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Álgebra Superior II: Teoremas de Fermat y de Wilson

Introducción

En las entradas anteriores hablamos de congruencias, del anillo de enteros módulo $n$ y vimos algunos problemas. La gran ventaja de trabajar en $\mathbb{Z}_n$, o bien, de trabajar módulo $n$, es que para $n$ pequeña hay una cantidad pequeña de elementos y entonces las operaciones se vuelven muy sencillas.

Problema. Determina cuál es el residuo obtenido de dividir $705\cdot 702+714\cdot 711$ al dividirse entre $7$.

Solución. Tenemos que $705$, $702$, $714$ y $711$ los podemos poner como un múltiplo de $7$ más un residuo como sigue: $700+5$, $700+2$ y $714=714+0$, $711=707+4$. Así, $705\equiv 5\pmod 7$, $702\equiv 2 \pmod 7$, $714\equiv 0 \pmod 7$ y $711\equiv 4 \pmod 7$. Así, trabajando módulo $7$ tenemos que:

\begin{align*}
705\cdot 702+714\cdot 711 \equiv 5\cdot 2 + 0\cdot 4 \equiv 10 + 0 \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7
\end{align*}
De esta forma, $705\cdot 702+714\cdot 711$ deja residuo $3$ al dividirse entre $7$.

$\square$

Trabajando de esta forma, podemos encontrar el residuo al dividirse por $n$ de expresiones que involucran sumas y productos. El objetivo de esta entrada es entender qué sucede cuando queremos encontrar el residuo de expresiones que tienen potencias y factoriales.

Pequeño teorema de Fermat

Intentemos entender qué sucede con las potencias de un número $a$ en cierto módulo $n$.

Ejemplo. Imagina que tomamos al número $3$ y queremos elevarlo a distintas potencias y entender el residuo que deja al dividirse entre $7$. Tenemos, trabajando módulo $7$:
\begin{align*}
3^0\equiv 1\\
3^1\equiv 3\\
3^2\equiv 9 \equiv 2\\
3^3=27\equiv 21+6\equiv 6
\end{align*}

Nota que podríamos seguir, poniendo $3^4=81$. Pero podemos ahorrarnos trabajo pues $3^4\equiv 3\cdot 3^3 \equiv 3 \cdot 6 \equiv 18\equiv 4$, en donde usamos que ya sabíamos que $3^3\equiv 6$. Del mismo modo, podemos seguir substituyendo cada potencia en la siguiente para obtener
\begin{align*}
3^5\equiv 3\cdot 4\equiv 12\equiv 5\\
3^6\equiv 3\cdot 5 = 15\equiv 1\\
3^7\equiv 3\cdot 1 = 3\\
3^8\equiv 3\cdot 3 = 9 \equiv 2
\end{align*}

Podríamos seguir y seguir, pero ya no tiene mucho caso. A partir de aquí es fácil convencerse de que los residuos se ciclan: $1,3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1\ldots$. Notemos que si la potencia es múltiplo de $6$, entonces el residuo será $1$, es decir, $3^{6k}\equiv 1 \pmod 7$. Esto es fantástico, pues entonces si queremos determinar el residuo de dividir, digamos, $3^{605}$ entre $7$, basta ver que módulo $7$ tenemos $$3^{605}=3^{600}\cdot 3^5 \equiv 1\cdot 5 \equiv 5,$$

en donde estamos usando lo que mencionamos para $k=100$ y que ya hicimos $3^5$ módulo $7$.

A partir del ejemplo anterior, nos damos cuenta de que es importante saber cuándo $a^m\equiv 1\pmod n$, pues en ese momento las potencias «se empiezan a ciclar». El pequeño teorema de Fermat es un resultado que podemos aplicar cuando trabajamos módulo un número primo $p$. Dice que la potencia $p-1$ funciona para esto.

Teorema. Si $p$ es un número primo y $p$ no divide a $a$, entonces $p$ divide a $a^{p-1}-1$ o, dicho en otras palabras $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$.

Demostración. Afirmamos que los números $a$, $2a$, $3a$, $\ldots$, $(p-1)a$ dejan todos ellos residuos distintos al dividirse entre $p$ y, además, que ninguno de esos residuos es $0$. Probemos esto. Tomemos $0<i<j<p-1$. En una entrada anterior vimos que $[a]_p$ tiene inverso en $Z_p$. Sea $[b]_p$ su inverso. Si $[ia]_p=[ja]_p$, entonces multiplicando por $[b]_p$ de ambos lados tendríamos $$[i]_p=[i(ab)]_p=[j(ab)]_p=[j]_p.$$

Pero como $i$ y $j$ están entre $1$ y $p-1$, esto implica que $i=j$. Ninguno es cero pues si $[ia]_p=[0]_p$, entonces al multiplicar por $b$ tendríamos la contradicción $[i]_p=[i(ab)]_p=[0b]_p=[0]_p$. Esto muestra la afirmación.

