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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas. Solución por variación de parámetros

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En las últimas entradas del curso analizamos a detalle el método de valores y vectores propios para resolver sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Revisamos los distintos casos que se pueden presentar, según las raíces del polinomio característico asociado a la matriz $\textbf{A}$. También resolvimos ejemplos para cada caso.

Es turno de enfocarnos en resolver sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}+\textbf{Q}(t)$, donde $\textbf{Q}(t)$ es un vector de funciones que dependen de $t$. Para esto, utilizaremos el método de variación de parámetros para sistemas lineales, que es una generalización del método que lleva el mismo nombre, y que estudiamos para resolver ecuaciones lineales no homogéneas de orden uno y dos.

Sabemos que la solución general a tales sistemas es de la forma $$\textbf{X}(t)=\textbf{X}_{H}(t)+\textbf{X}_{P}(t)$$ donde $\textbf{X}_{H}(t)$ es la solución general al sistema homogéneo asociado, y $\textbf{X}_{P}(t)$ es una solución particular al sistema no homogéneo. Con ayuda de la función solución $\textbf{X}_{H}(t)$, el método de variación de parámetros nos ayudará a encontrar a $\textbf{X}_{P}(t)$. En efecto, si $$\textbf{X}_{H}(t)=c_{1}\textbf{X}_{1}(t)+c_{2}\textbf{X}_{2}(t)+…+c_{n}\textbf{X}_{n}(t)$$ donde las funciones $\textbf{X}_{i}(t)$ forman un conjunto fundamental de soluciones al sistema homogéneo, entonces supondremos que $$\textbf{X}_{P}(t)= u_{1}(t)\textbf{X}_{1}(t)+u_{2}(t)\textbf{X}_{2}(t)+…+u_{n}(t)\textbf{X}_{n}(t).$$ Si sustituimos $\textbf{X}_{P}(t)$ y su derivada en el sistema no homogéneo, después de realizar el álgebra correspondiente obtendremos un sistema de ecuaciones que tiene a las derivadas de las funciones $u_{i}(t)$ como incógnitas. Si resolvemos tal sistema, podremos encontrar a las funciones $u_{i}(t)$, y por tanto a la solución particular $\textbf{X}_{P}(t)$.

¡Vamos a comenzar!

Método de variación de parámetros para sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas

En el primer video desarrollamos el método de variación de parámetros para sistemas lineales con coeficientes constantes. En el segundo video resolvemos un par de sistemas no homogéneos por variación de parámetros.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} \sin{t}\\ \cos{t}\end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & -2 \end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} e^{3t}\\ e^{3t}\end{pmatrix}.$$
  • Resuelve el problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ -1 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 1\end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} \sin{t}\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución general a la ecuación de segundo orden $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=3e^{-x}.$$ (Recuerda que podemos transformar una ecuación de orden $n$ en un sistema de $n$ ecuaciones de primer orden).
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -3 & 5 \end{pmatrix}\textbf{X}+\begin{pmatrix} 0\\ S_{0}(1-\cos{t})\end{pmatrix}.$$ donde $S_{0}$ es una constante.

Más adelante

Con esta entrada terminamos de revisar los métodos más importantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Estamos a punto de finalizar la tercera unidad, pero aún nos falta demostrar el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes continuos. Aunque no hemos vamos a resolver tales sistemas es importante dicho teorema, y es lo que haremos en la siguiente entrada del curso.

¡Hasta la próxima!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios repetidos

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En las últimas entradas hemos revisado el método de valores y vectores propios para resolver sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Revisamos los casos cuando la matriz asociada tiene valores propios reales y todos distintos, y cuando tiene valores complejos. Para el primer caso las funciones $e^{\lambda_{i} t}\textbf{v}_{i}$ son soluciones linealmente independientes, donde $\lambda_{i}$ es un valor propio y $\textbf{v}_{i}$ es un vector propio asociado a $\lambda_{i}, \; \forall i \in \{1,…,n\}$. La solución general es la combinación lineal de dichas soluciones. Para el caso de valores propios complejos vimos que de una solución compleja $e^{\lambda_{i} t}\textbf{v}_{i}$ podíamos encontrar dos soluciones reales: la parte real y la parte imaginaria de dicha solución. Además estas soluciones resultaron ser linealmente independientes por lo que no fue difícil hallar la solución general al sistema de esta forma.

