Introducción

En entradas anteriores hemos platicado de dualidad, ortogonalidad y transformaciones transpuestas. Es importante que repases esas entradas y nos escribas si tienes dudas, pues ahora pasaremos a un tema un poco diferente: formas bilineales y cuadráticas. Estas nociones nos permitirán seguir hablando acerca de la geometría de espacios vectoriales en general.

Para esta parte del curso, nos vamos a enfocar únicamente en espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$. Se pueden definir los conceptos que veremos para espacios vectoriales en otros campos. Sobre todo, es posible definir conceptos análogos en $\mathbb{C}$ y obtener una teoría muy rica. Pero por ahora consideraremos sólo el caso de espacios vectoriales reales.

Aunque hablaremos de formas bilineales en general, una subfamilia muy importante de ellas son los productos interiores, que nos permiten hablar de espacios euclideanos. El producto interior es el paso inicial en una cadena muy profunda de ideas matemáticas:

• Un producto interior nos permite definir la norma de un vector.
• Con la noción de norma, podemos definir la distancia entre dos vectores.
• A partir de un producto interior y su norma podemos mostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, con la cual podemos definir ángulos entre vectores (por ejemplo, ¡podremos definir el ángulo entre dos polinomios!).
• De la desigualdad de Cauchy-Schwarz, podemos probar que la noción de norma satisface la desigualdad del triángulo, y que por lo tanto la noción de distancia define una métrica.
• Aunque no lo veremos en este curso, más adelante verás que una métrica induce una topología, y que con una topología se puede hablar de continuidad.

En resumen, a partir de un producto interior podemos hacer cálculo en espacios vectoriales en general.

Una forma bilineal con la cual probablemente estés familiarizado es el producto punto en $\mathbb{R}^n$, que a dos vectores $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ y $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ los manda al real $$x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n.$$ Este es un ejemplo de una forma bilineal que es un producto interior. También puede que estés familiarizado con la norma en $\mathbb{R}^n$, que a un vector $(x_1,\ldots,x_n)$ lo manda al real $$\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}.$$ Lo que está dentro de la raíz es un ejemplo de una forma cuadrática positiva definida. Incluyendo la raíz, este es un ejemplo de norma en espacios vectoriales.

Hay muchas otras formas bilineales y formas cuadráticas, pero los ejemplos mencionados arriba te pueden ayudar a entender la intuición detrás de algunos de los conceptos que mencionaremos. Para marcar algunas cosas en las que la intuición puede fallar, pondremos algunas «Aclaraciones» a lo largo de esta entrada.

En el futuro, tener una buena noción de la geometría de espacios vectoriales te ayudará a entender mucho mejor los argumentos de cursos de análisis matemático, de variable compleja y de optativas como geometría diferencial. Dentro de este curso, entender bien el concepto de forma bilineal te será de gran utilidad para cuando más adelante hablemos de formas multilineales y determinantes.

Formas bilineales

La definición fundamental para los temas que veremos en estas entradas es la siguiente, así que enunciaremos la definición, veremos varios ejemplos y haremos algunas aclaraciones.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Una forma bilineal es una función $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que:

• Para todo $x$ en $V$, la función $b(x,\cdot):V\to \mathbb{R}$ que manda $v\in V$ a $b(x,v)$ es una forma lineal.
• Para todo $y$ en $V$, la función $b(\cdot, y):V\to \mathbb{R}$ que manda $v\in V$ a $b(v,y)$ es una forma lineal.

Ejemplo 1. Considera el espacio vectorial de polinomios $\mathbb{R}_3[x]$ y considera la función $$b(p,q)=p(0)q(10)+p(1)q(11).$$ Afirmamos que $b$ es una forma bilineal. En efecto, fijemos un polinomio $p$ y tomemos dos polinomios $q_1$, $q_2$ y un real $r$. Tenemos que
\begin{align*}
b(p,q_1+rq_2)&=p(0)(q_1+rq_2)(10)+p(1)(q_1+rq_2)(11)\\
&= p(0)q_1(10)+p(1)q_1(11) + r ( p(0)q_2(10)+p(1)q_2(11))\\
&= b(p,q_1)+rb(p,q_2),
\end{align*}

De manera similar se puede probar que para $q$ fijo y $p_1$, $p_2$ polinomios y $r$ real tenemos que $$b(p_1+rp_2,q)=b(p_1,q)+rb(p_2,q).$$ Esto muestra que $b$ es una forma bilineal.

