Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A \subset X.$ Podemos pensar en «cubrir» este subconjunto a través de otros a modo de la siguiente imagen, es decir, conjuntos cuya unión logre contener a $A.$
$A$ cubierto por conjuntos.
La cantidad de subconjuntos que forman parte de la cubierta elegida puede ser finita, numerable o no numerable, entonces, para ser formales, cada subconjunto se puede indexar con los elementos de algún conjunto $\mathcal{I}.$ Así tenemos la siguiente:
Definición. Cubiertade un conjunto. Sea $A \subset X.$ Decimos que una familia de subconjuntos $\mathcal{C} = \{A_{i} \subset X \, | \, i \in \mathcal{I} \}$ es una cubierta de $A$ en $X$ si $$A \subset \underset{i \in \mathcal{I}}{\cup} \, A_{i} \,$$
Representación de conjuntos cuya unión contiene a $A,$ es decir, una cubierta de $A.$
Definición. Cubierta abierta. Si para toda $i \in \mathcal{I}$ se cumple que el conjunto $A_i \,$ es abierto, diremos que $\mathcal{C}$ es una cubierta abierta de $A$ en $X.$
Representación de conjuntos abiertos cuya unión contiene a $A,$ es decir, una cubierta abierta de $A.$
Definición. Subcubierta. Si tomamos conjuntos de una cubierta $\mathcal{C}$, digamos, una familia $\mathcal{C’} \subset \mathcal{C} \, $ y $\, \mathcal{C’}$ es también una cubierta de $A$ diremos que $\mathcal{C’}$ es unasubcubiertade $\mathcal{C}.$
Los conjuntos en rosa son una subcubiertade $\mathcal{C}.$
Definición. Conjunto compacto. Sea $A$ un conjunto de un espacio métrico $(X,d).$ Decimos que $A$ es un conjunto compacto si dada cualquier cubierta abierta $\mathcal{C}$ de $A$, existe una subcubierta finita de $\mathcal{C}.$
El concepto de compacidad suele tomar mayor relevancia cuando en un espacio topológico se considera el subespacio generado por el conjunto compacto. En estos casos se le denomina espacio topológico compacto.
Representación de una subcubierta finita abierta (de conjuntos abiertos). Decimos que $A$ es compacto.
Según la definición, para demostrar que un conjunto $A$ no es compacto, bastará con identificar una cubierta abierta de la cual no sea posible extraer una subcubierta finita (conjuntos cuya unión logre contener el conjunto $A$).
Ejemplos
El conjunto $\mathbb{R}$ con la métrica euclidiana no es compacto.
Demostración: El conjunto de intervalos abiertos con centro en $0$ y radio $n, \, n \in \mathbb{N}$ es decir, $\mathcal{C}=\{(-n,n) \, | \, n \in \mathbb{N}\}$ es una cubierta abierta de $\mathbb{R}.$ Pero si consideramos un subconjunto finito $\mathcal{C’} \subset \mathcal{C}$ entonces $\mathcal{C’} = \{(-k_1,k_1),(-k_2,k_2),…,(-k_m,k_m)\}$ con $k_1,k_2,…,k_m \in \mathbb{N}.$ Sea $k=max\{k_1,k_2,…,k_m\}$ podemos ver que la unión de los elementos en $\mathcal{C’}$ es el intervalo $(-k,k)$ que claramente, no contiene a $\mathbb{R}$, por lo tanto $\mathbb{R}$ no es compacto.
Representación de intervalos de la subcubierta finita. Su unión no contiene a $\mathbb{R}.$
Un espacio discreto es compacto si y solo si es finito.
Considera un conjunto $X$ con la métrica discreta. Entonces, para cada $x \in X$ el conjunto $\{ x \}$ es abierto, así $\, \mathcal{C}=\{\{x\} \, | \, x \in X\}$ es una cubierta abierta de $X.$ Un subconjunto finito de esta cubierta estaría dada por $\mathcal{C’}=\{\{x_1\},\{x_2\},…,\{x_k\}\}, \, k \in \mathbb{N}$ cuya unión de conjuntos contiene $k$ elementos. Por lo tanto, si $X$ es infinito no es compacto con la métrica discreta. La prueba de que si $X$ es finito entonces es compacto se deja como ejercicio al final de esta sección.
Si $(X,d_{disc})$ es infinito no hay subcubierta finita.
