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Teoría de los Conjuntos: Órdenes parciales y órdenes estrictos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

La sensación que quizás te quedó tras discutir las relaciones de equivalencia es que una relación de equivalencia establece cuándo elementos de un conjunto son «iguales» o «similares». Ahora introduciremos otros tipos de relaciones que nos harán pensar cuándo para dos elementos de un conjunto uno es «mayor» o «mejor» que otro bajo cierto criterio de comparación.

Antisimetría y orden parcial

Definición. Sea $R$ una relación sobre un conjunto $A$. Decimos que $R$ es una relación antisimétrica si y sólo si para cualesquiera $a,b\in A$ tales que $(a,b)\in R$ y $(b,a)\in R$ se tiene que $a=b$.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo.

Sea $A$ un conjunto y sea $R$ la relación en $A$ definida como:

$aRb\ \text{si y sólo si} \ a\subseteq b$.

Veamos que $R$ es antisimétrica. En efecto, sean $a, b\in A$ tales que $(a,b)\in R$ y $(b,a)\in R$, entonces por definición de $R$ tenemos que $a\subseteq b$ y $b\subseteq a$. Por lo tanto, $a=b$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $A$ un conjunto. Tenemos que $Id_A$ es una relación antisimétrica pues, si $(a,b)\in Id_A$ y $(b,a)\in Id_A$, entonces, $a=b$ por definición de $Id_A$.

$\square$

Para la siguiente definición es necesario recordar el concepto de relación reflexiva y transitiva que puedes encontrar en el la entrada de relaciones de equivalencia.

Definición. Sea $R$ una relación en $A$. Si $R$ es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva, entonces decimos que $R$ es un orden parcial en $A$. Para abreviar, diremos que $(A, R)$ es un orden parcial.

Ejemplo.

Si $A=\emptyset$, entonces la relación $\emptyset$ es un orden parcial en $A$. En efecto, se cumplen las tres propiedades que necesitamos:

  1. Como no hay $a\in A$, entonces $a\in A$ implica $(a,a)\in \emptyset$ por vacuidad. Por lo tanto, $\emptyset$ es una relación reflexiva.
  2. Como no hay elementos en $\emptyset$, entonces por vacuidad si $(a,b)\in \emptyset$ y $(b,a)\in \emptyset$, entonces $a=b$. Por lo tanto, $\emptyset$ es una relación antisimétrica.
  3. Como no hay elementos en $\emptyset$, entonces por vacuidad si $a,b,c\in A$ tales que $(a,b)\in \emptyset$ y $(b,c)\in \emptyset$, entonces $(a,c)\in \emptyset$. Por lo tanto, $\emptyset$ es una relación transitiva.

$\square$

Ejemplo.

Si $A$ es un conjunto y $R$ es la relación en $A$ definida como sigue:

$aRb\ \text{si y sólo si} \ a\subseteq b$,

entonces $R$ es un orden parcial. En efecto, se cumplen las tres propiedades que necesitamos:

  1. Sea $a\in A$, entonces $(a, a)\in R$ pues $a\subseteq a$ para cualquier conjunto $a$. Por lo tanto, $R$ es una relación reflexiva.
  2. Sean $a,b\in A$ tales que $(a,b)\in R$ y $(b,a)\in R$. Ya probamos que esto implica $a=b$. Por lo tanto, $R$ es una relación antisimétrica.
  3. Sean $a,b,c\in A$ tales que $(a,b)\in R$ y $(b,c)\in R$, entonces $a\subseteq b$ y $b\subseteq c$ respectivamente. Luego, $a\subseteq b$ y $b\subseteq c$ implican que $a\subseteq c$. Por lo tanto, $(a,c)\in R$ y así, $R$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R$ es un orden parcial.

$\square$

Cuando una relación $R$ es un orden parcial, entonces la expresión $aRb$ se comporta como el símbolo $\leq$. Por ello, usualmente nos referiremos a los órdenes parciales usando este símbolo e intuitivamente pensaremos que una relación parcial nos permite decir cuando un elemento es menor o igual que otro.

Orden estricto

Si los órdenes parciales «se comportan como $\leq$», ¿qué tipo de relaciones «se comportan como $\lt$? Esto es lo que discutiremos a continuación. Primero necesitamos introducir dos nociones.

Definición. Sea $R$ una relación sobre un conjunto $A$. Decimos que $R$ es una relación asimétrica si y sólo si para cualesquiera $a,b\in A$ tales que $(a,b)\in R$ entonces no es cierto que $(b,a)\in R$.

Ejemplo.

Sean $A=\set{1,2,3}$ y $R=\set{(1,2), (1,3)}$. Se tiene que $R$ es una relación asimétrica. En efecto, $(1,2)\in R$ pero $(2,1)\notin R$ y $(1,3)\in R$ pero $(3,1)\notin R$.

$\square$

Definición. Sea $R$ una relación sobre un conjunto $A$. Decimos que $R$ es una relación irreflexiva si y sólo si para cualquier $a\in A$ se tiene que $(a,a)\notin R$.

Ejemplo.

Sean $A=\set{1,2,3}$ y $R=\set{(1,2), (1,3)}$. Se tiene que $R$ es una relación irreflexiva. En efecto, pues para cualquier elemento en $A$ en este caso $1, 2$ y $3$ se cumple que $(1,1)\notin R$, $(2,2)\notin R$ y $(3,3)\notin R$.

$\square$

Del ejemplo anterior podemos inferir que si $R$ es una relación asimétrica, entonces $R$ es irreflexiva. Vamos a demostrar esto último en la siguiente proposición.

Proposición. Sea $A$ un conjunto y $R$ una relación en $A$. Si $R$ es asimétrica, entonces $R$ es irreflexiva.

Demostración.

Vamos a probar que si $R$ no es irreflexiva, entonces no es asimétrica. Si $a\in A$ cumple que $(a,a)\in A$, entonces no es posible tener simultáneamente $(a,a)\in A$ y $(a,a)\notin A$, es decir, $R$ no es asimétrica.

