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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones de Chebyshev e hipergeométrica

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En las entradas anteriores hemos estudiado y encontrado soluciones en forma de series a algunas ecuaciones especiales de segundo orden. Hasta el momento hemos revisado las ecuaciones de Hermite, Laguerre, Bessel y Legendre, y para finalizar esta serie de entradas, echaremos un vistazo a la ecuación de Chebyshev que debe su nombre al matemático Pafnuty Chebyshev, y a la ecuación hipergeométrica.

Primero encontraremos la solución general a la ecuación de Chebyshev, la cual tiene la forma $$(1-t^{2})\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-t\frac{dy}{dt}+\lambda^{2}y=0$$ con $\lambda$ constante y $|t|<1$, alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$. Como hicimos para las ecuaciones de Hermite y Legendre, haremos mención de la relación que guarda la solución general con los polinomios de Chebyshev.

Posteriormente revisaremos la ecuación hipergeométrica que es de la forma $$t(1-t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(\gamma-(1+\alpha+\beta)t)\frac{dy}{dt}-\alpha \beta y=0$$ con $\alpha$, $\beta$ constantes. Veremos que $t_{0}=0$ es un punto singular regular, encontraremos la ecuación indicial de manera general, es decir, para cualesquiera $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$, y para finalizar resolveremos la ecuación para valores fijos de las constantes antes mencionadas.

Con este par de ecuaciones diferenciales finalizaremos la revisión de estas ecuaciones especiales, y entraremos a la recta final de la segunda unidad.

Ecuación de Chebyshev

En el video encontramos la solución general a la ecuación de Chebyshev alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$, y mencionamos la relación que tiene la solución general encontrada con los polinomios que llevan el mismo nombre.

Ecuación hipergeométrica

En el último video de esta entrada probamos que $t_{0}=0$ es un punto singular regular para la ecuación hipergeométrica, posteriormente encontramos la ecuación indicial asociada, y posteriormente encontramos una solución a la ecuación diferencial cuando $\gamma=\frac{1}{2}$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Investiga los cuatro primeros polinomios de Chebyshev. Prueba que son solución particular a la ecuación de Chebyshev para $\lambda=0,1,2,3$, respectívamente.
  • Encuentra la solución general a la ecuación de Chebyshev para $\lambda=-1$.
  • En el segundo video mencionamos que para $\gamma=\frac{1}{2}$ la ecuación indicial asociada a la ecuación hipergeométrica tiene raíces $r_{1}=\frac{1}{2}$, $r_{2}=0$, y encontramos una primera solución usando $r_{1}$. Encuentra una segunda solución usando $r_{2}$ (encuentra al menos los primeros tres coeficientes de la serie solución).
  • Encuentra una solución a la ecuación hipergeométrica cuando $\alpha=1$, $\beta=1$, $\gamma=0$.

Más adelante

Con esta entrada finalizamos la revisión de algunas ecuaciones diferenciales especiales de segundo orden que se resuelven por los métodos de series estudiados anteriormente.

Casi concluimos la segunda unidad del curso, pero antes estudiaremos un poco el concepto de la transformada de Laplace, veremos algunas de sus principales propiedades y utilizaremos esta transformada para resolver ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes.

¡Hasta la próxima!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones de Bessel y Legendre

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio a algunas ecuaciones especiales de segundo orden que aparecen con frecuencia en otras áreas de estudio, principalmente en la física. En particular, encontramos soluciones por series a las ecuaciones de Hermite y Laguerre, y mencionamos cómo los polinomios de orden $n$ que llevan los mismos nombres son soluciones particulares a las ecuaciones diferenciales para $\lambda=n$, respectivamente.

Ahora es turno de revisar las ecuaciones de Bessel y Legendre, debidas a los matemáticos Friedrich Wilhelm Bessel y Adrien-Marie Legendre. Resolveremos la ecuación de Bessel alrededor del punto singular regular $t_{0}=0$ para algunos casos del valor $\lambda$. Por otra parte resolveremos la ecuación de Legendre alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$, y mencionamos la relación de la ecuación de Legendre con los polinomios que llevan el mismo nombre.

