Introducción

En esta entrada nos encargaremos de resolver algunos problemas de sistemas de ecuaciones lineales y de dar algunos ejemplos más de matrices en forma escalonada reducida.

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Para cuáles números reales $a$ se tiene que el siguiente sistema es consistente?. Resuelve el sistema para estos casos.

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}x+2y& =1\\ 4x+8y& =a.\end{array}\end{array}$$

Solución. Tomando la primera ecuación y multiplicandola por $4$ vemos que

$$\begin{array}{r}4x+8y=4\end{array}$$

De lo anterior se sigue que el único número real $a$ para el cuál el sistema es consistente es $a=4$, pues en otro caso tendríamos ecuaciones lineales que se contradicen entre sí.

Cuando $a=4$, tenemos entonces una única ecuación $x+2y=1$. Para encontrar todas las soluciones a esta ecuación lineal, podemos fijar el valor de $y$ arbitrariamente como un número real $r$. Una vez fijado $y$, obtenemos que $x=1-2y=1-2r$. Así, el conjunto de soluciones es $$\{(1-2r,r):r\in \mathbb{R}\}.$$

$\mathrm{△}$

Problema 2. Encuentra todos $a,b\in \mathbb{R}$ para los cuales los sistemas

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}2x+3y& =-2\\ x–2y& =6\end{array}\end{array}$$
y
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}x+2ay& =3\\ -x–y& =b\end{array}\end{array}$$
son equivalentes.

Solución. Para resolver el primer sistema tomamos la segunda ecuación y despejamos $x$:
$$\begin{array}{r}x=6+2y.\end{array}$$
Sustituyendo lo anterior en la primera ecuación se tiene
$$\begin{array}{rl}2(6+2y)+3y& =-2\\ 12+7y& =-2\\ 7y& =-14\\ y& =-2.\end{array}$$
Luego sustituimos el valor de $y$ para encontrar $x$
$$\begin{array}{rl}x& =6+2y\\ & =6+2(-2)\\ & =2.\end{array}$$
Ahora, para encontrar los valores de $a$ y $b$, sustituimos los valores de $x$ y $y$ que encontramos en el primer sistema y de esta forma garantizamos que ambos sistemas tendrán el mismo conjunto de soluciones, es decir, son equivalentes.
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}x+2ay& =3\\ -x–y& =b\end{array}\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}2+2a(-2)& =3\\ -2–(-2)& =b\end{array}\end{array}$$
De la segunda ecuación es inmediato que $b=0$.
Por otro lado, despejando $a$ de la primera ecuación se tiene
$$\begin{array}{rl}2-4a& =3\\ -4a& =1\\ a& =-\frac{1}{4}\end{array}$$
Concluimos que los sistemas son equivalentes cuando
$$\begin{array}{r}a=-\frac{1}{4},b=0.\end{array}$$

$\mathrm{△}$

Más ejemplos de forma escalonada reducida

Para finalizar con esta entrada veremos más ejemplos de matrices que están en forma escalonada reducida y de matrices que no lo están.

Ejemplo 1. La matriz
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 3& 1\\ 1& 0& 2& 2\\ 3& 1& 7& 0\\ 1& 2& 4& -1\end{array}\right)\end{array}$$
no está en forma escalonada reducida, pues todas las entradas de la primera columna son distintas de cero.
En cambio, la matriz
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$
sí está en forma escalonada reducida. Queda como tarea moral verificar que esto es cierto.

$\mathrm{△}$

Ejemplo 2. La matriz
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& -5& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$
no está en forma escalonada reducida, pues hay filas cero por encima de filas no cero. Otro problema que tiene es que el pivote de la tercer fila no es igual a $1$.

En cambio
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\end{array}$$
sí está en forma escalonada reducida.

$\mathrm{△}$

Ejemplo 3. La matriz $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ no está en forma escalonada reducida pues el pivote de la segunda fila está más a la izquierda que el de la primera. Sin embargo, si intercambiamos las filas, la matriz $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$ sí está en forma escalonada reducida.

$\mathrm{△}$

Más adelante veremos un método para llevar una matriz a su forma escalonada reducida y veremos que esto es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»