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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por variación de parámetros

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

Es momento de estudiar el caso no homogéneo, es decir, ecuaciones del tipo $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=g(t)$$ donde la función $g$ no es la función constante cero. El primer método que estudiaremos es el de variación de parámetros que es, en cierta parte, análogo al método de variación de parámetros para ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden, y que puedes encontrar en el siguiente enlace.

El teorema principal de esta entrada nos dice que la solución general a una ecuación lineal no homogénea de segundo orden puede verse como la suma de la solución general a la ecuación homogénea asociada, que denotaremos por $y_{H}$, y una solución particular a la ecuación no homogénea denotada por $y_{P}$.

Dado que en entradas anteriores estudiamos ecuaciones lineales homogéneas y sabemos cómo encontrar su solución general, nos enfocaremos en encontrar únicamente la solución particular. El método de variación de parámetros nos ayudará a resolver este problema.

Vamos a comenzar!

Soluciones a ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden

En el video demostramos que la solución general a una ecuación lineal no homogénea de segundo orden puede verse como la suma de la solución general a la ecuación homogénea asociada y una solución particular a la ecuación no homogénea denotada.

Método de variación de parámetros

En el primer video desarrollamos el método de variación de parámetros para encontrar a la solución particular $y_{P}$. En el segundo video empleamos este método para resolver dos ejemplos particulares.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra una expresión para $u_{2}(t)$ similar a la encontrada para $u_{1}(t)$ en el segundo video: $$u_{1}(t)=-\int \frac{g(t)y_{2}(t)}{W[y_{1},y_{2}](t)} dt$$ con $u_{1}(t)$, $u_{2}(t)$ que satisfacen $$y_{P}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)$$ donde $y_{P}(t)$ es una solución particular a la ecuación diferencial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=g(t)$$ y $y_{1}$, $y_{2}$ son soluciones a la ecuación homogénea asociada. (Revisa el video para mayor referencia).
  • Prueba que $y_{P}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)$ es solución a la ecuación diferencial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=g(t)$$ una vez que has encontrado las expresiones para $u_{1}(t)$ y $u_{2}(t)$.
  • Resuelve la ecuación diferencial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=3e^{-t}$$ por el método de variación de parámetros.
  • Resuelve el problema de condición inicial $$3\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+4\frac{dy}{dt}+y=e^{-t}\sin{t}; \,\,\,\,\,\, y(0)=1, \frac{dy}{dt}(0)=0.$$

Más adelante

Hemos presentado un primer método para resolver ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. En la siguiente entrada estudiaremos otro método de resolución, en particular para resolver ecuaciones de la forma $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=g(t)$$ donde $a$, $b$ y $c$ son constantes, $a \neq 0$ y en la función $g(t)$ aparecen funciones exponenciales, polinómicas y funciones $\sin{\beta t}$ y $\cos{\beta t}$.

El método que estudiaremos será llamado coeficientes indeterminados.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

Al comienzo de la segunda unidad, revisamos las propiedades más importantes de las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. En particular, vimos que para encontrar la solución general basta con encontrar dos soluciones particulares que sean linealmente independientes, y la combinación lineal de estas será la solución general a la ecuación.

Pondremos en práctica lo aprendido anteriormente para resolver ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, es decir, de la forma $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=0$$ donde $a$, $b$ y $c$ son constantes y $a \neq 0$. Observaremos que las soluciones deben ser de la forma $e^{rt}$, y si hallamos los valores de $r$ que satisfagan la ecuación diferencial, entonces podremos encontrar la solución general.

Finalmente analizaremos tres distintos casos que se presentan cuando buscamos la solución general a la ecuación diferencial, los cuales dependen de la ecuación $$ar^{2}+br+c=0$$ que aparece durante el desarrollo de la solución. Por supuesto, estos casos dependerán de las raíces de dicha ecuación.

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces reales diferentes

Analizamos cómo deben ser las soluciones a la ecuación $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=0$$ y suponiendo que $y_{0}(t)=e^{rt}$ es una solución, hallamos la solución general a la ecuación. En particular, revisamos el caso cuando las dos raíces de la ecuación $$ar^{2}+br+c=0$$ son reales y distintas, y resolvemos un ejemplo.

Raíces reales repetidas

En este video revisamos el caso cuando las dos raíces de la ecuación $$ar^{2}+br+c=0$$ son iguales, y resolvemos un ejemplo para mostrar lo desarrollado.

