Introducción

Como ya podrás haber notado, identificar la compacidad en un espacio métrico es una situación recurrente y de interés en cursos de Análisis. Naturalmente han surgido resultados que permiten identificarla con mayor facilidad en conjuntos cuya métrica no es tan sencilla de manejar, como los espacios de funciones.

En esta entrada veremos un teorema útil para trabajar en el espacio $\mathcal{C^0}(X,Y).$

Teorema Arzelá-Ascoli. Sean $X$ un espacio métrico compacto y $Y$ un espacio métrico completo. Un subconjunto $\mathcal{H}$ de $\mathcal{C^0}(X,Y)$ es relativamente compacto en el espacio $\mathcal{C^0}(X,Y)$ si y solo si $\mathcal{H}$ es equicontinuo y los conjuntos definidos como $\mathcal{H}(x):= \{f(x):f \in \mathcal{H}\}$ son relativamente compactos en $Y$ para cada $x \in X.$

Demostración:
En Convergencia uniforme y continuidad concluimos que por las propiedades de $X$ y $Y, \,$ $\mathcal{C^0}(X,Y)$ es completo, así por lo visto en la entrada anterior sabemos que como $\mathcal{H}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C^0}(X,Y),$ esto implica que $\mathcal{H}$ es totalmente acotado.
Sea $\varepsilon >0.$ Existen funciones $g_1, \, g_2,…,g_m \in \mathcal{H}$ tales que
\begin{align}
\mathcal{H} \subset B_\infty(g_1, \, \frac{\varepsilon}{3}) \cup B_\infty(g_2, \, \frac{\varepsilon}{3}) \cup … \cup B_\infty(g_m, \, \frac{\varepsilon}{3}).
\end{align}
Donde $B_\infty$ denota bolas abiertas con la métrica uniforme en $\mathcal{C^0}(X,Y)$

Esto significa que cualquier función de $\mathcal{H}$ se aproxima mucho a alguna $g_i, \, i \in \{1,2,..,m\}.$ Sea $x \in X.$ Considera el conjunto
$$\mathcal{H}(x):= \{f(x):f \in \mathcal{H}\}$$

De donde se sigue
\begin{align}
\mathcal{H}(x) \subset B_Y \left( g_1(x), \, \frac{\varepsilon}{3} \right) \cup B_Y \left( g_2(x), \, \frac{\varepsilon}{3} \right) \cup … \cup B_Y \left( g_m(x), \, \frac{\varepsilon}{3} \right)
\end{align}
lo que significa que $\mathcal{H}(x)$ es totalmente acotado. Como $Y$ es completo se sigue por la equivalencia de la entrada anterior que $\mathcal{H}(x)$ es relativamente compacto en $Y.$

Para probar que $\mathcal{H}$ es equicontinuo tomemos en cuenta que $X$ es compacto y por lo visto en la entrada Continuidad uniforme sabemos que cada $g_i$ es uniformemente continua en $X$. Entonces cada $g_i$ tiene su respectiva $\delta_i >0$ tal que para cualesquiera $x,z \in X,$ si $d_X(x,z)< \delta_i$ entonces
$$d_Y(g_i(x),g_i(z)) < \frac{\varepsilon}{3.}$$

Sea $\delta := \text{mín}\{\delta_1,…,\delta_m\}.$
Sea $f \in \mathcal{H}.$ Dicho lo anterior y recordando que existe $i \in \{1,2,..,m\}$ tal que $f \in B_\infty \left(g_i, \, \frac{\varepsilon}{3} \right),$ tenemos que si $d_X(x,z) < \delta$ entonces

\begin{align}
\nonumber d_Y(f(x),f(z)) &\leq d_Y(f(x),g_i(x)) + d_Y(g_i(x),g_i(z))+ d_Y(g_i(z),f(z)) \\
\nonumber &< \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3} \\
&= \varepsilon
\end{align}

lo cual prueba que $\mathcal{H}$ es equicontinuo.

A continuación probaremos el regreso. Tengamos presentes las ideas: suponemos que $\mathcal{H}$ es equicontinuo y para cada $x \in X,$ los conjuntos definidos como $\mathcal{H}(x):= \{f(x):f \in \mathcal{H}\}$ son relativamente compactos en $Y.$ Buscamos demostrar que $\mathcal{H}$ de $\mathcal{C^0}(X,Y)$ es relativamente compacto en el espacio $\mathcal{C^0}(X,Y).$

Dado que $\mathcal{C^0}(X,Y)$ es completo, por la equivalencia de la entrada anterior basta con probar que $\mathcal{H}$ es totalmente acotado.

