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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior definimos la exponencial de una matriz $\textbf{A}$ de coeficientes constantes, denotada por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, demostramos sus principales propiedades, y estudiamos la relación que guarda con el sistema lineal de ecuaciones $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ y su matriz fundamental de soluciones. Con esta herramienta a nuestra disposición, podremos enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes.

Como mencionamos en la entrada anterior, nuestra meta es tratar de generalizar la fórmula para soluciones a ecuaciones lineales de primer orden con condición inicial, la cual es de la forma $$y(t)=e^{-\int p(t) dt} \left[\int e^{\int p(t) dt}q(t)+k_{0}\right]$$ para cierta constante $k_{0}$, y encontrar una solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\textbf{C}$$ que se vea de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{e}^{-\int \textbf{A}(t) dt} \left[\int \textbf{e}^{\int \textbf{A}(t) dt}\textbf{Q}(t)+\textbf{B}\right].$$

El teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden nos garantiza la existencia de tal solución. Además, una vez que definimos la exponencial de una matriz, ya no nos sorprenderá la notación de la fórmula anterior. Dividiremos el teorema y su demostración en dos casos: para sistemas homogéneos y para sistemas no homogéneos.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes

En el primer video demostramos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes

En el segundo video demostramos el mismo teorema pero ahora para sistemas lineales no homogéneos de primer orden con coeficientes constantes.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(1)=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución al problema de condición inicial: $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\textbf{X}+ \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{X}(2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$$

Más adelante

Una vez que hemos encontrado formas explícitas para las soluciones a sistemas lineales con coeficientes constantes $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$, debemos encontrar algún método para calcular eficientemente $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$, sin pasar por el complicado camino de calcular cada serie que conforma a la exponencial de $t\textbf{A}$. El método que desarrollaremos es una aplicación de los eigenvalores y eigenvectores (o valores y vectores propios) que quizá hayas visto en cursos de álgebra lineal.

Es por eso que, aunque no estamos en un curso de álgebra lineal, haremos un alto en el camino y revisaremos de manera muy breve estos conceptos y demás herramientas que utilizaremos muy pronto. Iremos relacionando los conceptos con los temas que nos interesan, que son los de hallar una matriz fundamental de soluciones, la exponencial de una matriz, y por supuesto resolver sistemas lineales de primer orden.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: La exponencial de una matriz

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos a resolver algunos sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Sin embargo como pudimos advertir, el método de eliminación de variables funciona para casos muy sencillos con pocas ecuaciones en el sistema. Además, necesitamos previo conocimiento de cómo resolver ecuaciones diferenciales de orden superior pues dicho método nos lleva a resolver una ecuación de este tipo. Por tanto, quisiéramos un nuevo método que nos permita resolver los mismos sistemas y algunos más complejos.

Antes de presentar tal método, lo que quisiéramos conocer es si existe una fórmula explícita para las funciones solución al problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$$ con condición inicial $\textbf{X}(t_{0})=\textbf{C}$, que sea muy parecida a la fórmula que encontramos para ecuaciones lineales de primer orden $\frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t)$ con condición inicial $y(t_{0})=y_{0}$, la cual es de la forma $$y(t)=e^{-\int p(t) dt} \left[\int e^{\int p(t) dt}q(t)+k_{0}\right]$$ para cierta constante $k_{0}$. Intercambiando las respectivas funciones, nuestra hipotética solución al sistema quedaría de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{e}^{-\int \textbf{A}(t) dt} \left[\int \textbf{e}^{\int \textbf{A}(t) dt}\textbf{Q}(t)+\textbf{B}\right]$$ con cierta matriz constante $\textbf{B}$. Por supuesto, no sabemos qué significa $\int \textbf{A}(t) dt$ ni mucho menos la exponencial de esta última expresión.

En esta entrada responderemos a estas preguntas. Daremos las definiciones auxiliares necesarias para construir el concepto de exponencial de una matriz cuadrada de tamaño $n \times n$ con coeficientes constantes, que denotaremos por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$. Posteriormente, demostraremos las principales propiedades que cumple $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, entre ellas su relación con los sistemas de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ con condición inicial $\textbf{X}(0)=\textbf{C}$. Finalmente, dado $t \in \mathbb{R}$ relacionaremos a la exponencial de $t \textbf{A}$ con la matriz fundamental de soluciones al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

¡Manos a la obra!