Ecuación de Bessel

En el primer video hallamos la ecuación indicial para la ecuación de Bessel de orden $\lambda$ alrededor del punto singular regular $t_{0}=0$ $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+(t^{2}-\lambda^{2})y=0, \,\,\, t>0.$$ Posteriormente encontramos una solución a la misma ecuación cuando $\lambda=0$.

En el segundo video resolvemos la ecuación de Bessel de orden $\lambda=1$ bajo las mismas hipótesis del caso anterior.

Ecuación de Legendre

En el último video de la entrada resolvemos la ecuación de Legendre de forma general alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$ y hacemos una importante observación acerca de las soluciones a dicha ecuación.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra una segunda solución a la ecuación de Bessel de orden cero $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+t^{2}y=0$$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$, $t>0$.
  • Encuentra una segunda solución a la ecuación de Bessel de orden uno $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+(t^{2}-1)y=0$$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$, $t>0$.
  • Halla una solución a la ecuación de Bessel de orden $\frac{1}{2}$ $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+(t^{2}-\frac{1}{2})y=0$$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$, $t>0$.
  • Investiga los primeros cuatro polinomios de Legendre. Prueba que son solución particular a la ecuación de Legendre $$(1-t^{2})\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+\lambda(\lambda+1)y=0$$ alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$ para los valores $\lambda=0,1,2,3$, respectivamente.
  • Mediante el método de soluciones por series de potencias, halla una solución a la ecuación de Legendre con $\lambda=4$ $$(1-t^{2})\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+20y=0.$$ En general, el $n$-ésimo polinomio de Legendre es solución a la ecuación de Legendre con $\lambda=n$.
  • Verifica que $t_{0}=1$ es un punto singular regular para la ecuación de Legendre y encuentra una solución cerca de $t_{0}=1$, $t>0$.

Más adelante

Hasta el momento hemos revisado cuatro de las seis ecuaciones especiales de segundo orden que vamos a estudiar. Finalizaremos esta serie de entradas revisando la ecuación de Chebyshev y la ecuación hipergeométrica.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones de Hermite y Laguerre

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En entradas anteriores desarrollamos métodos para resolver la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes variables de la forma $$a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$$ alrededor de puntos ordinarios y cerca de puntos singulares regulares.

Utilizaremos estos métodos para resolver en esta y en las próximas dos entradas algunas ecuaciones especiales que se encuentran en otras áreas del conocimiento, principalmente en la física. Nos enfocaremos exclusivamente en encontrar soluciones a dichas ecuaciones, por lo que no hablaremos de las aplicaciones de éstas. Iniciamos en esta entrada con las ecuaciones de Hermite y Laguerre debidas a los matemáticos Charles Hermite y Edmond Laguerre.

La ecuación de Hermite tiene la forma $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+\lambda y=0$$ con $t \in \mathbb{R}$ y $\lambda$ constante. Encontraremos una solución general con desarrollo en serie de potencias alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$.

Por otro lado, la ecuación de Laguerre tiene la forma $$t\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(1-t)\frac{dy}{dt}+\lambda y=0$$ con $\lambda$ constante. Encontraremos una solución particular a dicha ecuación cerca del punto singular regular $t_{0}=0$ y tomando $t>0$. Finalmente veremos las dificultades para encontrar de forma explícita una segunda solución linealmente independiente a la primera, según la fórmula que encontramos en el desarrollo general del método de Frobenius.

Ecuación de Hermite

En el video encontramos la solución general a la ecuación de Hermite alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$, además de hacer una observación importante acerca de la solución general para los casos cuando $\lambda$ es un entero par no negativo.

Ecuación de Laguerre

En el video encontramos una solución particular a la ecuación de Laguerre cerca del punto singular regular $t_{0}=0$. Posteriormente hablamos de la dificultad para encontrar una segunda solución de manera explícita, aún cuando el método de Frobenius nos ofrece la forma que debe tener esta segunda solución. Finalmente hacemos una importante observación acerca de la solución encontrada para los casos cuando $\lambda$ es un entero positivo.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Investiga los primeros cuatro polinomios de Hermite. Prueba que son solución particular a la ecuación de Hermite cuando $\lambda=0,2,4,6$ respectivamente. En general, el $n$-ésimo polinomio de Hermite será solución particular a la ecuación de Hermite cuando $\lambda=2n$.
  • Resuelve la ecuación de Hermite $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+8y=0$$ alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$, siguiendo paso a paso el método utilizado en el primer video (es decir, no uses únicamente la fórmula final del video).
  • Investiga los primeros cuatro polinomios de Laguerre. Prueba que son solución particular a la ecuación de Laguerre cuando $\lambda=0,1,2,3$ respectivamente. En general, el $n$-ésimo polinomio de Laguerre será solución particular a la ecuación de Laguerre cuando $\lambda=n$.
  • Encuentra una solución a la ecuación de Laguerre $$t\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(1-t)\frac{dy}{dt}+4y=0$$ alrededor del punto singular regular $t_{0}=0$, siguiendo paso a paso el método de Frobenius (nuevamente, no utilices únicamente la fórmula final del segundo video).

