Introducción
En la entrada anterior dimos la definición de polinomio característico. Vimos que siempre es un polinomio mónico y que su grado es exactamente del tamaño de la matriz. También, vimos cómo calcular el polinomio mínimo en algunos casos particulares. En esta entrada veremos varias propiedades que nos van a facilitar el calcular el polinomio característico (y por tanto los eigenvalores) en un amplio rango de matrices diferentes.
Comenzaremos estudiando el polinomio mínimo de las triangulares superiores. Luego, veremos cómo calcular el polinomio de matrices nilpotentes. No solo nos harán la vida más fácil los resultados a continuación, si no que los usaremos en la teoría más adelante.
Matrices triangulares superiores y transpuestas
El caso de las matrices triangulares superiores es muy sencillo, como veremos a través del siguiente problema.
Problema. Sea $A=[a_{ij}]$ una matriz triangular superior. Demuestra que
\begin{align*}
\chi_A(X)=\prod_{i=1}^{n}(X-a_{ii}).
\end{align*}
Solución. La matriz $X I_n-A$ sigue siendo triangular superior, y sus entradas diagonales son precisamente $X-a_{ii}$. Usando que el determinante de una matriz triangular superior es el producto de sus entradas diagonales y usando la definición se sigue que
\begin{align*}
\chi_A(X)=\det(X I_n-A)=\prod_{i=1}^{n} (X-a_{ii}).
\end{align*}
$\square$
Ejemplo. Si queremos calcular el polinomio característico de la matriz
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & -\pi & \sqrt{2}\\
0 & -2 & 10^{10}\\
0 & 0 &3
\end{pmatrix}.
\end{align*}
entonces podemos aplicar el problema anterior y deducir inmediatamente que
\begin{align*}
\chi_A(X)=(X-1)(X+2)(X-3).
\end{align*}
¡Qué complicado hubiera sido calcular el determinante a pie!
$\triangle$
Por otro lado, recordando la demostración que dice que los eigenvalores de la transpuesta de una matriz son iguales a los de la matriz original era de esperarse que el polinomio característico también «se portara bien» bajo transposición.
Problema. Demuestra que las matrices $A$ y $^{t}A$ tienen el mismo polinomio característico para cualquier $A\in M_n(F)$.
Solución. Notamos que $^{t}(X I_n-A)= XI_n-\ ^{t}A$. Como una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante se tiene que
\begin{align*}
\chi_A(X)&=\det(XI_n-A)\\&=\det(\ ^{t}(XI_n-A))\\&= \det(XI_n-\ ^{t}A)\\&=\chi_{^t A}(X).
\end{align*}
$\square$
Estrictamente hablando, estamos haciendo un poquito de trampa en la demostración anterior (y de hecho en varias que involucran a la variable $X$). Las propiedades de determinantes que hemos visto (como que una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante) las obtuvimos partiendo de la hipótesis de que las entradas vienen de un campo $F$. Pero cuando agregamos a la variable $X$, ahora las entradas vienen más bien de un anillo: el anillo de polinomios en $F[X]$. Aunque esto parezca un problema, en realidad no lo es. Las propiedades que usamos pueden mostrarse también en ese contexto.
Veamos ahora cómo podemos aplicar el resultado anterior en un ejemplo concreto.
Ejemplo. Queremos calcular el polinomio característico de la matriz
\begin{align*}
A= \begin{pmatrix} 0 & 0 &0\\ -4 & 9 & 0\\ -1 & -1 & 2.\end{pmatrix}
\end{align*}
Para esto notamos que
\begin{align*}
^t A=\begin{pmatrix} 0 & -4 & -1\\ 0 & 9 & -1\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}
\end{align*}
que es triangular superior. Usando el primer problema
\begin{align*}
\chi_{^t A}(X)= X(X-9)(X-2).
\end{align*}
Finalmente por el último problema $$\chi_{A}(X)=\chi_{^t A}(X)=X(X-9)(X-2).$$
$\triangle$
El término de la traza
Como vimos en la entrada anterior, en el polinomio $\det(XA+B)$ aparecen los términos $\det(A)$ y $\det(B)$. El siguiente problema aplica esto al polinomio característico e incluso deducimos otro término: la traza.
Problema. Demuestra que el polinomio característico de $A\in M_n(F)$ es de la forma
\begin{align*}
\chi_A(X)= X^n- \operatorname{Tr}(A)X^{n-1}+\dots+(-1)^n \det A.
