En esta entrada resolveremos problemas de temas vistos en entradas anteriores. Haremos algunos ejemplos relacionados con los conectores condicionales que vimos en una entrada anterior: la implicación y la doble implicación. También veremos algunos de cuantificadores lógicos.
Problemas resueltos
Problema. Si $P$ y$R$ son verdaderas y $Q$ es falsa, di si la siguiente proposición es verdadera o falsa: $$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R).$$
Solución. Haremos una tabla de verdad pero únicamente con los valores que nos dan, es decir, no vamos a hacer la tabla para todos los casos, sino únicamente los que nos interesan en este momento:
$P$
$Q$
$R$
$P \lor R$
$Q \land R$
$\neg (Q \land R)$
$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R)$
$1$
$0$
$1$
$1$
$0$
$1$
$1$
Por lo tanto la proposición es verdadera para los valores de verdad dados.
$\square$
Problema. Di si las siguientes proposiciones sobre los números enteros son verdaderas o no:
Vamos a hacer algunas verificaciones sobre cada una de las proposiciones para encontrar su valor de verdad:
$(3+1=4) \Rightarrow (0<10)$
Como $3+1=4$ es verdadera y $0<10$ es verdadera también, entonces la proposición es verdadera.
$(4=5) \Leftrightarrow (9+1=10)$
Recordemos que la doble condicional es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Por un lado no es cierto que $4=5$ mientras que sí es verdad que $9+1=10$. Por lo tanto la proposición es falsa.
$((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$
Vamos a ver la proposición por partes. Primero veamos que $((6<7) \lor (3^2=10))$ es una disyunción verdadera pues una de las proposiciones que la componen, $6<7$, lo es. Como $12<12^2$ es verdad, entonces la implicación tiene antecedente y subsecuente verdaderos y por lo tanto es verdadera.
De nuevo vamos a dividir la proposición en sus partes, $(-1<1) \land (1<-1)$ y $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Primero notemos que $(-1<1) \land (1<-1)$ es falsa, pues no es cierto que $1<-1$.
Ahora, veamos cómo es $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Nota que $12=13-1$ y $12=12-1+1$, entonces $13-1=12-1+1$. Entonces esta primera parte es verdad, mientras que $1+1=2$ pero no es cierto que $2<2$. Así que es falso que $1+1<2$. Entonces $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ es falso.
Como $(-1<1) \land (1<-1)$, $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ son ambas falsas, entonces $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$ es verdadero.
$\square$
Nota: En este tipo de ejercicios, ¿viste cómo se dieron las argumentaciones de las proposiciones en cada caso? El secreto aquí fue «desarmar» las proposiciones en partes más pequeñas. Esto lo hacemos pues recuerda que los conectores son binarios, esto significa que su valor de verdad depende del valor de verdad de las dos proposiciones que conectan.
Así, para ver cuál es el valor de verdad de $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$, lo que hicimos fue deshacerlo en sus partes. Una parte $A$ fue $(6<7) \lor (3^2=10)$ y la otra parte $B$ fue $12<12^2$. Entonces bastaba con verificar cuáles eran los valores de verdad de $A$ y $B$. Para ello, volvimos a «desarmar» a $A$ en sus partes «atómicas». Es decir, desarmamos $(6<7) \lor (3^2=10)$ en $6<7$ y $3^2=10$ y estudiamos el valor de verdad de cada uno de ellos. Usualmente este tipo de pensamiento de «desarmar un problema en sus partes» te ayudará a verificar o demostrar cosas más adelante.
Problema. Sean $P(x)$, $Q(x)$ y $R(x)$ los siguientes predicados:
$P(x): x \leq 4$
$Q(x): x +1$ es par.
$R(x): x> 0$
Si nuestro universo de discurso son los números enteros, ¿cuáles son los valores de verdad de las siguientes proposiciones?
$P(1)$
$P(1) \Rightarrow Q(1)$
$P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$
$R(-1) \lor P(2)$
$\neg R(-2) \land P(-2)$
Solución.