$\triangle$

Si $v=0$, entonces por el primer inciso de la definición, $b(x,v)=0$ para toda $x$ y por el segundo $b(v,y)=0$ para toda $y$, en otras palabras:

Proposición. Si $b$ es una forma bilineal en $b$, y alguno de $x$ o $y$ es $0$, entonces $b(x,y)=0$.

De la linealidad de ambas entradas de $b$, se tiene la siguiente proposición.

Proposición. Tomemos $b:V\times V\to \mathbb{R}$ una forma bilineal, vectores $x_1,\ldots,x_n$, $y_1,\ldots,y_m$ y escalares $a_1,\ldots,a_n,c_1,\ldots,c_m$. Tenemos que $$b\left(\sum_{i=1}^n a_ix_i, \sum_{j=1}^m c_j y_j\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_ic_jb(x_i,y_j).$$

La proposición anterior muestra, en particular, que para definir una forma bilineal en un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$, basta tomar una base $\{e_1,\ldots,e_n\}$ de $V$ y definir $b(e_i,e_j)$ para toda $1\leq i,j \leq n$.

Hagamos algunas aclaraciones acerca de las formas bilineales.

Aclaración 1. No es lo mismo una forma bilineal en $V$, que una transformación lineal de $V\times V$ a $\mathbb{R}$.

Ejemplo 2. La transformación $b((w,x),(y,z))=w+x+y+z$ sí es una transformación lineal de $\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, lo cual se puede verificar fácilmente a partir de la definición. Sin embargo, no es una forma bilineal. Una forma de verlo es notando que $$b((0,0),(1,1))=0+0+1+1=2.$$ Aquí una de las entradas es el vector cero, pero el resultado no fue igual a cero.

$\triangle$

Aclaración 2. Puede pasar que ninguna de las entradas de la forma bilineal sea $0$, pero que evaluando en ella sí de $0$.

Ejemplo 3. Consideremos la transformación $b:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $$b((w,x),(y,z))=wy-xz.$$ Verificar que esta es una forma bilineal es sencillo y se deja como tarea moral. Además, se tiene que $b((1,0),(0,1))=0$.

$\triangle$

Más adelante, cuando definamos producto interior, nos van a importar mucho las parejas de vectores $v$, $w$ para las cuales $b(v,w)=0$.

Aclaración 3. Si $b$ es una forma bilineal, no necesariamente es cierto que $b(x,y)=b(y,x)$.

Ejemplo 4. Consideremos la transformación $b:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $$b((w,x),(y,z))=wz-xy.$$ Verificar que esta es una forma bilineal es sencillo y se deja como tarea moral. Notemos que $b((2,1),(2,3))=6-2=4$, mientras que $b((2,3),(2,1))=2-6=-4$.

$\triangle$

Aquellas formas para las que sí sucede que $b(x,y)=b(y,x)$ son importantes y merecen un nombre especial.

Definición. Una forma bilineal $b:V\times V\to \mathbb{R}$ es simétrica si $b(x,y)=b(y,x)$ para todo par de vectores $x,y$ en $V$.

Para definir una forma bilineal $b$ simétrica en un espacio $V$ de dimensión finita $n$, basta tomar una base $\{e_1,\ldots,e_n\}$ y definir $b$ en aquellas parejas $b(e_i,e_j)$ con $1\leq i \leq j \leq n$.

Más ejemplos de formas bilineales

A continuación enunciamos más ejemplos de formas bilineales, sin demostración. Es un buen ejercicio verificar la definición para todas ellas.

Ejemplo 1. Si $a_1, a_2,\ldots, a_n$ son números reales y $V=\mathbb{R}^n$, entonces podemos definir $b:V\times V \to \mathbb{R}$ que manda a $x=(x_1,\ldots,x_n)$ y $y=(y_1,\ldots,y_n)$ a $$b(x,y)=a_1x_1y_1+\ldots+a_nx_ny_n.$$

Este es un ejemplo de una forma bilineal simétrica. Si todos los $a_i$ son iguales a $1$, obtenemos el producto punto o producto interior canónico de $\mathbb{R}^n$.

Ejemplo 2. Tomemos $V$ como el espacio vectorial de matrices $M_n(\mathbb{R})$. La transformación $b:V\times V\to \mathbb{R}$ tal que $b(A,B)=\text{tr}(AB)$ es una forma bilineal. Además, es simétrica, pues la traza cumple la importante propiedad $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$, cuya verificación queda como tarea moral.