Vamos a terminar de revisar el método de valores y vectores propios analizando el caso cuando la matriz $\textbf{A}$ asociada al sistema tiene valores propios repetidos, tanto si es diagonalizable como si no lo es.

Iniciaremos con el caso cuando es $\textbf{A}$ es diagonalizable. Veremos que es bastante sencillo hallar $n$ vectores propios linealmente independientes ya que si $\lambda_{i}$ es un valor propio con multiplicidad $k$, entonces existirán $k$ vectores propios linealmente independientes asociados a dicho valor propio. Por lo tanto, podremos encontrar $n$ soluciones linealmente independientes al sistema y la solución general será la combinación lineal de estas.

Finalizaremos con el caso cuando $\textbf{A}$ no es diagonalizable, donde no existirán $n$ vectores propios linealmente independientes ya que para algún valor propio $\lambda_{i}$ con multiplicidad $k$ no existirán $k$ vectores propios linealmente independientes. Sin embargo, con ayuda de la exponencial de la matriz $\textbf{e}^{t \textbf{A}}$ y el concepto de vector propio generalizado podremos encontrar $k$ soluciones linealmente independientes correspondientes al valor propio $\lambda_{i}$. Nuevamente la solución general será la combinación lineal de las $n$ soluciones generadas de esta manera.

Método de valores y vectores propios para matrices diagonalizables con valores propios repetidos

Analizamos el caso cuando la matriz $\textbf{A}$ asociada al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ es diagonalizable y tiene valores propios repetidos. Resolvemos un par de sistemas para ejemplificar el caso correspondiente.

Método de valores y vectores propios para matrices no diagonalizables

En el primer video analizamos de manera general el caso cuando la matriz asociada al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ no es diagonalizable. Definimos el concepto de vector propio generalizado y con ayuda de la exponencial $\text{e}^{t \textbf{A}}$ generamos la solución general al sistema. En el segundo video resolvemos un par de ejemplos referentes al caso analizado.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿Es posible tener una matriz $\textbf{A}$ de tamaño $3 \times 3$ con valores propios complejos repetidos?
  • Prueba que si $\lambda$ es un valor propio complejo con multiplicidad $k$ de $\textbf{A}$, entonces su conjugado $\bar{\lambda}$ tiene multiplicidad $k$.
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\textbf{X}.$$
  • Resuelve el problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\ 3 & 1 & 3\\ 3 & 3 & 1\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.$$
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ 2 & -3 & 1\\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}\textbf{X}.$$

Más adelante

Con esta entrada terminamos de analizar el método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Una vez que logramos resolver tales sistemas, es tiempo de estudiar el caso no homogéneo.

Como ya sabemos, la solución general a estos sistemas serán la suma de la solución general al sistema homogéneo correspondiente mas una solución particular al sistema no homogéneo. El método por el cual encontraremos esta solución particular será el de variación de parámetros, el cual estudiaremos en la siguiente entrada.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios complejos

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio del método de valores y vectores propios para resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes, de la forma $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$. Vimos que si somos capaces de encontrar $n$ vectores propios de la matriz $\textbf{A}$ linealmente independientes, entonces las funciones de la forma $e^{\lambda t}\textbf{v}$, donde $\lambda$ es un valor propio con vector propio asociado $\textbf{v}$, son soluciones linealmente independientes, y por tanto la combinación lineal de estas será la solución general del sistema. También estudiamos el caso cuando $\textbf{A}$ tiene todos sus valores propios reales y distintos.