Raíces complejas

En el último video de esta entrada revisamos el caso cuando las dos raíces de la ecuación $$ar^{2}+br+c=0$$ son complejas, vemos que las soluciones complejas se comportan de manera similar a las soluciones con valores reales, y como buscamos soluciones reales, transformamos la solución compleja en una real.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Resuelve el problema de valor inicial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-6\frac{dy}{dt}+y=0; \,\,\,\,\,\, y(0)=1, \frac{dy}{dt}(0)=0.$$
  • Prueba que $\{e^{rt}, te^{rt}\}$ es un conjunto linealmente independiente. Por tanto, para el caso cuando $$ar^{2}+br+c=0$$ tiene raíces repetidas, la solución general a la ecuación $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=0$$ efectivamente es la que se muestra en el video correspondiente.
  • Resuelve el problema de condición inicial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=0; \,\,\,\,\, y(0)=1, \frac{dy}{dt}(0)=0.$$
  • Prueba que si $r_{1}=w + iz$ y $r_{2}=w – iz$, entonces $\{e^{r_{1}t}, e^{r_{2}t}\}$ es un conjunto linealmente independiente. Por tanto, para el caso cuando $$ar^{2}+br+c=0$$ tiene raíces complejas, la solución general a la ecuación $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=0$$ es la combinación lineal de estas dos funciones.
  • Prueba que $$W[e^{wt}\cos{zt}, e^{wt}\sin{zt}]\neq 0$$ para el caso del ejercicio anterior, y por tanto la combinación lineal de estas dos funciones es la solución general a la ecuación diferencial.
  • Resuelve el problema de condición inicial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\frac{dy}{dt}+2y=0; \,\,\,\,\, y(0)=1, \frac{dy}{dt}(0)=0.$$

Más adelante

En la siguiente entrada comenzaremos a estudiar el caso no homogéneo de las ecuaciones lineales de segundo orden, es decir, ecuaciones de la forma $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=g(t)$$ donde la función $g$ no es la constante cero.

En particular, resolveremos este tipo de ecuaciones por el método de variación de parámetros, que es análogo al método de variación de parámetros para resolver ecuaciones no lineales de primer orden.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de reducción de orden

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior estudiamos las propiedades más importantes que cumple el conjunto de soluciones a una ecuación lineal homogénea de segundo orden, que tienen la forma $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0.$$ Si encontramos dos soluciones $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ tales que formen un conjunto fundamental en un mismo intervalo $I$, entonces $y(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)$ será la solución general a la ecuación diferencial en $I$.

A continuación, vamos a suponer que conocemos una solución $y_{1}(t)$ a la ecuación, y desarrollaremos un método, conocido como reducción de orden, que nos permitirá encontrar una segunda solución $y_{2}(t)$ de tal manera que $\{y_{1}(t), y_{2}(t)\}$ formen un conjunto fundamental de soluciones.

Reducción de orden

En el video desarrollamos de manera general el método de reducción de orden, dada una solución $y_{1}(t)$, y suponiendo que la solución general es de la forma $u(t)y_{1}(t)$ para cierta función $u$, y posteriormente aplicamos este método para resolver un ejemplo en particular.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Prueba que si $y_{1}(t)$ es solución a la ecuación $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$$ entonces $$y_{1} \int \frac{1}{y_{1}^{2}} e^{-\int p(t) \, dt} \, dt $$ también es solución a la ecuación.
  • Prueba que $$\{y_{1}, y_{1} \int \frac{1}{y_{1}^{2}} e^{-\int p(t) \, dt} \, dt \}$$ es un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0.$$
  • Encuentra la solución general a la ecuación diferencial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=0$$ por el método de reducción de orden, si $y_{1}(t)=e^{-t}$ es una solución a la ecuación.
  • Encuentra la solución general a la ecuación diferencial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+16y=0$$ por el método de reducción de orden, si $y_{1}(t)=\cos{4t}$ es una solución a la ecuación.

Más adelante

En la próxima entrada continuaremos estudiando ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, en particular, estudiaremos el caso cuando las funciones $a_{i}(t)$, $i \in \{0,1,2\}$ en la ecuación $$a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$$ son todas constantes. A este tipo de ecuaciones les llamamos ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»