Ejemplo 3. Tomemos $V$ el conjunto de funciones continuas y de periodo $2\pi$ que van de $\mathbb{R}$ a sí mismo. Es decir, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ está en $V$ si es continua y $f(x)=f(x+2 \pi)$ para todo real $x$. Se puede mostrar que $V$ es un subespacio del espacio de funciones continuas, lo cual es sencillo y se queda como tarea moral. La transformación $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que $$b(f,g)=\int_{-\pi}^\pi f(x) g(x)\, dx$$ es una forma bilineal.

Ejemplo 4. Consideremos $V=\mathbb{R}[x]$, el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales. Para $P$ y $Q$ polinomios definimos $$b(P,Q)=\sum_{n=1}^\infty \frac{P(n)Q(2n)}{2^n}.$$

La serie de la derecha converge absolutamente, de modo que esta expresión está bien definida. Se tiene que $b$ es una forma bilineal, pero no es simétrica.

Formas cuadráticas

Otra definición fundamental es la siguiente

Definición. Una forma cuadrática es una transformación $q:V\to \mathbb{R}$ que se obtiene tomando una forma bilineal $b:V\times V \to \mathbb{R}$ y definiendo $$q(x)=b(x,x).$$

Aclaración 4. Es posible que la forma bilineal $b$ que define a una forma cuadrática no sea única.

Ejemplo. Consideremos a la forma bilineal de $\mathbb{R}^2$ tal que $$b((x,y),(w,z))=xz-yw.$$ La forma cuadrática dada por $b$ es $$q(x,y)=b((x,y),(x,y))=xy-yx=0.$$ Esta es la misma forma cuadrática que la dada por la forma bilineal $$b'((x,y),(w,z))=yw-xz.$$ Pero $b$ y $b’$ son formas bilineales distintas, pues $b((1,0),(0,1))=1$, mientras que $b'((1,0),(0,1))=-1$.

$\triangle$

La aclaración anterior dice que puede que haya más de una forma bilineal que de una misma forma cuadrática. Sin embargo, resulta que la asignación es única si además pedimos a la forma bilineal ser simétrica. Este es el contenido del siguiente resultado importante.

Teorema (identidad de polarización). Sea $q:V\to \mathbb{R}$ una forma cuadrática. Existe una única forma bilineal simétrica $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b(x,x)$ para todo vector $x$. Esta forma bilineal está determinada mediante la identidad de polarización $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.$$

En la siguiente entrada mostraremos el teorema de la identidad de polarización. Por el momento, para tomar más intuición, observa como la identidad se parece mucho a la igualdad $$xy=\frac{(x+y)^2-x^2-y^2}{2}$$ en números reales.

Más adelante…

En esta entrada estudiamos una extensión de la noción de transformaciones lineales que ya habíamos discutido en la unidad anterior. Enunciamos algunos teoremas muy importantes sobre las transformaciones bilineales e hicimos algunos ejemplos de cómo podemos verificar si una transformación es bilineal. La noción de transformación bilineal, nos permitirá abordar un concepto muy importante: el producto interior.

En las siguientes entradas hablaremos del producto interior y cómo éste nos ayuda a definir ángulos y distancias entre vectores de un espacio vectorial.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

• Completa los detalles de la segunda parte del primer ejemplo.
• Verifica que en efecto las transformaciones de los ejemplos de las aclaración 2 y 3 son formas bilineales.
• Muestra que el subconjunto de funciones continuas $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ y de cualquier periodo $p$ es un subespacio del espacio vectorial $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ de funciones continuas reales.
• Demuestra que para $A$ y $B$ matrices en $M_{n}(F)$ se tiene que $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$.
• Encuentra una forma cuadrática en el espacio vectorial $\mathbb{R}_3[x]$ que venga de más de una forma bilineal.
• Muestra que el conjunto de formas bilineales de $V$ es un subespacio del espacio de funciones $V\times V \to \mathbb{R}$. Muestra que el conjunto de formas bilineales simétricas de $V$ es un subespacio del espacio de formas bilineales de $V$.
• Piensa en cómo la igualdad $$xy=\frac{(x+y)^2-x^2-y^2}{2}$$ de números reales está relacionada con la identidad de polarización para el producto punto en $\mathbb{R}^n$.

Entradas relacionadas

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• Entrada anterior del curso: Ortogonalidad y transformación transpuesta
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»