Introducción
Hemos hablado en las últimas entradas de tres conectores muy importantes: la negación, la conjunción y la disyunción. Sin embargo, como recordarás en la introducción al tema, mencionamos más de tres conectores. Ha llegado el momento en que veamos a los conectores condicionales: la implicación y la doble implicación.
Pensar en consecuencias
Para introducir mejor la implicación, pensemos en qué significa la palabra sin algún contexto matemático. ¿Qué se te viene a la mente cuando oyes la palabra «implicación»? Quizá se te venga a la mente «consecuencia», que a su vez significa cosas o acciones que derivan otras más.
Un ejemplo es el siguiente: ¿qué implicación tiene que se acabe la pila de un celular? Pues en principio se apaga el teléfono. Entonces podríamos decir «Si se acaba la pila del celular, entonces se apagará». Otro ejemplo: ¿qué consecuencias tiene llegar tarde a una cita médica? Pues muy probablemente se cancelará. Esto mismo lo podemos decir así: «Si llego tarde a una cita médica, entonces la cancelarán». Un último ejemplo sería el siguiente: «Si sube el nivel de dióxido de carbono en la atmósfera, entonces los polos se derretirán».
Todas estas oraciones son ejemplos de condicionales, y para entender su estructura, volvamos al primer ejemplo. Pensemos en las proposiciones
Podemos reescribir la oración «Si se acaba la pila del celular entonces se apagará» como «Si pasa
Observa que si al celular no se le acaba la pila, entonces no tendría porqué apagarse, entonces si
Todo esto lo resumimos en la tabla de verdad de la siguiente sección.
Tabla de verdad de la implicación
Dadas proposiciones
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Quizá sigas teniendo dificultades para entender porqué si
Condiciones suficientes y necesarias
El siguiente y último conector que vamos a ver es la doble implicación. A diferencia de la implicación, asumimos que para que una proposición sea verdadera, es necesaria que la otra también y viceversa. Para esto, refiramos a la doble implicación como una equivalencia lógica
Además de este nombre, algunas formas de referirse a la doble implicación que encontrarás serán:
- «
es equivalente a » - «Una condición necesaria y suficiente para
es » - «
si y sólo si »
Esta última se utiliza mucho en enunciados matemáticos como proposiciones y teoremas.
Tabla de verdad de la doble implicación
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Nota que la doble implicación es verdad cuando los valores de
La implicación en términos de otros conectores
El hecho de que hayamos aprendido los primeros tres conectores (negación, conjunción y disyunción) antes que estos no es coincidencia. Resulta que la implicación y la doble implicación se «pueden construir» a partir de los primeros tres. Con esto nos referimos a que la implicación es equivalente a una expresión hecha únicamente por los anteriores.
Para ello, primero recuerda cómo construimos la implicación. La única forma en que la implicación
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Entonces
La contrapositiva de una implicación
Una propiedad que más adelante nos servirá sobre la implicación es el hecho de que en ocasiones es más sencillo trabajar con las negaciones de las proposiciones que con las proposiciones normales. No te preocupes si no entiendes a qué nos referimos con esto, más adelante lo veremos con más calma.
Un ejemplo de esto es verificar la siguiente proposición: «Si un número al cuadrado es par, entonces el número es par». A primera vista no es tan fácil verificar directamente esta proposición que es de la forma
Recordemos que
¿Podemos ver esto de otra forma?
Pues resulta que sí. Veamos a
Es decir,
Cuando tenemos una implicación de la forma
Regresando al ejemplo inicial de esta sección, la proposición «Si un número al cuadrado es par, entonces el número es par» podemos pensarla como «Si un número es impar entonces su cuadrado es impar», lo cual es mucho más fácil de verificar. En entradas posteriores retomaremos esta forma de pensar. Por lo mientras es suficiente que entiendas que la implicación es equivalente a su contrapositiva.
El caso en donde todo es verdadero
Antes de terminar esta entrada, introduciremos un concepto que resultará útil cuando llegue el momento de estudiar inferencias. Para ello, observa la tabla de verdad de la fórmula proposicional
1 | 0 | 1 | ||
0 | 0 | 1 | ||
1 | 0 | 1 | ||
1 | 1 | 1 |
¿Notas algo peculiar? Toda la columna final es verdadera. Esto quiere decir que no importa qué valores tomen las variables proposicionales, siempre es verdadera la expresión. A una fórmula matemática que cumpla esto le llamamos una tautología.
Sucede algo que une aún más los conceptos de tautología y doble condicional. ¿Recuerdas que las fórmulas proposicionales
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | ||
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Hemos agregado una última columna, la correspondiente a
Más adelante…
Recuerda el ejemplo que mencionamos anteriormente «Un número al cuadrado es par si el número es par», no especificamos de qué número se trataba, sin embargo hay una infinidad de números los cuales podemos tomar como ejemplo para verificar la propiedad. Entonces podemos decir «
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Escribe las siguientes frases en lógica proposicional:
- Si hoy es lunes, entonces mañana será viernes.
- El caos implica el orden.
- Para que crezcan las plantas, tienes que regarlas.
- Hoy es lunes si mañana es martes y mañana es martes si hoy es lunes.
- Hoy es lunes si y sólo si mañana es martes.
- Verifica que siempre «Una cosa siempre se implica a sí misma», es decir, verifica que si
es una proposición, entonces siempre es verdadera. - Haz la tabla de verdad de la implicación
y de su contrapositiva para convencerte de que en verdad son equivalentes. - ¿Cómo verificarías que
? Recuerda que la doble implicación es equivalente a . - Verifica que la doble condicional es conmutativa, es decir
. ¿La condicional es conmutativa?
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»