Teoría de los Conjuntos I: Axioma del par y axioma de unión

Introducción

En esta nueva entrada abordaremos algunos axiomas de construcción: el axioma de unión y el axioma del par. Estos, junto al esquema de comprensión nos permitirán construir un montón de conjuntos nuevos. A partir de esta entrada, utilizaremos con mayor frecuencia el conjunto vacío, hasta ahora, el único conjunto que conocemos.

Axioma del par

El primer axioma que nos permitirá construir nuevos conjuntos es el axioma del par.

Axioma del par. Sean $a$ y $b$ conjuntos arbitrarios, existe $c$ un conjunto cuyos únicos elementos son $a$ y $b$ .

El axioma del par nos permite construir pares no ordenados. Dados los conjuntos $a$ y $b$ resulta que ${a, b} = {b, a}$ . En el caso de que $a = b$ , tenemos que $c = {a, a} = {a}$ , a este último conjunto le llamaremos conjunto unitario de $a$ .

Ejemplo.

Consideremos al conjunto vacío. Por el axioma del par, tenemos que ${\emptyset}$ es conjunto. Luego, como ${\emptyset}$ es conjunto si volvemos a aplicar el axioma del par tendremos que ${{\emptyset}}$ es conjunto. Si aplicamos iteradamente el axioma del par tendremos que ${\dots {\emptyset} \dots}$ es conjunto.

Si observas con cuidado hemos construido muchos conjuntos que constan de un solo elemento. Por lo que podemos preguntarnos si el axioma del par nos permite construir nuevos conjuintos o todos los que hemos obtenido son el mismo. La respuesta es que no. La proposición que sigue nos ayudará a probar que $\emptyset$ es distinto de ${\emptyset}$ .

Proposición. $\emptyset \neq {\emptyset}$ .

Demostración.

Para probar que $A \neq B$ basta ver que $A ⊈ B$ o $B ⊈ A$ .

Para mostrar que ${\emptyset} ⊈ \emptyset$ tenemos que exhibir un conjunto $x \in {\emptyset}$ tal que $x \notin \emptyset$ . Tenemos que ${\emptyset}$ es un conjunto que tiene como único elemento al conjunto $\emptyset$ , es decir, $\emptyset \in {\emptyset}$ . Luego, como $\emptyset \notin \emptyset$ , se sigue que ${\emptyset} ⊈ \emptyset$ .

En la tarea moral será tu turno de probar que ${\emptyset} \neq {{\emptyset}}$ , ${{\emptyset}} \neq {{{\emptyset}}}$ ,…

Es importante poder ir simplificando nuestra notación. Como ya tenemos dos conjuntos que son distintos, les pondremos un nombre especial.

Definición. Llamaremos $0$ a $\emptyset$ y $1$ a ${\emptyset}$ .

Aquí estamos usando los símbolos $0$ y $1$ , que seguramente conoces mejor como números que como conjuntos. En los ejercicios de esta entrada definiremos también quiénes son $2$ , $3$ y $4$ . Pero, ¡no te apresures! Todavía no podemos definir a todos todos los naturales como conjuntos. Esto lo formalizaremos hasta la tercera unidad.

Por ahora podemos preguntarnos de que manera podemos definir al $3$ y $4$ pues el axioma del par solo nos permite construir conjuntos de a lo más dos elementos, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos $\emptyset$ y ${\emptyset}$ conjuntos. Por axioma del par tenemos que ${\emptyset, {\emptyset}}$ es conjunto.

Ahora, podemos considerar a los conjuntos ${\emptyset}$ y ${\emptyset, {\emptyset}}$ , tenemos que ${{\emptyset}, {\emptyset, {\emptyset}}}$ es conjunto.

Luego, ${{\emptyset, {\emptyset}}, {{\emptyset}, {\emptyset, {\emptyset}}}}$ también lo es.