1.$P(1)$
Es verdadera, pues $1 \leq 4$.
2. $P(1) \Rightarrow Q(1)$
Como $P(1)$ es verdadera y además $1+1=2$ es par, entonces la proposición es verdadera.
3. $P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$
Vamos a dividir la proposición en partes. Primero notemos que $P(0)$ es verdad. Mientras que $R(5) \Rightarrow Q(0)$ es falsa, ya que es cierto que $5>0$ pero es falso que $0+1$ sea par. Entonces la proposición es falsa.
4. $R(-1) \lor P(2)$
Como $R(-1)$ es falsa pero $P(2)$ es verdad, entonces la proposición es verdadera.
5. $\neg R(-2) \land P(-2)$
Como $-2>0$ es falsa, entonces $\neg R(-2)$ es verdad. Además, $-2<4$ es verdad. De esta manera la proposición es verdadera.
$\square$
Problema. Considera los siguientes predicados:
$P(x): 2x>0$
$Q(x):x>0$
$R(x): x=20$
$T(x):x<0$
Determina la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, considerando que nuestro universo de discurso son los números enteros. Si la proposición no es verdadera, da un contraejemplo o explicación de ello.
$\forall x: (P(x) \Rightarrow Q(x))$
$\exists x: (Q(x) \land T(x))$
$\forall x: (R(x) \Rightarrow Q(x))$
$\exists ! x:(R(x))$
$ \nexists x :(Q(x) \land P(x))$
Solución.
$\forall x:(P(x) \Rightarrow Q(x))$
Nota que siempre que se cumple $2x>0$ entonces $x>0$ (más adelante demostrarás esto con toda formalidad, pero de momento lo daremos por cierto). Por lo tanto la proposición es verdadera.
$\exists x: (Q(x) \land T(x))$
Para que esto sucediera, necesitaríamos la existencia de al menos un elemento $x$ que cumpla $0<x$ y $x>0$, es decir necesitaríamos un elemento que sea positivo y negativo a la vez, pero esto no es posible. Por lo tanto la proposición es falsa.
$\forall x:(R(x) \Rightarrow Q(x))$
Lo que nos dice esta proposición es «Para todo número entero $x$ que cumpla $x=20$ entonces $x>0$» o dicho de otra manera: «Si un número entero es igual a 20, entonces será positivo.» Lo cuál es correcto, pues si el número es distinto a 20, la implicación será correcta (recuerda la tabla de verdad de la implicación), mientras que el único caso en donde la hipótesis se cumple es cuando $x=20$ y claramente es un número que cumple $x>0$. Entonces la proposición es verdadera.
$\exists ! x:(R(x))$
Esto nos quiere decir que existe un único número entero que sea igual a 20, e inmediatamente podemos saber que es verdadera, pero ¿A qué nos referiremos que un número sea igual a 20? Primero tendríamos que ponernos de acuerdo de qué significa la igualdad. Aunque ahora no lo haremos, piensa el cómo nos aseguraríamos de que es el único número entero que cumple esa propiedad. ¿Qué pasaría si no fuera cierto?
$ \nexists x: (Q(x) \land P(x))$
Lo que dice la proposición es que ningún número $x$ va a cumplir a la vez $x>0$ y $2x>0$, pero esto no es cierto, pues pensemos en $x=1$. Cumple $Q(x)$ ya que $1>0$ y cumple $P(x)$ porque $2\cdot 1=2>0$. Entonces podemos decir que es falso pues dimos un contraejemplo que contradijo la proposición.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Hasta ahora hemos visto proposiciones, variables proposicionales, conectores y fórmulas lógicas. Por ello, ya podemos decir cómo se manejan las proposiciones al combinarlas o qué significa que dos proposiciones sean equivalentes.