$\square$

Definición. Sea $R$ una relación en $A$. Si $R$ es una relación asimétrica y transitiva decimos que $R$ es un orden estricto en $A$. Para abreviar, diremos $(A, R)$ es un orden estricto.

Ejemplo.

Sea $A$ un conjunto cualquiera (no necesariamente vacío). Veamos que la relación $\emptyset$ es un orden estricto.

Si $A=\emptyset$, se cumple por vacuidad que $\emptyset$ es una relación asimétrica y transitiva. Por lo tanto, $\emptyset$ es un orden estricto.

Supongamos ahora que $A\not=\emptyset$, verifiquemos las propiedades de asimetría y transitividad.

  1. Sean $a,b\in A$ tales que $(a,b)\in \emptyset$ entonces $(b,a)\notin \emptyset$ se satisface por vacuidad. Por lo tanto, $\emptyset$ es una relación asimétrica.
  2. Sean $a,b,c\in A$ tales que $(a,b)\in \emptyset$ y $(b,c)\in \emptyset$. Como esto nunca sucede, por vacuidad implica que $(a,c)\in \emptyset$. Por lo tanto, $\emptyset$ es una relación transitiva.

$\square$

Dado que estamos ordenando elementos de un conjunto, usualmente usaremos $<$ para denotar a una relación de orden estricto, ya que esta es irreflexiva.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá fortalecer tu entendimiento del tema de ordenes parciales y el de órdenes parciales estrictos.

  1. Si $A \not=\emptyset$, prueba que la pareja $(A,\emptyset)$ no es un orden parcial.
  2. Demuestra que si $A$ es un conjunto y $R$ es la relación $\subset$ en $A$, entonces $(A, R)$ es un orden parcial estricto.
  3. Argumenta por qué el concepto de no reflexividad es distinto al de irreflexividad. Además, encuentra un ejemplo de una relación que no sea ni reflexiva ni irreflexiva.
  4. Para cada una de las siguientes proposiciones, demuéstrala o da un contraejemplo.
    • Si $R$ es una relación asimétrica, entonces es antisimétrica.
    • Si $R$ es una relación antisimétrica, entonces es asimétrica.
  5. Sea $<$ un orden parcial estricto en un conjunto $A$. Muestra que $<\cup \{(a,a): a\in A\}$ es un orden parcial en $A$.

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos a los órdenes totales. Para hablar de tales órdenes retomaremos a los órdenes parciales y a los órdenes parciales estrictos. Además platicaremos del orden lexicográfico horizontal y vertical, los cuales se definen en el producto cartesiano de dos conjuntos ordenados.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Conjunto cociente

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Introducción

En esta entrada partimos de una relación de equivalencia y con ella definimos al conjunto cociente. Dicho conjunto tendrá como elementos a las clases de equivalencia de una relación. Además probaremos que toda relación de equivalencia induce una partición y viceversa.

Conjunto cociente

A continuación definimos un nuevo conjunto. Como parte de los ejercicios de la tarea moral, se incluye verificar que en efecto esta definición da un conjunto a partir de los axiomas.

Definición. Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$. Definimos al conjunto cociente por la relación $R$ como el conjunto:

$A/R=\set{[a]_R: a\in A}$.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $R$ la relación identidad en $A$. Sabemos que $R$ es de equivalencia en $A$. Luego, siguiendo la definición de conjunto cociente tenemos que $A\diagup R=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R, [4]_R}$, donde $[1]_R=\set{1}$, $[2]_R=\set{2}$, $[3]_R=\set{3}$, $[4]_R=\set{4}$.

$\square$

Ejemplo.

Sean $A=\set{1,2,3,4}$ y $R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,4), (4,1)}$. Se tiene que $R$ es una relación de equivalencia en $A$. Luego, tenemos que

$A\diagup R=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R, [4]_R}$,

donde

  • $[1]_R=\set{1,4}$,
  • $[2]_R=\set{2}$,
  • $[3]_R=\set{3}$,
  • $[4]_R=\set{4,1}$, pero este conjunto es igual a $[1]_R$.

Por lo tanto, $A\diagup R=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R}$.

$\square$

Cada relación de equivalencia induce una partición

Teorema. Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$. El conjunto cociente $A\diagup R$ es una partición de $A$.

Demostración.

Supongamos que $R$ es una relación de equivalencia en $A$. Veamos que $A\diagup R$ es una partición de $A$.

  1. Sea $a\in A$, vimos en la entrada de particiones que $[a]_R\not=\emptyset$.
  2. Sean $[a]_R,[b]_R\in A\diagup R$ tales que $[a]_R\not=[b]_R$ y veamos que $[a]_R\cap [b]_R=\emptyset$. En la entrada anterior probamos que $aRb$ si y sólo si $[a]_R=[b]_R$ lo cual ocurre si y sólo si $[a]_R\cap[b]_R=\emptyset$. De este modo, si $[a]_R\not=[b]_R$, $[a]_R\cap[b]_R=\emptyset$.
  3. Por último, $\bigcup_{a\in A} [a]_R= A$ pues para cada $a\in A$, $a\in [a]_R$.

$\square$

Este último teorema demuestra que toda relación de equivalencia induce una partición.

Las particiones inducen una relación de equivalencia

El teorema anterior nos permitió probar que cada relación de equivalencia induce una partición y de hecho, esta partición será el conjunto cociente, Podemos preguntarnos si el resultado se cumple «de regreso», en el sentido de si dada una partición podemos inducir una relación de equivalencia. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Este ejemplo es todavía algo informal, pues no hemos introducido formalmente a los números naturales, a los pares y los impares. Haremos esto más adelante. Por el momento, puedes usar lo que ya sabes de los números naturales y de su paridad.

Sea $A=\set{0,1,2, 3, \cdots}$ y sean $A_1=\set{0,2,4,\cdots}$ y $A_2=\set{1,3, 5,\cdots}$. Resulta que $\mathcal{P}$ es una partición de $A$ pues tanto $A_1$ y $A_2$ son conjuntos no vacíos, además $A_1\cap A_2=\emptyset$ y $A_1\cup A_2=A$.

