La vida es buena por sólo dos cosas, descubrir y enseñar las matemáticas.
– Simeon Poisson
Introducción
Bienvenidos a la primera clase del curso, en esta entrada conoceremos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo clasificarlas y presentaremos una parte de la terminología elemental que usaremos a lo largo del curso.
Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. Muchos de los fenómenos naturales que ocurren en el universo involucran cambios y si logramos crear modelos matemáticos que los describan, sin duda, la derivada será una herramienta fundamental que estará presente. Sabemos que la derivada $\dfrac{dy}{dx} = f'(x)$ de la función $f$ es la razón a la cual la cantidad $y = f(x)$ está cambiando respecto de la variable independiente $x$, es natural, entonces, que las ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir el universo cambiante. Una ecuación que relacione una función desconocida con una o más de sus derivadas se llama ecuación diferencial.
Ecuaciones diferenciales
Definición: Una Ecuación Diferencial (ED) es cualquier ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
Al tratarse de un curso introductorio, sólo trabajaremos con ecuaciones diferenciales que contienen sólo una variable independiente, estas ecuaciones tienen un nombre particular.
Definición: Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) es una ecuación diferencial que contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.
El reto al que nos enfrentamos con las ecuaciones diferenciales es hallar la función involucrada que depende de la variable independiente. Supongamos que tenemos la función
$$y = f(x) = 2e^{x^{2}}$$
Esta función es derivable en todo $\mathbb{R}$, si la derivamos obtenemos otra función dada de la siguiente forma.
$$\dfrac{dy}{dx} = f'(x) = 4xe^{x^{2}}$$
Este resultado se puede reescribir como
$$\dfrac{dy}{dx} = 2x(2e^{x^{2}})$$
Podemos observar que lo que está entre paréntesis es de nuevo la función $y = 2e^{x^{2}}$ , si la sustituimos obtenemos como resultado la siguiente ecuación.
$$\dfrac{dy}{dx} = 2xy$$
Este resultado corresponde a una ecuación diferencial ordinaria, pues contiene la derivada de la variable dependiente $y$ con respecto a la variable independiente $x$, esto es $\dfrac{dy}{dx}$.
Ahora imagina que lo primero que vemos es la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = 2xy$ y lo que debemos de hacer es obtener la función $f(x) = y$. ¿Cómo la obtendrías?. ¡Este es el reto!.
Básicamente el objetivo del curso será desarrollar distintos métodos para resolver los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias que se puedan presentar, analizaremos las circunstancias en las que aparecen y la forma en que surgen con el fin de describir o modelar fenómenos físicos en términos matemáticos.
Notación
En la mayor parte del curso utilizaremos la notación de Leibniz.
$$\dfrac{dy}{dx}, \hspace{0.4cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, \hspace{0.4cm} \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}, \hspace{0.4cm} \cdots,$$
En este caso la expresión $\dfrac{d}{dx}$ sirve como un operador que indica una derivación de la variable dependiente $y$ con respecto a la variable independiente $x$.
En ocasiones para ser más compactos utilizaremos la notación prima o también conocida como notación de Lagrange.
$$y^{\prime}, \hspace{0.4cm} y^{\prime \prime}, \hspace{0.4cm} y^{\prime \prime\prime}, \hspace{0.4cm} \cdots$$
En el caso de esta notación, a partir de la cuarta derivada ya no se colocan primas, sino números entre paréntesis, dicho número indica el grado de la derivada.
$$y^{(4)}, \hspace{0.4cm} y^{(5)}, \hspace{0.4cm} \cdots, \hspace{0.4cm} y^{(n)}$$
En este curso haremos mayor uso de la notación de Leibniz debido a que indica con claridad las variables independientes y dependientes. Por ejemplo, en la ecuación
$$\dfrac{dx}{dt} + 8x = 0$$
se observa de forma inmediata que el símbolo $x$ representa a la variable dependiente, mientras que $t$ a la variable independiente.