Sin embargo, hasta ahora no hemos trabajado con tanto rigor los objetos a los que nos referimos dentro de una proposición. Por ejemplo cuando decimos la proposición «Este número es impar» puede que sea o no verdadera, pero esto depende de una cosa: el contexto. ¿A qué número nos estamos refiriendo? Podríamos estar en la siguiente conversación: «Hay números distintos a los múltiplos de 2, por ejemplo el 3. Este número es impar.» A esto último, estando en contexto, ya le podríamos asociar un valor de verdad.
En general esto no es así. Podemos ir variando a qué número nos referimos. En ocasiones las proposiciones tienen una variable y, dependiendo el valor de esa variable, cambian su significado o su valor de verdad. En esta entrada formalizamos estas ideas y hablamos de cuantificadores, que nos permitirán «recorrer» todos los valores posibles de una variable.
Términos variables y predicados
Volvamos a nuestro ejemplo. Al tomar la proposición $P$ «el número es impar», podríamos referirnos al $1$, $2$, $3$, $80$ o $20,000$. Así, es más conveniente pensar en que la proposición depende de una variable como sigue:
$P(\text{el número})$ = «$\text{el número}$ es impar».
Visto de esta manera, $P(2)$ es la proposición «$2$ es impar». En general $P(x)$ es la proposición «$x$ es impar» y esta hace referencia a que el número es una variable que puede tomar distintos valores «permitidos». Observa que en este caso no tendría sentido decir si $P(\text{azul})$ es verdadero o falso. A este tipo de proposiciones que tienen una variable (o más), se les llama predicados.
¿Notas que tenemos que ponernos de acuerdo sobre cuál es el contexto sobre el que estamos hablando al momento de asignarle un valor a nuestra variable? Esto debido a que no podríamos decir que «azul es impar» o «la luna es impar». A este «conjunto» dentro del cual pueden tomar valores nuestras variables le llamamos universo de discurso. Aunque suena algo sofisticado, puedes pensarlo como el contexto al que nos estamos acoplando.
Es muy importante siempre tener claro el universo de discurso cuando usamos predicados. No será lo mismo estar hablando de número pares, que de números enteros. Sabemos que todos los números pares no son impares. Mientras que algunos números enteros son impares. Estas palabras enfatizadas son las que nos van a permitir hablar más sobre cómo es nuestro universo de discurso. No es lo mismo que solo un objeto del universo cumpla un predicado (tenga valor de verdad verdadero) a que todos los objetos de nuestro universo las cumplan.
Cuantificador universal
Cuando tenemos un predicado $P(x)$, no podemos decir si es verdadero o falso hasta que no hayamos decidido quién es exactamente el objeto $x$ dentro de nuestro universo de discurso del que estamos hablando. Pero lo que sí podemos hacer es pensar en si ninguno, alguno o todos los elementos de dicho universo de discurso hacen que $P(x)$ sea verdadero, o no. A esto se le llama cuantificar un predicado.
El primer cuantificador que nos interesa es el cuantificador universal que transforma un predicado en una afirmación de que todo objeto de nuestro universo de discurso hace que la proposición $P(x)$ sea verdadera. Dicho cuantificador universal puede pensarse como agregar un «Para todo $x$ en el universo de discurso,» antes del predicado $P(x)$ que nos interesa. Lo que esto hace es que transforma el predicado $P(x)$ en la proposición $\forall x: P(x)$, la cual acordamos que es cierta siempre y cuando cualquier objeto $x$ de nuestro universo de discurso hace que $P(x)$ sea cierta. Entonces la veracidad de $\forall x: P(x)$ depende fuertemente tanto de:
La proposición $P(x)$
El universo de discurso en el que estemos.
Cotidianamente también decimos simpemente «Para todo $x$, $P(x)$», pero es muy importante que el universo de discurso sea claro.