Queremos ver si existe la manera de relacionar a los elementos de $A$ tal que la relación que resulte sea de equivalencia. Consideremos la relación definida como sigue:

$R_\mathcal{P}=\set{(a,b)\in A\times A: a,b\in A_1\vee a,b\in A_2}$.

Notemos que la relación $R_\mathcal{P}$ es una relación en $A$ y además relaciona a los elementos si pertenecen a un mismo conjunto de la partición.

Veamos que $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia, para ello verifiquemos si es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.

  1. Sea $a\in A$. Si $a$ es un número par (existe $k$ tal que $a= 2k$), entonces $a\in A_1$ y por lo tanto $(a,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Si $a$ es un número impar (existe $k$ tal que $a= 2k+1$), entonces $a\in A_2$ y por lo tanto $(a,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación reflexiva.
  2. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y veamos que $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ entonces $a,b\in A_1$ o $a,b\in A_2$, lo que es equivalente a decir que $b,a\in A_1$ o $b,a\in A_2$, es decir, $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación simétrica.
  3. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y $(b,c)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ entonces $a,b\in A_1$ o $a,b\in A_2$. Luego, como $(b,c)\in R_\mathcal{P}$ entonces $b,c\in A_1$ o $b,c\in A_2$. Si $a,b\in A_1$, entonces $b,c\in A_1$, pues de lo contrario $b,c\in A_2$ y, por tanto, $b\in A_1$ al mismo tiempo que $b\in A_2$ y así, $b$ es par e impar, lo cuál no puede ocurrir. Por lo tanto, $b,c\in A_1$, de modo que $a,c\in A_1$ y así, $(a,c)\in R_\mathcal{P}$. Análogamente, si $a,b\in A_2$, entonces, $b,c\in A_2$ y, por tanto, $a,c\in A_2$ y $(a,c)\in R_{\mathcal{P}}$. Por lo tanto $R_\mathcal{P}$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia.

$\square$

Podemos demostrar que esto ocurre para cualquier conjunto y cualquier partición. Veamos el siguiente teorema.

Teorema. Toda partición induce una relación de equivalencia.

Demostración.

Sea $A$ un conjunto y $\mathcal{P}$ una partición de $A$. Defimos a $R_\mathcal{P}$ como el siguiente conjunto:

$R_\mathcal{P}=\set{(a,b)\in A\times A: \exists p\in \mathcal{P}\ \text{tal que}\ a,b\in p}$.

Notemos que $R_\mathcal{P}$ es una relación en $A$ pues es un subconjunto de $A\times A$. Veamos que $R$ es de equivalencia, es decir, $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

  1. Sea $a\in A$. Dado que $\mathcal{P}$ es una partición de $A$, entonces $A=\bigcup\mathcal{P}$. Entonces existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $a\in p$, de donde $(a,a)\in R_\mathcal{P}$. Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación reflexiva.
  2. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y veamos que $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$, existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $a, b\in p$. Lo que es equivalente a decir que existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $b,a\in p$, es decir, $(b,a)\in R_\mathcal{P}$. Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación simétrica.
  3. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y $(b,c)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$, existe $p\in \mathcal{P}$ tal que $a, b\in p$. Luego, como $(b,c)\in R_\mathcal{P}$, existe $q\in \mathcal{P}$ tal que $b,c\in q$. Además $p=q$ pues de lo contrario, $p\not= q$ y $b\in p$ al mismo tiempo que $b\in q$ y así, $b\in p\cap q$ lo cual es una contradicción a la definición de partición. Por lo tanto, $p=q$ y así $a,c\in p$, por lo que $(a,c)\in R_\mathcal{P}$. Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia en $A$.

$\square$

Con este último teorema hemos probado que en efecto, así como cada relación de equivalencia induce una partición, se cumple que cada partición induce una relación de equivalencia. Además, estas correspondencias son en cierto sentido «una la inversa de la otra» como explorarás en los ejercicios a continuación.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta entrada:

  1. Demuestra mediante los axiomas que si $A$ es un conjunto y $R$ es una relación de equivalencia en $A$, entonces $A\diagup R$ es un conjunto.
  2. Sea $A=\set{1,2,3,4,5,6}$ y $R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (5,6), (6,5), (4,6), (6,4), (4,5), (5,4)}$ relación de equivalencia en $A$. Determina al conjunto cociente de $A$ con respecto a $R$.
  3. Demuestra mediante los axiomas que $R_{\mathcal{P}}$ del último teorema en efecto es un conjunto.
  4. Demuestra lo siguiente, en términos de la notación usada en esta entrada:
    • Si $A$ es conjunto y $R$ es relación de equivalencia en $A$, entonces $R_{A\diagup R}=R$.
    • Si $A$ es conjunto $\mathcal{P}$ es partición de $A$, entonces $A\diagup R_{\mathcal{P}}=\mathcal{P}$.
  5. Si $R_1$ y $R_2$ son relaciones de equivalencia en $A$, ya demostramos que $R_1\cap R_2$ también lo es. ¿Cómo es $A\diagup (R_1\cap R_2)$ con respecto a $A\diagup R_1$ y $A\diagup R_2$?

Más adelante…

En la siguiente entrada introduciremos el concepto de orden parcial y de orden total. Estos son otro tipo especial de relaciones. Volveremos a usar las propiedades de reflexividad y transitividad. Sin embargo, tendremos que introducir otras como la asimetría, la antisimetría y la irreflexibilidad.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Funciones inversas

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En la entrada de composición de relaciones vimos que al componer una relación $R$ con la relación $Id$ obtenemos la relación $R$. Lo mismo ocurre para funciones. Ahora podríamos preguntarnos si dada una función $f$ existe alguna función que al componerla con $f$ nos devuelva la función identidad. Veremos que no siempre es posible y analizaremos cuáles condiciones se requieren para que sí ocurra. Funciones que satisfagan la propiedad de que al componerlas con alguna otra función el resultado sea la identidad les llamaremos funciones invertibles o diremos que tienen una inversa. Como la composición de funciones no es conmutativa, esto nos lleva a tres preguntas: ¿cuándo una función tiene inversa izquierda? ¿cuándo tiene inversa derecha? ¿cuándo tiene una función que sirva de inversa por ambos lados?