Cuando se trata de resolver problemas en contextos del mundo real relacionados con Física o ingeniería por ejemplo, es común utilizar la notación de Newton.
$$\dot{y}, \hspace{0.4cm} \ddot{y}, \hspace{0.4cm} \dddot{y}, \hspace{0.4cm} \cdots$$
Es común utilizar esta notación cuando la variable independiente corresponde al tiempo $t$.
$$\dfrac{dy}{dt} = \dot{y}(t)$$
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Para comenzar será importante clasificar a las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad.
Un primer tipo de ecuaciones diferenciales son las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) que, como se definieron anteriormente, son aquellas que relacionan una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son:
$$\dfrac{dy}{dx} + 5y = e^{x}, \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{dy}{dx} + 6y = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{dy}{dt} = 2x + y$$
Otro tipo de ecuaciones diferenciales son las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), estas ecuaciones presentan las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales son:
$$\dfrac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = 0, \hspace{1cm} \dfrac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} = \dfrac{\partial^{2}z}{\partial t^{2}} -2\dfrac{\partial z}{\partial t} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial u}{\partial y} = – \dfrac{\partial v}{\partial x}$$
En este curso no estudiaremos a las ecuaciones diferenciales parciales.
El orden de una ecuación diferencial representa el orden de la derivada más alta presente en la ecuación. Así, la ecuación
$$\dfrac{d^{2} y}{dx^{2}} + 5 \left( \dfrac{dy}{dx}\right) ^{3} -4y = e^{x}$$
es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Importante, no confundir orden de la derivada con el grado o potencia de las derivadas.
Una EDO de $n$-ésimo orden se puede expresar como una variable dependiente empleando la forma general
$$F(x, y, y^{\prime}, \cdots , y^{(n)}) = 0 \tag{1} \label{1}$$
Donde $F$ es una función con valores reales de $n + 2$ variables. Por motivos teóricos debemos suponer que es posible resolver la EDO anterior únicamente para la derivada de mayor grado $y^{(n)}$ en términos de las $n + 1$ variables restantes, es decir, suponemos que se puede resolver la siguiente ecuación.
$$\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} = f(x, y, y^{\prime}, \cdots , y^{(n – 1)}) \tag{2} \label{2}$$
Donde $f$ es una función continua con valores reales. A la ecuación (\ref{2}) se le denomina forma normal de (\ref{1}). En ocasiones será útil utilizar las formas normales
$$\dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = f(x, y, y^{\prime})$$
para representar ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, respectivamente.
Por ejemplo, la forma normal de la ecuación diferencial de primer orden
$$4x \dfrac{dy}{dx} + y = x$$
es
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x -y}{4x}$$
Para $x \neq 0$. En este caso la función $f$ sería
$$f(x, y) = \dfrac{x -y}{4x}$$
Mientras que la forma general de la misma ecuación es
$$F \left( x, y , \dfrac{dy}{dx} \right) = 4x \dfrac{dy}{dx} + y -x = 0$$
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden ocasionalmente se escriben en lo que se conoce como la forma diferencial.
$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \tag{3} \label{3}$$
Anteriormente vimos que la forma normal de la ecuación diferencial dada es
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x -y}{4x}$$
Haciendo de un abuso de notación podemos escribir a esta ecuación como
$$4x dy = (x -y) dx$$
O bien,
$$(y -x) dx + 4x dy = 0$$
Esta es la correspondiente forma diferencial, en este caso
$$M(x, y) = y -x \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(x, y) = 4x$$
Con este ejemplo encontramos tres formas distintas de representar a la misma ecuación diferencial. Veremos más adelante que cada forma de representación nos será de utilidad cuando intentemos encontrar a la función dependiente.
- Clasificación por linealidad
Una ecuación diferencial ordinaria de $n$-ésimo orden (\ref{1}) es lineal si $F$ es lineal en $y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}$, es decir, una EDO es lineal si se puede escribir como
$$a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n -1}(x) \dfrac{d^{n -1}y}{dx^{n -1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \tag{4} \label{4}$$
Cumpliendo las siguientes propiedades:
- La variable dependiente $y$, así como todas sus derivadas $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \cdots, y^{(n)}$ son de primer grado, es decir, la potencia de cada uno de los términos que involucran a $y$ es $1$.