Sea $\varepsilon >0.$ Como $\mathcal{H}$ es equicontinuo, para cada $x \in X$ existe $\delta_x >0$ tal que para toda $f \in \mathcal{H}$ siempre que $d_X(x,z) < \delta_x,$ con $z \in X,$ se satisface
\begin{align}
d_Y(f(z),f(x)) < \frac{\varepsilon}{4}
\end{align}

Por supuesto que $\{B_X \left( x, \delta_x \right): \, x \in X \}$ es una cubierta abierta de $X.$

Como es compacto, existen $x_1, \, x_2,…,x_n \, \in X$ tales que

\begin{align}
X \subset B_X \left( x_1, \delta_{x_1} \right) \cup B_X \left( x_2, \delta_{x_2} \right) \cup … \cup B_X \left( x_n, \delta_{x_n} \right)
\end{align}

y como cada $\mathcal{H}(x_i)$ es totalmente acotado, para cada $x_i$ existen $y^i_1,\ y^i_2,…,y^i_{k_i} \, \in Y$ tales que
\begin{align}
\mathcal{H}(x_i) \subset B_Y \left( y^i_1, \frac{\varepsilon}{4} \right) \cup B_Y \left( y^i_2, \frac{\varepsilon}{4} \right) \cup… \cup B_Y \left( y^i_{k_i}, \frac{\varepsilon}{4} \right)
\end{align}

Uniendo todos los $\mathcal{H}(x_i)$ y todas las bolas que cubren a estos conjuntos tenemos que, renombrando los centros, existen finitos $y_1,…,y_{m} \, \in Y$ que satisfacen

\begin{align}
\mathcal{H}(x_1) \cup … \cup \mathcal{H}(x_n) \subset B_Y \left( y_1, \frac{\varepsilon}{4} \right) \cup … \cup B_Y \left( y_{m}, \frac{\varepsilon}{4} \right)
\end{align}

Podemos pensar en clasificar las funciones de $\mathcal{H}$ dependiendo de a qué bola de radio $y_k,$ para algún $k \in \{1,…,m\}$ es enviado cada $x_i, \, i \in \{1,…,n\}.$ Como este comportamiento puede asignarse a través de una función $\sigma:\{1,2,…,n\} \to \{1,2,…,m\},$ definimos los conjuntos:

$$\mathcal{H_\sigma}:= \left\{ f \in \mathcal{H}: \, f(x_i) \in B_Y\left(y_{\sigma(i)},\frac{1}{4}\right) \, \forall \, i=1,2,…,n\right\}.$$

Sea $S$ el conjunto de todas las funciones con dominio en $\{1,2,…,n\}$ e imagen en $\{1,2,…,m\}.$ Se cumple que

\begin{align}
\mathcal{H} \subset \underset{\sigma \in S}{\cup} \, \mathcal{H}_\sigma
\end{align}

Argumentando formalmente, si $f \in \mathcal{H}$ por la expresión (7) se asegura que cada $f(x_i)$ con $i \in \{1,2,…,n\}$ está en alguna bola $B_Y \left( y_k, \frac{\varepsilon}{4} \right)$ para algún $k \in \{1,2,…,m\}.$ Nota que la función que relaciona a cada $i$ con su respectiva $k,$ según esta descripción, es algún elemento $\sigma \in S,$ por lo tanto se cumple (8).

Ahora vamos a probar que cada $\mathcal{H}_\sigma$ está contenida en una bola de radio $\varepsilon$ con centro en $\mathcal{H}.$

Considera $f,g \in \mathcal{H}_\sigma$ y sea $x \in X.$ Por (5) $x$ pertenece a alguna bola abierta $B_X(x_i, \delta_{x_i})$ para algún $i \in \{1,2,…,n\}.$ Entonces $d_X(x,x_i)< \delta_{x_i}.$ Recordemos que esta $\delta_{x_i}$ se eligió de tal forma que satisface la definición de equicontinuidad en $x_i.$ Así, según (4) se sigue que para cada $h \in \mathcal{H}:$
$$d_Y(h(x),h(x_i)) < \frac{\varepsilon}{4}.$$

De esto y la desigualdad del triángulo tenemos:

\begin{align}
\nonumber d_Y(f(x),g(x)) &\leq d_Y(f(x),f(x_i)) + d_Y(f(x_i),g(x))\\
\nonumber &\leq d_Y(f(x),f(x_i)) + d_Y(f(x_i),y_{\sigma(i)})+ d_Y(y_{\sigma(i)},g(x))\\
\nonumber &\leq d_Y(f(x),f(x_i)) + d_Y(f(x_i),y_{\sigma(i)})+ d_Y(y_{\sigma(i)},g(x_i))+ d_Y(g(x_i),g(x))\\
\nonumber &\leq \frac{\varepsilon}{4} +\frac{\varepsilon}{4} +\frac{\varepsilon}{4} +\frac{\varepsilon}{4} \\
&= \varepsilon.
\end{align}