Más adelante

Hemos encontrado soluciones a dos de las seis ecuaciones especiales que revisaremos en esta serie de entradas. En la próxima continuaremos hablando de estas funciones especiales. En particular estudiaremos las ecuaciones de Bessel y Legendre.

¡Hasta la próxima!

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Solución por series cerca de un punto singular regular

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior resolvimos la ecuación diferencial de Euler, cerca del punto singular $t_{0}=0$, como un caso particular de las ecuaciones que consideraremos en esta ocasión. Vimos que la forma que tenga la solución general depende de las raíces de la ecuación cuadrática $r^{2}+(\alpha -1)r+\beta=0$.

Es turno de revisar el caso cuando queremos encontrar una solución en forma de serie cerca de un punto singular ecuación diferencial $$a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0.$$ Clasificaremos a los puntos singulares en dos tipos: regulares e irregulares. Debido a la complejidad para encontrar soluciones alrededor de puntos singulares irregulares, nos enfocaremos exclusivamente en los puntos singulares regulares, y trataremos de generalizar el método utilizado para resolver la ecuación de Euler, el cual lleva el nombre de método de Frobenius, gracias al matemático Ferdinand Georg Frobenius.

Para facilitar el desarrollo de la teoría, en esta entrada siempre supondremos que el punto singular regular sobre el que trabajaremos es $t_{0}=0$. En la práctica, si tenemos un punto singular $t_{0}\neq 0$, basta con hacer el cambio de variable $z=t-t_{0}$.

Consideraciones generales. Solución cuando la ecuación indicial tiene dos raíces distintas que no difieren por un entero

En el primer video, damos las definiciones de punto singular regular e irregular y damos las consideraciones generales con las que trabajaremos a lo largo de toda la entrada. Además presentamos la ecuación indicial de la cual depende la forma de la solución general a la ecuación $$a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$. Finalmente resolvemos el primer caso del método de Frobenius cuando la ecuación indicial $r^{2}+(b_{0}-1)r+c_{0}=0$ tiene raíces distintas que no difieren por un entero.

Solución cuando la ecuación indicial tienen raíces repetidas

En el segundo video resolvemos el segundo caso del método de Frobenius, cuando la ecuación indicial tiene dos raíces repetidas.

Solución cuando al ecuación indicial tiene raíces que difieren por un entero

Finalizamos esta serie de videos con el último caso del método de Frobenius, cuando la ecuación indicial tiene dos raíces que difieren por un entero.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que si $r_{1}$, $r_{2}$ son raíces complejas de la ecuación indicial $r^{2}+(b_{0}-1)r+c_{0}=0$, entonces $F(r_{1}+k)$ y $F(r_{2}+k)$ no se anulan para cualquier $k\geq1$. Por lo tanto la solución general a la ecuación diferencial tiene la misma forma que cuando consideramos raíces reales que no difieren por un entero, pero con valores complejos.
  • Encuentra una expresión para la solución general del ejercicio anterior pero con valores únicamente reales.
  • Muestra que las soluciones $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ encontradas en el caso cuando la ecuación indicial tiene raíces repetidas, son linealmente independientes.
  • Encuentra los radios de convergencia para cada solución dada en forma de series en esta entrada. (Hint: Las demostraciones son análogas al caso de radios de convergencia para soluciones por series de potencias alrededor de puntos ordinarios).

