Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales impropias del $2^{do}$ tipo

Introducción

En la sección anterior vimos las integrales impropias del primer tipo en el cual son integrales de la forma:

$$\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$$

$$\int_{a}^{\infty}f(x)dx$$

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$$

En esta sección veremos las integrales impropias del segundo tipo que son integrales donde la función $f(x)$ no está definida en todo el intervalo, en algún punto dentro de un intervalo o en los extremos del intervalo.

Integrales impropias del $2^{do}$ tipo

Las integrales impropias del segundo tipo son integrales de la forma:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Donde $f(x)$ es una función positiva y continua en un intervalo finito $[a ,b)$, por lo que se tiene una asíntota vertical en $b$, es decir, la función $f(x)$ tiene una discontinuidad en $x=b$.

Análogamente, si tenemos el intervalo $(a, b]$ se tiene una asíntota vertical en $a$, es decir, la función $f(x)$ tiene una discontinuidad en $x=a$.

Si tenemos que la función se indefine en un punto o varios puntos dentro del intervalo $[a, b]$ con $a<c<b$, entonces las integrales, que también son integrales impropias del segundo tipo, son integrales de funciones que se vuelven infinitas en un punto o varios puntos dentro de un intervalo, para solucionar este problema, veamos la siguiente definición:

Definición: Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo $[a, b)$ y con una discontinuidad infinita en $b$ entonces definimos:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{x \to b^{-}}\int_{a}^{x}f(t)dt \tag{1}$$

Definición: Análogamente, al caso anterior, sea $f(x)$ una función continua en un intervalo $(a, b]$ y con una discontinuidad infinita en $a$ entonces definimos:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{x \to a^{+}}\int_{x}^{b}f(t)dt \tag{2}$$

Definición: Si $f(x)$ es continua en $[a, c) \cup (c,b]$, con $a<c<b$, entonces definimos:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx \tag{2}$$

En estos casos, si la integral de la función $f(x)$ converge a un valor $L$ entonces se dice que la integral es convergente y converge al valor $L$, en caso contrario, se dice que la integral de la función $f(x)$ diverge.

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • $$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx$$

Vemos que la función es discontinua en $x=0$, por la definición $(2)$, podemos calcular la integral como:

$$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx=\lim_{x \to 0^{+}}\int_{x}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{t}}dt=\lim_{x \to 0^{+}}\int_{x}^{1}t^{-1/3}dt$$

$$=\lim_{x \to 0^{+}}(\frac{3}{2})t^{\frac{2}{3}}\bigg|_{x}^{1}=\lim_{x \to 0^{+}}(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}})=\frac{3}{2}$$

$$\therefore \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx \space \space converge \space a \space \space \frac{3}{2}$$

  • $$\int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx$$

Vemos que la función es discontinua en $x=2$, por la definición $(2)$, calculamos la integral como:

$$\int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx=\lim_{x \to 2^{+}}\int_{x}^{5}\frac{1}{\sqrt{t-2}}dt=\lim_{x \to 2^{+}}2\sqrt{t-2}\bigg|_{x}^{5}=\lim_{x \to 2^{+}}2(\sqrt{3}-\sqrt{x-2})=2\sqrt{3}$$

$$\therefore \int_{2}^{5}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx=2\sqrt{3}$$

Las integrales impropias del tercer tipo son integrales que mezcla los dos tipos anteriores de integrales impropias, es decir, son integrales impropias tanto del primer tipo como del segundo tipo, por lo que para resolver este tipo de integrales del tercer tipo, se utiliza las mismas estrategias para resolver las integrales del primer y segundo tipo.

Ejemplo

  • $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx$$

Vemos en los límites de integración que es una integral de primer tipo, pero la función tiene una discontinuidad en $x=0$, por lo que esta integral es de tercer tipo, determinamos su convergencia con las definiciones de las integrales de primer y segundo tipo como sigue:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx=\lim_{x \to -\infty}\int_{x}^{0}\frac{1}{t^{2}}dt+\lim_{x \to \infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{2}}dt$$

$$=\lim_{x \to -\infty}\left ( \lim_{t \to 0^{-}} \int_{x}^{t} \frac{1}{v^{2}}dv \right )+\lim_{x \to \infty}\left ( \lim_{t \to 0^{+}} \int_{t}^{x} \frac{1}{v^{2}}dv \right )$$

$$=\lim_{x \to -\infty}\left ( \lim_{t \to 0^{-}} \frac{-1}{v}\bigg{|}^{t}_{x} \right)+\lim_{x \to \infty}\left ( \lim_{t \to 0^{+}} \frac{-1}{v}\bigg{|}^{t}_{x} \right )$$

$$=\lim_{x \to -\infty}\left ( \lim_{t \to 0^{-}} \left ( \frac{-1}{t}+\frac{1}{x} \right ) \right)+\lim_{x \to \infty}\left ( \lim_{t \to 0^{+}} \left ( \frac{-1}{t}+\frac{1}{x} \right ) \right )$$

Sabemos que $\lim_{t \to 0} \frac{1}{t}$ se indetermina.

$$\therefore \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx \space \space diverge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Determine la convergencia de las siguientes integrales:

  1. $$\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{3}}dx$$
  2. $$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)}$$
  3. $$\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x}dx$$
  4. $$\int_{0}^{3}\frac{1}{(x-1)^{2/3}}dx$$
  5. $$\int_{0}^{1}ln(x)dx$$

Más adelante…

En esta sección vimos las integrales del segundo tipo y tercer tipo, así, como algunos ejemplos, por lo que terminamos de ver los tipos de integrales impropias, en la siguiente sección veremos algunos criterios de convergencia importante para las integrales impropias.

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