La exponencial de una matriz

En el primer video de esta entrada definimos la exponencial de una matriz $\textbf{A}$ de tamaño $n \times n$ con coeficientes constantes.

Propiedades de la exponencial de una matriz

En este video probamos las principales propiedades que satisface la exponencial de una matriz, entre ellas la relación que guarda con los sistemas lineales de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ con condición inicial $\textbf{X}(0)=\textbf{C}$.

La exponencial de una matriz $\textbf{A}$ y la matriz fundamental de soluciones de $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$

En el último video de esta entrada relacionamos el nuevo concepto de exponencial de una matriz $\textbf{A}$ con la matriz fundamental de soluciones al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Supongamos que $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ Demuestra que $$\textbf{e}^{t \textbf{A}}=\begin{pmatrix} \cos{t} & \sin{t} \\ -\sin{t} & \cos{t} \end{pmatrix}.$$
  • Considera las matrices $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \textbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Muestra que $\textbf{A}\textbf{B} \neq \textbf{B}\textbf{A}$, calcula $\textbf{e}^{\textbf{A}+\textbf{B}}$ y $\textbf{e}^{\textbf{A}}e^{\textbf{B}}$. ¿Contradice este ejemplo el teorema 4 del segundo video?
  • Calcula $\textbf{e}^{t \textbf{A}}$ si $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
  • Supongamos que $\textbf{A}$ es una matriz diagonal, es decir, una matriz cuyos únicos coeficientes distintos de cero se encuentran en la diagonal. Prueba que $\textbf{e}^{t \textbf{A}}$ es una matriz diagonal.
  • Supongamos que $\textbf{X}_{f}(t)$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Prueba que $\textbf{e}^{(t-t_{0}) \textbf{A}}=\textbf{X}_{f}(t)\textbf{X}^{-1}_{f}(t_{0})$.

Más adelante

Ahora que hemos definido a la exponencial de una matriz y visto sus principales propiedades, podremos enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes. Dividiremos el teorema en dos casos: cuando nuestro sistema es homogéneo, es decir, el sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$; y cuando el sistema es no homogéneo, es decir, de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}$ con su respectiva condición inicial $\textbf{X}(t_{0})=\textbf{C}$.

Esto es lo que haremos en la próxima entrada. ¡No se la pierdan!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de eliminación de variables

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior revisamos las principales propiedades que satisface el conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}.$$ En particular vimos que el conjunto de soluciones al sistema homogéneo forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales de matrices. Gracias a esta propiedad logramos encontrar la solución general a dichos sistemas, tanto homogéneos como no homogéneos.

Con esto en mente, podemos comenzar a resolver algunos sistemas lineales. Los más sencillos son los sistemas con coeficientes constantes, es decir, sistemas donde la matriz $\textbf{A}$ es una matriz conformada por constantes. En esta entrada revisaremos el método más sencillo disponible para resolver dichos sistemas, que será el de eliminación de variables.

El método de eliminación de variables consiste, como su nombre lo indica, en tratar de eliminar las variables dependientes $x_{i}(t)$ hasta quedarnos únicamente con una de ellas dentro de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes. Para eliminar las variables utilizaremos la linealidad del sistema, por lo que podremos realizar operaciones elementales entre las ecuaciones del sistema, es decir, podremos sumar ecuaciones y multiplicar por escalares.

Una vez que llegamos a la ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes, debemos resolverla para encontrar la función $x_{i}(t)$ con la que nos quedamos. Con esta función conocida, podremos ir encontrando las demás funciones que resuelven el problema. Además, como $x_{i}(t)$ es solución general a la ecuación diferencial de orden superior, entonces todas las soluciones involucrarán constantes arbitrarias $c_{1}, c_{2},…,c_{n}$. Por lo tanto, $$\textbf{X}=\begin{pmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ \vdots \notag \\ x_{n}(t) \end{pmatrix}$$ será la solución general al sistema.