Más adelante

Hemos concluido de desarrollar la teoría que involucra soluciones en series, tanto alrededor de un punto ordinario como cerca de un punto singular regular. Como te pudiste dar cuenta en esta entrada no resolvimos ejemplos, ya que en las siguientes entradas emplearemos esta teoría para resolver algunas ecuaciones especiales que se usan principalmente en la física. En la siguiente entrada en particular, estudiaremos las ecuaciones de Hermite y Laguerre.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuación diferencial de Euler

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior desarrollamos la teoría de soluciones en series de potencias alrededor de un punto ordinario de la ecuación diferencial $$a_{0}(t)\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0.$$ En cierta forma el teorema de existencia de soluciones con desarrollo en series de potencias alrededor del punto ordinario que probamos nos facilitó las cosas.

Sin embargo, cuando tenemos puntos singulares la teoría falla. Es por eso que debemos encontrar un método alternativo para estudiar soluciones alrededor de puntos singulares a nuestra ecuación diferencial. Antes de comenzar de manera general, lo primero que haremos será considerar una ecuación diferencial en particular, con $t_{0}=0$ como punto singular, la cual es bastante sencilla de resolver: esta es la ecuación de Euler, debido al famoso matemático Leonhard Euler (si no lo conoces o quieres saber acerca de él, te dejo el siguiente enlace a su biografía), y que tiene la forma $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+\alpha t\frac{dy}{dt}+\beta y=0$$ donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes.

Resolveremos esta ecuación y en la próxima entrada trataremos de generalizar este mismo resultado a una clase más general de ecuaciones con puntos singulares.

Vamos a comenzar!

Leonhard Euler
Leonhard Euler. Blog de matemática y TIC’s (2018).

Ecuación de Euler

En el primer video resolvemos de manera general la ecuación de Euler para cualquier intervalo que no contenga al punto singular $t_{0}=0$, y en el segundo video resolvemos un ejemplo particular de este tipo de ecuaciones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que si $(\alpha -1)^{2}-4\beta=0$ entonces $W[t^{r_{1}}, t^{r_{1}}\ln{t}]\neq0$, donde $r_{1}$ es la única raíz de la ecuación cuadrática $r^{2}+(\alpha -1)r+\beta=0$. Por tanto, la solución general a la ecuación de Euler cuando $(\alpha -1)^{2}-4\beta=0$ y $t>0$ es $y(t)=c_{1}t^{r_{1}}+c_{2}t^{r_{1}}\ln{t}$.
  • Si $(\alpha -1)^{2}-4\beta<0$ entonces las raíces $r_{1}$ y $r_{2}$ a la ecuación $r^{2}+(\alpha -1)r+\beta=0$ son complejas. Prueba que $t^{r_{1}}$ y $t^{r_{2}}$ son efectivamente soluciones a la ecuación de Euler, y que además son linealmente independientes. Por tanto, la solución general a la ecuación de Euler cuando $(\alpha -1)^{2}-4\beta<0$ y $t>0$ es $y(t)=c_{1}t^{r_{1}}+c_{2}t^{r_{2}}$. (Sigue el hint dado en el video para hacer las cuentas más sencillas).
  • La solución general encontrada en el problema anterior es una función de variable compleja. Haz elecciones adecuadas de $c_{1}$ y $c_{2}$ para ver que si $r_{1}=a+bi$ y $r_{2}=a-bi$, entonces $t^{a}cos(b\ln{t})$ y $t^{a}sin(b\ln{t})$ son soluciones a la ecuación de Euler para el caso del ejercicio anterior. Prueba que éstas son soluciones linealmente independientes, y por tanto $y(t)=k_{1}t^{a}cos(b\ln{t})+k_{2}t^{a}sin(b\ln{t})$ es solución general a la ecuación de Euler, donde $y$ es una función de valores reales.
  • Resolver la ecuación $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+2t\frac{dy}{dt}+4y=0$$ tanto para $t>0$ como para $t<0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}-7t\frac{dy}{dt}+9y=0; \,\,\,\,\, y((1)=0, \frac{dy}{dt}(1)=2, t>0.$$

Más adelante

Una vez que hemos encontrado la solución general a la ecuación de Euler, lo siguiente tratar de utilizar este mismo método para resolver una clase más general de ecuaciones diferenciales con puntos singulares. Dado que algunas de estas ecuaciones serán bastante complicadas de resolver, clasificaremos los puntos singulares en dos tipos: regulares e irregulares, y nos enfocaremos exclusivamente a resolver ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares regulares.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»