Así, usando la afirmación en el segundo paso de la siguiente cadena módulo $p$, tenemos:
\begin{align*}
(p-1)! a^{p-1} &= (a)(2a)(3a)\cdots((p-1)a)\\
&\equiv 1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot (p-1)\\
&= (p-1)!.
\end{align*}

El número $(p-1)!$ no es divisible entre $p$, pues es producto de puros números menores que $p$, de modo que $\text{MCD}(p, (p-1)!)=1$, así que tiene inverso módulo $p$, de modo que podemos cancelarlo de la congruencia anterior multiplicando en ambos lados por su inverso. De aquí obtenemos la igualdad que queremos: $$a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.$$

$\square$

Ya que demostramos este teorema, podemos aprovecharlo para resolver problemas que parecen ser difíciles.

Problema. Demuestra que $13$ divide a $25^{181}-181^{25}$

Solución. Notemos primero que $13$ es primo y que no divide ni a $25$ ni a $181$. Por el pequeño teorema de Fermat, tenemos módulo $13$ que $25^{12}\equiv 1$ y que $181^{12}\equiv 1$. Así, módulo $13$ tenemos que $$25^{181}\equiv 25^{15\cdot 12}\cdot 25 \equiv 25 \equiv 12,$$ y que $$181^{25}\equiv 181^{2\cdot 12}\cdot 181\equiv 181 \equiv 12.$$

De esta forma, $25^{181}-181^{25}\equiv 12-12\equiv 0\pmod {13}$, es decir, $13$ divide a $25^{181}-181^{25}$

$\square$

Teorema de Wilson

En la demostración del teorema de Fermat aparece la expresión $(p-1)!$. ¿Qué residuo dejará al dividirse entre $p$? Hagamos una prueba.

Problema. Encuentra el residuo que se obtiene al dividir $10!$ entre $11$.

Solución. Para no trabajar con números tan grandes, notemos que en $$10!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$$ podemos cambiar a $6,7,8,9,10$ por $-5, -4, -3, -2, -1$ al trabajar módulo $11$, así que basta encontrar $-(1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5)^2$ módulo $11$. Notemos que $3\cdot 4\equiv 12 \equiv 1 \pmod {11}$ y que $2\cdot 5 =10 \equiv -1 \pmod {11}$. Así, $$10!\equiv -(1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5)^2 \equiv -(1\cdot 1 \cdot -1)^2 \equiv -1 \equiv 10 \pmod {11},$$

es decir, el residuo que deja $10!$ al dividirse entre $11$ es $10$.

$\square$

El teorema de Wilson ayuda a cuando queremos encontrar el residuo de un factorial al dividirse entre un número primo. Una de las ideas del ejercicio anterior fue buena: nos conviene agrupar a números del factorial en productos sencillos. Lo más conveniente es que agrupemos a cada número con su inverso multiplicativo, pues así obtendremos un $1$. Eso lo podemos hacer si el inverso es diferente. La siguiente proposición nos ayuda a entender cuándo pasa esto.

Proposición. Sea $p$ un número primo. Los únicos elementos en $\mathbb{Z}_p$ que son inversos de sí mismos son $[1]_p$ y $[p-1]_p$.

Demostración. Claramente $[1]_p$ y $[p-1]_p=[-1]_p$ son inversos multiplicativos de sí mismos, pues $1\cdot 1=1=(-1)\cdot(-1)$. Ahora, si tenemos $a$ tal que $a$ es inverso multiplicativo de sí mismo, tenemos que $[a^2]_p\equiv [1]_p$, que por definición quiere decir que $p$ divide a $a^2-1=(a+1)(a-1)$. Cuando un primo divide a un producto, tiene que dividir a uno de los factores. Entonces $p$ divide a $a+1$ o a $a-1$, y obtenemos, respectivamente, que $[a]_p=[-1]_p=[p-1]_p$ o que $[a]_p=[1]_p$, como queríamos.

$\square$

Estamos listos para enunciar y demostrar el teorema de Wilson.

