Álgebra Lineal II: Introducción al teorema de Cayley-Hamilton

Por Julio Sampietro

Introducción

En esta entrada introducimos el teorema de Cayley-Hamilton, otro de los teoremas importantes del curso. Intuitivamente este teorema nos dice que «el polinomio característico anula al operador lineal». Es decir, si P(λ) es el polinomio característico de una transformación lineal T, entonces P(T)=0.

Algunos ejemplos

Damos unos cuantos ejemplos para que entendamos que está pasando.

Ejemplo 1. Sea AM2(R) la matriz dada por

A=(0110).

Calculemos su polinomio característico

χA(X)=det(X11X)=X2+1.

Así, si evaluamos al polinomio χA en la matriz A tenemos que calcular

χA(A)=A2+I2.

Por un lado

A2=(0110)(0110)=(1001)=I2.

Luego

χA(A)=A2+I2=I2+I2=O2.

Es decir, ¡χA(A) es la matriz cero!

Ejemplo 2. Calculemos el polinomio característico de la matriz AM3(R) dónde A está dada por

A=(012034005.)

Notamos que A es una matriz triangular superior. Por una entrada anterior sabemos que el polinomio característico es solo el producto de los monomios (Xaii). Es decir

χA(X)=(X0)(X3)(X(5))=X(X3)(X+5).

Enseguida, evaluemos χA(A). Recordamos que esto quiere decir que tenemos que calcular

χA(A)=A(A3I3)(A+5I3).

Por un lado

A3I3=(312004008),

y por otro

A+5I3=(512084000).

Así

(A3I3)(A+5I3)=(312004008)(512084000)=(1552000000).

Finalmente

A(AI3)(A+5I3)=(012034005.)(1552000000)=O3.

Una vez más χA(A)=0.

El teorema

Los ejemplos anteriores sirven de calentamiento para enunciar el teorema de Cayley-Hamilton, que dice exactamente lo que sospechamos.

Teorema (de Cayley-Hamilton). Para cualquier matriz AMn(F) se cumple

χA(A)=On.

En otras palabras, si χA(X)=Xn+an1Xn1++a0 entonces

An+an1An1++a0In=On.

Demostraremos este teorema en la próxima entrada. Uno podría sospechar que la demostración consiste en simplemente sustituir A en la expresión de χA como sigue

χA(A)=det(AInA)=det(0)=0.

Sin embargo, esta ‘prueba’ no es correcta, ya que estamos multiplicando a A con In como si fueran matrices, mientras que la expresión de χA se refiere a escalares. Más aún, observa como el resultado de la expresión que anotamos es el escalar cero, mientras que sabemos que χA(A) debería ser la matriz cero.

Concluimos esta sección con una breve aplicación del teorema de Cayley-Hamilton.

Proposición. El polinomio mínimo de una matriz AMn(F) divide al polinomio característico.

Demostración. Por el teorema de Cayley-Hamilton, χA(A)=0. Luego por definición del polinomio mínimo se sigue que μA(X) divide a χA(X).

◻

Más adelante…

En la próxima entrada demostraremos el teorema de Cayley-Hamilton, y luego pasaremos a dar aplicaciones de este.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. En una entrada anterior calculamos el polinomio característico de una matriz nilpotente. Explica por qué el teorema de Cayley-Hamilton es compatible con dicho cálculo. De otra manera, verifica el teorema de Cayley-Hamilton en ese caso particular.
  2. Sea AM3(R) tal que Tr(A)=Tr(A2)=0. Usa el teorema de Cayley-Hamilton para demostrar que existe un αR tal que A3=αI3.
  3. Calcula el polinomio característico de AM2(C) donde
    A=(0110).
    Es decir, A es la misma matriz que en el ejemplo pero pensada como una matriz compleja. Verifica que χA(A)=O2.
  4. Verifica que χA(A)=O3 con
    A=(101111021)M3(R).
  5. Sea AMn(R) una matriz tal que A y 3A son similares. Demuestra que An=On.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

2 comentarios en “Álgebra Lineal II: Introducción al teorema de Cayley-Hamilton

  1. Francisco Sánchez-Sesma

    Felicidades por contar con el apoyo de DGAPA. El teorema de Cayley-Hamilton es un joya de las matemáticas. Espero ver la demostración. ¿Qué es un polinomio mínimo?

    Responder

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