Álgebra Lineal I: Aplicaciones de bases ortogonales y descomposición de Fourier

Introducción

En esta entrada continuamos hablando de bases ortogonales. Como recordatorio, para poder hablar de esto, necesitamos un espacio vectorial sobre \mathbb{R} equipado con un producto interior, y por lo tanto podemos hablar de normas. Una base ortogonal de V es una base en la cual cada par de vectores tiene producto interior 0. Es ortonormal si además cada elemento es de norma 1. Ahora veremos que dada una base ortonormal, podemos hacer una descomposición de Fourier de los vectores de V, que nos permite conocer varias de sus propiedades fácilmente.

La teoría que discutiremos está basada en el contenido de la Sección 10.5 del libro Essential Lineal Algebra with Applications de Titu Andreescu. Las últimas dos secciones de esta entrada son un poco abstractas, pero son la puerta a ideas matemáticas interesantes con muchas aplicaciones dentro de la matemática misma y en el mundo real.

Descomposición de Fourier

Es fácil conocer las coordenadas de un vector en términos de una base ortonormal.

Teorema. Si V es un espacio Euclideano de dimensión n con producto interior \langle\cdot, \cdot\rangle y B=\{e_1,\ldots,e_n\} es una base ortonormal con este producto interior, entonces para cualquier vector v, la coordenada de v con respecto a e_i es \langle v, e_i \rangle.

Demostración. Expresemos a v en la base B como

    \[v=\alpha_1e_1+\ldots+\alpha_n e_n.\]

Tomemos j en 1,2,\ldots,n. Usando la linealidad del producto interior, tenemos que

    \begin{align*}\langle v, e_j \rangle &= \left \langle \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i, e_j \right \rangle\\&=\sum_{i=1}^n \alpha_i \langle e_i,e_j \rangle.\end{align*}

Como B es base ortonormal, tenemos que en el lado derecho \langle e_j,e_j\rangle = 1 y que si i\neq j entonces \langle e_i, e_j\rangle=0. De esta forma, el lado derecho de la expresión es \alpha_j, de donde concluimos que

    \[\langle v, e_j \rangle = \alpha_j,\]

como queríamos.

\square

Definición. Si V es un espacio Euclideano de dimensión n con producto interior \langle\cdot, \cdot\rangle y B=\{e_1,\ldots,e_n\} es una base ortonormal, a

    \[v=\sum_{i=1}^n \langle v, e_i \rangle e_i\]

le llamamos la descomposición de Fourier de v con respecto a B.

Ejemplo. Trabajemos en el espacio vectorial V=\mathbb{R}_2[x] de polinomios reales de grado a lo más 2. Ya mostramos anteriormente (con más generalidad) que

    \[\langle p,q \rangle = p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)\]

es un producto interior en V.

Los polinomios \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{x}{\sqrt{2}} y \frac{3x^2-2}{\sqrt{6}} forman una base ortonormal, lo cual se puede verificar haciendo las operaciones y queda de tarea moral. ¿Cómo expresaríamos a la base canónica \{1,x,x^2\} en términos de esta base ortonormal? Los primeros dos son sencillos:

(1)   \begin{align*}1&=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\\x&=\sqrt{2}\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}. \end{align*}

Para encontrar el tercero, usamos el teorema de descomposición de Fourier. Para ello, calculamos los siguientes productos interiores:

    \begin{align*}\left\langle x^2, \frac{1}{\sqrt{3}}\right\rangle &= \frac{2}{\sqrt{3}},\\\left \langle x^2, \frac{x}{\sqrt{2}}\right\rangle &=0,\\\left\langle x^2, \frac{3x^2-2}{\sqrt{6}} \right\rangle &=\frac{2}{\sqrt{6}}.\end{align*}

De este modo,

    \[x^2= \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{6}}\cdot \frac{3x^2-2}{\sqrt{6}}.\]

\square

Norma usando la descomposición de Fourier

Cuando tenemos bases ortogonales u ortonormales, también podemos calcular la norma de un vector fácilmente.