Veamos un ejemplo poco a poco. Consideremos el siguiente predicado:
$$P(x)= \text{$x$ es múltiplo de $2$.}$$
Este predicado no tiene ningún valor de verdad. Lo podemos pensar como que es una proposición cuyo contenido depende de una variable $x$ que no hemos decidido. Ahora acordemos como universo a los números múltiplos de $4$. A partir de ello, podemos crear la siguiente proposición con el cuantificador universal $\forall$:
$$\forall x \text{ múltiplo de $4$}: P(x).$$
En palabras «todo múltiplo de $4$ es múltiplo de $2$». Al cuantificar el predicado, ya se convierte en una proposición. ¿Es verdadera? Sí, en efecto, sin importar cuál $x$ tomemos que sea múltiplo de $4$, cumplirá que es múltiplo de $2$.
Pero, ¡cuidado! Podríamos estar trabajando en otro universo de discurso, donde los objetos que nos interesan son todos los enteros. Si ese fuera el caso, al cuantificar universalmente tendríamos lo siguiente:
$$\forall x \text{ entero}: P(x).$$
Esta es una proposición, pero es falsa, pues podemos encontrar un entero, digamos $5$, para el cual $P(5)=\text{$5$ es múltiplo de $2$.}$ es falso. Por ello, la proposición con el cuantificador es falsa.
Algunos otros ejemplos de cómo podemos usar este cuantificador son los siguientes. Observa cómo se deja claro el universo de discurso.
$\forall x$ número par, $x$ es múltiplo de 2.
$\forall x$ grupo cíclico, $x$ es generado por un único elemento.
$\forall x$ año bisiesto, $x$ tiene 366 días.
$\forall (x,y)$ vector en $\mathbb{R}^2$, $\norm{x+y}\leq\norm{x}+\norm{y}.$ *
Recuerda que ahora no es necesario que conozcamos a la perfección el universo de discurso del que estamos hablando en estos ejemplos. En estas entradas no nos interesa estudiar a los pares, a los grupos cíclicos, o a los años bisiestos. Los ponemos como ejemplos únicamente para ver que las ideas de lógica aplican a todos ellos. Por ejemplo para el segundo ejemplo el objetivo es que entiendas que siempre que consideremos un grupo cíclico (sea lo que signifique un grupo o un grupo cíclico), ese grupo es generado por un único elemento (sea lo que signifique que un grupo se genere por un único elemento). En este caso nuestro universo de discurso serán los grupos cíclicos, mientras que $P(x)$ es el predicado «$x$ es generado por un único elemento». En estos renglones sólo nos interesa entender cuándo estamos hablando de un universo de discurso, un cuantificador y un predicado.
Cuantificador existencial
El cuantificador «para todo» establece que una proposición es verdadera para todos los objetos de un universo de discurso. Pero esto no siempre pasa. Por ejemplo, pensemos en que nuestro universo de discurso es $$A=\{\text{pescados, reptiles, aves, piedras, felinos}\}$$ y nuestro predicado $P(x)$ es «Los gatos son $x$». En este caso no todas las formas de asignar un objeto del universo a la variable $x$ darán proposiciones verdaderas. Los gatos no son pescados, reptiles ni mucho menos piedras o aves. Pero los gatos sí son felinos. En este caso la asignación $x=\text{felinos}$ será la única en la que se cumpla el esquema proposicional.
El cuantificador existencial permite enunciar una proposición que acordamos que se vuelve verdadera cuando uno (o más) de los objetos del universo de discurso hacen que obtengamos una proposición verdadera. Así, una vez acordado un universo de discurso y un predicado $P(x)$, diremos que la proposición $\exists x:P(x)$ es verdadera cuando logremos encontrar algún $x$ para el cual $P(x)$ sea verdadera.
En palabras, esto se dice a veces como «existe $x$ en el universo de discurso que cumple $P(x)$», o simplemente como «existe $x$, $P(x)$», cuando el universo de discurso se sobreentiende.
Algunos ejemplos del uso de este cuantificador son los siguientes:
$\exists n$ número entero que es solución a $n^2=4$.
