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Teoría de los Conjuntos I: Paradoja de Russell

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada tendremos un acercamiento a una de las grandes controversias que tuvó la teoría de los conjuntos: la paradoja de Russell, también llamada paradoja del barbero. Es importante que prestes especial atención al esquema de comprensión que vimos en la entrada anterior, pues a partir de la paradoja de Rusell y el esquema de comprensión estudiaremos al contradictorio «conjunto de todos los conjuntos».

La paradoja del barbero

«En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos solo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

-En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme!. Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz y barbón.»

López Mateos, Manuel (1978). Los Conjuntos. México D.F.: Publicaciones del Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM.

Si analizamos la historia anterior, As-Samet estaba metido en verdaderos problemas debido al mandato del emir. Dado que As-Samet era barbero, podía afeitarse a sí mismo, entonces el barbero no debía afeitarlo. Sin embargo, decir que él mismo se puede afeitar es igual a decir que el barbero lo puede afeitar y eso desobedece el mandato, por lo tanto no debe afeitarse. Ahora, como no se puede afeitar a sí mismo, entonces el barbero debe afeitarlo, es decir, él debe afeitarse, y eso también desobedece el mandato. Por lo tanto, As-Samet debe afeitarse si y sólo si As-Samet no debe afeitarse, lo cual es un absurdo. ¡Qué gran lío!

Formalización de la paradoja del barbero

Vimos en la entrada anterior que el esquema de comprensión nos permite construir conjuntos a partir de elementos en un conjunto con una propiedad. A continuación definiremos a una colección y veremos que hay colecciones que no son conjuntos.

Definición: Dada $P(x)$ una propiedad, definimos a la colección determinada por $P$ como todos los conjuntos que satisfacen a la propiedad $P$. A dicha colección la denotaremos mediante $\set{x:P(x)}$.

Ahora que hemos definido a una colección, vamos a ver un ejemplo de que no toda colección será un conjunto. Para ello, presentaremos esta paradoja dando una propiedad «$P(x): x\notin x$» que se interpreta como $x$ no se pertenece a sí mismo. Definimos $B$ como la colección $B=\set{x:P(x)}$, tenemos lo siguientes casos:

  • Si $B\in B$, entonces $P(B)$ se cumple, es decir, $B\notin B$.
  • Si $B\notin B$, entonces $P(B)$ no se satisface, es decir, no es cierto que $B\notin B$, por lo que $B\in B$.

Ahora, si juntamos los casos anteriores tendremos que $B\in B$ si y sólo si $B\notin B$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, es imposible que $B$ sea un conjunto.

La colección de todos los conjuntos

La idea anterior es problemática, pero informal: no hemos dicho por qué sí nos lleva a problemas dentro de nuestro sistema axiomático. El problema se originaría de suponer que hay un conjunto de todos los conjuntos.

Proposición. El conjunto de todos los conjuntos no existe.

Demostración. (Por reducción al absurdo).

Supongamos que el conjunto de todos los conjuntos sí existe. Sea $V$ dicho conjunto y consideremos «$P(x): x\notin x$», tenemos que $A=\set{x\in V: x\notin x}$ es un conjunto por el esquema de comprensión. De modo que $A\in V$ pues $V$ tiene a todos los conjuntos, además $P(A)$ puede o no ser verdadero, evaluemos los dos casos posibles.

  • Si $P(A)$ es verdadero, entonces $A\notin A$ y por lo tanto, $A\in A$.
  • Si $P(A)$ es falso, entonces $A\in A$ y por lo tanto, $A\notin A$.

Por lo tanto, $A\in A$ si y sólo si $A\notin A$ lo cuál es una contradicción. Dado que esta vino de suponer que $V$ es un conjunto, concluimos que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

$\square$

Denotaremos a $V$ como la colección de todos los conjuntos.

La conclusión que obtenemos es que para dar un conjunto requerimos más que una propiedad, necesitamos también que los elementos que satisfagan dicha propiedad sean elementos de algo que previamente ya sabemos es un conjunto. Este problema lo soluciona el esquema de comprensión.

Tarea moral

Con los temas que hemos visto hasta este momento demuestra o explica los siguientes ejercicios:

  • ¿Cómo podemos averiguar si dos conjuntos son diferentes?
  • Explica con tus palabras porqué $\set{x:x\notin x}$ no es un conjunto.
  • Escribe colecciones que consideres que son conjuntos. Más adelante tendrás el conocimiento necesario para determinar si dichas colecciones son o no conjuntos.

Más adelante…

En la siguiente entrada abordaremos axiomas de construcción: el axioma del par y el axioma de unión. Estos, junto con el esquema de comprensión nos proporcionarán las herramientas necesarias para construir nuevos conjuntos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Axiomas de existencia, de comprensión y de extensión

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

«Se entiende por un conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente».

