Introducción
En esta entrada introducimos el teorema de Cayley-Hamilton, otro de los teoremas importantes del curso. Intuitivamente este teorema nos dice que «el polinomio característico anula al operador lineal». Es decir, si
Algunos ejemplos
Damos unos cuantos ejemplos para que entendamos que está pasando.
Ejemplo 1. Sea
Calculemos su polinomio característico
Así, si evaluamos al polinomio
Por un lado
Luego
Es decir, ¡
Ejemplo 2. Calculemos el polinomio característico de la matriz
Notamos que
Enseguida, evaluemos
Por un lado
y por otro
Así
Finalmente
Una vez más
El teorema
Los ejemplos anteriores sirven de calentamiento para enunciar el teorema de Cayley-Hamilton, que dice exactamente lo que sospechamos.
Teorema (de Cayley-Hamilton). Para cualquier matriz
En otras palabras, si
Demostraremos este teorema en la próxima entrada. Uno podría sospechar que la demostración consiste en simplemente sustituir
Sin embargo, esta ‘prueba’ no es correcta, ya que estamos multiplicando a
Concluimos esta sección con una breve aplicación del teorema de Cayley-Hamilton.
Proposición. El polinomio mínimo de una matriz
Demostración. Por el teorema de Cayley-Hamilton,
Más adelante…
En la próxima entrada demostraremos el teorema de Cayley-Hamilton, y luego pasaremos a dar aplicaciones de este.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.
- En una entrada anterior calculamos el polinomio característico de una matriz nilpotente. Explica por qué el teorema de Cayley-Hamilton es compatible con dicho cálculo. De otra manera, verifica el teorema de Cayley-Hamilton en ese caso particular.
- Sea
tal que . Usa el teorema de Cayley-Hamilton para demostrar que existe un tal que . - Calcula el polinomio característico de
donde
Es decir, es la misma matriz que en el ejemplo pero pensada como una matriz compleja. Verifica que . - Verifica que
con - Sea
una matriz tal que y son similares. Demuestra que .
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- Entrada anterior del curso: Matrices similares y su polinomio característico
- Siguiente entrada del curso: Demostración del teorema de Cayley-Hamilton
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Felicidades por contar con el apoyo de DGAPA. El teorema de Cayley-Hamilton es un joya de las matemáticas. Espero ver la demostración. ¿Qué es un polinomio mínimo?
Hola. Gracias por el comentario. Ya tenemos dos demostraciones de Cayley-Hamilton disponibles acá: https://blog.nekomath.com/algebra-lineal-ii-demostracion-de-cayley-hamilton/. La definición de polinomio mínimo está acá|: https://blog.nekomath.com/algebra-lineal-ii-polinomio-minimo-de-matrices/.