Antes de comenzar debemos advertir que, dado que el método depende de la resolución de una ecuación diferencial de orden superior, no es conveniente utilizarlo para resolver sistemas de más de tres ecuaciones diferenciales.

Método de eliminación de variables

En el primer video resolvemos de forma general el sistema lineal de dos ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes por el método de eliminación de variables. Luego, en el segundo video utilizamos el método desarrollado en el primer video para resolver un par de ejemplos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

  • $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 7x+3y \\ \dot{y} &= 2x-y \end{alignedat}$
  • $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= x-5y \\ \dot{y} &= y \end{alignedat}$

Resuelve los siguientes problemas de condición inicial:

  • $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 2x+10y \\ \dot{y} &= -x-y \end{alignedat} \, \, \, \, ; \, \, \, \, \begin{alignedat}{4} x(0) &= 0 \\ y(0) &= 1 \end{alignedat}.$
  • $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 3x-4y+e^{t} \\ \dot{y} &= x-y-e^{t} \end{alignedat} \, \, \, \, ; \, \, \, \, \begin{alignedat}{4} x(0) &= 1 \\ y(0) &= -1 \end{alignedat}.$

Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones:

  • $\begin{alignedat}{4} \dot{x} &= 2x+y+z \\ \dot{y} &= x-y-z \\ \dot{z} &= 3x+y-2z \end{alignedat}$

Recuerda que aunque no resolvimos ecuaciones diferenciales de tercer orden, los métodos que desarrollamos para ecuaciones de segundo orden se pueden extender a ecuaciones de orden superior.

Más adelante

Ya hemos resuelto algunos sistemas lineales con coeficientes constantes, aunque su solución dependió de nuestros conocimientos acerca de las ecuaciones de orden superior con coeficientes constantes. Necesitamos nuevas herramientas para poder resolver los mismos sistemas sin tener que resolver una ecuación de orden superior.

En la próxima entrada hablaremos de la exponencial de una matriz, veremos cómo definir este nuevo término y por supuesto estudiaremos sus principales propiedades. La exponencial de una matriz estará fuertemente relacionada con la forma como resolveremos más adelante los sistemas lineales con coeficientes constantes.

¡Hasta la próxima entrada!

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden $$\begin{alignedat}{4} \dot{x}_{1} &= F_{1}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ \dot{x}_{2} &= F_{2}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ & \; \; \vdots \notag \\ \dot{x}_{n} &= F_{n}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \end{alignedat}$$ donde revisamos las principales definiciones y enunciamos el teorema de existencia y unicidad correspondiente a sistemas de primer orden y sus problemas de condición inicial. Es momento ahora de estudiar las principales propiedades que cumple el conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden, las cuales se comportan de una manera bastante similar al conjunto de soluciones a una ecuación de segundo orden lineal que revisamos en la unidad anterior.

Iniciaremos revisando al conjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo $$\dot{\textbf{X}}={\textbf{A}}{\textbf{X}}$$ el cual cumple el principio de superposición, es decir, si tenemos $n$ soluciones, digamos ${\textbf{X}_{1}}(t), {\textbf{X}_{2}}(t),…,{\textbf{X}_{n}}(t)$, entonces cualquier combinación lineal de estas también lo será. Si recuerdas tus cursos de Álgebra Lineal, esta última propiedad nos dice que el conjunto de soluciones es cerrado bajo la suma y producto por escalar usuales definidos para matrices. Con estas operaciones, veremos que el conjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo forma un espacio vectorial.

Posteriormente definiremos el Wronskiano de un subconjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo, el cual es similar más no igual al Wronskiano que definimos para ecuaciones lineales de segundo orden. En la tarea moral demostrarás la relación que tienen estos dos Wronskianos.

Si hablamos del Wronskiano y del conjunto de soluciones como un espacio vectorial, debemos hablar también de dependencia e independencia lineal entre las soluciones al sistema. Además, demostraremos que si el Wronskiano no se anula entonces el subconjunto de soluciones es linealmente independiente. Además si lo último ocurre podremos expresar cualquier solución como una combinación lineal de las soluciones linealmente independientes. Con estos conceptos podremos definir a la matriz fundamental de soluciones del sistema, la cual revisaremos más a detalle en entradas posteriores.

