(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
Consideremos $\alpha \in S_7$ como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)$. Esta permutación fija a $5$ y a $7$. Entonces también podemos escribirla como $\alpha = (1\,3\,2)(6\,4)(5)(7)$. Notamos que una de las cosas en las que difieren es que en la segunda descomposición estamos agregando $1$-ciclos, pero también $\alpha = (1 \, 3 \, 2) (7) (6 \, 4)(5)$ es otra forma diferente de expresar a la permutación escribiendo a los $1$-ciclos. En esta entrada nos planteamos la posibilidad de escribir a $\alpha$ como un producto de ciclos disjuntos incluyendo a todos los $1$-ciclos y analizamos en qué difieren todas las distintas maneras de hacerlo.
Antes de empezar, podrías intentar escribir todas las maneras posibles de describir a $\alpha$ escribiendo a los $1$-ciclos. ¿Notas algo en común entre todas? Al final de esta entrada, tendremos la respuesta más clara.
Definición de una factorización completa
Para empezar, necesitamos definir un nuevo concepto.
Definición. Sea $\alpha \in S_n$. Una factorización completa de $\alpha$ es una descomposición de $\alpha$ en ciclos disjuntos con un $1$-ciclo por cada elemento fijado por $\alpha$.
Ejemplos.
- Sea $\alpha \in S_8$ como
\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
3 & 2 & 1 & 5 & 7 & 6 & 4 & 8
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Entonces $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)$ es una factorización de $\alpha$ en ciclos disjuntos pero no es una factorización completa de $\alpha$. Por otro lado $\alpha = (1 \; 3)\,(4 \; 5 \; 7)\,(2) \,(6) \,(8)$ sí es una factorización completa de $\alpha$. - Sea $\beta$ dada por \begin{align*}
\beta = (2 \; 4 \; 6 \; 8) \, (1 \; 3 \; 5)\,(7).
\end{align*}
Esa es una factorización completa de $\beta \in S_8$, pero no en $S_{10}$. En $S_{10}$ una factorización completa de $\beta$ sería
\begin{align*}
\beta = (2 \; 4 \; 6 \; 8) \, (1 \; 3 \; 5)\,(7)\, (9) \, (10).
\end{align*}
No es UNA factorización completa, es LA factorización completa
Recordemos la pregunta de la introducción ¿qué tienen en común todas las formas de describir a $\alpha$ como un producto de ciclos disjuntos en el que se incluyen todos los $1$-ciclos? He aquí la respuesta.
Teorema. Una factorización completa es única salvo por el orden de los factores.
Demostración.
Supongamos por reducción al absurdo que existe $\alpha\in S_n$ con dos factorizaciones completas distintas, no sólo por el orden de sus factores. Dado que en una factorización completa los $1$-ciclos corresponden a los elementos que quedan fijos, éstos coinciden en ambas factorizaciones. Igualando ambas factorizaciones y cancelando los $1$-ciclos y el resto de los factores comunes de ambas factorizaciones obtenemos $$\beta_1 \cdots \beta_r = \delta_1 \cdots \delta_s,$$ con $r,s \in \n^+.$ Denotemos estas factorizaciones de $\alpha$ sin factores comunes como $\alpha’=\beta_1 \cdots \beta_r= \delta_1 \cdots \delta_s$.
Como $\alpha’$ es la reducción de la factorización de $\alpha$. Por la hipótesis de reducción al absurdo, alguno de los factores de la primera expresión de $\alpha’$ no aparece como factor en la segunda expresión de $\alpha’$ o viceversa. Sin pérdida de generalidad supongamos que $\beta_1\notin \{ \delta_1, \dots , \delta_s\}.$
Sea $i\in\{1,\dots , n\}$ un elemento movido por $\beta_1$. Entonces, de acuerdo a lo que hemos estudiado, $\beta_1$ es de la forma $$\beta_1= (i \; \beta_1(i) \; \cdots \;\beta_1 ^{t-1}( i)),$$ con $t$ el menor natural positivo tal que $\beta_1 ^{t}( i)=i$. Dado que $\beta_1 ,\dots , \beta_r $ son disjuntos, $\alpha$ mueve a $i$, y como $\delta_1, \dots , \delta_s$ también son disjuntos, exactamente un factor $\delta_1, \dots , \delta_s$ mueve a $i$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $\delta_1$ mueve a $i$, entonces $\delta_1$ es de la forma $$\delta_1= (i \;\delta_1(i) \; \cdots \;\delta_1 ^{k-1}( i)),$$ con $k$ el menor natural positivo tal que $\delta_1 ^{k}( i)=i$.
Pero, debido a que $\beta_1 ,\dots , \beta_r $ son disjuntos, conmutan, y entonces $$\alpha ^j (i)=(\beta_1 \cdots \beta_t)^j(i)=\beta_1^j \cdots \beta_t^j(i)=\beta_1^j (i),$$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$. Análogamente $\alpha ^j (i)=\delta_1^j (i)$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$. Concluimos con ello que $\beta_1 ^j (i)=\delta_1^j (i)$ para toda $j\in\mathbb{N}^+$ y en consecuencia $t=k$ y $\beta_1=\delta_1$, contradiciendo la elección de $\beta_1$.
Así, toda factorización completa es única salvo por el orden de los factores.
$\blacksquare$
Tarea moral
- Considera el siguiente elemento de $S_9$
\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
9 & 8 & 1 & 4 & 3 & 7 & 6 & 2 & 5
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Encuentra la factorización completa de $\alpha$. - Sean $\alpha \in S_n$ y $\alpha = \beta_1 \dots \beta_t$ una factorización completa de $\alpha$. Analiza qué ocurre con $\displaystyle \sum_{i= 1}^t \text{long } \beta_i$.
- Considera el ejercicio 3 de la entrada de permutaciones:
Sean $\alpha, \beta \in S_{10}$,
\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
10 & 4 & 3 & 2 & 9 & 7 & 5 & 1 & 6 & 8
\end{pmatrix} \\ \\
\beta = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Encuentra las factorizaciones completas de $\alpha, \beta, \alpha\beta, \beta\alpha$ y $\beta^{-1}$.
Más adelante…
Entonces ya sabemos que existe una factorización única para cada permutación. La usaremos para definir el concepto de estructura cíclica en la siguiente entrada.
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