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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de comparación y comparación del limite

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia para las series, el criterio de la divergencia y el criterio de acotación, en esta sección veremos otros dos criterios de convergencia para las series que son los criterios de comparación y el criterio del límite.

Criterio de comparación

Teorema. (Criterio de comparación)

Sea {an} y {bn} tal que 0anbn  n ϵ N y supón que n=1bn converge, entonces n=1an converge.

Mientras que si n=1an diverge, entonces n=1bn diverge.

Demostración:

Sea 0anbn y supón que n=1bn converge.

Sea {Sn} la sucesión de sumas parciales de {bn}, y sea {tn} las sumas parciales de {an}.

Por demostrar que {tn} esta acotada.

Observemos que n=1bn converge, entonces {Sn} esta acotada por el criterio de acotación, por lo que,  M ϵ R tal que |Sn| M  n ϵ N.

Pero aibi  i ϵ N.

a1+a2+.+anb1+b2+.+bm

tnSnM

tnM   n ϵ N

Por lo cual tn está acotado, nuevamente, por el criterio de acotación como tn está acotado, entonces an también lo está.

{tn} esta acotado n=1an converge.

Ahora la demostración de sí n=1an diverge entonces n=1bn diverge, lo podemos demostrar por contradicción:

Por hipótesis n=1an diverge, pero supongamos que n=1bn converge, entonces por lo que acabamos de ver, n=1an converge, lo cual con lleva a una contradicción, ya que n=1an diverge.

n=1bn diverge.

◻

Los que nos dice este teorema es que podemos acotar una serie {an} por otra serie {bn} y conocer su convergencia o divergencia, para posteriormente, saber la convergencia o divergencia de la serie {an}.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • n=11nn

Sabemos que para n>2:  nn<n n ϵ N, así que 1n<1nn.

Pero sabemos que n=11n diverge. Por el criterio de comparación, entonces se tiene que n=11nn diverge.

Ahora veamos el criterio de comparación del límite.

Criterio de comparación del límite

Teorema. (Comparación del límite)

Sea an>0 y bn>0 tal que:

limnanbn=C>0.

n=1an converge n=1bn converge.

En otras palabras:

n=1an diverge n=1bn diverge.

Demostración:

Supón que n=1bn converge, tratemos de acotar an por algo convergente.

Tomemos ε=C.

Como limnanbn=C, por definición del limite se tiene que:

 k ϵ N tal que si nk entonces:

|anbnC|<ϵ=C

C<anbnC<C

0<anbn<2C

an<2 C bn

Pero por hipótesis tenemos que:

n=1bn converge n=12bn converge n=12Cbn converge.

ya que, por la propiedades de las series:

n=12Cbn=2Cn=1bn  y  n=1bn  converge

 Por el criterio de comparación  n=1an  converge.

Ahora demostremos el de ida:

Supón que n=1an converge, consideremos limnbnan=1C, como:

C>01C>0

Tomemos ϵ=1C. Por definición del límite  N ϵ N tal que:

 nN|bnan1C|<ϵ=1C

1C<bnan1C<1C

0<bnan<2C

bn<2Can por lo que acotamos bn, así:

n=1an converge n=12an converge n=12Can converge.

 Por el criterio de comparación  n=1bn  converge.

La demostración para el caso cuando divergen es muy similar a la demostración anterior, solo cambiamos la desigualdad en la definición del límite y aplicamos nuevamente el criterio de comparación.

◻

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • n=11an+b

Donde a y b son constantes y a0.

Sea {bn}=1an+b, tomemos a la sucesión {an}=1n entonces tomando el límite tenemos que:

limnanbn=limn1n1an+b=limnan+bnlimn(a+bn)=a

Con a0

Pero como n=11n diverge, por el criterio de comparación del límite:

n=11an+b diverge

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. n=1ln(n)n
  2. n=112n1
  3. n=155n1
  4. n=12n2+3n5+n5
  5. n=112n1

Más adelante…

En esta sección vimos dos criterios más de convergencia, el criterio de comparación, el cual se acota una sucesión con otra sucesión para estudiar si diverge o no converge la sucesión que está acotando, lo cual nos dice la convergencia o divergencia de la sucesión que está acotada; y el criterio de comparación del límite que nos dice que si la división entre dos sucesiones positivas, da como resultado una constante entonces las sucesiones convergen o divergen. En la siguiente sección veremos el criterio de la raíz y el criterio de la razón.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterios de convergencia para las integrales impropias.

Por Miguel Ángel Rodríguez García

Introducción

En las secciones anteriores vimos las integrales impropias de primer, segundo tipo y tercer tipo, aprendiendo como dar solución a cada una de ella. En esta sección veremos distintos criterios para estudiar la convergencia o divergencia de las integrales impropias. Comencemos enunciando algunos teoremas de convergencia importantes para estas integrales.