Terminaremos revisando el caso no homogéneo $$\dot{\textbf{X}}={\textbf{A}}{\textbf{X}}+ {\textbf{Q}}$$ demostrando que su solución general será la suma de la solución general al sistema homogéneo y una solución particular al sistema no homogéneo.

El espacio vectorial del conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo

En el primer video probamos el principio de superposición de soluciones al sistema lineal homogéneo. Además, vemos que el conjunto de soluciones al sistema forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales para matrices.

El Wronskiano de un subconjunto de soluciones e independencia lineal

Definimos el Wronskiano de un subconjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo, así como los conceptos de dependencia e independencia lineal de soluciones. Probamos un importante teorema que relaciona estos dos conceptos y nos dice cómo se ve la solución general al sistema. Finalizamos definiendo la matriz fundamental de soluciones del sistema.

Solución general al sistema lineal no homogéneo

Finalizamos la entrada demostrando que la solución general al sistema lineal no homogéneo es la suma de la solución general al sistema homogéneo y una solución particular al sistema no homogéneo.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿El conjunto de soluciones a un sistema lineal no homogéneo forma un espacio vectorial con las operaciones usuales de matrices?
  • Prueba que $$\textbf{X}_{1}(t)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ; \, \textbf{X}_{2}(t)=\begin{pmatrix} t \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ; \, \textbf{X}_{3}(t)=\begin{pmatrix} t^{2} \\ t \\ 0 \end{pmatrix}$$ son linealmente independientes en $\mathbb{R}.$
  • Sean ${\textbf{X}_{1}}(t), {\textbf{X}_{2}}(t),…,{\textbf{X}_{n}}(t)$ soluciones al sistema $$\dot{\textbf{X}}={\textbf{A}}{\textbf{X}}$$ en el intervalo $[a,b]$. Demuestra que $W[{\textbf{X}_{1}}, {\textbf{X}_{2}},…,{\textbf{X}_{n}}](t)=0 \, \, \forall t \in [a,b]$, ó $W[{\textbf{X}_{1}}, {\textbf{X}_{2}},…,{\textbf{X}_{n}}](t) \neq 0 \, \, \forall t \in [a,b]$.
  • Considera el sistema lineal $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \textbf{X}.$$ Prueba que $$\textbf{X}_{1}(t)=\begin{pmatrix} e^{t} \\ -e^{t} \end{pmatrix} ; \, \textbf{X}_{2}(t)=\begin{pmatrix} e^{-t} \\ e^{-t} \end{pmatrix}$$ son soluciones al sistema. Además prueba que son linealmente independientes en $\mathbb{R}$ y por lo tanto forma una matriz fundamental de soluciones al sistema.
  • Considera la ecuación $$\ddot{y}+p(t)\dot{y}+q(t)y=0$$ y su sistema de ecuaciones correspondiente $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -q(t) & -p(t) \end{pmatrix} \textbf{X}.$$ Prueba que si $\textbf{X}_{1}(t)$, $\textbf{X}_{2}(t)$ son soluciones linealmente independientes al sistema de ecuaciones, y si $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ forman un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación de segundo orden, entonces se satisface la identidad $$W[y_{1}, y_{2}](t)=cW[\textbf{X}_{1}, \textbf{X}_{2}](t)$$ para alguna constante $c \neq 0$.

Más adelante

En la siguiente entrada comenzaremos a resolver algunos sistemas lineales bastante sencillos. El método que estudiaremos será el de eliminación de variables, el cual consiste en eliminar variables dependientes hasta quedarnos con una ecuación diferencial de orden superior. Resolviendo esta última ecuación podremos encontrar la solución general al sistema original. Este método funciona para sistemas lineales con coeficientes constantes.

¡Hasta la próxima!

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Introducción a sistemas de ecuaciones de primer orden

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

Bienvenidos a la tercera unidad del curso de Ecuaciones diferenciales ordinarias, donde estudiaremos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Un sistema de ecuaciones es una familia de ecuaciones diferenciales de la forma $$\begin{alignedat}{4} \dot{x}_{1} &= F_{1}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ \dot{x}_{2} &= F_{2}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ & \; \; \vdots \notag \\ \dot{x}_{n} &= F_{n}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \end{alignedat}$$ donde $t$ es la variable independiente, cada $x_{i}$ es una variable dependiente de $t$ y cada $F_{i}$ es una función que depende de las $n+1$ variables.