\end{align*}
Solución. Regresemos a la definición
\begin{align*}
\det (X I_n-A)=\sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sign}(\sigma)\left(X\delta_{1\sigma(1)}-a_{1\sigma(1)}\right)\cdots \left(X \delta_{n\sigma(n)}-a_{n\sigma(n)}\right).
\end{align*}
Haciendo la expansión salvajemente podemos recuperar al menos los primeros términos de $$(X\delta_{1\sigma(1)}-a_{1\sigma(1)})\cdots (X\delta_{n\sigma(n)}-a_{n\sigma(n)}),$$ que son $$X^{n}\prod_{i=1}^{n} \delta_{i\sigma(i)} – X^{n-1}\sum_{j=1}^{n}\left(\prod_{k\neq j} \delta_{k\sigma(k)}\right)a_{j\sigma(j)}+\dots.$$
Más aún, nota cómo el producto $\prod_{j=1}^{n}\delta_{j\sigma(j)}$ es distinto de cero si y sólo si $j=\sigma(j)$ para todo $j$: es decir si $\sigma$ es la identidad. Esto muestra que $\chi_A(X)$ es mónico de grado $n$, como ya habíamos mencionado en la entrada anterior.
Además, el término constante está dado por \begin{align*}\chi_A(0)&=\det(0\cdot I_n-A)\\&=\det(-A)\\&=(-1)^{n}\det(A).\end{align*} Alternativamente pudimos haber usado la primera proposición de esta entrada para concluir estos hechos.
Nos falta estudiar el término de grado $n-1$. Si $j\in \{1,2,\dots, n\}$, entonces $\prod_{k\neq j}\delta_{j\sigma(j)}$ es distinto de cero solo si $\sigma(k)=k$ para todo $k\neq j$: pero $\sigma$ es una permutación, en particular una biyección, lo que fuerza que $\sigma(j)=j$ también y entonces $\sigma$ sea la identidad. Entonces el término de $X^{n-1}$ en $$(X\delta_{1\sigma(1)}-a_{1\sigma(1)})\cdots (X\delta_{n\sigma(n)}-a_{n\sigma(n)})$$ es distinto de cero sólo cuando $\sigma$ es la identidad. En ese caso es precisamente $$-\sum_{j=1}^{n} a_{jj}=-\operatorname{Tr}(A).$$
$\square$
Ejemplo. Si $A$ es la matriz del primer problema de esta entrada, tenemos que
\begin{align*}
\chi_A(X)&=(X-1)(X+2)(X-3)\\&= X^3-2 X^2+\dots +6.
\end{align*}
Nota cómo el término de $X^2$ es en efecto $-\text{Tr}(A)= -(1-2+3)$ y el último es $-\det(A)$.
$\triangle$
Matrices nilpotentes
El caso de las matrices nilpotentes es todavía más sencillo.
Problema. Sea $A\in M_n(F)$ una matriz nilpotente. Es decir, existe $k\geq 1$ tal que $A^{k}=O_n$.
- Demuestra que
\begin{align*}
\chi_A(X)=X^{n}.
\end{align*} - Demuestra que $\operatorname{Tr}A^{m}=0$ para todo $m\geq 1$.
Solución.
- Sea $k\geq 1$ tal que $A^{k}=O_n$ (existe pues $A$ es nilpotente). Entonces
\begin{align*}
X^{k}I_n&=X^{k}I_n-A^{k}\\&=(XI_n-A)(X^{k-1}I_n+X^{k-2}A+\dots +A^{k-1}).
\end{align*}
Tomando el determinante de ambos lados y recordando que abre productos llegamos a
\begin{align*}
X^{nk}&=\det(X^{k}I_n)\\&= \chi_{A}(X)\cdot \det(X^{k-1}I_n+\dots +A^{k-1}).
\end{align*}
De aquí, concluimos que $\chi_{A}(X)$ tiene que dividir a $X^{nk}$, pero sabemos que $\chi_A(X)$ es mónico y de grado $n$. Concluimos entonces que $\chi_A(X)=X^{n}$. - Puesto que $A^{m}$ también es una matriz nilpotente, el inciso anterior nos dice que
\begin{align*}
\chi_{A^{m}}(X)=X^{n}.
\end{align*}
Pero sabemos por la sección sobre la traza que el término de $X^{n-1}$ es $-\operatorname{Tr}(A^{m})$. Como este término no aparece, concluimos que la traza es cero.