En esta entrada nos dedicaremos a estudiar el caso cuando $\textbf{A}$ tiene valores propios complejos. Dado que $e^{\lambda t}\textbf{v}$ es una solución compleja al sistema, entonces la solución general sería una función con valores complejos. Sin embargo nosotros queremos soluciones con valores reales, por lo que debemos hallar una forma de generar soluciones de esta forma.

Lo primero será ver que las partes real e imaginaria de una solución compleja al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ serán soluciones reales al mismo sistema. Además este par de soluciones serán linealmente independientes. Así, seremos capaces de encontrar un conjunto linealmente independiente de $n$ soluciones reales al sistema mediante el método de valores y vectores propios que nos ayuda a encontrar soluciones de la forma $e^{\lambda t}\textbf{v}$.

Finalizaremos la entrada con tres ejemplos, uno de ellos el problema del oscilador armónico, el cual revisamos en el siguiente video y que tiene asociado una ecuación diferencial de segundo orden. Resolveremos el mismo problema pero ahora mediante un sistema de ecuaciones homogéneo.

Método de valores y vectores propios. Raíces complejas del polinomio característico

Encontramos dos soluciones reales al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ dada una solución compleja de la forma $e^{\lambda t}\textbf{v}$ donde $\lambda$ es un valor propio complejo con vector propio asociado $\textbf{v}$. Las soluciones reales serán las partes real e imaginaria de la solución compleja. Además las dos soluciones reales serán linealmente independientes.

El oscilador armónico y más ejemplos

En el primer video resolvemos un par de ejemplos de sistemas cuya matriz asociada tiene valores propios complejos. En el segundo video resolvemos el problema del oscilador armónico sin fricción y sin fuerzas externas mediante un sistema de ecuaciones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Supongamos que $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ es un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes de 4 ecuaciones, y supongamos que $\lambda$, $\bar{\lambda}$, $\mu$ y $\bar{\mu}$ son los valores propios complejos de $\textbf{A}$ con vectores propios $\textbf{v}$, $\bar{\textbf{v}}$, $\textbf{w}$ y $\bar{\textbf{w}}$, respectivamente. Prueba que si $\textbf{Y}_{1}(t)$, $\textbf{Z}_{1}(t)$ son las partes real e imaginaria de $e^{\lambda t}\textbf{v}$, y si $\textbf{Y}_{2}(t)$, $\textbf{Z}_{2}(t)$ son las partes real e imaginaria de $e^{\mu t}\textbf{w}$ entonces $\textbf{Y}_{1}(t)$, $\textbf{Z}_{1}(t)$, $\textbf{Y}_{2}(t)$ y $\textbf{Z}_{2}(t)$ son soluciones linealmente independientes al sistema.
  • Supongamos que $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ es un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes de 3 ecuaciones. ¿Es posible que la matriz $\textbf{A}$ tenga tres valores propios complejos?
  • Demuestra que la matriz $\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a\end{pmatrix}$, con $b\neq0$ tiene valores propios complejos.
  • Encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}\textbf{X}.$$
  • Resuelve el problema de condición inicial $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 2 & -6\\ 2 & 1\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}.$$

Más adelante

En la próxima entrada concluimos el estudio al método de valores y vectores propios estudiando el caso cuando $\textbf{A}$ es una matriz diagonalizable con valores propios repetidos, y también el caso cuando $\textbf{A}$ no es diagonalizable, es decir, cuando $\textbf{A}$ no tiene $n$ vectores propios linealmente independientes, por lo que no se pueden generar $n$ soluciones linealmente independientes al sistema en la forma que lo hemos venido haciendo. En este caso debemos introducir un concepto nuevo, que es el de vector propio generalizado, y modificar el método de valores y vectores propios para encontrar las $n$ soluciones linealmente independientes al sistema.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios distintos