Proposición. Si $A$ es un conjunto compacto en $(X,d)$, entonces toda sucesión en $A$ tiene una subsucesión que converge en $A.$
Demostración: Sea $A \subset X$ compacto y $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión en $A.$ Demostraremos primero que existe un punto $x \in A$ tal que toda bola abierta con centro en $x$ tiene una subsucesión de $(x_n).$ Supón por el contrario que no es así, es decir, para todo punto $x \in A$ existe $\varepsilon_x >0$ y existe $k_x \in \mathbb{N}$ tal que para toda $k \geq k_x, \, x_k \, \notin \, B(x,\varepsilon_x).$
No hay subsucesión dentro de la bola abierta pues todos los últimos términos de la sucesión están fuera de ella.
El conjunto de todas estas bolas abiertas, $\{B(x, \varepsilon_x) \, | \, x \in A\}$ es una cubierta abierta del conjunto $A.$ Como $A$ es compacto, existe $\{B(x_1, \varepsilon_{x_1}),B(x_2, \varepsilon_{x_2}),…,B(x_m, \varepsilon_{x_m})\}$ subcubierta finita. Sea $l := max \{k_{x_1},k_{x_2},…,k_{x_m} \}$ entonces para toda $k \geq l,$ el término $x_k \notin \underset{1\leq i \leq m}{\cup} \, B(x_i, \varepsilon_{x_i}) \supset A,$ en consecuencia $x _k \notin A$ lo cual es una contradicción, pues todos los términos de la sucesión están en $A$, por lo tanto existe un punto $x \in A$ tal que toda bola abierta con centro en $x$ tiene una subsucesión de $(x_n).$
Cubierta finita de bolas abiertas con centros $x_1, \, x_2,…, x_m.$
Sea $x \in A$ dicho punto. Por la propiedad mencionada es posible seleccionar un punto $x_{k_j}$ de la sucesión que esté en cada bola $B(x,\frac{1}{j}), \, j \in \mathbb{N}$ tal que no se repita con los anteriores y conserven el orden de la sucesión original. Por lo tanto $(x_{k_j})$ es subsucesión de $(x_n)$ y $x_{k_{j}} \to x.$ Así probamos que toda sucesión de un conjunto compacto tiene una subsucesión que converge en él.
El punto verde representa a $x_{k_1} \in B(x,1).$
El punto verde representa a $x_{k_2} \in B(x,\frac{1}{2}).$
El punto verde representa a $x_{k_3} \in B(x, \frac{1}{3}).$
Proposición.Si $A \subset X$ es compacto entonces es cerrado y acotado.
Demostración: Recordemos que un conjunto es cerrado si y solo si es igual a su cerradura. Como $A \subset \overline{A}$ basta demostrar que $\overline{A} \subset A.$ Sea $x \in \overline{A}$ entonces existe una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ en $A$ que converge en $x,$ (visto en Convergencia). Pero por la proposición que acabamos de ver, $(x_n)$ tiene una subsucesión que converge en $A.$ Por la unicidad del límite, ese punto de convergencia es $x$, por lo tanto $x \in A.$
La subsucesión converge en $x.$ Por lo tanto $x \in A.$
Para probar que $A$ es acotado notemos lo siguiente. Si fijamos un punto $x_0 \in X$, podemos poner cada $x \in A$ en una bola abierta con centro en $x_0$ y radio mayor a la distancia $d(x,x_0).$ Elegimos el radio como un número natural $k \,$ suficientemente grande, tal que $d(x,x_0)<k.$ Entonces $x \in B(x_0,k).$
Cada punto de $A$ está en una bola abierta de $x_0.$
En consecuencia el conjunto de bolas abiertas $\{B(x_0,n) \, | \, n \in \mathbb{N}\}$ es una cubierta abierta del conjunto $A$ que, como es compacto, tiene una subcubierta finita $\{B(x_0,n_1), B(x_0,n_2),…,B(x_0,n_m)\}.$ Sea $M := max \{n_1,n_2,…,n_m\}$ entonces $A \subset B(x_0,M)$ por lo tanto $A$ es acotado.
$A \subset B(x_0,M).$
Veamos una condición que hereda la compacidad a un subconjunto de un conjunto compacto:
Proposición. Un subconjunto cerrado $B$ de un conjunto compacto $A$ también es compacto.
Demostración:
Sea $B \subset A$ con $B$ cerrado y $A$ compacto. Considera $\mathcal{C} = \{B_{i} \subset X \, | \, i \in \mathcal{I} \}$ una cubierta abierta de $B.$
Representación de una cubierta abierta de $B.$
Como $B$ es cerrado, entonces el conjunto $X \setminus B$ es abierto.