Los sistemas de ecuaciones aparecen con frecuencia en problemas de física o biología, en los que el fenómeno en cuestión involucra más de una variable. Estas variables interactúan entre sí, por lo que la razón de cambio de éstas depende tanto del tiempo como de las variables restantes.

Vamos a estudiar propiedades que cumple el conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo, y posteriormente resolveremos estos sistemas desde un punto de vista matricial, por lo que tus conocimientos de Álgebra lineal serán de utilidad.

En esta entrada definiremos lo que es un sistema de ecuaciones de primer orden, así como también una solución. Hablaremos del problema de condición inicial y enunciaremos el teorema de existencia y unicidad, el cual es la base para desarrollar toda la teoría alrededor de los sistemas lineales. Escribiremos el sistema de ecuaciones en forma matricial, y finalizaremos haciendo un cambio de variable para transformar una ecuación de orden $n\geq 2$ en un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales de primer orden. Con esta transformación podremos encontrar soluciones a ecuaciones de cualquier orden resolviendo su sistema de ecuaciones asociado.

Como te habrás dado cuenta, en el sistema de ecuaciones escrito al inicio, para denotar a la derivada de una función utilizaremos la siguiente notación: $$\dot{y}=y’=\frac{dy}{dt}.$$

Además, denotaremos por $x_{1}, x_{2},…,x_{n}$ a las variables dependientes de $t$. Para los sistemas de dos o tres ecuaciones diferenciales denotaremos $x$, $y$, $z$ a las variables dependientes de $t$, salvo que esta notación cause confusión.

Vamos a comenzar.

Sistemas de ecuaciones de primer orden y ejemplos

En el primer video de esta entrada damos las definiciones de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución al sistema, diremos cuándo el sistema es lineal, no lineal, homogéneo o no homogéneo. Finalizamos dando dos ejemplos de problemas donde aparecen sistemas de ecuaciones de primer orden.

Problema de condición inicial y el teorema de existencia y unicidad

En el segundo video hablamos un poco de los problemas de condición inicial y enunciamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden, tanto la versión general como la versión para sistemas lineales homogéneos. Mas adelante daremos una demostración de la segunda versión.

Sistemas de ecuaciones en forma matricial y transformación de una ecuación de orden superior en un sistema de ecuaciones de primer orden

En el último video, damos la notación matricial para los sistemas de ecuaciones de primer orden. Además, transformamos una ecuación de orden $n\geq 2$ en un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales haciendo un sencillo cambio de variable.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Transforma las ecuaciones $a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0$ y $a\dddot{y}+b\ddot{y}+c\dot{y}+dy=0$, donde $a$,$b$,$c$,$d$ son constantes y $a\neq0$ en sistemas de ecuaciones de primer orden, y escribe el sistema en forma matricial.
  • Transforma la ecuación diferencial no lineal $$\ddot{y}+\cos{y}=t$$ en un sistema de ecuaciones de primer orden.
  • Considera la ecuación $$a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0.$$ Prueba que si $$\textbf{X}=\begin{pmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{pmatrix}$$ es solución al sistema de ecuaciones $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{c}{a} & -\frac{b}{a} \end{pmatrix} \textbf{X}$$ entonces $y(t)=x_{1}(t)$ es solución a la ecuación diferencial.
  • Prueba que si $y(t)$ es solución a la ecuación diferencial $$a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0$$ entonces $$\textbf{X}=\begin{pmatrix} y(t) \\ \dot{y}(t) \end{pmatrix}$$ es solución al sistema de ecuaciones $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{c}{a} & -\frac{b}{a} \end{pmatrix} \textbf{X}.$$

Más adelante

Una vez que hemos establecido las definiciones básicas, la notación y el teorema de existencia y unicidad, vamos a estudiar propiedades que cumple el conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones. Estas propiedades son en su mayoría análogas a las que enunciamos y probamos para ecuaciones diferenciales de segundo orden, por lo que será fácil abordarlas.

¡Hasta la próxima!

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»