Criterios de convergencia

Comencemos con el siguiente teorema.

Teorema: La integral 1f(x)dx converge  ϵ >0   r tal que si x, x>r entonces:

|xxf(t)dt|<ϵ

Demostración:

Sea ϵ>0, af(x)dx converge:

af(x)dx=Llimxaxf(t)dt=L

 r tal que si x, x>r

Por definición de limite:

|axf(t)dtL|<ϵ2  y  |axf(t)dtL|<ϵ2

|axf(t)dtL|<ϵ2   y  |Laxf(t)dt|<ϵ2

Ya que |r|<c si y sólo si c<r<c, entonces:

ϵ2<axf(t)dtL<ϵ2   y  ϵ2<Laxf(t)dt<ϵ2

ϵ<axf(t)dtaxf(t)dt<ϵ

ϵ<xxf(t)dt<ϵ

|xxf(t)dt|<ϵ

|xxf(t)dt|<ϵ

1f(x)dx  converge

◻

Lema: Sea una función f(x) continua en [a,b) entonces la integral impropia abf(x)dx es convergente  ϵ >0   δ>0  tal que si  0<bx<δ  y  0<bx<δ entonces:

|xxf(t)dt|<ϵ

Demostración:

abf(x)dx es convergente:

abf(x)dx=Llimxbabf(x)dx=L

 δ>0 tal que si  0<bx<δ  y  0<bx<δ

|axf(t)dtL|<ϵ2  y  |axf(t)dtL|<ϵ2

Hacemos el mismo procedimiento como la demostración del teorema anterior, por lo que:

|xxf(t)dt|<ϵ  converge

◻

Lema: Sea f continua en [a,b] entonces la integral impropia abf(x)dx es convergente  δ>0 tal que si 0<bx<δ y 0<bx<δ, entonces:

|xxf(t)dt|<ϵ

La demostración se dejará como ejercicio moral, ya que la demostración es muy similar a la demostración del lema anterior.

Teorema: Sea f una función continua en [a,b) y acotada en [a,b] entonces abf(x)dx es convergente.

Demostración:

Sea ϵ>0, como f está acotada en [a,b] entonces:

 M tal que |f(x)|M  x ϵ [a,b]

Tomamos δ=ϵM.

Sea x,x tal que si 0<bx<δ y 0<bx<δ, entonces por propiedades de la integral: [Hipervinculo: Calculo II-Propiedad de valor absoluto de la integral menor o igual que la integral del valor absoluto de una funcion]:

|xxf(t)dt|xx|f(t)|dtxxMdt=M|xx<δM

|xxf(t)dt|<ϵ

 x,x tal que  0<bx<δ  y  0<bx<δ

Por el lema anterior:

abf(x)dx  converge

◻

Teorema: Sea f una función continua en (a,b] y acotada en [a,b] entonces abf(x)dx es convergente.

La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es muy similar a la demostración del teorema anterior.

Teorema: (Criterio de comparación)

Sean f y g dos funciones continuas en [a,) tal que si 0f(x)g(x)  x ϵ[a,), Entonces:

Si ag(x)dx converge entonces af(x)dx converge.

Mientras que si af(x)dx diverge, entonces ag(x)dx diverge.

La demostración se dejará como tarea moral, la idea de la demostración es usar las definiciones de límite.

Una aplicación de las integrales impropias en el área de la física, es calcular la velocidad de escape de la superficie de la Tierra. Sabemos que la fuerza gravitacional está dada como:

F=GmMr2

Donde G=6.671011Nm2kg2 es la constante gravitacional y M la masa de la tierra. Así integramos desde un punto R de la Tierra a la fuerza de gravedad, entonces:

abFdx=RGmMr2dr=GmMR1r2dr=GmM[1r]Rr=GmMR

En ese te caso R es el radio de la Tierra, cuyo valor es R=6.37106m, M=5.981024kg es la masa de la Tierra, por lo que:

GmMRm6.26107Nmkg

Para calcular la velocidad de escape, igualamos la fuerza de gravedad con la energía cinética:

12mv2=GmMR

v=2GMR11,91ms

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra el primer lema de esta sección.
  2. Demuestra el segundo lema de esta sección.
  3. Demuestra el teorema del criterio de la comparación.

Utiliza el criterio de la comparación para determinar la convergencia de las siguientes integrales:

  1. 11+exxdx
  2. 1ex2dx

Más adelante…

En esta sección vimos algunos teoremas y lemas para la determinación de la convergencia de las integrales impropias, por lo que son útiles en algunos casos para el mismo objetivo. Este tema es el último de esta unidad 5, por lo que comenzaremos a estudiar la unidad 6, en el cual se verán algunas aplicaciones de las integrales.

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