En esta entrada exploramos estas preguntas en las siguientes secciones, y las conectamos con las nociones de inyectividad, suprayectividad y biyectividad que trabajamos previamente.

Inversa izquierda

Estudiemos primero la noción de invertibilidad por la izquierda.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es una función tal que $g\circ f=Id_X$, entonces decimos que $g$ es inversa izquierda de $f$.

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2)}$.

Luego, si tomamos $g:Y\to X$ definida como $g=\set{(1,1), (2,2), (3,2)}$ es inversa izquierda de $f$. En efecto, tenemos que $g\circ f=Id_X$ pues:

$(g\circ f)(1)= g(f(1))= g(1)=1= Id_X(1)$ y $(g\circ f)(2)= g(f(2))= g(2)=2= Id_X(2)$.

Por lo tanto, $g\circ f=Id_X$ y así $g$ es inversa izquierda de $f$.

$\square$

La invertibilidad por la izquierda está conectada con la inyectividad, como lo afirma la siguiente proposición.

Proposición. Sea $f:X\to Y$ una función, se tiene que $f$ es inyectiva si y sólo tiene $f$ tiene inversa izquierda.

Demostración. Un caso aparte sencillo es qué sucede si el conjunto $X$ es vacío. En este caso, cualquier función $f:\emptyset \to Y$ es vacía y por lo tanto inyectiva por vacuidad, y $f\circ f = \emptyset =Id_{\emptyset}$, es decir, $f$ es inversa izquierda de sí misma. Así que supondremos que $X\neq \emptyset$.

Supongamos que $f$ es inyectiva, es decir, para cualesquiera $x,y\in X$ se tiene que $f(x)= f(y)$ implica $x=y$. Vamos a demostrar que existe $g:Y\to X$ función tal que $g\circ f= Id_X$.

Para ello, como $X\neq \emptyset$, podemos tomar un $x_0\in X$ cualquiera y definir la siguiente función de $Y$ en $X$:

$$g(y)=\begin{cases} x & \text{si $y\in \text{Im}(f)$ y $f(x)=y$}\\ x_0 & \text{si $y\not \in \text{Im}(f)$}\end{cases}.$$

Veamos primero que $g$ en efecto está bien definida. Esta forma de asignar sí es total, pues para cualquier $y\in Y$ se tiene que o bien $y\in \text{Im}(f)$ o bien $y \not \in \text{Im}(f)$. En el primer caso, por definición existe un $x$ tal que $f(x)=y$ y entonces podemos usar la primera parte de la definición. En el segundo caso usamos la segunda parte de la definición. Además, esta forma de asignar sí es funcional. Cualquier $y\in Y$ está en uno y sólo uno de los casos de arriba. Si está en el primer caso, existe una y sólo una $x$ que cumple $f(x)=y$, pues $f$ es inyectiva. Si está en el segundo caso, $f(y)$ sólo puede valer $x_0$.

Ahora veamos que $g$ es inversa izquierda de $f$. En efecto, sea $x\in X$, entonces

$(g\circ f)(x)=g(f(x))= x=Id_X(x)$.

Ahora, supongamos que $f$ es una función invertible por la izquierda, es decir, existe $g$ tal que $g\circ f=Id_X$. Veamos que $f$ es inyectiva. Sean $x_1, x_2$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Tenemos que

\begin{align*}
x_1&=Id_X(x_1)\\
&=(g\circ f)(x_1)\\
&=g(f(x_1))\\
&=g(f(x_2))\\
&=(g\circ f)(x_2)\\
&=Id_X(x_2)\\
&=x_2.
\end{align*}

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

$\square$

Inversa derecha

Una noción parecida a la invertibilidad por la izquierda es la invertibilidad por la derecha.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si $g:Y\to X$ es una función tal que $f\circ g=Id_Y$, entonces decimos que $g$ es inversa derecha de $f$.

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1,2}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$.

Luego, se tiene que $g:Y\to X$ definida como $g=\set{(1,1), (2,2)}$ es inversa derecha de $f$. En efecto, tenemos que $f\circ g=Id_Y$ pues:

$(f\circ g)(1)= f(g(1))= f(1)=1= Id_Y(1)$ y $(f\circ g)(2)= f(g(2))= f(2)=2= Id_Y(2)$.

Por lo tanto, $f\circ g=Id_Y$ y así $g$ es inversa derecha de $f$.

$\square$

Del ejemplo anterior podrás notar que $f$ es suprayectiva pero no inyectiva por lo que $f$ no puede tener ninguna inversa izquierda. En general, el siguiente resultado nos dice que $f$ es invertible por la derecha justo cuando es suprayectiva.

Teorema. Sea $f:X\to Y$ una función, se tiene que $f$ es suprayectiva si y sólo si $f$ tiene inversa derecha.

Demostración (parcial).

Ahora, supongamos que $f$ tiene inversa derecha, digamos $g$. Sea $y\in Y$, veamos que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.
Dado que $g$ es inversa derecha de $f$, entonces $f\circ g=Id_Y$, por lo que para cualquier $y\in Y$, $(f\circ g)(y)= Id_Y(y)=y$, por lo que al tomar $x= g(y)\in X$, se cumple que $f(x)=f(g(y))=y$. Por lo tanto, $f$ es suprayectiva.

Nos faltaría demostrar que si $f$ es suprayectiva, entonces tiene inversa derecha. Esto no lo podemos hacer ahora y postergamos la demostración para la última parte del curso, cuando hablemos del axioma de elección.