Teorema. Si V es un espacio Euclideano de dimensión n con producto interior \langle\cdot, \cdot\rangle y B=\{e_1,\ldots,e_n\} es una base ortogonal con este producto interior, entonces para cualquier vector

    \[v=\alpha_1e_1+\ldots+\alpha_ne_n,\]

tenemos que

    \[\norm{v}^2 = \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 \norm{e_i}^2.\]

En particular, si B es una base ortonormal, entonces

    \[\norm{v}^2 = \sum_{i=1}^n \langle v, e_i \rangle^2.\]

Demostración. Usando la definición de norma y la bilinealidad del producto interior, tenemos que

    \begin{align*}\norm{v}^2 &= \langle v,v \rangle\\&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j \langle e_i, e_j\rangle.\end{align*}

Como B es base ortogonal, los únicos sumandos que quedan a la derecha son aquellos en los que i=j, es decir,

    \begin{align*}\norm{v}^2&=\sum_{i=1}^n \alpha_i^2 \langle e_i, e_i\rangle\\&=\sum_{i=1}^n \alpha_i^2 \norm{e_i}^2\\\end{align*}

como queríamos mostrar.

Si B es base ortonormal, cada \norm{e_i}^2 es 1, y por el teorema anterior, \alpha_i=\langle v, e_i\rangle. Esto prueba la última afirmación.

\square

Ejemplo. Continuando con el ejemplo anterior, como ya escribimos a x^2 en términos de la base ortogonal, podemos encontrar fácilmente su norma. Tendríamos que

    \begin{align*}\norm{x^2}^2&=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2\\&=\frac{4}{3}+\frac{4}{6}\\&=2.\end{align*}

De esta forma, \norm{x^2}=\sqrt{2}. En efecto, esto es lo que obtendríamos si hubiéramos calculado la norma de x^2 con la definición.

\square

Aplicación de descomposición de Fourier a polinomios

Vamos a continuar con un ejemplo que vimos en la entrada anterior. Recordemos que estábamos trabajando en V=\mathbb{R}_n[x], que habíamos elegido n+1 reales distintos x_0,\ldots,x_n, y que a partir de ellos definimos

    \[\langle P, Q\rangle = \sum_{i=0}^n P(x_i)Q(x_i).\]

Mostramos que \langle \cdot , \cdot \rangle es un producto interior y que para j=0,\ldots,n los polinomios

    \[L_i=\prod_{0\leq j \leq n, j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\]

forman una base ortonormal de V.

Por el teorema de descomposición de Fourier, tenemos que cualquier polinomio P de grado a lo más n+1 con coeficientes reales satisface que

    \[P=\sum_{i=0}^n \langle P, L_i \rangle L_i,\]

lo cual en otras palabras podemos escribir como sigue.

Teorema (de interpolación de Lagrange). Para P un polinomio con coeficientes en los reales de grado a lo más n y x_0,x_1,\ldots,x_n reales distintos, tenemos que

    \[P(x)=\sum_{i=0}^n P(x_i) \left(\prod_{0\leq j \leq n, j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\right).\]

El teorema de interpolación de Lagrange nos permite decir cuánto vale un polinomio de grado n en cualquier real x conociendo sus valores en n+1 reales distintos. Ya habíamos mostrado este teorema antes con teoría de dualidad. Esta es una demostración alternativa con teoría de bases ortogonales y descomposición de Fourier.

Aplicación de ideas de Fourier en funciones periódicas

También ya habíamos visto que

    \[\langle f,g \rangle = \int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\, dx\]

define un producto interior en el espacio vectorial V de funciones f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} continuas y periódicas de periodo 2\pi.

En ese ejemplo, definimos

    \begin{align*}C_n(x)&=\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\\S_n(x)&=\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}.\end{align*}

y C_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, y mostramos que

    \[\mathcal{F}:=\{C_n:n\geq 0\}\cup \{S_n:n\geq 1\}\]

era un conjunto ortonormal.