Georg Cantor

Para iniciar nuestro curso presentaremos en esta entrada tres de los primeros axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Axioma de existencia

Para siquiera hablar de conjuntos, es importante garantizar que hay por lo menos un conjunto. El axioma de existencia nos garantiza eso.

Axioma de existencia. Existe un conjunto que no tiene elementos.

Una manera de describir a los elementos del conjunto otorgado por el axioma de existencia es con la siguiente propiedad:

«$P(x): x\ \text{es un conjunto que no es igual a sí mismo}$».

Si lo piensas, no existe algo que cumpla esta propiedad pues cualquier conjunto que demos siempre será igual a sí mismo. Una forma de imaginarnos a este conjunto es pensar en una bolsa que no tenga nada adentro, como se muestra en la siguiente imagen.

Ten cuidado, pues esta manera de pensar a un conjunto sin elementos es informal. Sin embargo, en los ejercicios al final, verás cómo formalizarla.

Podríamos pensar, a partir de nuestra imagen anterior, que si tenemos dos bolsas de un color distinto que no tengan nada adentro, resultarían en dos conjuntos distintos. El siguiente axioma esclarece dicha cuestión, pues establece un criterio que nos permite distinguir cuándo dos conjuntos $X$ y $Y$ son iguales.

Axioma de extensión. $X=Y$ si para cualquier conjunto $x$, $x\in X$ si y sólo si $x\in Y$.

Así, retomando la imagen de la bolsa vacía, para la teoría de conjuntos dos bolsas vacías son realmente el mismo objeto, aún cuando éstas no sean del mismo color.

Definición. Sean $X$ y $Y$ conjuntos. Diremos que $X$ está contenido en $Y$, en símbolos $X\subseteq Y$, si para todo $x\in X$ se tiene $x\in Y$.

Para demostrar la igualdad entre conjuntos, basta probar que $X\subseteq Y$ y $Y\subseteq X$ de acuerdo al axioma de extensión.

Con este axioma y la definición de contención, podemos probar que el conjunto que nos otorga el axioma de existencia es único.

Antes de realizar la demostración de que el conjunto que nos da el axioma de existencia es único, acordaremos que, para demostrar la igualdad entre conjuntos $x$ y $y$, es necesario demostrar que $x\subseteq y$ y $y\subseteq x$, por lo que para referirnos a que se esta demostrando la primera contención pondremos «$\subseteq$]» al inicio de la prueba y para probar la segunda contención pondremos «$\supseteq$]» al inicio de la prueba.

Previo a realizar la demostración haremos una pausa para hablar acerca del argumento por vacuidad. En la entrada anterior hicimos mención de que las propiedades en el lenguaje de la teoría de los conjuntos nos permitirian describir propiedades que pueden o no satisfacer conjuntos dados.

De esta manera, si consideramos a $z$ como un conjunto sin elementos, la propiedad $\forall x(x\in z\rightarrow \varphi(x))$ es verdadera siempre, pues no hay conjunto $x$ que pertenezca a $z$.

Proposición. Existe un único conjunto sin elementos.

Demostración. Sean $A$ y $B$ conjuntos que no tienen elementos, veamos que $A=B$.

$\subseteq$] Por vacuidad, si $x\in A$, entonces $x\in B$, pues no hay nadie en $A$.

$\supseteq$] Por vacuidad, si $x\in B$, entonces $x\in A$, pues no hay nadie en $B$.

Por lo tanto, $A=B$.

$\square$

Definición. Al único conjunto que no tiene elementos le llamaremos conjunto vacío y será denotado por $\emptyset$.

Presentamos el último ingrediente axiomático de esta entrada. En vez de llamarse «axioma» se llama «esquema» pues condensa muchos axiomas, uno por cada propiedad $P$ y cada conjunto $A$.

Esquema de comprensión. Sea $P(x)$ una propiedad. Para cualquier conjunto $A$ existe un conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y satisface $P(x)$.

Este esquema nos permite construir conjuntos con elementos de otro conjunto que satisfacen una propiedad. Esto último evitará tener contradicciones como la paradoja del barbero que veremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