$X \setminus B$ es abierto.
Dado que $B \subset A,$ si agregamos $X \setminus B$ a la cubierta de $B$ tenemos que $\mathcal{C} \cup \{X \setminus B\}$ es una cubierta abierta de $A.$
$\mathcal{C} \cup \{X \setminus B\}$ es una cubierta abierta de $A.$
Al ser el conjunto $A$ compacto, se sigue que esta cubierta tiene una subcubierta finita que satisface: $$B \subset A \subset B_{i_1} \cup…\cup B_{i_n} \cup (X \setminus B).$$ con $n \in \mathbb{N}.$
Por lo tanto $\mathcal{C’}=B_{i_1},…,B_{i_n}$ es una subcubierta finita de $\mathcal{C}$ lo cual concluye que $B$ es compacto.
La cubierta abierta de $B$ tiene una subcubierta finita.
Ahora estamos listos para recordar un resultado conocido de los cursos de cálculo:
Teorema de Heine-Borel.Considera $\mathbb{R}^n$ con la métrica euclidiana y $A \subset \mathbb{R}^n.$ Entonces $A$ es un conjunto compacto si y solo si es cerrado y acotado.
Demostración: De acuerdo con una proposición vista arriba, solo nos falta probar el regreso. Sea $A \subset \mathbb{R}^n$ un conjunto cerrado y acotado. Como $A$ es acotado, existe un $n$-cubo $I_0= [a_1,b_1]\times… \times [a_n,b_n],$ donde para cada $k=1,…,n, \, (b_k -a_k) =r$ para algún $r \in \mathbb{R},$ (es decir, todas las aristas son del mismo tamaño), tal que $A \subset I_0$.
Representación de $A$ cerrado y acotado en $\mathbb{R}^3.$
$A$ contenido en el cubo $I_0$
Primero probaremos que $I_0$ es compacto.
Supongamos por el contrario, que existe una cubierta abierta $\mathcal{C}$ de $I_0$ que no tiene subcubierta finita. Si dividimos por la mitad cada arista obtenemos $2^n$ cubos contenidos en $I_0$. Sabemos que al menos uno de ellos no tiene una cubierta finita de $\mathcal{C}$ (pues de lo contrario $I_0$ sí podría ser cubierto por una cantidad finita de elementos de $\mathcal{C}$). Sea $I_1$ ese cubo.
$I_1$ es representado por el cubo naranja.
Ahora dividimos por la mitad las aristas de $I_1$ y obtenemos otros $2^n$ cubos contenidos en $I_1.$ Por el mismo argumento, uno de estos cubos no tiene una cubierta finita de $\mathcal{C}.$ Sea $I_2$ ese cubo.
$I_2$ contenido en $I_1$
Mediante bisecciones sucesivas de las aristas de los cubos seleccionados, construimos una sucesión de cubos encajados $I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \dots$ tales que ninguno puede ser cubierto por una familia finita de abiertos de $\mathcal{C}$ y cuyos diámetros tienden a cero.
Dado que los cubos son cerrados, se cumplen las condiciones de la última proposición vista en Conjuntos anidados, de modo que $ \underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap} I_k = x^*$ para algún $x^* \in I_0.$ En consecuencia, existe $\mathcal{U} \in \mathcal{C}$ tal que $x^* \in \mathcal{U}$. Como $\mathcal{U}$ es abierto, existe $\varepsilon >0$ tal que la bola $B(x^*, \varepsilon) \subset \mathcal{U}$. Para un $k$ «suficientemente grande», $I_k \subset B(x^*, \varepsilon) \subset \mathcal{U}$, lo cual contradice que $I_k \,$ no tuviera subcubierta finita. Por lo tanto, $I_0 \,$ es compacto.
Herencia de la compacidad: Dado que $A$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^n$ y $A \subset I_0$, donde $I_0$ es un conjunto compacto, aplicamos la proposición anterior. Por lo tanto, $A$ es compacto.
Representación de conjuntos compactos en $\mathbb{R}^3,$ conjuntos cerrados y acotados.