$\square$
Ejemplo. Para calcular el polinomio característico de la matriz
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
5 & -3 &2\\
15 & -9 & 6\\
10 & -6 &4
\end{pmatrix}
\end{align*}
podríamos notar (aunque no sea obvio a simple vista) que $A^2=O_3$. Luego, por el problema anterior, $\chi_A(X)=X^3$.
$\triangle$
Un último caso particular
Acabamos con una última familia de matrices con polinomio característico simple. Esta familia está descrita por su forma, y será de particular importancia para el teorema de Cayley-Hamilton.
Problema. Para escalares $a_0,\dots, a_{n-1}\in F$ consideramos la matriz
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_0\\
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & a_1\\
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & a_2\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\dots\\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 &a_{n-1}
\end{pmatrix}.
\end{align*}
en $M_n(F)$.
Demuestra que
\begin{align*}
\chi_A(X)=X^{n}-a_{n-1}X^{n-1}-\dots -a_0.
\end{align*}
Solución. Sea $P(X)=X^{n}-a_{n-1}X^{n-1}-\dots-a_0$. Considera la matriz
\begin{align*}
B=X I_n-A=\begin{pmatrix} X & 0 & 0 &\dots &0& -a_0\\ -1 & X & 0 &\dots & 0 &-a_1\\ 0 & -1 & X &\dots& 0&-a_2\\ \dots & \dots & \dots & \dots &\dots &\dots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & -1 & X-a_{n-1}\end{pmatrix}.
\end{align*}
Sumando el segundo renglón multiplicado por $X$ al primer renglón, luego sumándole también al primer renglón el tercero multiplicado por $X^2$, el cuarto por $X^3$, y así sucesivamente hasta sumar el último renglón multiplicado por $X^{n-1}$ llegamos a la matriz
\begin{align*}
C=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \dots &0& P(X)\\
-1 & X & 0 & \dots &0 & -a_1\\
0 & -1 & X & \dots & 0 & -a_2\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\dots\\
0 & 0 & 0 & \dots & -1 & X-a_{n-1}
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Recordamos que el determinante es invariante bajo sumas de renglones, por lo que
\begin{align*}
\chi_A=\det B=\det C.
\end{align*}
Expandiendo el determinante de $C$ en el primer renglón obtenemos sencillamente
\begin{align*}
\det C&=(-1)^{n+1}P(X) \cdot \begin{vmatrix} -1 & X & \dots & 0\\ 0 & -1 & \dots & 0\\ \dots &\dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & -1 \end{vmatrix}\\&= (-1)^{n+1} P(X)(-1)^{n-1}\\&=P(X).
\end{align*}
Para la segundaigualdad usamos que el determinante es el de una matriz triangular superior con puros $-1$ como entradas. Para la última, usamos que $n+1+n-1=2n$ siempre es un número par, así que queda $-1$ elevado a un número par. Esto concluye la prueba.
$\square$
Una de las consecuencias de la proposición anterior es que para cualquier polinomio mónico $P$ de grado $n$ en $F[X]$, existe una matriz en $M_n(F)$ tal que su polinomio característico es $P$.
Más adelante…
En la próxima entrada veremos unos últimos aspectos teóricos del polinomio característico antes de lanzarnos de lleno al teorema de Cayley-Hamilton y su demostración.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
- Encuentra una matriz $A$ tal que $\chi_A(X)=X^5-5X^3+X^2-2X+2$. Sugerencia: Usa el último problema.
- Demuestra que el polinomio característico de una matriz $A=[a_{ij}]$ triangular inferior está dado por $\prod_{i=1}^{n}(X-a_{ii})$.
- Demuestra que $0$ es eigenvalor de una matriz si y sólo si su determinante es cero.
- Calcula el polinomio característico de la siguiente matriz con entradas reales:
\begin{align*}
A= \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 \\ 6 & 6 & 6\\ -11 & -11 & -11\end{pmatrix}.
\end{align*} Sugerencia: ¿Quién es $A^2$? - ¿Es cierto que si $F$ es cualquier campo y $A$ es una matriz con entradas en $F$, entonces el hecho de que $\operatorname{Tr}(A)=0$ implica que $A$ sea nilpotente? Sugerencia: Piensa en $F_2$.
- Da una demostración alternativa al último problema de esta entrada usando inducción matemática sobre el tamaño de la matriz.
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»