De manera que, podemos construir conjuntos más y más complejos con el axioma del par pero siempre tendrán a lo más dos conjuntos como elementos.

Axioma de la unión

Axioma de la unión. Para cualquier conjunto $A$ , existe un conjunto $U$ tal que $x \in U$ si y sólo si existe $y \in A$ tal que $x \in y$ .

Ejemplo.

Consideremos los conjuntos $\emptyset$ y ${\emptyset}$ , luego por axioma del par tenemos que $A = {\emptyset, {\emptyset}}$ es conjunto. Veamos quién es $U$ para el conjunto $A$ . Resulta que en este caso, $U = {\emptyset}$ .

En efecto: si $x \in U$ entonces $x \in y$ para algún $y \in A$ . Luego, los únicos elementos de $A$ son $\emptyset$ y ${\emptyset}$ . Así, $x \in \emptyset$ o $x \in {\emptyset}$ .

Si $x \in \emptyset$ entonces $x \in {\emptyset}$ por vacuidad. La otra posibilidad es que $x \in {\emptyset}$ . En ambos casos, $x \in {\emptyset}$ y, por tanto, $U \subseteq {\emptyset}$ .

Luego, si $x \in {\emptyset} \in A$ se sigue por definición de $U$ que $x \in U$ . Así, ${\emptyset} \subseteq U$ . De esta manera podemos concluir que $U = {\emptyset}$ .

Si ponemos atención al ejemplo anterior, va a resultar que los elementos del conjunto $U$ son los elementos de los elementos de $A$ . $A$ tiene como elementos a $\emptyset$ y ${\emptyset}$ , el conjunto vacío no tiene elementos por lo que el único elemento de $U$ es el elemento de ${\emptyset}$ que es $\emptyset$ .

El axioma de la unión nos va a permitir construir conjuntos con más de dos elementos. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos a los conjuntos ${\emptyset, {\emptyset}}$ y ${{{\emptyset}}}$ . Por axioma del par, $A = {{\emptyset, {\emptyset}}, {{{\emptyset}}}}$ es conjunto. Luego, $U$ para el conjunto $A$ es $U = {\emptyset, {\emptyset}, {{\emptyset}}}$ . Veamos que se dan ambas contenciones.

$\subseteq$ ] Sea $x \in U$ , entonces existe $y \in A$ tal que $x \in y$ . En este caso, los únicos elementos de $A$ son ${\emptyset, {\emptyset}}$ y ${{{\emptyset}}}$ , por lo que $x \in {\emptyset, {\emptyset}}$ o $x \in {{{\emptyset}}}$ .

Si $x \in {\emptyset, {\emptyset}}$ , entonces $x = \emptyset$ o $x = {\emptyset}$ . En el caso de que $x = \emptyset$ , se sigue que $x \in {\emptyset, {\emptyset}, {{\emptyset}}}$ y en caso de que $x = {\emptyset}$ ocurre también que $x \in {\emptyset, {\emptyset}, {{\emptyset}}}$ .

Si $x \in {{{\emptyset}}}$ , entonces $x = {{\emptyset}}$ y $x \in {\emptyset, {\emptyset}, {{\emptyset}}}$ .

Así, $U \subseteq {\emptyset, {\emptyset}, {{\emptyset}}}$ .

$\supseteq$ ] Sea $x \in {\emptyset, {\emptyset}, {{\emptyset}}}$ . Entonces $x = \emptyset$ o $x = {\emptyset}$ o $x = {{\emptyset}}$ .

Si $x = \emptyset$ , entonces $x \in {\emptyset, {\emptyset}}$ y, dado que ${\emptyset, {\emptyset}} \in A$ , se sigue por definición de $U$ que $x \in U$ .

Si $x = {\emptyset}$ , entonces $x \in {\emptyset, {\emptyset}}$ y nuevamente $x \in U$ por definición, ya que ${\emptyset, {\emptyset}} \in A$ .