No obstante, hay espacios métricos en los que no es suficiente que un conjunto sea cerrado y acotado para que sea compacto:
Ejercicio: Considera el conjunto $\mathbb{R}$ y $d$ definida como $d(x,y):=min\{1, |x-y|\}, \, x,y \in \mathbb{R}$ entonces tenemos lo siguiente:
$d$ es una métrica en $\mathbb{R}.$
$d$ induce en $\mathbb{R}$ los mismos conjuntos abiertos que la métrica usual. Entonces un conjunto es compacto en $(\mathbb{R},d)$ si y solo si lo es en $(\mathbb{R},d_2).$
El conjunto $[0,\infty)$ es cerrado y acotado en $(\mathbb{R},d),$ pero no es compacto, pues no lo es en $(\mathbb{R},d_2).$
Pero no solo hay espacios cerrados y acotados que no son compactos. Otro hecho que probablemente te llame la atención es conocer que, contrario a lo que ocurre en el espacio euclidiano en $\mathbb{R}^n,$ hay espacios donde hay bolas cerradas que no son compactas:
Ejemplo. Considera el espacio $\ell_{\infty}.$ El conjunto dado por $\overline{B}(\mathcal{0},1)$ (donde $\mathcal{0}$ es la sucesión que en todos los términos vale 0), es cerrado y acotado en $\ell_{\infty}$ pero no es compacto.
Demostración: Es inmediato notar que $\overline{B}(\mathcal{0},1)$ es acotado. Por otro lado, en la entrada Nociones topológicas básicas en espacios métricos se dejó como tarea moral (ejercicio 4) que una bola cerrada en un espacio métrico es un conjunto cerrado. No obstante, no se da la compacidad: Sea $\varepsilon = \frac{1}{2}.$ Vamos a cubrir la bola $\overline{B}(\mathcal{0},1)$ con bolitas de radio $\frac{1}{2},$ esto es, $\{B(x,\frac{1}{2}) \, | \, x \in \overline{B}(\mathcal{0},1) \}$ es una cubierta abierta para $\overline{B}(\mathcal{0},1).$
Nota que las sucesiones $e_i$ donde $e_i$ toma a $1$ como valor en la entrada $i$ y $0$ en el resto, son elementos de la bola, pues para cada $i \in \mathbb{N}$ se cumple que $\norm{e_i}_{\infty}=1.$
$e_i$ vale $1$ en la posición $i.$
Veamos ahora que hay a lo más una sucesión $e_i$ en cada bolita de la cubierta, pues si existen $j,k \in \mathbb{N}$ y $x \in \overline{B}(\mathcal{0},1)$ tales que $e_j, \, e_k \in B(x,\frac{1}{2})$ tenemos por la desigualdad del triángulo que $\norm{e_j- e_k}_{\infty} \leq \norm{e_j- x}_{\infty} + \norm{x- e_k}_{\infty} < \frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1.$ Pero esto no es verdad, pues para cualesquiera $j,k \in \mathbb{N}$ se satisface $\norm{e_j- e_k}_{\infty}=1.$
Por lo tanto no es posible cubrir, en principio, con una cantidad finita al conjunto $\{e_i \, | \, i \in \mathbb{N}\} \subset \overline{B}(\mathcal{0},1)$ en consecuencia, la bola cerrada $\overline{B}(\mathcal{0},1)$ no es compacta. Un argumento análogo al que acabamos de mostrar puede usarse para concluir que el espacio de sucesiones $\{e_i \, | \, i \in \mathbb{N}\}$ en $\ell_1$ no es compacto. En la siguiente entrada probaremos que no tiene la propiedad que se denomina como «totalmente acotado», lo cual también implica que no es compacto.
Finalizamos esta sección con los siguientes resultados para así cumplir con una deuda pendiente correspondiente a la última proposición de La métrica de Hausdorff que decía que si $(X,d)$ es un espacio métrico compacto y $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de subespacios compactos en él, se cumple que si $A_{n+1} \subset A_n$, entonces $A_n \to \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n$ en $\mathcal{M}(X).$ Veremos que podemos hablar del conjunto límite porque no es vacío.