No se puede mostrar que \mathcal{F} sea una base ortonormal, pues el espacio V es de dimensión infinita, y es bastante más complicado que los espacios de dimensión finita. Sin embargo, la teoría de Fourier se dedica a ver que, por ejemplo, la familia \mathcal{F} es buena aproximando a elementos de V, es decir a funciones continuas y periódicas de periodo 2\pi. No profundizaremos mucho en esto, pero daremos algunos resultados como invitación al área.

Para empezar, restringimos a la familia \mathcal{F} a una familia más pequeña:

    \[\mathcal{F}_n:=\{C_m:0\leq m \leq n\}\cup \{S_m:1\leq m \leq n\}\]

Motivados en la descomposición de Fourier para espacios Euclideanos, definimos a la n-ésima serie parcial de Fourier de una función f en V a la expresión

    \[S_n(f)=\sum_{g\in \mathcal{F}_n} \langle f, g \rangle g.\]

Haciendo las cuentas, se puede mostrar que

    \[S_n(f)=\frac{a_0(f)}{2}+\sum_{k=1}^n \left(a_k(f)\cos(kx)+b_k(f)\sin(kx)\right),\]

en donde para k\geq 1 tenemos

    \[a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(kx)\, dx\]

y

    \[b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(kx)\, dx.\]

A los números a_k y b_k se les conoce como los k-ésimos coeficientes de Fourier. Aunque \mathcal{F} no sea una base para V, sí es buena «aproximando» a elementos de V. Por ejemplo, un resultado lindo de Dirichlet dice que si f y su derivada son continuas, entonces

    \[\lim_{n\to \infty} S_n(f)(x) = f(x).\]

Este tipo de teoremas de aproximación se estudian con más a detalle en un curso de análisis matemático avanzado o de análisis de Fourier.

Considera ahora W_n el subespacio de V generado por \mathcal{F}_n. Tomemos una función f cualquiera en V. La n-ésima serie de Fourier de f es un elemento de W_n. De hecho, es precisamente la proyección de f en W_n. Por esta razón,

    \[\norm{f_n}^2\leq \norm{f}^2<\infty\]

Podemos calcular la norma de f_n, usando el resultado para espacios Euclideanos en el espacio (de dimensión finita) W_n. Haciendo esto, podemos reescribir la desigualdad anterior como sigue:

    \[\frac{a_0(f)^2}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k(f)^2+b_k(f)^2)\leq \frac{1}{\pi} \norm{f}^2.\]

El lado derecho es constante, y en el lado izquierdo tenemos una suma parcial de la serie

    \[\sum_{k\geq 1}(a_k(f)^2+b_k(f)^2).\]

Los términos son positivos y la sucesión de sumas parciales es acotada, así que la serie converge. Entonces, necesariamente la sucesión de términos debe converger a cero. Acabamos de esbozar la demostración del siguiente teorema.

Teorema (de Riemann-Lebesgue). Sea f una función continua y de periodo 2\pi. Si a_n(f) y b_n(f) son los coeficientes de Fourier de f, entonces

    \[\lim_{n\to \infty} a_n(f) = \lim_{n\to \infty} b_n(f) = 0.\]

De hecho, se puede mostrar que la desigualdad que mostramos se convierte en igualdad cuando n\to \infty. Este es un resultado bello, profundo y cuya demostración queda fuera del alcance de estas notas.

Teorema (de Plancherel). Sea f una función continua y de periodo 2\pi. Si a_n(f) y b_n(f) son los coeficientes de Fourier de f, entonces

    \[\frac{a_0(f)^2}{2}+\sum_{k=1}^\infty(a_k(f)^2+b_k(f)^2)= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2\, dx.\]

Aunque no daremos la demostración de este resultado, en una entrada posterior veremos cómo podemos aplicarlo.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que los tres polinomios del ejemplo de descomposición de Fourier en efecto forman una base ortogonal.
  • Calcula la norma de x^2 con el producto interior del ejemplo de descomposición de Fourier usando la definición, y verifica que en efecto es \sqrt{2}.
  • Con la misma base ortonormal B de ese ejemplo, calcula las coordenadas y la norma del polinomio 1+x+x^2.
  • Verifica que todo lo que mencionamos se cumple con el producto punto en \mathbb{R}^n y con la base canónica.

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