Teorema. Si $p$ es un número primo, entonces $p$ divide a $(p-1)!+1$ o, dicho en otras palabras, $(p-1)!\equiv -1 \pmod p$.

Demostración. Si $p=2$, el resultado es inmediato. Supongamos que $p\geq 3$. En $(p-1)!$ aparecen todos los números de $1$ a $p-1$. Todos ellos son primos relativos con $p$, así que tienen inverso módulo $p$. Ese inverso también aparece en $(p-1)!$. Así, podemos agrupar esos números en $(p-3)/2$ parejas de inversos multiplicativos, en donde por la proposición anterior sólo nos va a sobrar el $1$ y el $-1$. De esta forma, $$(p-1)!\equiv (1)(-1)(1\cdot 1\cdot \ldots\cdot 1) \equiv -1 \pmod p,$$

en donde en la expresión intermedia tenemos un $1$, un $-1$ y $(p-3)/2$ unos, uno por cada pareja de inversos que se multiplicaron. Esto termina la prueba.

$\square$

Veamos una posible aplicación.

Problema. Determina el residuo que se obtiene al dividir $15!+16!+17!$ entre $17$.

Solución. Notemos que $17$ divide a $17!$, así que $17!\equiv 0 \pmod {17}$. Por el teorema de Wilson, $16!\equiv -1 \pmod {17}$. Podemos multiplicar esa igualdad por $-1$ para obtener módulo $17$ que $$15! = 15! (-1)(-1) \equiv 15! \cdot 16 \cdot (-1) \equiv 16! (-1)\equiv (-1)(-1)\equiv 1.$$ Así, $15!+16!+17!\equiv 1 + (-1) + 0 \equiv 0 \pmod {17}$.

$\square$

Una solución alternativa es darse cuenta de que $$15!+16!+17!=15!(1+16)+17\cdot 16!=17\cdot (15!+16!)$$ y por lo tanto es múltiplo de $17$. Aunque tengamos herramientas fuertes, ¡siempre hay que recordar los básicos!

Álgebra Superior II: Problemas de congruencias

Aquí les mando los videos correspondientes al día de hoy, jueves 19 de marzo, todos relacionados con congruencias.

Ejercicio. Realizar la tabla de multiplicación módulo 5:

¿Cómo realizar la tabla de multiplicación módulo 5?

Ejercicio 186. Encuentre las unidades de ${\mathbb{Z}}_{18}$, y encuentre un elemento no nulo que no tenga inverso multiplicativo:
Nota: Me equivoqué en un detalle: $(3,18)=3$, no $6$.

Encuentrar las unidades de ${\mathbb{Z}}_{18}$, y un elemento no nulo que no tenga inverso multiplicativo

Ejercicio 191. Demuestra que todo entero es congruente módulo $7$ con un número del siguiente conjunto: $\{193,7,54,31,36,20,765\}$

Ejercicio de congruencias (191 del libro)

Ejercicio 193. Muestra que para $a$ y $b$ enteros, si $a \equiv b \pmod m$, entonces $(a,m)\mid(b,m)$.

$a \equiv b$ mod $m \Rightarrow (a,m)|(b,m)$

Álgebra Superior II: Congruencias y el anillo de enteros módulo n

Esta es una serie de entradas de blog para dar seguimiento a los estudiantes de mi curso de Álgebra Superior II durante la época de cuarentena debida al coronavirus.

Introducción

En clases pasadas hemos platicado del algoritmo de la división, del máximo común divisor, el mínimo común múltiplo, de primos, el teorema fundamental de la aritmética, la infinidad del conjunto de primos y del algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor.

En esta entrada platicaremos acerca del anillo de los enteros módulo $n$. La idea de esta entrada es:

  • Dar la intuición a través de un ejemplo concreto
  • Dar la definición formal de $a\equiv b \pmod n$
  • Definir a $\mathbb{Z}_n$, el anillo de enteros módulo $n$, dando sus elementos y sus operaciones de suma y resta.
  • Dar ejemplos adicionales de operaciones concretas.
  • Hablar de cuáles son los elementos de $\mathbb{Z}_n$ que tienen inversos multiplicativos y cuándo $\mathbb{Z}_n$ es un campo.

A grandes rasgos, el anillo de los enteros módulo $n$ consiste en ver a los enteros «como si sólo nos importara el residuo que dejan al dividirse entre $n$».