$\square$

¿Por qué no podemos hacer la demostración todavía? Un poco más adelante hablaremos de cómo incluir axiomáticamente a los números naturales en todo lo que estamos construyendo, así que en nuestra teoría tendremos conjuntos infinitos. La razón por la que no podemos hacer la demostración anterior es que los axiomas de teoría de conjuntos que hemos presentado hasta ahora no nos dicen cómo le podemos hacer para tomar «una infinidad de decisiones» para crear un conjunto, y justo necesitamos esto en este momento. ¿Por qué? Sabemos que $f:X\to Y$ es una función suprayectiva, y que entonces todos los elementos de $f$ vienen de por lo menos un elemento de $X$. Pero si cada elemento de $Y$ viene de dos elementos de $X$ (digamos) y $Y$ es infinito, ¿cómo construimos la inversa derecha $g$ de $f$? Tendríamos que decidir para cada $y\in Y$ el valor de $g(y)$ entre dos posibilidades. Esto lo resolveremos incluyendo otro axioma que nos permita tomar una infinidad de decisiones, conocido como Axioma de elección, el cual veremos en entradas posteriores.

Inversa izquierda pero no derecha y viceversa

Podemos preguntarnos por qué hasta este momento tenemos dos conceptos: uno de inversa izquierda y otro de inversa derecha. La respuesta es que en ocasiones la inversa izquierda no será inversa derecha y viceversa. Además habrá veces en las que una función sólo tenga inversa izquierda y no derecha, así como funciones que solo tengan inversa derecha pero no izquierda. Retomemos los ejemplos anteriores para ver esto último.

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2)}$. Antes vimos que $g=\set{(1,1), (2,2), (3,2)}$ es inversa izquierda de $f$, sin embargo, $g$ no es inversa derecha pues $f\circ g= \set{(1,1), (2,2), (3, 2)}$ y $f\circ g\not= Id_Y$ pues $(f\circ g)(3)= 2\not= 3=Id_Y(3)$. Además $f$ no tiene inversa derecha pues $g$ debe enviar a $3$ a un elemento de $X$, en este caso las únicas posibilidades son $1$ o $2$. En cualquiera de los casos al componer a la función $g$ con $f$, la composición resulta ser distinta de la función identidad.

Ahora, sean $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1,2}$ conjuntos. Sea $f:X\to Y$ la función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$. Vimos que $g=\set{(1,1), (2,2)}$ es inversa derecha de $f$. Sin embargo, $g$ no es inversa izquierda de $f$ pues $g\circ f=\set{(1,1), (2,2), (3,1)}$ y $g\circ f\not=Id_X$. De hecho, no podría tener inversa izquierda pues como ya demostramos arriba, $f$ tendría que ser inyectiva, pero no lo es pues $f(1)=1=f(3)$.

$\square$

Inversa de una función

La tercera noción que estudiaremos es la siguiente.

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si existe $g:Y\to X$ tal que $g$ es inversa izquierda e inversa derecha de $f$, entonces decimos que $g$ es una inversa de $f$. En este caso, diremos que $f$ es invertible.

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto, consideremos $Id_X$. Resulta que $Id_X$ es invertible. En efecto, si consideramos la función $g=Id_X$ tenemos $g\circ Id_X=Id_X\circ Id_X=Id_X=Id_X\circ Id_X=Id_X\circ g$. Por tanto, $g=Id_X$ es una inversa de $Id_X$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $X=\set{0,1}$. Cualquier función inyectiva en $X$ es una función invertible. Para mostrar esto, notemos que las únicas funciones inyectivas en $X$ son $f_1=Id_X$ y $f_2=\set{(0,1),(1,0)}$. Luego, una inversa de $f_1$ es $f_1$ como lo vimos en el ejemplo anterior y, una inversa de $f_2$ es $f_2$ ya que $(f_2\circ f_2)(0)=f_2(f_2(0))=f_2(1)=0$ y $(f_2\circ f_2)(1)=f_2(f_2(1))=f_2(0)=1$, es decir, $f_2\circ f_2=Id_X$.

El siguiente resultado conecta varias propiedades de las que hemos platicado.

Teorema. Sea $f:X\to Y$. Las siguientes tres cosas son equivalentes:

  1. $f$ es biyectiva.
  2. $f$ tiene inversa.
  3. $f$ tiene inversa derecha y $f$ tiene inversa izquierda.

Demostración.

$1)\rightarrow 2)$. Supongamos que $f$ es biyectiva, entonces $f$ es inyectiva y suprayectiva. Para definir $g:Y\to X$ su inversa, notamos que para cada $y\in Y$ existe un único $x\in X$ tal que $f(x)=y$ y entonces definimos $g(y)=x$. Debemos ver que dicha $g$ compuesta tanto por la derecha como por la izquierda con $f$ nos da la identidad. Por un lado, para cualquier $x\in X$ tenemos que $g(f(x))=x$ por cómo definimos $g$, así que $g\circ f = Id_X$.

Tomemos ahora $y\in Y$ y estudiemos $f(g(y))$. Como $f$ es suprayectiva, existe un $x$ tal que $y=f(x)$. Por definición de $g$, tenemos $f(g(y))=f(g(f(x))=f(x)$. Y como $f$ es inyectiva, tenemos que $g(y)=x$. Así, $f(g(y))=f(x)=y$. Concluimos entonces que $f\circ g=Id_Y$. Con esto concluimos la prueba de que $g$ es inversa de $f$.

$2)\rightarrow 3)$. Si $f$ tiene inversa $g$, entonces $g\circ f = Id_X$ y $f\circ g = Id_Y$, que es justo lo que se pide para que $g$ sea inversa izquierda y derecha respectivamente.

$3)\rightarrow 1)$. Esto es conclusión de lo que ya mostramos anteriormente. Como $f$ tiene inversa derecha, entonces es suprayectiva. Como $f$ tiene inversa izquierda, entonces $f$ es inyectiva. Así, $f$ es biyectiva.