  1. Da dos propiedades diferentes tales que para cualquier conjunto que des, no exista un conjunto que las cumpla y nos den otra forma de describir a los elementos del conjunto vacío.
  2. ¿Es verdadero o falso $\emptyset\in \emptyset$? Argumenta tu respuesta.
  3. Prueba que si $P(x)$ es una propiedad, para todo conjunto $A$ existe un único conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y $P(x)$. (Esto prueba que el conjunto que nos otorga el esquema de comprensión es único).
  4. Imagina que cambiamos el axioma de existencia por «Existe por lo menos un conjunto $X$.» Mediante este nuevo axioma y el esquema de comprensión, demuestra la existencia del conjunto vacío. Como sugerencia usa la discusión intuitiva que dimos del vacío.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de axiomas básicos y de construcción, los cuales nos permitirán hablar de nuevos conjuntos, así mismo, con ellos probaremos teoremas importantes de la teoría de los conjuntos. En la siguiente entrada, abordaremos la famosa paradoja de Russell o también llamada paradoja del barbero.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Lenguaje de la Teoría de los Conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Antes de comenzar con nuestro curso de Teoría de los Conjuntos I, dedicaremos esta entrada para hablar acerca de lógica de primer orden. Esto lo haremos únicamente con el fin de que veas como se van construyendo las fórmulas del lenguaje de la Teoría de los Conjuntos. Dichas fórmulas las utilizaremos en distintos momentos a lo largo de este curso.

Necesariamente, esta entrada será breve, pues todas las precisiones de lógica se ven en un curso de esta materia, y todas las precisiones de teoría de conjuntos son parte de lo que esperamos entender en este curso.

Lenguaje de la Teoría de los Conjuntos 1

Definición. El lenguaje de la teoría de los conjuntos consiste en:

Simbolos lógicos:

  1. Variables $x, y, z$
  2. Conectivos lógicos $\neg$, $\land$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$
  3. Cuantificadores $\forall$, $\exists$
  4. Parentesis (,)

Simbolos no lógicos:

  1. Símbolos de predicado $\in$ y $=$.

Es importante decir que todas las variables de nuestro lenguaje representarán conjuntos y los símbolos de predicado representarán relaciones entre estos conjuntos.

Las fórmulas atómicas son de la forma: $x\in y$ y $x=y$.

A partir de aquí, podemos formar más fórmulas, ya que si $\phi$ y $\varphi$ son fórmulas, entonces $\neg \phi$, $\phi \land \varphi$, $\phi \vee \varphi$, $\phi \rightarrow \varphi$, $\phi \leftrightarrow \varphi$ tambien lo son.

Ejemplo.

$\neg (x=y)$, $(x\in y)\land (x=y)$, $(x\in y)\vee (x\in z)$, $(x\in z)\rightarrow (x=z)$, $(x\in z)\leftrightarrow (y\in w)$ son fórmulas de la teoría de conjuntos.

$\square$

Si $\varphi$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos, entonces $\exists x \varphi$ y $\forall x \varphi$ también lo son.

Ejemplo.

  • Dado que $(x\in y)\vee (x\in z)$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos. Entonces, $\forall x((x\in y) \vee (x\in z))$ también lo es.
  • $\forall x((x\in y) \rightarrow \neg(x\in z))$ es fórmula de la teoría de conjuntos.
  • $\exists x(x\in y)$ es fórmula de la teoría de conjuntos.

$\square$

Las fórmulas del lenguaje de la teoría de los conjuntos nos permiten:

  1. Describir propiedades que pueden o no satisfacer conjuntos dados de antemano.
  2. Expresar relaciones entre dos o más conjuntos.

A partir de ahora, a aquellas fórmulas que describen una característica particular de un conjunto $x$ les llamaremos propiedades y las denotaremos con $P(x)$, $Q(x)$, $P_1(x)$, $P_2(x)$, etcétera. Dichas fórmulas tienen a $x$ como variable libre.

Dado que las fórmulas que podemos ir construyendo con el lenguaje de la teoría de los conjuntos se vuelven muy complejas, vamos a abreviarlas para facilitar su escritura.

Abreviaturas.

  • $\neg(x\in y)$ lo escribiremos como $x\notin y$.
  • $\neg(x=y)$ lo escribiremos como $x\not= y$.
  • $\forall x((x\in y)\rightarrow (x\in z))$ lo escribiremos como $y\subseteq z$.
  • Si $\varphi$ es una fórmula dada, $\forall x(x\in y\rightarrow \varphi)$ y $\exists x(x\in y\land \varphi)$ las escribiremos como $(\forall x\in y) \varphi$ y $(\exists x\in y) \varphi$, respectivamente.

Tarea moral

Construye 10 fórmulas del lenguaje de la teoría de los conjuntos. Utiliza cuantificadores y conectivos lógicos.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos inicio al curso de Teoría de los Conjuntos I. Comenzaremos hablando de los primeros axiomas de Zermelo-Fraenkel, estos axiomas son los de existencia, de comprensión y de extensión. El primero de ellos nos permitirá siquiera asegurar la existencia de un conjunto.

Entradas relacionadas

Los siguientes enlaces te servirán para revisar con mejor detalle el tema:

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. Puede consultar más información sobre esto en Fernández de Castro M., Villegas Silva L. (2011). Lógica Matemática II: Clásica, Intuicionista y Modal (1.ª ed.) Universidad Autónoma Metropolitana. pp. 151-152. ↩︎