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior dimos las definiciones elementales y necesarias para diagonalizar una matriz de coeficientes constantes. Vimos los conceptos de valores y vectores propios y el polinomio característico, todo esto para poder encontrar la matriz $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$. Sabemos que $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, por lo que sus columnas son soluciones linealmente independientes a dicho sistema. Así, de paso encontramos la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Ahora vamos a olvidarnos un poco de $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$, y vamos a resolver $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ pero de una manera ligeramente distinta. Lo que haremos será suponer que una solución a tal sistema es de la forma $\textbf{X}(t)=e^{\lambda t}\textbf{v}$ para cierto vector constante $\textbf{v}$. Resultará que $\textbf{X}(t)$ será solución al sistema si y sólo si $\textbf{A}\textbf{v}=\lambda\textbf{v}$. Es decir, si y sólo si $\textbf{v}$ es un vector propio de la matriz $\textbf{A}$ del sistema, y $\lambda$ es el valor propio asociado a $\textbf{v}$.

El método de valores y vectores propios que desarrollamos para diagonalizar una matriz en la entrada anterior, nos servirá de la misma manera para hallar la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, al menos si $\textbf{A}$ es diagonalizable, pues ya sabemos cómo encontrar los valores y vectores propios de $\textbf{A}$, y al tener $n$ valores propios con sus respectivos vectores propios, entonces seremos capaces de encontrar $n$ soluciones linealmente independientes al sistema y formas la solución general a este.

Una vez establecido cómo debe verse la solución general al sistema, finalizaremos la entrada resolviendo un par de ejemplos de sistemas donde la matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable y las raíces del polinomio característico igualado a cero son todas reales y distintas.

La solución general al sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes

Hallamos la solución general al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, suponiendo que $\textbf{A}$ es una matriz diagonalizable.

Método de valores y vectores propios. Raíces reales distintas del polinomio característico

Mediante un par de ejemplos revisamos el caso cuando $\textbf{A}$ es diagonalizable y las raíces del polinomio característico son todas reales y distintas. Además en el segundo ejemplo, verificamos que $$\textbf{e}^{t\textbf{A}}=\textbf{X}_{f}(t)\textbf{X}_f^{-1}{0}$$ donde $\textbf{X}_{f}(t)$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema. La matriz del segundo ejemplo fue diagonalizada en el siguiente video de la entrada anterior, y calculamos $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$. (Compara los resultados obtenidos).

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Resuelve los siguientes sistemas y problemas de condición inicial. Encuentra $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ en cada caso:

  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 4 & -2\end{pmatrix}\textbf{X}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 3 & 2\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 10\end{pmatrix}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4\\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1\end{pmatrix}\textbf{X}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$.

Más adelante

Una vez que hemos logrado escribir la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, cuando $\textbf{A}$ es diagonalizable, continuaremos revisando los posibles casos que se presentan con las raíces del polinomio característico. En particular, en la siguiente entrada revisaremos el caso cuando se presentan raíces complejas, es decir, cuando aparecen valores propios complejos de la matriz $\textbf{A}$.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para calcular la exponencial de una matriz diagonalizable

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En entradas anteriores definimos la exponencial de una matriz cuadrada con coeficientes constantes $\textbf{A}$, que denotamos por $\textbf{e}^{\textbf{A}}$, y demostramos sus principales propiedades. Entre ellas, vimos que la exponencial $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ es una matriz fundamental de soluciones para el sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Ahora, calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ mediante la pura definición puede resultar bastante difícil si tomamos en cuenta que esta matriz esta conformada por $n\times n$ series convergentes. Es por eso que buscamos alguna alternativa para calcular esta exponencial que no resulte tan complicada.