$\square$

Observa que en la demostración del resultado anterior estamos usando que si $f$ tiene inversa derecha, entonces es suprayectiva. Esto es algo que sí pudimos demostrar en esta entrada y por lo tanto la demostración que acabamos de hacer no necesita del axioma de elección. Por otro lado, observa que el teorema anterior nos da una condición necesaria y suficiente para determinar cuándo una función posee inversa, incluso sabemos que ésta es única y por ello podemos adoptar una notación para la inversa de una función; si existe la inversa de una función $f$, la denotaremos por $f^{-1}$, notación que coincide con la de la inversa de una relación.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá identificar cuándo una función tiene inversa ya sea izquierda o derecha

  • Sea $f:X\to Y$ una función inyectiva. Da un ejemplo en donde la relación inversa de $f$ no es total y por lo tanto no es función.
  • En la definición de función inversa para una función $f:X\to Y$ le llamamos a su inversa $f^{-1}$. Pero aquí implícitamente ya estamos suponiendo que la inversa es única. Demuestra que, en efecto, si una función $f:X\to Y$ tiene inversa, entonces dicha inversa es única.
  • Las inversas derechas e izquierdas no necesariamente son únicas. Para pensar en esto, haz lo siguiente:
    • Da una función que tenga dos inversas derechas distintas.
    • Da una función que tenga dos inversas izquierdas distintas.
  • Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones biyectivas. Demuestra que $g\circ f$ es invertible, más aún que $(g\circ f)^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1}$.

Más adelante…

En la siguiente sección comenzaremos con el tema de relaciones de equivalencia. En esta parte retomaremos el concepto de relación, sin embargo nos enfocaremos en las relaciones de un conjunto $A$ que cumplen determinadas propiedades, lo que las hará especiales y recibirán el nombre de relaciones de equivalencia.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Funciones suprayectivas y biyectivas

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Si tenemos dos conjuntos $X$ y $Y$ y se nos pide definir una función $f:X\to Y$ lo que debemos hacer es relacionar a cada uno de los elementos de $X$ con un único elemento de $Y$. Esta forma de proceder no garantiza que cualquier elemento de $Y$ se encuentra relacionado con algún elemento de $X$. Aquellas funciones que sí cumplan esto último les llamaremos funciones suprayectivas y será el tema que trataremos en esta entrada.

Función suprayectiva

Definición. Sea $f:X\to Y$ una función. Si $f[X]=Y$, entonces decimos que $f$ es suprayectiva.

$\square$

Teorema. Sea $f:X\to Y$ una función. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. $f$ es suprayectiva.
  2. Para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.
  3. Para cualesquiera $h,k:Y\to Z$ tales que $h\circ f= k\circ f$, se tiene que $h=k$.

Demostración.

$1)\rightarrow 2)$

Supongamos que $f$ es suprayectiva, es decir que $f[X]=Y$. Sea $y\in Y$, entonces $y\in f[X]$ por lo que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. Por lo tanto, para cualquier $y\in Y$ existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.

$2)\rightarrow 3)$

Sean $h,k:Y\to Z$ tales que $h\circ f=k\circ f$. Veamos que $h=k$. Sea $y\in Y$, veamos que $h(y)=k(y)$. Dado que $y\in Y$, por hipótesis tenemos que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$, por lo que $h(y)= h(f(x))$ y $k(y)= k(f(x))$. Luego, como $(h\circ f)(x)= h(f(x))= k(f(x))= (k\circ f)(x)$, tenemos que $h(y)= k(y)$.

$3)\rightarrow 1)$

Observemos que $f[X]\subseteq Y$, por lo que resta probar que $Y\subseteq f[X]$. Definamos $h: Y\to \set{0,1}$ y $k: Y\to \set{0,1}$ funciones dadas por $h(y)=0$ para todo $y\in Y$ y

\begin{align*}
k(y) = \left\{ \begin{array}{lcc}
0 &  \text{si} & y\in f[X]\\
1 &  \text{si}  & y \notin f[X] \\
\end{array}
\right.
\end{align*}

respectivamente.

Sea $x\in X$, entonces $f(x)\in Y$ y así, $(h\circ f)(x)= h(f(x))=0$ y $(k\circ f)(x)= k(f(x))=0$. Por lo tanto, $h\circ f=k\circ f$ y, por hipótesis $h=k$.

Si tomamos $y\in Y$, $h(y)=k(y)$. Esto significa que $k(y)=0$, por lo tanto, debe ocurrir que $y\in f[X]$.

Algunas funciones suprayectivas

Ejemplo.

La función identidad es suprayectiva. En efecto, sea $Id_X:X\to X$ la función identidad y sea $y\in X$, entonces $y\in X$ satisface $Id_X(y)= y$.

Por lo tanto, $Id_X$ es suprayectiva.

$\square$

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto no vacío y $f:X\to \set{c}$ una función dada por $f(x)=c$ para todo $x\in X$. Tenemos que $f$ es suprayectiva.

Dado que $c$ es el único elemento de $\set{c}$, debemos encontrar que existe $x\in X$ tal que $f(x)=c$. Como $X$ no es vacío, existe $x\in X$ y es tal que que $f(x)=c$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto y $A\subseteq X$ un subconjunto propio de $X$ (distinto de $X$ y no vacío). La función característica de $A$ es una función suprayectiva.

Deseamos ver que para cualquier $y\in \set{0,1}$ existe $x\in X$ tal que $\chi_A(x)=y$.

Caso 1: Si $y=0$, entonces tomemos $x\in X\setminus A$ de modo que $\chi_A(x)=0$.

Caso 2: Si $y=1$, entonces tomemos $x\in A$, de modo que $\chi_A(x)=1$.

Por lo tanto, $\chi_A$ es suprayectiva.

$\square$

Composición de funciones y suprayectividad

Así como lo hicimos en la entrada anterior con respecto a la inyectividad, también podemos averiguar qué pasa con la composición de funciones con respecto a la suprayectividad. Tenemos el siguiente teorema.

Teorema. Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones suprayectivas, $g\circ f$ es suprayectiva.

Demostración.

Sea $z\in Z$, y veamos que existe $x\in X$ tal que $(g\circ f)(x)=z$.
Dado que $g$ es suprayectiva y $z\in Z$, entonces existe $y\in Y$ tal que $g(y)=z$. Luego, como $f$ es suprayectiva y $y\in Y$, entonces existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$, así $z=g(y)=g(f(x))$. Por lo tanto, $g\circ f$ es suprayectiva.