Si $x = {{\emptyset}}$ , entonces $x \in {{{\emptyset}}}$ y como ${{{\emptyset}}} \in A$ , $x \in U$ .

Por lo tanto, ${\emptyset, {\emptyset}, {{\emptyset}}} \subseteq U$ .

Definición. Sea $A$ un conjunto, el conjunto que nos otorga el axioma de la unión es único debido al axioma de extensión. Le llamaremos unión de $A$ y lo denotaremos como $⋃ A$ .

La definición de unión se puede particularizar a cuando queremos unir solamente dos conjuntos. Esto lo ponemos en una definición especial pues se usa muy frecuentemente.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Definimos al conjunto $A \cup B = ⋃ {A, B}$ .

En la siguiente observación mostramos que $A \cup B$ se puede describir por medio de la colección ${x : x \in A \lor x \in B}$ .

Observación. $x \in A \cup B$ si y sólo si $x \in A$ o $x \in B$ .

Demostración.

Sea $x \in A \cup B$ . Entonces, $x \in z$ para algún $z \in {A, B}$ . Si $z = A$ , entonces $x \in A$ y, si $z = B$ , entonces, $x \in B$ . Si ahora suponemos que $x \in A$ o $x \in B$ , $x \in z$ para algún $z \in {A, B}$ , por lo que $x \in A \cup B$ .

Ejemplo.

Consideremos ahora a los conjuntos $A = {{\emptyset}, {{\emptyset}}}$ y $B = {{{\emptyset}}}$ construidos con el axioma de par. Tenemos que $A \cup B = ⋃ {{{\emptyset}, {{\emptyset}}}, {{{\emptyset}}}} = {{\emptyset}, {{\emptyset}}}$ .

A continuación vamos a demostrar que los elementos de un conjunto $S$ se quedan contenidos en la unión de $S$ .

Proposición. Sea $A$ un conjunto tal que $A \in S$ , entonces $A \subseteq ⋃ S$ .

Demostración.
Supongamos que $A \in S$ y sea $x \in A$ , tenemos que $x \in ⋃ S$ . En efecto, para $x \in A$ arbitrario existe $y \in S$ tal que $x \in y$ , a saber $y = A$ . Por lo tanto, $A \subseteq S$ .

Ejemplo.

Consideremos al conjunto $S = {\emptyset, {\emptyset, {\emptyset}}}$ . Resulta que $⋃ S = {\emptyset, {\emptyset}}$ .

Los elementos de $S$ son $\emptyset$ y ${\emptyset, {\emptyset}}$ en este ejemplo se cumple que $\emptyset \subseteq ⋃ S$ y ${\emptyset, {\emptyset}} \subseteq ⋃ S$ .

Tarea moral

Demuestra que ${\emptyset} \neq {{\emptyset}}$ , ${{\emptyset}} \neq {{{\emptyset}}}$ ,…
Sean $A$ y $B$ conjuntos, prueba que $A = B$ si y sólo si ${A} = {B}$ .
Prueba que ${{\emptyset, {\emptyset}}, {{\emptyset}}}$ es conjunto.
Calcula $⋃ {{\emptyset, {\emptyset}}, {{\emptyset}}}$ .
Definimos $2 = 1 \cup {1}$ , $3 = 2 \cup {2}$ y $4 = 3 \cup {3}$ .
- Justifica mediante los axiomas que $2, 3, 4$ en efecto son conjuntos.
- Verifica que $4 = {0, 1, 2, 3}$ .
- Muestra que $0, 1, 2, 3, 4$ son todos ellos conjuntos diferentes entre sí.

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos con el axioma del conjunto potencia, el cual nos permitirá hablar acerca del conjunto de subconjuntos de un conjunto. Con este axioma y los que hemos visto en las entradas anteriores tendremos las herramientas suficientes para abordar el álgebra de conjuntos y probar algunas contenciones importantes entre conjuntos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

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