Afortunadamente, para algunos casos particulares en la forma de la matriz $\textbf{A}$, calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ puede resultar relativamente sencillo. El caso más simple resulta cuando $\textbf{A}$ es una matriz diagonal, en cuyo caso $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ es también diagonal, cuyas entradas son de la forma $e^{ta_{ii}}$ donde $a_{ii}$ es el $i$-ésimo elemento de la diagonal en la matriz $\textbf{A}$.

El siguiente caso más sencillo es cuando la matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable, es decir, cuando existe una matriz $\textbf{M}$ invertible, tal que $\textbf{D}=\textbf{M}^{-1}\textbf{A}\textbf{M}$ es una matriz diagonal. Probaremos que $$\textbf{e}^{t\textbf{A}}= \textbf{M}\textbf{e}^{t\textbf{D}} \textbf{M}^{-1}.$$ El problema se reduce al de encontrar precisamente las matrices $\textbf{M}$, $\textbf{M}^{-1}$ y $\textbf{D}$. Es decir, debemos diagonalizar a la matriz $\textbf{A}$.

Para esto, utilizaremos el método de valores y vectores propios para diagonalizar una matriz. Definiremos los conceptos necesarios, y desarrollaremos el método de manera muy breve. Toda la teoría que estudiaremos es propia de un curso de Álgebra Lineal, pero vale la pena darle un vistazo en este curso. Además, no nos desviaremos del camino y conectaremos los conceptos con nuestro propósito principal: encontrar soluciones al sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Si quieres profundizar más en la teoría de valores y vectores propios y diagonalización, te dejo el enlace correspondiente a dichos temas al final de la entrada.

La exponencial de una matriz diagonalizable. Valores y vectores propios y el polinomio característico de una matriz

Definimos los conceptos necesarios para desarrollar el método de vectores y valores propios, y los relacionamos con el problema de calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$.

Método de valores y vectores propios para diagonalizar una matriz con valores propios distintos

En el primer video desarrollamos el método de valores y vectores propios considerando una matriz $\textbf{A}$ diagonalizable, cuyo polinomio característico asociado tiene $n$ raíces distintas.

En el segundo video, ponemos en práctica el método, diagonalizando una matriz en particular.

Método de valores y vectores propios para diagonalizar una matriz con valores propios repetidos

Desarrollamos nuevamente el método de valores y vectores propios, pero ahora considerando una matriz $\textbf{A}$ diagonalizable en particular con raíces repetidas. Además, mencionamos brevemente el problema de calcular $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ cuando $\textbf{A}$ no es diagonalizable.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que si $\textbf{v}$ es un vector propio para una matriz $\textbf{A}$, entonces cualquier múltiplo de $\textbf{v}$ es también vector propio de $\textbf{A}$. ¿Cuál es el valor propio asociado a este nuevo vector propio?
  • Verifica que efectivamente $$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}=\textbf{D}$$ donde $\textbf{D}$ es la matriz diagonal conformada por los valores propios de $$\textbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.$$ Recuerda que revisamos este ejemplo en el tercer video de la entrada.
  • Encuentra $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ y la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 1 & 0\end{pmatrix}\textbf{X}$$ (La matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable).
  • Calcula $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ y encuentra la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & -2 & -3\\ 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\textbf{X}.$$ Recuerda que diagonalizamos la matriz asociada en el último video de esta entrada.
  • Encuentra $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ la solución general al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ -2 & 4 & 2 \\ -2 & 1 & 5\end{pmatrix}\textbf{X}.$$ (La matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable).

Más adelante

Ahora que conocemos un poco del proceso acerca de diagonalizar una matriz, vamos a utilizar el mismo método para encontrar la solución general a un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes suponiendo que la matriz asociada al sistema sea diagonalizable. En particular, en la siguiente entrada revisaremos el caso cuando las raíces del polinomio característico asociado al sistema son todas reales y distintas.

Entradas relacionadas

Las siguientes entradas pertenecen a un curso de Álgebra Lineal. Si deseas conocer más acerca de la teoría utilizada en esta entrada no dudes en revisarlas.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»