Teorema. Considera $ \{ A_{\alpha} \, | \, \alpha \in \mathcal{A} \}$ una colección de subconjuntos compactos de un espacio métrico $(X,d).$ Si ocurre que cualquier intersección finita de elementos de $\{A_{\alpha}\}$ es no vacía, entonces la intersección de todos los elementos también es no vacía. Es decir: $$\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\bigcap} \, A_{\alpha} \, \neq \emptyset$$
Demostración: Supón por el contrario que la intersección es vacía. Sea $A_1 \in \{A_{\alpha}\}$ entonces no existe punto de $A_1$ que pertenezca al mismo tiempo, a todos los elementos de $\{A_{\alpha}\}$ Sea $C_{\alpha} := X \setminus A_{\alpha}.$ Entonces $ \{ C_{\alpha} \, | \, \alpha \in \mathcal{A} \}$ es una cubierta abierta de $A_1$ que, por ser compacto, tiene una subcubierta finita, así: $A_1 \subset (C_{\alpha_1} \cup … \cup C_{\alpha_n})$ para algunos ${\alpha_1},…{\alpha_n}, \in \mathcal{A},$ de modo que para cada $x \in A_1, \, x \in C_{\alpha_i}$ para algún $i \in \{1,…,n\}$ lo que implica que $x \notin A_{\alpha_i}$ y también que $x \notin A_{\alpha_1} \cap … \cap A_{\alpha_n}.$ En consecuencia $A_1 \cap A_{\alpha_1} \cap … \cap A_{\alpha_n} = \emptyset$ lo cual es una contradicción a la hipótesis, por lo tanto $$\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\bigcap} \, A_{\alpha} \, \neq \emptyset$$
Corolario.Si $ \{ A_{n} \, | \, n \in \mathbb{N} \}$ es una colección de subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico $(X,d)$ tales que para cada $n \in \mathbb{N} , \, A_n \supset A_{n+1}$ se cumple que $\underset{n \in \mathbb{N}}{\bigcap} \, A_n \neq \emptyset .$
Proposición. Sea $A$ un espacio métrico compacto, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de funciones continuas con $f_n:A \to \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ tal que $(f_n)$ converge puntualmente a una función continua $f.$ Si para cada $x \in A$ y $n \in \mathbb{N} \, f_n(x) \geq f_{n+1}(x),$ entonces $(f_n)$ converge a $f$ uniformemente en $A.$
Demostración: Para cada $n \in \mathbb{N}$ definimos $g_n := f_n – f.$ Entonces $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión de funciones continuas en $A.$ Es sencillo probar que $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ converge puntualmente a $0.$
Sea $\varepsilon >0.$ Ahora, para cada $n \in \mathbb{N}$ definimos un conjunto con los puntos de $A$ que bajo la función $g_n \,$ quedan fuera de la bola de radio $\varepsilon$ con centro en $0.$ Formalmente:
Nota que este conjunto es complemento de la imagen inversa de la función continua $g_n \,$ en la bola abierta $B(0,\varepsilon).$ Por lo tanto $A_n$ es cerrado en $A.$ Esa propiedad se vio en Funciones continuas en espacios métricos. Arriba vimos que cada conjunto cerrado de un compacto hereda la compacidad, en consecuencia cada $A_n$ es compacto.
Nota además que para cada $n \in \mathbb{N}, \, A_{n+1} \subset A_n.$ La intersección de todos estos conjuntos es vacía, pues si existe $x_0 \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, A_n$ entonces para toda $n \in \mathbb{N}, \, g_n(x_0) \notin \, B(0,\varepsilon)$ lo cual no puede ser, pues $g_n(x_0) \to 0.$ A partir del corolario visto un par de lineas arriba se sigue que existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $A_N$ es vacío. Entonces, para todo $k \geq N, \, A_k = \emptyset.$ Así para cada $a \in A$ se cumple que $0 \leq g_k(a) < \varepsilon.$ Por lo tanto $(f_n)$ converge a $f$ uniformemente en $A.$
Más adelante…
Conoceremos los efectos que producen algunas funciones al ser aplicadas en conjuntos compactos. ¿Será posible conservar la compacidad al enviar conjuntos de un espacio métrico a otro? ¿Qué propiedades tendrá la imagen de una función continua?
Tarea moral
Resuelve el ejercicio planteado arriba.
Prueba que un espacio discreto finito es compacto. ¿Es necesario que tenga asociada la métrica discreta?
Demuestra que cada subconjunto infinito de un conjunto compacto posee un punto de acumulación en el conjunto compacto.
Da un ejemplo de un conjunto $A$ que sea cerrado pero no acotado y una cubierta abierta y numerable de $A$ que no tenga una subcubierta finita.
Prueba que si $A$ es cerrado y $B$ es compacto, entonces $A \cap B$ es compacto.
Prueba que la intersección arbitraria de conjuntos compactos es compacta.
Demuestra que una sucesión de Cauchy en un conjunto compacto es convergente.
Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A \subset X$ un conjunto compacto. Demuestra que el subespacio $(A,d)$ es completo.