$\exists n$ número entero que cumple $e^{i\pi}+n=0.$ **
Nuevamente, es muy importante que se acuerde el universo de discurso para poder concluir la veracidad de una proposición que involucra un cuantificador existencial. Por ejemplo, la proposición
$$\exists x \text{ número real}: x^2=-1$$
es falsa, pues no existe tal real (al elevar un real al cuadrado siempre queda mayor o igual a cero), mientras que la proposición
$$\exists x \text{ número complejo}: x^2=-1$$
es verdadera, pues el número complejo $x=i$ cumple que $x^2=-1$ es verdadero.
Cuantificador «existe un único»
El cuantificador «existe» tiene una variante más restrictiva. Cuando decimos que existe al menos un elemento en nuestro universo de discurso que cumple una propiedad, también tenemos que puede haber $2$, $3$ o $20$ elementos que lo cumplen. Por ejemplo: «$\exists n$ número entero que es solución a $n^2=4$» tiene dos posibilidades, pues al tomar $n=-2$ o $n=2$ el predicado se transforma en una proposición verdadera.
Pero es muy frecuente en matemáticas que se busque que uno y sólo un elemento que haga verdadero a a un predicado. Para referirnos a estas ocasiones, usamos el cuantificador «$\exists!$», que se lee como «existe un único«. Por ejemplo, sabemos que el único número primo par es 2. Así que podríamos decir: «$\exists! x$ número entero que es primo y par».
La regla de asignación de verdad es que $\exists! x: P(x)$ será verdadera si hay un único $x$ del universo de discurso que haga que $P(x)$ sea verdadera. Si no hay, o hay más de uno, entonces $\exists! x:P(x)$ será falsa.
Otros ejemplos (algunos informales) de su uso son:
$\exists!x$ día de la semana tal que $x$ empieza con la letra L
$\exists!x$ número real tal que $x$ es neutro aditivo. ***
$\exists!n$ número entero que cumple $e^{i\pi}+n=0.$
¿Observas que la última oración se parece mucho al último ejemplo del cuantificador anterior? Y con esto no estamos contradiciendo nada, en el ejemplo anterior solo estamos diciendo «Existe un número entero $n$ que es solución a $e^{i\pi}+n=0$» con lo que queremos decir que existe al menos uno, mientras que en el último ejemplo, decimos «Existe un único número entero $n$ que es solución a $e^{i\pi}+n=0$». Aquí, el objetivo solo es ser más específicos, lo que quiere decir que sólo estamos dando información extra acerca de la proposición.
Tabla resumen de conjunciones y cuantificadores
A continuación resumimos en una tabla varios símbolos lógicos que hemos discutido.
Negaciones
$\neg$
Conjunciones
$\land$
Disyunciones
$\lor$
Implicaciones
$\Rightarrow$
Dobles implicaciones
$\Leftrightarrow$
Para todos los casos
$\forall$
Para al menos un caso
$\exists$
Para un único caso
$\exists!$
Combinando conectores y cuantificadores
Habiendo conocido los distintos cuantificadores, podríamos hacer afirmaciones un poco más extensas usando otros conectores lógicos en los predicados que usamos. Por ejemplo, pensemos en que nuestro universo de discurso son los números enteros. Consideremos los predicados $P(x)=x<0$ y $Q(x)=x<1$. Entonces podríamos decir
$$\forall \text{$x$ número entero: } (P(x) \Rightarrow Q(x))$$
En palabras: «Para todo número entero $x$, si $x$ es menor a 0, entonces $x$ es menor a 1». Esto es una afirmación verdadera.
También podríamos poner algo del estilo
$$\exists \text{$x$ número entero: } (x+3=8) \land (x^2-2=23).$$
Esta también es una afirmación verdadera pues $x=5$ es un número entero que cumple la proposición $x+3=8$ y la proposición $x^2-2=23$.