$\square$

Funciones biyectivas

Definición. Decimos que $f:X\to Y$ es una función biyectiva si y sólo si $f$ es inyectiva y suprayectiva.

Ejemplo.

La función identidad es biyectiva.

Verificamos en la entrada de funciones inyectivas que la función identidad es una función inyectiva, además de que en esta entrada verificamos que es suprayectiva.

$\square$

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{2,4,6}$ y sea $f:X\to Y$ la función dada por $f(x)=2x$. Tenemos que $f$ es inyectiva pues es una función uno a uno, es decir, elementos distintos van a dar a elementos distintos. Más explícitamente $1$ va a dar a $2$, $2$ a $4$ y $3$ a $6$.

Además $f$ es suprayectiva, pues para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. En efecto, esto sucede ya que para $2\in Y$ existe $1\in X$ tal que $f(1)=2$; para $4\in Y$ existe $2\in X$ tal que $f(2)=4$ y por último para $6\in Y$ existe $3\in X$ tal que $f(3)=6$.

$\square$

Tarea moral

Realiza la siguiente lista de ejercicios que te ayudará a fortalecer los conceptos de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

  1. Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones. Demuestra que si $g\circ f$ es suprayectiva, entonces $g$ es suprayectiva.
  2. Demuestra o da un contraejemplo del siguiente enunciado: Si $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ son funciones tales que $g\circ f$ es suprayectiva, entonces $f$ es suprayectiva.
  3. Sean $X=\set{1,2,3, \cdots}$ y $Y=\set{3,4,5,\cdots}$ y sea $f:X\to Y$ dada por $f(x)=2x+3$. ¿$f$ es suprayectiva? Argumenta tu respuesta. Quizás a estas alturas tengas que ser un poco informal en términos de teoría de conjuntos, pero usa lo que conoces de las operaciones de números.

Más adelante…

Ahora que aprendimos el concepto de función inyectiva y suprayectiva tenemos las bases suficientes para hablar de funciones invertibles. Veremos funciones invertibles por la derecha e invertibles por la izquierda, cuyos conceptos resultarán equivalentes al de función suprayectiva y función inyectiva respectivamente.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Funciones inyectivas

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Introducción

En esta entrada abordaremos el concepto de función inyectiva. Una función inyectiva será aquella que relacione elementos distintos del dominio con elementos distintos del codominio.

Función inyectiva

Definición. Sea $f: X \to Y$. Decimos que $f$ es una función inyectiva si para cualesquiera $x_1$, $x_2 \in X$ tales que $x_1\not=x_2$, se tiene que $f(x_1)\not= f(x_2)$.

Ejemplo.

Sean $X=\set{1,2,3,4}$ y $Y=\set{1,2,3,4,5}$ y sea $f:X\to Y$ una función dada por $f=\set{(1,2), (2,1), (3,3), (4,5)}$. Decimos que $f$ es inyectiva pues cada elemento de $X$ bajo la función va a dar a un elemento distinto de $Y$, como se muestra en la siguiente imagen:

Ejemplo.

La función identidad es una función inyectiva.

En efecto, dado que $Id_X:X\to X$ esta dada por $Id_X(x)=x$, entonces si $x_1,x_2\in X$ son tales que $Id_X(x_1)=Id_X(x_2)$, entonces tendríamos $x_1=Id_X(x_1)=Id_X(x_2)=x_2$. Así, $x_1=x_2$ y por lo tanto $Id_X$ es inyectiva.

$\square$

Ejemplo.

La función constante no es inyectiva.

Consideremos $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1}$. Sea $f:X\to Y$ la función dada por $f(x)=1$ para toda $x\in X$. Consideremos $x_1=1$ y $x_2=2$ elementos de $X$. Sabemos que $1\not=2$ por lo que para que nuestra función sea inyectiva esperamos que $f(x_1)\not=f(x_2)$, sin embargo, $f(1)=1=f(2)$. Esto demuestra que, en general, las funciones constantes no son inyectivas.

$\square$

Equivalencias de inyectividad

Aunque la definición de inyectividad es muy intuitiva («mandar elementos distintos a elementos distintos»), en la práctica nos conviene tener una serie de equivalencias de esta definición que podamos usar en situaciones variadas.

Teorema. Sea $f:X\to Y$ una función tal que $X\not=\emptyset$. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. $f$ es inyectiva.
  2. Para cualesquiera $x_1,x_2\in X$ si $f(x_1)=f(x_2)$, entonces $x_1=x_2$.
  3. Para cualesquiera $h,k:Z\to X$ si $f\circ h= f\circ k$, entonces $h=k$.
  4. Para cualesquiera $A,B$ subconjuntos de $X$, se cumple que $f[B\setminus A]= f[B]\setminus f[A]$.
  5. Para cualesquiera $A,B$ subconjuntos de $X$ se cumple que $f[A\cap B]= f[A]\cap f[B]$.

Demostración.

$1)\rightarrow 2)$
Supongamos que $f$ es inyectiva, esto es, para cualesquiera $x_1, x_2\in X$ tales que $x_1\not=x_2$ se tiene que $f(x_1)\not=f(x_2)$. Luego, sabemos que la implicación es equivalente a la contrapositiva por lo que podemos concluir que para cualesquiera $x_1, x_2\in X$, si $f(x_1)=f(x_2)$ entonces $x_1=x_2$.

$2)\rightarrow 3)$
Supongamos que para cualesquiera $x_1, x_2\in X$ si $f(x_1)=f(x_2)$, entonces $x_1= x_2$ y supongamos que $h,k:Z\to X$ son funciones tales que $f\circ h= f\circ k$ y veamos que $h=k$.

Sea $z\in Z$, entonces $h(z)\in X$ y $k(z)\in X$, luego como $f\circ h=f\circ k$ tenemos que $(f\circ h)(z)= (f\circ k)(z)$, de donde $f(h(z))= f(k(z))$ y como $f$ es inyectiva entonces $h(z)=k(z)$. Por lo tanto, $h(z)=k(z)$ para todo $z\in Z$. Para concluir que $h=k$ notemos lo siguiente: $(z,y)\in h$ si y sólo si $h(z)=y$, lo cual ocurre si y sólo si $k(z)=y$, es decir, si y sólo si $(z,y)\in k$.