Ejemplo introductorio

Hablemos de las horas que tiene un día. Un día tiene $24$ horas y las podemos llamar del $0$ al $24$ para no tener que hacer distinción entre AM y PM. Por ejemplo, las 4PM serían las $16$. Las 10AM simplemente las $10$. La hora $24$ vamos a pensarla más bien como la hora $0$ del siguiente día.

Si son las $8$ (de la mañana, pero ya no hace falta aclarar), entonces tres horas después serán las $11$. Si son las $10$, entonces cuatro horas después serán las $14$. Pero si son las $22$ y pasan $7$ horas, entonces van a ser las $29$, pero conviene pensar a esa hora como las $5$ (del día siguiente), pues así es más claro qué hora entre $0$ y $23$ es. Finalmente si son las $17$ y pasan $24$ horas, entonces la hora que obtenemos es la $17+24=41$, pero justo como pasan $24$ horas, siguen siendo las $17$: aunque el día cambió, la hora no.

De esta discusión recuperamos lo siguiente:

  • En «el mundo de las horas», la hora $29$ es la misma que la hora $5$. En símbolos, esto lo ponemos como $29\equiv 5 \pmod {24}$.
  • Podemos «sumar en el mundo de las horas». Ahí, $10+4$ es $14$, pero $22+7$ es $5$. Vamos a escribir $10+4\equiv 14 \pmod {24}$ y $22+7\equiv 5 \pmod {24}$.
  • En «el mundo de las horas», si sumamos $24$ horas no pasa nada.

Definición del anillo $\mathbb{Z}_n$

En el ejemplo de motivación trabajamos con horas, que «se ciclan cada 24». Pero aquí el $24$ no tiene nada de especial y de hecho lo podemos hacer con cualquier número $n$. Comencemos definiendo qué quiere decir que dos enteros sean iguales «en el mundo de $n$».

Definición. Sea $n$ un entero positivo. Sean $a$ y $b$ enteros. Vamos a decir que $a$ es congruente con $b$ módulo $n$ si $n$ divide a $a-b$. En símbolos: $$ a\equiv b \pmod n \quad \iff \quad n\mid b-a.$$

Proposición. Para todo entero positivo $n$ la relación en $\mathbb{Z}$ de «ser congruente módulo $n$ » es una relación de equivalencia.

Demostración. Tenemos que probar que dicha relación es reflexiva, simétrica y transitiva.

Para ver que la relación es reflexiva, tomemos $a$ en $\mathbb{Z}$. Tenemos que $n$ divide a $0=a-a$, pues $n\cdot 0 =0$ (dicho de otra forma, $0$ está en $n\mathbb{Z}$). Así, $a\equiv a \pmod n$.

Veamos ahora que la relación es simétrica. Si $a\equiv b \pmod n$, entonces $n$ divide a $a-b$, pero entonces también divide a su inverso aditivo $b-a$ (aquí estamos usando que $n\mathbb{Z}$ es ideal, y que los ideales son cerrados bajo inversos aditivos), de modo que $b\equiv a \pmod n$.

Finalmente, veamos que la relación es transitiva. Para ello, a partir de enteros $a$, $b$ y $c$ tales que $a\equiv b \pmod n$ y $b\equiv c \pmod n$ tenemos que mostrar que $a\equiv c \pmod n$. Por definición, las primeras dos congruencias quieren decir que $n$ divide a $a-b$ y a $b-c$. Pero sabemos que si un entero divide a dos enteros, entonces divide a su suma. Así, $n\mid (a-b)+(b-c)=a-c$, que por definición quiere decir que $a\equiv c \pmod n$.

$\square$

Ya que «ser congruente módulo $n$» es una relación de equivalencia, entonces podemos dividir a todo $\mathbb{Z}$ en las clases de equivalencia de esta relación, y escribir como $[a]_n$ a la clase de equivalencia que tiene al entero $a$. La siguiente proposición muestra que para cada clase de equivalencia siempre podemos encontrar un representante chiquito.

Proposición. Sea $n$ un entero positivo. Se tiene que $a\equiv b \pmod n$ si y sólo si $a$ y $b$ dejan el mismo residuo al dividirse entre $n$ en el algorimo de la división. En particular, para cada $a$ siempre existe un entero $r$ en $\{0,1,\ldots,n-1\}$ tal que $a\equiv r \pmod n$.

Demostración. Usemos el algoritmo de la división para escribir $a=qn+r$ y $b=pn+s$ con $r$ y $s$ los residuos de la división, que el algoritmo de la división garantiza que están en $\{0,1,\ldots,n-1\}$.