También podemos tener predicados con más de una variable e irlos cuantificando poco a poco. Por ejemplo, pensemos nuevamente a los números enteros como nuestro universo de discurso y $P(x,y)$ como la afirmación $x+y=0$. Tenemos que $P(2,-2)$ es verdadero, mientras que $P(2,2)$ es falso, pues es falso que $2+2=0$. Podemos cuantificar a $y$ con un existencial de unicidad para obtener lo siguiente: $$\exists ! y: P(x,y).$$ Esto todavía no es una proposición de la que podamos saber si es cierta o verdadera. Aunque $y$ ya está cuantificado, $x$ sigue siendo variable. Lo que sí es que entonces es un predicado que de la variable $x$ y ahora podemos cuantificarlo con respecto a $x$ para obtener, por ejemplo,
$$\forall x: (\exists! y: P(x,y)).$$
Aquí estaríamos diciendo «para cada número entero $x$, existe un único número entero $y$ tal que $x+y=0$». Dicho de otra forma, cada vez que consideramos un número entero $x$, digamos $3$, existirá un único número entero $y$ que cumplirá la ecuación $x+y=0$. En este caso ese número $y$ es $-3$, pues dijimos que $x=3$ y sólo hay un número que al sumarlo a $3$ nos da $0$.
Entender estas dobles cuantificaciones será crucial para entender, por ejemplo, la definición de límite en Cálculo Diferencial e Integral I.
Notas
Estas son algunas anotaciones del artículo y no es necesario que las sepas, únicamente son curiosidades o temas por aparte que forman parte de la cultura matemática.
* Esta se conoce como la desigualdad del triángulo y nos dice básicamente que la suma de la longitud de dos lados de un triángulo siempre será mayor a la longitud del tercer lado.
** Esta afirmación está relacionada con la llamada identidad de Euler y algunos piensan que es una de las ecuaciones más hermosas de las matemáticas. En otros cursos como Álgebra Superior 2 o Variable Compleja 1 puede que vuelvas a ver esta identidad con su demostración.
*** El único neutro aditivo es el $0$, y esto quiere decir que al sumarle este a cualquier otro número, dará el mismo número.
Más adelante…
Cuando estamos hablando de cuantificadores, también nos van a interesar sus negaciones. Por ejemplo, ¿a qué nos referiremos cuando digamos $\neg (\forall x P(x))$? ¿o cuando digamos $\neg (\exists x (P(x) \Rightarrow Q(x)))$? Lo primero que tenemos que entender es qué quiere decir negar un cuantificador universal y uno existencial. Eso es justo lo que estudiaremos en la siguiente entrada.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Imagina que definitivamente quieres comprar un helado. Cuando vas a la heladería, sólo venden un sabor. Esto tiene desventajas, por supuesto. Pero, ¿qué ventajas tiene que sólo haya un sabor de helado? Enlista todas las que puedas.
En los ejemplos siguientes encuentra el universo de discurso y su predicado.
$\forall x$ número par,$x$ es múltiplo de 2.
$\forall x$ año bisiesto, $x$ tiene 366 días.
$\forall (x,y)$ vector en $\mathbb{R}^2$, $\norm{x+y}\leq\norm{x}+\norm{y}$.
Considera el predicado $P(x)=«x$ es múltiplo de 11». Da cuatro universos de discurso tales que los siguientes enunciados sean ciertos:
$\forall x P(x)$
$\exists x P(x)$
$\exists! x P(x)$
$\nexists x P(x)$
Considera la proposición: $P(x,y,z)$ = «$x^3+y^3=z^3$». ¿Cuál de los siguientes enunciados representa la oración «No existen números enteros $x,y,z$ que cumplen $P(x,y,z)$»?:
$\forall x (\exists y (\exists z P(x,y,z)))$
$\nexists (x,y,z)P(x,y,z)$
$\forall x (\nexists(y,z)P(x,y,z))$
$\nexists x (\forall (x,y) P(x,y,z))$
¿El ejercicio anterior sólo tiene una solución? Si hay más de una opción correcta, ¿cómo argumentarías que dos enunciados representan el mismo enunciado?
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