$3)\rightarrow 4)$

Supongamos que para cualesquiera $h,k:Z\to X$ se cumple que si $f\circ h= f\circ k$, entonces $h=k$. Sean $A,B$ conjuntos tales que $A\subseteq B\subseteq X$ y veamos que $f[B\setminus A]= f[B]\setminus f[A]$.

En la entrada de funciones vimos que siempre ocurre que $f[B]\setminus f[A]\subseteq f[B\setminus A]$ por lo que basta ver la otra contención.

Sea $y\in f[B\setminus A]$, entonces existe $x\in B\setminus A$ tal que $f(x)=y$. Tenemos que $x\in B$ y $x\notin A$, de modo que $f(x)\in f[B]$. Resta ver que $f(x)\notin f[A]$. Supongamos que sí ocurre, es decir que $f(x)\in f[A]$. Entonces existe $z\in A$ tal que $f(z)=f(x)$.

Definamos $h:X\to X$ dada por $h(a)=x$ para todo $a\in X$ y $k:X\to X$ dada por $k(a)=z$ para todo $a\in X$. Notemos que $h\not=k$ pues $z\not=x$ ya que $z\in A$ y $x\notin A$. Luego, $(f\circ h)(a)=f(h(a))= f(x)$ y $(f\circ k)(a)= f(k(a))= f(z)=f(x)$ para cada $a\in A$, por lo que $f\circ h=f\circ k$. Así, por hipótesis se sigue que $h=k$ lo cuál es una contradicción, por lo tanto, no debe ocurrir que $f(x)\in f[A]$. Así, $f(x)\in f[B]\setminus f[A]$.

$4)\rightarrow 5)$

Supongamos que para cualesquiera $A, B$ subconjuntos de $X$, se cumple que $f[B\setminus A]=f[B]\setminus f[A]$. Veamos que $f[A\cap B]= f[A]\cap f[B]$.

En la entrada de funciones probamos que $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$, por lo que basta ver que $f[A]\cap f[B]\subseteq f[A\cap B]$.

Sea $y\in f[A]\cap f[B]$, entonces $y\in f[A]$ y $y\in f[B]$, así existe $x\in A$ tal que $f(x)=y$. Queremos demostrar que $x\in B$. Supongamos que no es así, es decir $x\notin B$. Por lo tanto, $x\in A\setminus B$ y $y=f(x)\in f[A\setminus B]= f[A]\setminus f[B]$.

Se sigue que $y\in f[A]$ y $y\notin f[B]$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, debe ocurrir que $x\in B$, así existe $x\in A\cap B$ tal que $f(x)=y$.

Por lo tanto, $f[A]\cap f[B]= f[A\cap B]$.

$5)\rightarrow 1)$

Supongamos que para cualesquiera $A, B\subseteq X$ se cumple que $f[A]\cap f[B]= f[A\cap B]$.

Sean $x_1, x_2\in X$ tales que $x_1\not= x_2$, veamos que $f(x_1)\not= f(x_2)$.

Consideremos $\set{x_1}$ y $\set{x_2}$ subconjuntos de $X$. Luego,

\begin{align*}
\emptyset&=f[\emptyset]\\
&=f[\set{x_1}\cap \set{x_2}]\\
&=f[\set{x_1}]\cap f[\set{x_2}]\ \text{por hipótesis}\\
&=\set{f(x_1)}\cap \set{f(x_2)}.
\end{align*}

Luego, como $\set{f(x_1)}\cap \set{f(x_2)}=\emptyset$, se tiene $\set{f(x_1)}\not=\set{f(x_2)}$ y por lo tanto, $f(x_1)\not=f(x_2)$.

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Por lo tanto, todos los enunciados anteriores son equivalentes.

$\square$

Aunque existen muchas equivalencias de función inyectiva, para estas notas usaremos con mayor frecuencia la equivalencia dos del resultado anterior.

¿Qué pasa con la composición y la inyectividad?

Anteriormente vimos que la composición de funciones (pensándolas como relaciones) resulta ser una función. Podemos preguntarnos qué ocurre si las funciones que conforman a la composición son inyectivas. ¿Será que eso implica que la composición es inyectiva? Esto lo responde el siguiente teorema.

Teorema. Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones inyectivas. Se cumple que $g\circ f$ es inyectiva.

Demostración.

Sean $f$ y $g$ funciones inyectivas y sean $x_1, x_2\in X$ tales que $(g\circ f)(x_1)= g(f(x_1))=g(f(x_2))= (g\circ f)(x_2)$. Dado que $f(x_1), f(x_2)\in Y$ y $g$ es inyectiva, entonces $ g(f(x_1))=g(f(x_2)) $ implica que $f(x_1)=f(x_2)$. Por la inyectividad de $f$ podemos concluir que $x_1=x_2$. Por lo tanto, $g\circ f$ es una función inyectiva.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el tema de funciones inyectivas.

  • Demuestra que la función inclusión es inyectiva.
  • Sean $A=\set{1,2,3}$, $B=\set{1,2}$ y $C=\set{1,2}$ conjuntos. Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ funciones dadas por $f=\set{(1,1), (2,1), (3,2)}$ y $g=\set{(1,2), (2,1)}$ respectivamente. Escribe al conjunto $g\circ f$ y ve si la función correspondiente es inyectiva. Argumenta tu respuesta.
  • Si $f\circ g$ es inyectiva, ¿es cierto que $f$ y $g$ son inyectivas? ¿Será cierto que por lo menos una de ellas siempre es inyectiva?
  • Demuestra que la función $\emptyset$ es inyectiva.
  • Demuestra que $f:X\to Y$ una función constante es inyectiva si y sólo si $X=\set{x}$ para algún conjunto $x$.

Más adelante…

En la siguiente entrada abordaremos el tema de funciones suprayectivas. Con este tema tendremos los conceptos necesarios para comenzar a hablar acerca de funciones biyectivas e invertibles.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»