Si $r=s$, entonces $a-b=(q-p)n$, así que $n\mid a-b$ y así $a\equiv b \pmod n$. Si $a\equiv b \pmod n$, entonces $$n\mid a-b= (q-p)n+(r-s).$$ Como $n\mid (q-p)n$, entonces $n\mid r-s$. Sin embargo, usando que $r$ y $s$ están en $\{0,1,\ldots,n-1\}$, tenemos que $r-s$ es un número entre $-(n-1)$ y $n-1$, de modo que la única posibilidad es $r-s=0$, es decir, $r=s$. Esto prueba la primer parte de la proposición.

Como $a$ y $r$ dejan el mismo residuo $r$ al dividirse entre $n$, entonces $a\equiv r \pmod n$.

$\square$

Ejemplo. Fijemos $n=7$. Tenemos que las siguientes clases de equivalencia son la misma: $[13]_7$, $[20]_7$, $[-1]_7$. Esto es ya que, por ejemplo, $7$ divide a $20-13=14$ y $7$ divide a $20-(-1)=21$. De hecho, todas estas clases son iguales a la clase $[6]_7$, pues tanto $-1$, $6$, $13$ como $20$ son números que al dividirse entre $7$ dejan residuo $6$.

Estamos listos para presentar a los elementos del anillo de enteros módulo $n$.

Definición. Para $n$ un entero positivo, definimos a $Z_n$ como el conjunto de clases de equivalencia de la relación «ser congruente módulo $n$». Por la proposición anterior, tenemos entonces que $$Z_n=\{[0]_n, [1]_n, \ldots, [n-1]_n\}$$

Nota que $Z_n$ tiene exactamente $n$ elementos, uno por cada uno de los posibles residuos de dividir un número entre $n$. Nota también que $\mathbb{Z}_n$ no es lo mismo que el ideal $n\mathbb{Z}$, y que hay que ser cuidadosos con la notación. De hecho, el ideal $n\mathbb{Z}$ es uno de los elementos de $\mathbb{Z}_n$.

Ejemplo. $Z_4=\{[0]_4,[1]_4, [2]_4,[3]_4\}$ tiene $4$ elementos. El elemento $[3]_4$ consiste de todos los enteros que dejan residuo $3$ al dividirse entre $4$, es decir, $[\ldots,-5,-1,3,7,\ldots]$.

Definición. Sea $n$ un entero positivo y $[a]_n$ y $[b]_n$ clases de equivalencia de la relación «ser congruentes módulo $n$». Definimos las siguientes operaciones de suma y producto:

  • $[a]_n + [b]_n = [a+b]_n$, y
  • $[a]_n [b]_n = [ab]_n$.

Estas operaciones es decir, esta suma y producto «están bien definidas» y no dependen de los representantes elegidos, como muestra la siguiente proposición:

Proposición. Sea $n$ un entero positivo. Si $a\equiv a’ \pmod n$ y $b\equiv b’ \pmod n$, entonces $a+b \equiv a’+b’ \pmod n$ y $ab\equiv a’b’ \pmod n$.

Demostración. De la primer congruencia tenemos $n\mid a-a’$ y de la segunda $n\mid b-b’$. Como $n$ divide a estos dos números, divide a su suma, y reacomodando tenemos que $n\mid (a+b) – (a’+b’)$, que es equivalente a $a+b\equiv a’+b’ \pmod n$, una de las congruencias que queríamos.

Para el producto, de $n\mid a-a’$ podemos obtener $$n\mid (a-a’)b=ab-a’b$$ y de $n\mid b-b’$ podemos obtener $$n\mid a'(b-b’)=a’b-a’b’.$$ Así, $$n\mid (ab-a’b)+(a’b-a’b’)=ab-a’b’.$$ De aqui, $ab\equiv a’b’ \pmod n$, la otra congruencia que queríamos.

$\square$

El anillo de enteros módulo $n$ es precisamente $\mathbb{Z}_n$ equipado con las operaciones de suma y producto que acabamos de definir.

Ejemplos de operaciones en $\mathbb{Z}_n$

Estos son algunos ejemplos básicos de operaciones en $\mathbb{Z}_7$ y en $\mathbb{Z}_{11}$:

  • $[8]_7+[4]_7=[12]_7=[5]_7$
  • $[4]_{11}[8]_{11}=[32]_{11}=[21]_{11}=[10]_{11}$

En una siguiente entrada, preparada por Clau, verán más ejemplos de operaciones en $\mathbb{Z}_n$.