Si tomamos el máximo de las $x´s \in X$ concluimos que $d_\infty(f,g) < \varepsilon$ para cualesquiera $f,g \in \mathcal{H}_\sigma,$ en consecuencia el conjunto $\mathcal{H}_\sigma$ está contenido en una bola de radio $\varepsilon$ con centro en cualquiera de sus funciones. Es decir, para cualquier $g_\sigma \in \mathcal{H}_\sigma$

$$\mathcal{H}_\sigma \subset B_\infty(g_\sigma,\varepsilon)$$

De esta contención y la expresada en (8) obtenemos que

$$\mathcal{H} \subset \underset{\sigma \in S}{\cup}B_\infty(g_\sigma,\varepsilon).$$

Y como $S$ es finito, concluimos que $\mathcal{H}$ es totalmente acotado.

Terminemos esta sección con el siguiente:

Corolario. Sea $X$ un espacio métrico compacto. Un subconjunto $\mathcal{H}$ de $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{R}^n)$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{R}^n)$ si y solo si $\mathcal{H}$ es equicontinuo y acotado en $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{R}^n).$

Demostración:
Sea $\mathcal{H}$ un subconjunto relativamente compacto en $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{R}^n).$ Por el teorema de Arzelá-Ascoli, $\mathcal{H}$ es equicontinuo. Como $\overline{\mathcal{H}}$ es compacto entonces es acotado en $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{R}^n),$ por lo tanto $\mathcal{H}$ también es acotado en $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{R}^n).$

Ahora supongamos que $\mathcal{H}$ es equicontinuo y acotado en $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{R}^n).$ Entonces existen $f_0 \in \mathcal{H}$ y $M>0$ tales que para cada $f \in \mathcal{H}$

$$\norm{f-f_0}_\infty := \underset{x \in X}{máx}\norm{f(x) \, – \, f_0(x)} \leq M$$

De aquí podemos concluir que para cada $x \in X,$ el conjunto $\mathcal{H}(x)$ está acotado en $\mathbb{R}^n$ entonces así lo es también su cerradura, por lo que $\overline{\mathcal{H}}$ es cerrado y acotado en $\mathbb{R}^n$ de modo que $\mathcal{H}(x)$ es relativamente compacto y por el teorema de Arzelá-Ascoli, se cumple que $\mathcal{H}$ es relativamente compacto en $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{R}^n).$

Más adelante…

Terminaremos la sección de compacidad mostrando un concepto que sigue la misma idea de las bolas de radio $\varepsilon$ que son las $\varepsilon$-redes. Hablaremos de la métrica de Hausdorff y de cómo es posible entender la compacidad a través de conjuntos finitos.

Tarea moral

1. Para cada $n \in \mathbb{N},$ sea $f_n:[0, \infty) \to \mathbb{R}$ tal que $f_n(x):= sen \sqrt{x + 4 \pi ^2 n ^2}.$ Demuestra que
   a) El conjunto $\mathcal{H} := \{f_n: n \in \mathbb{N} \}$ es equicontinuo.
   b) Para cada $x \in [0, \infty)$ el conjunto $\mathcal{H}(x)$ es relativamente compacto en $\mathbb{R}.$ Te sugerimos probar que la sucesión $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge puntualmente a $0$ en $[0, \infty).$
   c) $\mathcal{H}$ no es un subconjunto compacto de $\mathcal{C}_b ^0([0. \infty), \mathbb{R}).$ Te sugerimos probar que la sucesión $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ no converge uniformemente a $0$ en $[0. \infty).$
   Concluye que la compacidad de $X$ es necesaria en el teorema de Arzelá-Ascoli.
2. Sea $X := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, (x,y) \neq (\frac{1}{2},0) \}$ y sea $f_n \in \mathcal{C}^0([0,1],X)$ tal que $f_n(x) := (x, \frac{1}{n} sen \pi x).$ Considera el conjunto $\mathcal{H} := \{f_n : n \in \mathbb{N}\}.$
   a) ¿Es $\mathcal{H}$ equicontinuo?
   b) ¿Es $\mathcal{H}$ acotado en $\mathcal{C}^0([0,1],X)?$
   c) ¿Es $\mathcal{H}$ relativamente compacto en $\mathcal{C}^0([0,1],X)?$

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.