- Los coeficientes $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ de $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \cdots, y^{(n)}$, respectivamente, así como la función $g(x)$ dependen a lo sumo de la variable independiente $x$.
Una ecuación diferencial ordinaria no lineal simplemente es una ecuación que no es lineal, es decir, que no cumple con las propiedades anteriores.
La ecuación
$$4x \dfrac{dy}{dx} + y = x$$
claramente es lineal, mientras que la ecuación
$$\dfrac{d^{2} y}{dx^{2}} + 5 \left( \dfrac{dy}{dx}\right) ^{3} -4y = e^{x}$$
es no lineal debido a que la primera derivada de la variable dependiente $y$ no es de primer grado, sino de grado $3$.
Ejemplo: Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales.
- $\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} + 3x \dfrac{dy}{dx} -5y = e^{x}$
- $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \sin (y) = 0$
- $(1-y) y^{\prime} + 2y = e^{x}$
Solución:
En la ecuación
$$\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} + 3x \dfrac{dy}{dx} -5y = e^{x}$$
observamos que se trata de una ecuación diferencial ordinaria, pues la variable dependiente $y$ sólo depende de una variable independiente, en este caso de $x$. Por otro lado, observamos que la derivada más alta es $\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}$ , por lo tanto el orden de la ecuación es $3$, es decir, es una ecuación diferencial de tercer orden. Finalmente vemos que se trata de una ecuación lineal, pues la potencia de los términos que involucran a $y$ es $1$ y además la función $g(x) = e^{x}$ sólo depende de la variable independiente.
En la ecuación
$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \sin (y) = 0$$
notamos que corresponde a una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden ya que la derivada más alta es $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$. En este caso la ecuación es no lineal ya que la función $\sin(y)$ no es lineal e involucra a la variable dependiente.
Finalmente, en la ecuación
$$(1-y) y^{\prime} + 2y = e^{x}$$
se observa que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y que es no lineal ya que el coeficiente de $y^{\prime}$, la función $(1 -y)$, depende de la variable dependiente.
$\square$
Como podemos notar, para deducir si una ecuación diferencial es lineal o no es conveniente escribirla en la forma (\ref{4}) y verificar las dos propiedades de linealidad.
De acuerdo a (\ref{4}), las ecuaciones diferenciales de primer orden ($n = 1$) y segundo orden ($n = 2$) se pueden escribir de forma general como
$$a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \tag{5} \label{5}$$
y
$$a_{2}(x) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \tag{6} \label{6}$$
Respectivamente.
Hemos concluido con esta entrada.
Tarea Moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Definir el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias y establecer si son lineales o no lineales.
- $(1 -x) y^{\prime \prime} -4xy^{\prime} + 5y = \cos(x)$
- $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sqrt {1 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}}$
- $x \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} -\left( \dfrac{dy}{dx} \right) ^{4} + y = 0$
- Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden son lineales en la variable dependiente indicada comparándola con la ecuación (\ref{4}). (es decir, considera primero a una variable como dependiente de la otra y reescribe la ecuación en la forma general (\ref{4}) para deducir si es lineal o no, posteriormente intercambia al papel de las variables y vuelve a ver si la ecuación es lineal o no).
- $(y^{2} -1) dx + x dy = 0$, $\hspace{0.5cm}$ en $y$, $\hspace{0.2cm}$ en $x$
- $u dv + (v + uv -ue^{u}) du = 0$, $\hspace{0.5cm}$ en $v$, $\hspace{0.2cm}$ en $u$
Más adelante …
Como se mencionó, uno de los objetivos es hallar a la función involucrada que depende de la variable independiente, a esta función formalmente se le conoce como función solución de la ecuación diferencial. Antes de estudiar cómo obtener estas funciones solución será conveniente primero estudiar sus propiedades generales.
En la siguiente entrada comenzaremos a estudiar lo relacionado a la solución (o soluciones) de una ecuación diferencial.
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