Inversos multiplicativos en $\mathbb{Z}_n$

El cero del anillo de enteros módulo $n$ es $[0]_n$, pues para cualquier entero $a$ se tiene que $[a]_n+[0]_n=[a+0]_n=[a]_n$. Como $[0]_n$ consiste precisamente de los múltiplos de $n$, tenemos entonces que $[a]_n+[kn]_n=[a]_n$.

La multiplicación en este anillo tiene como identidad a $[1]_n$, de lo cual te puedes convencer con una cuenta similar.

La suma de este anillo tiene inversos aditivos pues para cualquier entero $a$ se tiene que la clase de $a$ y la de $-a$ cumplen $$[a]_n+[-a]_n=[a+(-a)]_n=[0]_n.$$

Sin embargo, no es cierto que para cualquier clase $[a]_n$ esta tenga un inverso multiplicativo. A los números que sí tienen un inverso multiplicativo se les conoce como unidades del anillo.

Problema: Muestra que $[4]_{12}$ no tiene inverso multiplicativo en $\mathbb{Z}_{12}$

Intenta resolver este problema antes de ver la solución.

Solución. Procedamos por contradicción. Si $[a]_{12}$ fuera el inverso multiplicativo de $[4]_{12}$, tendríamos que $[1]_{12}=[4a]_{12}$ y por lo tanto que $4a\equiv 1 \pmod {12}$, es decir, que $12\mid 4a-1$. Como $4\mid 12$ y $4\mid 4a$, tendríamos entonces que $4\mid (4a-1)-4a = -1$. Esto es una contradicción.

La siguiente proposición dice exactamente quienes son los elementos en $\mathbb{Z}_n$ que tienen inversos multiplicativos en $\mathbb{Z}_n$.

Teorema. Sea $n$ un entero positivo. La clase $[a]_n$ de $\mathbb{Z}_n$ tiene inverso multiplicativo si y sólo si $a$ y $n$ son primos relativos.

Demostración. Recordemos que por definición $a$ y $n$ son primos relativos si su máximo común divisor $MCD(a,n)$ es igual a $1$. Recordemos también que $MCD(a,n)$ puede escribirse como combinación lineal entera de $a$ y $n$.

Si $a$ y $n$ son primos relativos, entonces existen $p$ y $q$ enteros tales que $1=ap+nq$. Así, $$[ap]_n=[ap+nq]_n=[1]_n,$$ de modo que la clase $[a]_n$ tiene como inverso multiplicativo a la clase $[p]_n$.

Si $a$ y $n$ no son primos relativos y suponemos que $[a]_n$ tiene inverso multiplicativo, entonces llegaremos a una contradicción similar a la del problema anterior. Verifica los detalles.

$\square$

Recuerda que un campo es un anillo conmutativo en el cual todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo. Terminamos esta sesión con un resultado que nos dice cuándo $\mathbb{Z}_n$ es un campo.

Proposición. Sea $n$ un entero. El conjunto $\mathbb{Z}_n$ con las operaciones de suma y producto que definimos es un campo si y sólo si $n$ es un número primo.

Demostración. Como ya sabemos que es un anillo conmutativo, basta con determinar cuándo sucede que todos los elementos distintos de cero tienen un inverso multiplicativo. Estos elementos son son $[1]_n, \ldots, [n-1]_n$. Por la proposición anterior, estos tienen inversos si y sólo si cada uno de los números $1,2,\ldots,n-1$ es primos relativos con $n$.

Si $n$ es primo, entonces todos esos números son primos relativos con $n$ pues el único factor en común que tienen con $n$ es $1$. Si $n$ no es primo, entonces tiene un divisor $d$ que satisface $1<d<n$, y por lo tanto $n$ y $d$ no son primos relativos, así que $[d]_n$ no tiene inverso multiplicativo.

De esta forma, $\mathbb{Z}_n$ es un campo si y sólo si $n$ es primo.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Argumenta por qué «el mundo de los minutos» también es un ejemplo de enteros módulo $n$.
  • Muestra que $n\mathbb{Z}$ es uno de los elementos de $\mathbb{Z}_n$.
  • Muestra que las operaciones de suma y producto en $\mathbb{Z}_n$ en efecto satisfacen la definición de anillo conmutativo. Sugerencia: aprovecha que $\mathbb{Z}$ es un anillo conmutativo con sus operaciones de suma y producto.
  • Muestra que $[1]_n$ es identidad para el producto en $\mathbb{Z}_n$.
  • Completa la prueba del teorema de inversos multiplicativos.